極大似然估計在排隊模型上的應用案例綜述“排隊”一詞在生活中通常指的是人們根據先來后到的順序排成一列的等待服務的現象，但是如果將其抽象為一種數據結構，它則指代的是一種操作受限的線性表，其遵循“先來先服務”原則。作為一種重要的數據結構，其在計算機領域的廣泛應用可想而知——各類緩沖區、進程和線程的調度算法、硬件資源的分配算法等等地方都會用到隊列。反觀現實生活，排隊模型也是隨處可見，除了典型的“排隊等待”現象之外，還有諸如貨船按序進港?？浚w機按序等待機場空閑降落等等。簡單來說，只要資源或服務不能被立刻滿足，而資源申請者又不只有一位，那么在按照“先來先服務”的原則分配資源時，就會產生排隊現象。這是一種人為的分配原則規約，但又因為它遵循最簡單的，符合直覺的“先來后到”原則，又被得以廣泛應用于人類社會的各個角落。排隊現象的產生多是因為資源的短缺，而增加更多的可分配資源則是緩解排隊現象，提高工作效率的常用方法。建立排隊模型，根據相關參數便可估算出優化資源配置的方案。1.1M/M/1排隊模型排隊論主要研究服務系統中排隊現象隨機規律，是數學運籌學的分支學科。而排隊模型就是排隊論的理論模型之一。模型是一種單一服務器()的排隊模型，許多系統的運作都可用其模擬實現。依據，其必須滿足下列條件：到達時間卜瓦松過程（）服務時間是指數分布（）只有一部服務器（），遵循先到先服務規則隊列長度無限制可加入隊列的人數為無限排隊模型中的常用變量如下：出生率（即加入隊列的速率）死亡率（即完成服務離開隊列的速率）緩沖效用，表示服務被占用的平均概率整個系統的平均人數，其方差為單位時間內系統完成服務的人數在隊列中等待服務的人數一人在系統中的平均逗留（等候+接受服務）時間一人的平均等候時間1.2M/M/1型的排隊問題分析這里我們主要解決型的排隊問題，簡要特性描述如下：顧客到達條件滿足分布。服務時間服從負指數分布。系統容量無限，顧客源無限。采用先到先服務機制的服務機制。如上文所指出的，此模型中我們常用緩沖效用來表示服務被占用的平均概率，而為了利用模型為系統的改進措施提供建議，需要確定一個評估系統服務質量優劣的變量，因此緩沖效用恰好可以滿足這一要求。在此處應用中，主要用到參數離開部分的隊長、個連續顧客的等待時間等來進行極大似然函數的構造。1.3似然函數構造及的極大似然估計利用馬爾可夫過程來分析顧客的到達時間間隔和服務時間分布關系，分析可知這二者滿足指數分布且概率密度分布函數如下（為到達率，為離去率）：上文分析過，系統的利用率使用來表示。第部分的顧客數為，則馬爾可夫過程中的分布函數為若將初始隊長記為，同時將排隊系統等分，則初始隊長若進入穩定狀態，其分布形式呈等比數列，記為。忽略系統中顧客數的狀態變化中的細節，只考慮狀態本身的變化，則似然函數可以表示為,最終可解得的極大似然估計量為，其中，，。下面利用一次仿真實驗來檢測極大似然估計法的效果。首先將和的變化設定為常量15，同時，、為隨機變量。利用指標平均均方根誤差來評估極大似然估計法的準確性：結果如下表：表5極大似然估計方法仿真結果450750150045075015000.4830.4940.4970.6720.6610.6950.0230.0170.0110.00310.02110.0115由上表可知，若采用極大似然估計法，結果存在很小的誤差，且估計值非常靠近真值。由此可見在排隊模型中極大似然估計法可以提供可靠性較高的估量結果，在一些實踐中可以考慮將極大似然估計法作為模型的估量方法。3.4極大似然估計在水下機器人系統辨識中的應用此應用從某智能水下機器人的實驗數據出發，利用極大似然參數估計法和其松弛算法，估算得到了此水下機器人的動力系數，并且將得到的動力系數結果與運動仿真結合進行模型驗證的話，會發現結果是可靠的。此應用的研究結果可以為水下機器人的環境自適應功能和操縱算法改進提供一定的參考價值。3.4.1水下機器人運動的數學模型水下機器人水平面運動的一般方程在剛體動力學理論中的描述如下：式中，機器人的重心坐標為，力矩的下標分別表示推力器和艇體，運動參數是艇體水動力變化的自變量，機器人的質量記為。進一步推導，可得最終的數學模型：3.4.2極大似然法的研究和應用在參數估計的極大似然法中，其目的為選取參數，使似然函數達到最大值：，對于條件概率密度函數，假定其滿足正態分布。在中，條件均值記為，條件協方差為。極大似然估計依賴于能否找到參數，使達到最小值。3.