幾何-曲線型幾何-扇形-0星題課程目標(biāo)知識點考試要求具體要求考察頻率扇形B1.了解扇形的特征和有關(guān)概念

2.能夠通過圓的面積和周長公式推導(dǎo)出扇形的面積和弧長公式

3.能夠運(yùn)用公式計算扇形的弧長、面積和周長少考知識提要扇形概念

圓上兩點之間的部分叫做弧。

扇形是指一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

其中，圓的半徑也稱為扇形的半徑，而兩條半徑所形成的夾角稱為扇形的圓心角。

公式

扇形的弧長=n360×2πr

扇形的面積=n360πr2

精選例題扇形1.如圖，分別以B，C為圓心的兩個半圓的半徑都是1厘米，則陰影部分的周長是

厘米．（π取3）【答案】

3【分析】

BE，BC，CE均為圓的半徑，所以△BCE等邊三角形，每個角均為60度，所以陰影部分的兩段圓弧均為60度的扇形所對應(yīng)的圓弧，所以周長為602.下圖中，兩個圓心角是90°的扇形蓋在大圓上，小圓蓋在兩個扇形上，它們的圓心都在同一點．如果小圓、大圓、扇形的半徑比是1:3:4，那么陰影圖形面積占整個圖形面積的

%【答案】

32【分析】

設(shè)大圓、小圓、扇形的半徑分別是r、3r、4r．整個商標(biāo)的面積是1陰影部分的面積是1所以，陰影圖形面積占整個商標(biāo)圖形的面積的43.如下圖所示，已知圓心是O，半徑r=9厘米，∠1=∠2=15°，那么陰影部分的面積是

平方厘米．（【答案】

42.39【分析】

因為圓的半徑都相等，于是OA=OB．在等腰三角形AOB中兩個底角都是15°．又知道三角形內(nèi)角之和是180°，所以，三角形AOB的頂角∠AOB=180°-(15°+154.如圖，直角三角形ABC中，∠B為直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，則在將△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)120°的過程中，AB邊掃過圖形的面積為

．（π【答案】

12.56平方厘米．【分析】

如下圖所示，假設(shè)△ABC旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)△A?B?C的位置．陰影部分為AB從圖中可以看出，陰影部分面積等于整個圖形的總面積減去空白部分面積，而整個圖形總面積等于扇形ACA?的面積與△ABC的面積之和，空白部分面積等于扇形BCB?的面積與△A?B?C的面積，由于△ABC的面積與△A?B?C的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形ACA?與扇形BCB?的面積之差，為1205.如圖，是一個由2個半圓、2個扇形、1個正方形組成的“心型”．已知半圓的直徑為10，那么，“心型”的面積是

．（注：π取3.14）【答案】

257【分析】

圖中圖形面積等于一個正方形加上一個半徑為5的圓，再加上一個半徑為10的1410×10+6.分別以一個邊長為2厘米的等邊三角形的三個頂點為圓心，以2厘米為半徑畫弧，得到下圖．那么，陰影圖形的周長是

厘米．（π取3.14）【答案】

12.56【分析】

圖形周長由6段弧組成，每段弧對應(yīng)的圓心角為60°2×3.14×2=12.56(厘米)7.如圖，△ABC是一個等腰直角三角形，直角邊的長度是1米．現(xiàn)在以C點為圓心，把三角形ABC順時針轉(zhuǎn)90度，那么，AB邊在旋轉(zhuǎn)時所掃過的面積是

平方米．（π≈3.14【答案】

0.6775【分析】

如圖，順時針旋轉(zhuǎn)后，A點沿弧AA?轉(zhuǎn)到A?點，B點沿弧BB?轉(zhuǎn)到B?點，D點沿弧DD?轉(zhuǎn)到D?點．因為CD是C點到AB的最短線段，所以AB掃過的面積就是圖中的弧A?AB與BDD?A?之間的陰影圖形．SSS所以，S我們推知S8.一個邊長為100厘米的正五邊形和五個扇形拼成如圖的“海螺”，那么這個圖形的周長是

厘米（π取3.14）．【答案】

2384【分析】

周長9.6個半徑相同的小圓和1個大圓如圖擺放．大圓的面積是120，那么，陰影部分面積是

．【答案】

40【分析】

設(shè)大圓半徑和小圓半徑分別為R和r，畫出大小圓半徑會發(fā)現(xiàn)它們同處一個正三角形，如下圖，兩條粗線分別為大圓直徑和小圓直徑，由正三角形性質(zhì)和勾股定理，有R這說明大圓面積和小圓面積是3倍關(guān)系，即小圓面積為40；由于三個小圓面積等于大圓面積，所以下圖中紅色部分面積等于灰色部分；如下圖，可以看出，上圖中的兩種陰影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6個120度扇形，總和為2個小圓，又因為兩種陰影部分面積相等，所以所求面積為一個小圓面積40．10.如圖，分別以長方形的一條長邊的兩個頂點為圓心，以長方形的寬為半徑作14圓，若圖中的兩個陰影部分的面積相等，則此長方形的長與寬的比值是

【答案】

π:2【分析】

因為S2=SS與長方形面積相等．所以設(shè)長為a，寬為b，1πb=2a,a:b=π:2.11.如下圖所示，一個14圓中有一個正方形，陰影正方形的面積是16，那么圖中的扇形面積是

．（π取3【答案】

30【分析】

給圖中標(biāo)上字母，如下圖所示，由于陰影正方形的面積為16，則邊長為4，OC=CH=ED=2,OD=2+4=6，根據(jù)勾股定理，可知扇形的半徑滿足：r所以圖中扇形的面積為：112.半徑為10、20、30的三個扇形如下圖放置，S2是S1的【答案】

5【分析】

三個扇形的半徑比為1:2:3，則面積比為1:4:9，所以答案為(9-4)÷1=5倍．13.如下圖所示，AB是半圓的直徑，O是圓心，AC=CD=DB，M是CD的中點，H是弦CD的中點．若N是OB上一點，半圓的面積等于 【答案】

2【分析】

連接OC、OD、OH，由于C、D是半圓的兩個三等分點M是CD的中點，H是弦CD的中點，可見這個圖形是對稱的．由對稱性可知CD與AB平行，由此可得：△CHN的面積與△CHO的面積相等，所以，陰影部分面積等于扇形COD面積的一半，而扇形COD的面積又等于半圓面積的13，所以，陰影部分面積等于半圓面積的16，為14.如圖，邊長為12米的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A，B，C，D處各有一根木樁，且AB=BC=CD=3米．現(xiàn)用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上（不計打結(jié)處）．為使羊在草地上活動區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在

處的木樁上． 【答案】

C【分析】

在A點時活動區(qū)域的面積是一個半徑為4米的半圓，即1 在B、D點時活動區(qū)域的面積都是一個半徑為4米的半圓加一個14半徑為11 在C點時活動區(qū)域的面積是34個半徑為43 綜上所述，拴在C處的木樁上時活動范圍最大．15.如下圖所示，ABCD是邊長為10厘米的正方形，且AB是半圓的直徑，則陰影部分的面積是

平方厘米．（π取3.14）【答案】

17.875【分析】

如下圖所示，連接DB，陰影部分的面積的2倍相當(dāng)于$$\text{正方形面積}-\text{三角形$DOC$的面積}-\text{半圓面積},$$所以該面積=(10×10-10×10÷4-3.14×5×5÷2)÷2=17.875(平方厘米)16.如下圖所示，梯形ABCD中的兩個陰影部分的面積相等，DE=1厘米，∠A=∠B=45°，則CD=

厘米．（其中π取【答案】

0.57【分析】

由于兩個陰影部分面積相等，可知扇形面積為梯形面積的一半，又知道扇形面積為18×π×(12+12求得CD的長為π217.如下圖所示，平行四邊形的長邊是6，短邊是3，高為2.6，則陰影部分的面積為

．（π取3.14）【答案】

15.9【分析】

根據(jù)容斥的思想，陰影的一半所以陰影面積為：118.如下圖所示，為一個半圓和一個扇形，扇形的半徑是半圓的直徑，空白部分與陰影部分面積哪個大？ 【答案】

一樣大．【分析】

記半圓的半徑為1，半圓的面積為12π，扇形的半徑為2，面積為 空白與陰影的面積1219.如圖，C、D是以AB為直徑的半圓的三等分點，O是圓心，且半徑為6．求圖中陰影部分的面積．【答案】

6【分析】

如圖，連接OC、OD、CD．由于C、D是半圓的三等分點，所以△AOC和△COD都是正三角形，那么CD與AO是平行的．所以△ACD的面積與△OCD的面積相等，那么陰影部分的面積等于扇形OCD的面積，為π×20.已知半圓所在的圓的面積為62.8平方厘米，求陰影部分的面積．（π=3.14【答案】

5.7平方厘米【分析】

由于陰影部分是一個不規(guī)則圖形，所以要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來計算．從圖中可以看出，陰影部分的面積是一個45°由于半圓的面積為62.8平方厘米，所以O(shè)A因此S由于△AOB是等腰直角三角形，所以AB因此$\begin{split}\text{扇形$ABC$的面積}&={\rm\pi}\times{AB^2}\times\dfrac{{45}}{{360}}\\&={\rm\pi}\times40\times\dfrac{{45}}{{360}}\\&=15.7\text{(平方厘米)}.\end{split}$所以，陰影部分的面積等于：15.7-10=5.7(平方厘米)21.如圖所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一個邊長為2米的等邊三角形，繩長是3米，那么小狗的活動范圍是多少？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，π取3）【答案】

24.5【分析】

首先畫出小狗活動的范圍，然后把活動范圍分成幾個扇形來求解，30036022.已知圖中正方形的邊長是2，分別以其四個頂點為圓心的直角扇形恰好交于正方形的中心，求圖中陰影部分的面積． 【答案】

2【分析】

r2=2，23.如圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓．求陰影部分面積．（π取3）【答案】

8【分析】

由題可知，圖中陰影部分是兩個扇形重疊的部分，我們可以利用容斥原理從圖形整體上考慮來求陰影部分面積；同樣，我們也可以通過作輔助線直接求陰影部分的面積．解法一：把兩個扇形放在一起得到1個正方形的同時還重疊了一塊陰影部分．則陰影部分的面積為=12解法二：連接AC，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分面積的一半就是扇形減去三角形的面積，所以陰影部分面積=2×(124.如圖所示，圖中是一個正六邊形，每個角上有一個半徑是10厘米的扇形，六扇形面積總和是多少？（π取3.14）【答案】

628平方厘米．【分析】

扇形面積公式S扇=nπR25.如圖所示，ABCD是一邊長為4cm的正方形，E是AD的中點，而F是BC的中點．以C為圓心、半徑為4cm的四分之一圓的圓弧交EF于G，以F為圓心、半徑為2cm的四分之一圓的圓弧交EF于H點，若圖中S1和S2兩塊面積之差為mπ-n(cm2 【答案】

11【分析】

（法1）S?FCDE=2×4=8cm2 S扇形BFH= S1-S 所以m=3，n=8，m+n=3+8=11．（法2）如右上圖，S+S S+S2= 所以，S1-S2=(8-π)-(16-4π)=3π-826.如圖中扇形的半徑OA=OB=6厘米，∠AOB=45°，AC垂直O(jiān)B于C，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（【答案】

5.13平方厘米【分析】

陰影部分面積為：4527.如圖，正方形ABCD邊長分別為1厘米，依次以A,B,C,D為圓心，以AD,BE,CF,DG為半徑畫出四個直角扇形，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【答案】

23.55平方厘米．【分析】

陰影部分的面積是3.14×28.（1）如圖（1），一只小狗被拴在一個邊長為4米的正方形的建筑物的頂點A處，四周都是空地，繩長8米，小狗的活動范圍是多少平方米？（2）如圖（2）小狗不是被拴在A處，而是在一邊的中點B處，那么小狗的活動范圍是多少平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，π取3.14）【答案】

（1）175.84；（2）163.28【分析】

（1）如下左圖，小狗的活動范圍為圓心角為270°、半徑為8米的扇形，和兩個圓心角為90°、半徑為3（2）如下右圖，小狗的活動范圍為半徑是8米的半圓，和兩個圓心角為90°、半徑為6米的扇形，以及兩個圓心角為90°、半徑為129.如圖中三個圓的半徑都是5cm，三個圓兩兩相交于圓心．求陰影部分的面積和．（π取【答案】

39.25(【分析】

將原圖割補(bǔ)成如圖，陰影部分正好是一個半圓，面積為5×5×3.14÷2=39.25(30.（1）求下列各圖的周長和面積各是多少？（用含π的式子表示）（2）已知一個扇形面積為18.84平方厘米，圓心角為60°，這個扇形的半徑和周長是多少？（π取3.14【答案】

（1）5π+10，1212π，712（2）6厘米，18.28厘米．【分析】

（1）半圓的周長2×面積π342×面積π132×面積π（2）由于：16πr31.如圖，求各圖形中陰影部分的面積．（圖中長度單位為厘米，π取3.14）【答案】

（1）4.5平方厘米；（2）1平方厘米．【分析】

（1）將右邊四分之一圓的陰影部分鏡像到左邊四分之一圓，陰影部分的面積為：3×3÷2=4.5（2）將右圖的四分之一圓左移，則為一個正方形，面積為：1×1=132.如圖，ABCD是一個長為4，寬為3，對角線長為5的正方形，它繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°【答案】

BC:DC:4AB:4AD:【分析】

容易發(fā)現(xiàn)，DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過的圖形都是以線段長度為半徑的圓的14因此DC邊掃過圖形的面積為4π，BC邊掃過圖形的面積為9研究AB邊的情況．在整個AB邊上，距離C點最近的點是B點，最遠(yuǎn)的點是A點，因此整條線段所掃過部分應(yīng)該介于這兩個點所掃過弧線之間，見如圖中陰影部分：下面來求這部分的面積．觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實際上是：扇形ACA?面積+三角形A?B?C面積-三角形ABC面積一扇形BCB?面積=扇形ACA?面積一扇形BCB?面積=52π研究AD邊掃過的圖形．由于在整條線段上距離C點最遠(yuǎn)的點是A，最近的點是D，所以我們可以畫出AD邊掃過的圖形，如圖陰影部分所示：用與前面同樣的方法可以求出面積為：5233.如圖所示，求陰影面積，圖中是一個正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個半徑為10厘米的小扇形．（圓周率取3.14）【答案】

412平方厘米【分析】

所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個小扇形面積、正六邊形的面積已知，現(xiàn)在關(guān)鍵是小扇形面積如何求，有扇形面積公式S扇可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數(shù)，由已知正六邊形每邊所對圓心角為60°，那么∠AOC=120°，又知四邊形ABCO是平行四邊形，所以∠ABC=120°34.下圖中五個相同的圓的圓心連線構(gòu)成一個邊長為10厘米的正五邊形．求五邊形內(nèi)陰影部分的面積．（π=3.14【答案】

117.75平方厘米【分析】

我們用兩條線將五邊形分成了三個三角形，如下圖所示，可以看出，這個五邊形的五個角的度數(shù)和是180×3=540°,540÷360=1.5倍，即陰影部分面積相當(dāng)于1.5個半徑為535.先做一個邊長為2cm的等邊三角形，再以三個頂點為圓心，2c【答案】

25.12【分析】

在處理圖形的運(yùn)動問題時，描繪出物體的運(yùn)動軌跡是解決問題的第一步，只有大的方向確定了，才能實施具體的計算．在數(shù)學(xué)中，本題所作出的這個曲邊三角形叫“萊洛三角形”，“萊洛三角形”有一個重要的性質(zhì)就是它在所有方向上的寬度都相同．為了求出“萊洛三角形”滾動時經(jīng)過的面積，可以分2步來思考：第1步：如圖⑵所示，當(dāng)“萊洛三角形”從頂點A的上方滾動到頂點A的左邊時，這時陰影“萊洛三角形”滾動的這部分面積是以A為圓心、2cm為半徑、圓心角為60°的扇形．在頂點A、B第2步：如圖⑶所示，當(dāng)“萊洛三角形”在邊AB上滾動時，這時可以把陰影“萊洛三角形”看作是以圖⑶中D點為圓心的圓的一部分，這個圓在以C點為圓心的弧AB上滾動，可知此時圓心D運(yùn)動的軌跡是圖⑶中的弧DD?，所以此時陰影“萊洛三角形”滾動的這部分面積是以C為圓心、4cm為半徑、圓心角為60°的扇形減去半徑為2綜上所述，去掉圖⑷中陰影“萊洛三角形”后所形成的組合圖形就是要求的面積．滾動時經(jīng)過的面積是：3×36.如圖，正方形的邊長是2厘米，圓形的半徑是1厘米，當(dāng)圓形繞正方形滾動一周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？（π取3.14）【答案】

28.56平方厘米．【分析】

掃過的區(qū)域如圖所示，正方形的邊長是2厘米，四個正方形的面積之和是16平方厘米，四個扇形正好可以拼成一個半徑為2厘米的圓，圓的面積是12.56平方厘米，最后的結(jié)果是28.56平方厘米．37.圖中正方形的邊長是4厘米，圓形的半徑是1厘米．當(dāng)圓形繞正方形滾動一周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？（π取3.14）【答案】

44.56平方厘米．【分析】

掃過的區(qū)域如圖中陰影所示，由兩類圖形組成：4個長為4厘米、寬為2厘米的長方形，4塊半徑為2厘米、圓心角為90°4×2×4+π×38.如圖所示，扇形AOB的圓心角是90度，半徑是2，C是弧AB的中點．求兩個陰影部分的面積差．（π取3.14）【答案】

0【分析】

兩個陰影分別加上下部的空白部分可得到扇形和半圓，而扇形和半圓面積相等，所以，面積之差是0．39.直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊AC長20厘米，直角邊BC長10厘米．如下圖所示，三角形由位置Ⅰ繞A點轉(zhuǎn)動，到達(dá)位置Ⅱ，此時B，C點分別到達(dá)B1，C1點；再繞B1點轉(zhuǎn)動，到達(dá)位置Ⅲ，此時A，C1點分別到達(dá)A2，C2點．求【答案】

653【分析】

由于BC為AC的一半，所以∠CAB=30°，則弧CC1為大圓周長的180°-30°360°=512，弧C1C2為小圓周長的240.一只狗被拴在底座為邊長3m的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩長是4m，求狗所能到的地方的總面積．（圓周率按【答案】

43.96【分析】

如圖所示，狗活動的范圍是一個半徑4m，圓心角300°的扇形與兩個半徑1m，圓心角12041.一只狗被拴在底座為邊長3m的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩長是4m，求狗所能到的地方的總面積．（π取【答案】

43.96m【分析】

如圖所示，狗活動的范圍是一個半徑4m，圓心角300°的扇形與兩個半徑1m30042.如圖，等腰直角三角形ABC的腰為10；以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形AEF；兩個陰影部分的面積相等．求扇形所在的圓面積．【答案】

400【分析】

題目已經(jīng)明確告訴我們ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似沒有關(guān)系的兩個陰影部分通過空白部分聯(lián)系起來．等腰直角三角形的角A為45度，則扇形所在圓的面積為扇形面積的8倍．而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即S則圓的面積為50×8=40043.如圖，直角△ABC的斜邊AB長為10厘米，∠ABC=60°．此時BC長5厘米．以B為中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)120°，點A、C分別到達(dá)點E、D的位置．求AC掃過圖形的面積．（π 【答案】

75平方厘米．【分析】

扇形的面積44.下圖中正方形ABCD及DCEG的面積均為64平方厘米，EFG則為一半圓，F(xiàn)是弧EFG的中點．請問陰影部分的面積為多少平方厘米？（取π=3.14【答案】

36.56【分析】

如下圖所示，正方形邊長為8厘米，連接GF，陰影部分面積=145.在下圖中，AC為圓O的直徑，三角形ABC為等腰直角三角形，其中∠C=90°．以B為圓心，BC為半徑作弧CD交線段AB于D點．若AC=10厘米，試求下圖中陰影部分面積之和．（令【答案】

62.5平方厘米【分析】

陰影部分面積為圓加扇形減三角形，陰影面積為：π46.求下圖中陰影部分的面積．（π取3）【答案】

100平方厘米【分析】

看到這道題，一下就會知道解決方法就是求出空白部分的面積，再通過作差來求出陰影部分面積，因為陰影部分非常不規(guī)則，無法入手．這樣，平移和旋轉(zhuǎn)就成了我們首選的方法．（法1）我們只用將兩個半徑為10厘米的四分之一圓減去空白的①、②部分面積之和即可，其中①、②面積相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角邊AB的長度未知．單獨求①部分面積不易，于是我們將①、②部分平移至一起，如右上圖所示，則①、②部分變?yōu)橐粋€以AC為直角邊的等腰直角三角形，而AC為四分之一圓的半徑，所以有AC=10．兩個四分之一圓的面積和為150，而①、②部分的面積和為12150-50（法2）欲求圖中陰影部分的面積，可將如上左半圖形繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A與C147.有一飛鏢形建筑物ABCD，其各邊之長度如下圖所示，AB=60米、BC=70米、CD=40米、AD=30米，并且已知∠ADC=90°．在其外圍擬建一條步道，使得此步道的外緣距離建筑物之最近距離都保持5米．請問沿著此步道之外緣繞一圈共需走多少米？（取【答案】

229.25【分析】

可知步道可分為直線段與圓弧段，直線段之長度和為60+70+(30-5)+(40-5)=190(米)．而三個圓弧的角度和為360所以三個圓弧段的長度和為2×5×3.14×450°36048.如右圖，正方形的邊長為5厘米，則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？(π=3.14)【答案】

7.125【分析】

觀察可知陰影部分是被以AD為半徑的扇形、以AB為直徑的半圓形和對角線BD分割出來的，分頭求各小塊陰影部分面積明顯不是很方便，如果能求出左下邊空白部分的面積，就很容易求出陰影部分的面積了，再觀察可以發(fā)現(xiàn)左下邊空白部分的面積就等于三角形ABD的面積減去扇形ADE的面積，那么思路就很清楚了．因為∠ADB=45所以扇形ADE的面積為：45360那么左下邊空白的面積為：12又因為半圓面積為：12所以陰影部分面積為：9.8125-2.6875=7.125(平方厘米49.圓的半徑是9cm，圓心角為120【答案】

周長：36.84cm；面積【分析】

圓心角120°面積周長50.如圖，邊長為3的兩個正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC為邊向內(nèi)側(cè)作等邊三角形，分別以B、C為圓心，BK、CK為半徑畫弧．求陰影部分面積．（π=3.14【答案】

8.58【分析】

根據(jù)題意可知扇形的半徑r恰是正方形的對角線，所以r如上圖將左邊的陰影翻轉(zhuǎn)右邊陰影下部，S51.如圖，在3×3方格表中，分別以A、E、F為圓心，半徑為3、2、1，圓心角都是90°的三段圓弧與正方形ABCD的邊界圍成了兩個帶形，那么這兩個帶形的面積之比【答案】

5:3【分析】

如下圖，仔細(xì)觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)帶形S1的面積等于曲邊三角形BCD的面積減去曲邊三角形B所以，S同理可求得帶形S2的面積：帶形S2的面積=曲邊三角形B1CD1的面積-曲邊三角形52.如圖所示，一個半徑為1的圓繞著邊長為4的等邊三角形滾動一周又回到原來的位置時，掃過的面積是多少？（π取3.14）【答案】

36.56【分析】

掃過的面積為三個相同的長方形，加三個相同的圓心角為120度的扇形，長方形總面積2×4×3=24，扇形總面積為12.56，所以，掃過的整個面積是36.56．53.如下圖，直角三角形ABC的兩條直角邊分別為6和7，分別以B、C為圓心，2為半徑畫圓，已知圖中陰影部分的面積是17，那么角A是多少度（【答案】

∠A=60【分析】

S△ABC三角形ABC內(nèi)兩扇形面積和為21-17=4，根據(jù)扇形面積公式兩扇形面積和為∠B+∠C360所以∠B+∠C=120°，54.在圖中，兩個四分之一圓弧的半徑分別是2和4，求兩個陰影部分的面積差．（圓周率取3.14）【答案】

1.42【分析】

看清楚陰影部分如何構(gòu)成則不難求解．左邊的陰影是大扇形減去小扇形，再扣除一個長方形中的不規(guī)則白色部分，而右邊的陰影是長方形扣除這塊不規(guī)則白色部分，那么它們的差應(yīng)為大扇形減去小扇形，再減去長方形．則為：π455.如圖，BD=DC=DA=1．求陰影部分面積． 【答案】

0.6775【分析】

方法一：12 方法二：1256.如圖，一頭山羊被拴在一個邊長為4米的等邊三角形的建筑物的一個頂點處，四周都是空曠，繩長剛好夠山羊走到三角形建筑物外的任一位置，請問：山羊的活動范圍有多少平方米？（建筑外墻不可逾越，山羊身長忽略不計，π取3）【答案】

98【分析】

山羊的活動范圍如圖所示，繩長為6米，面積為30057.如下圖所示，邊長為3的兩個正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC為邊向同側(cè)作等邊三角形，分別以B、C為圓心，BK、CK為半徑畫弧．求陰影部分面積．（π取3.14）【答案】

8.58【分析】

每塊陰影可以算成16158.如圖，正方形邊長為2cm【答案】

4-π【分析】

陰影面積等于正方形的面積減去扇形的面積S=2×2-59.（1）如圖1所示，有一個長是10、寬是6的長方形，那么兩個陰影部分的面積之差為多少．（π取3.14）（2）如圖2所示，三角形ABC是直角三角形，長40厘米，以AB為直徑做半圓，陰影部分①比陰影部分②的面積小28平方厘米．求AC的長度．（π取3.14）【答案】

（1）18.5；（2）32.8【分析】

（1）大塊“陰影+空白”剛好構(gòu)成直角扇形，小塊“陰影+（2）“陰影①+空白”剛好構(gòu)成半圓，“陰影②+空白”剛好構(gòu)成直角三角形，半圓面積為1260.如圖所示，一個半徑為1的圓繞著邊長為4的正方形滾動一周又回到原來的位置，掃過的面積是多少？（π取3.14）【答案】

44.56【分析】

兩個半徑為2的直角扇形+61.平面上有7個大小相同的圓，位置如圖所示．如果每個圓的面積都是10，那么陰影部分的面積是多少？【答案】

20【分析】

題中陰影部分面積可以視為一個完整的圓與6個下圖陰影部分的面積和．而圖形①可以通過割補(bǔ)得到圖形②，而圖形②是一個圓心角為60°的扇形，即1所以，原題圖中陰影部分面積為1個完整圓與6個16圓，即2即原題圖中陰影部分面積為2×10=20.62.正三角形ABC的邊長是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使A點再次落在這條直線上，那么A點在翻滾過程中經(jīng)過的路線總長度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么三角形在滾動過程中掃過的面積是多少平方厘米？（結(jié)果保留π）【答案】

24【分析】

如下圖所示，A點在翻滾過程中經(jīng)過的路線為兩段120°2三角形在滾動過程中掃過的圖形的為兩個120°的扇形加上一個與其相等的正三角形，面積為：π63.（1）如左圖所示，三角形ABC是等腰直角三角形，以AC為直徑畫半圓，以BC為半徑畫扇形．已知AC=BC=10，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）（2）如右圖所示，由一個長方形與兩個直角扇形構(gòu)成，其中陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【答案】

（1）28.5；（2）12.765【分析】

（1）半圓加圓心角是45度的扇形面積之和減去直角三角形面積：12（2）陰影面積為兩個直角扇形面積之和減去長方形面積：1464.下圖中，點P、Q、R是三個半徑都為7厘米的圓之圓心．請問圖中陰影部分的面積為多少平方厘米？（取π=【答案】

77【分析】

通過割補(bǔ)可將一塊陰影變?yōu)?6圓（見右圖），題中陰影部分面積為半圓面積即165.如圖中的三角形都是等腰直角三角形，求各圖中陰影部分的面積．（π取3.14）【答案】

4;4.56;8【分析】

（1）割補(bǔ)法，將右邊的弓形補(bǔ)到左邊，兩塊陰影面積之和恰好為等腰直角三角形面積的一半．即4×4÷2÷2=4．（2）割補(bǔ)法，如圖，將圖中的葉子形從中間分成面積相等的兩個小弓形，陰影部分可拼成一個完整弓形，面積為14（3）割補(bǔ)法，正好是把第二問的過程反過來，把兩個小弓形補(bǔ)到空白部分，陰影部分面積之和正好是等腰直角三角形的面積，即4×4÷2=8．66.如圖，一條直線上放著一個長和寬分別為4cm和3cm的長方形Ⅰ．它的對角線長恰好是5cm．讓這個長方形繞頂點B順時針旋轉(zhuǎn)90°【答案】

6【分析】

因為長方形旋轉(zhuǎn)了三次，所以A點在整個運(yùn)動過程中也走了三段路程（如下圖所示）．這三段路程分別是：第1段是弧AA2×第2段是弧A12×第3段是弧A22×所以A點走過的路程長為：2×67.如圖，正方形邊長為1，正方形的4個頂點和4條邊分別為4個圓的圓心和半徑，求陰影部分面積．（π取3.14）【答案】

7.14【分析】

把中間正方形里面的4個小陰影向外平移，得到如下圖所示的圖形，可見，陰影部分的面積等于四個正方形面積與四個90°S68.如圖，兩個正方形擺放在一起，其中大正方形邊長為12，那么陰影部分面積是多少？（π取3.14）【答案】

陰影部分面積為113.04．【分析】

方法一：設(shè)小正方形的邊長為a，則三角形ABF與梯形ABCD的面積均為(a+12)×a÷2.陰影部分為：大正方形因此陰影部分面積為：3.14×12×12÷4=113.04.方法二：連接AC、DF，設(shè)AF與CD的交點為M，由于四邊形ACDF是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶模型有S△ADMS69.求圖中陰影部分的面積．（π取3.14）【答案】

107【分析】

我們只用將兩個半徑為10厘米的四分之一圓減去空白的①、②部分面積和即可，其中①、②面積相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角邊AB的長度未知．單獨求①部分面積不易，于是我們將①、②部分平移至一起，如下圖所示，則①、②部分變?yōu)橐粋€以AC為直角邊的等腰直角三角形，而AC為四分之一圓的半徑，所以有AC=10．兩個四分之一圓的面積和為2×而①、②部分的面積和為1所以陰影部分的面積為157-50=107(70.如圖，ABCD是平行四邊形，AD=8cm，AB=10cm，∠DAB=30°，高CH=4cm，弧BE、DF分別以AB、CD為半徑，弧DM、BN分別以AD【答案】

5.83【分析】

因為四邊形ABCD是平行四邊形，AD=8cm，AB=10cm，S扇形 S扇形 因為平行四邊形ABCD的高CH=4cm，所以S? 由圖中可看出，扇形EAB與FCD的面積之和，減去平行四邊形ABCD的面積，等于曲邊四邊形DFBE的面積；平行四邊形ABCD的面積減去扇形DAM與扇形BCN的面積，等于曲邊四邊形DMBN的面積．則S==2×=2×2571.左圖是一個直徑是3厘米的半圓，AB是直徑．讓A點不動，把整個半圓逆時針轉(zhuǎn)60°，此時B點移動到C點，如右圖所示．那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（π取3.14【答案】

略【分析】

右圖中陰影部分面積等于以AC為直徑的半圓以及以AC為半徑的60°扇形的面積和減去以AB那么陰影部分的面積等于以AC為半徑的60°6072.如圖，已知扇形BAC的面積是半圓ADB面積的43倍，則角CAB【答案】

60度【分析】

設(shè)半圓ADB的半徑為1，則半圓面積為12π×12=π2，扇形BAC的面積為π2×43=2π73.如圖是一個直徑為3cm的半圓，讓這個半圓以A點為軸沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，此時B點移動到B?點，求陰影部分的面積．（圖中長度單位為cm，圓周率按【答案】

4.5【分析】

面積=圓心角為60°的扇形面積+半圓-空白部分面積（也是半圓）=圓心角為60°的扇形面積74.已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm，BC=2【答案】

3.85【分析】

從圖中可以看出，陰影部分的面積等于兩個半圓的面積和與直角三角形ABC的面積之差，所以陰影部分的面積為：12π×475.如圖所示，一塊半徑為2厘米的圓板，從位置①起始，依次沿線段AB、BC、CD滾到位置②．如果AB、BC、CD的長都是20厘米，那么圓板經(jīng)過區(qū)域的面積是多少平方厘米？（π取3.14，答案保留兩位小數(shù)．）【答案】

228.07【分析】

小圓滾動時所經(jīng)過的區(qū)域如下圖所示．半圓FEQ、半圓JKL的面積之和是4π平方厘米；長方形FGBQ、BHIP、IJLM的面積之和是(18+16+14)×4=192(60°的扇形BGH1PIMNO部分的面積為(12+π)平方厘米．所以總面積為4π+192+76.如圖，一只狗被栓在底座為邊長3米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩長是4米，求狗所能到的地方的總面積？【答案】

43.96平方米．【分析】

如下圖，狗被栓在底座為邊長3米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩長是4米，狗的活動區(qū)域可以分割成三個部分：藍(lán)色部分是一個半徑為4米、圓心角為300度的扇形：360-60=300(紅色部分是兩個同樣的邊長為1米、圓心角為120度的扇形：4-3=1(所以狗能到的地方的總面積為：3.14×4×4×77.如下圖，以O(shè)A為斜邊的直角三角形的面積是24平方厘米，斜邊長10厘米，將它以O(shè)點為中心旋轉(zhuǎn)90°，問：三角形掃過的面積是多少？（π取3【答案】

99平方厘米．【分析】

從圖中可以看出，直角三角形掃過的面積就是圖中圖形的總面積，等于一個三角形的面積與四分之一圓的面積之和．圓的半徑就是直角三角形的斜邊OA．因此可以求得，三角形掃過的面積為：24+78.圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（π取3.14）【答案】

12.765【分析】

如下圖，為了方便說明標(biāo)上字母，并稱曲線四邊形BCFE的面積為“①”．將扇形ABC的面積稱為“大扇形”，扇形CDF的面積稱為“小扇形”，長方形BCDE的面積稱為“長方形”．陰影部分面積所以有陰影部分面積即179.如圖（1）是一個直徑是3厘米的半圓，AB是直徑．如圖（2）所示，讓A點不動，把整個半圓逆時針轉(zhuǎn)60°，此時B點移動到C點．請問：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（π取3.14【答案】

4.71平方厘米【分析】

圖中陰影部分面積為整個圖形面積減去半圓的面積，而整個圖形面積為一個半圓面積與一個圓心角為60°的扇形面積之和．因此陰影面積等于圓心角為60°的扇形面積，即80.如圖，在一個邊長為4的正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個半圓．求陰影部分的面積．【答案】

8．【分析】

陰影部分經(jīng)過切割平移變成了一個面積為正方形一半的長方形，則陰影部分面積為4×4÷2=8．81.一條直線上放著一個長和寬分別為4厘米和3厘米的長方形Ⅰ（如下圖）．讓這個長方形繞頂點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后到達(dá)長方形Ⅱ的位置，這樣連續(xù)做三次，A點到達(dá)E點的位置．求A點經(jīng)過的總路程的長度．（圓周率按3 【答案】

5【分析】

如下圖，A點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的為三段四分之一圓的弧長，其中r1 由勾股定理知：r則r82.草場上有一個長20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊（見下圖）．問：這只羊能夠活動的范圍有多大？（注：π取3.14）【答案】

2512【分析】

如圖所示，羊活動的范圍可以分為A，B，C三部分，其中A是半徑30米的34個圓，B，C分別是半徑為20米和10米的1π83.圖是由一個圓與一個直角扇形重疊組成的，其中圓的直徑與扇形的半徑都是4，陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【答案】

4.56【分析】

如下圖所示，將下圖陰影部分對折，則有：陰影部分面積為：184.如圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【答案】

0.6075【分析】

連接BD，將最左邊的弓形補(bǔ)過來．陰影部分的面積就是平行四邊形BDEC的面積減去扇形的面積，S陰影85.如圖所示，直角三角形ABC的斜邊AB長為10厘米，∠ABC=60°，此時BC長5厘米．以點B為中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)120°，點A、C分別到達(dá)點E、D的位置．求AC邊掃過的圖形即圖中陰影部分的面積．（π【答案】

75平方厘米【分析】

注意分割、平移、補(bǔ)齊．如圖所示，將圖形（1）移補(bǔ)到圖形（2）的位置，因為∠EBD=60°，那么則陰影部分為一圓環(huán)的13所以陰影部分面積為1386.如圖，長方形的長為6厘米，寬為2厘米，圓形的半徑是1厘米，當(dāng)圓形繞長方形滾動一周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？（π取3.14）【答案】

44.56平方厘米．【分析】

掃過的區(qū)域如圖所示，面積為2×2×6+2×2×2+π×87.△ABC為等腰直角三角形，D為半圓中點，BC為半圓直徑．已知AB=BC=10，那么陰影部分面積為多少？（圓周率取3.14） 【答案】

32.125【分析】

設(shè)BC中點為O，連接OD，則OD=5，OB=5，BP:PO=AB:OD=10:5=2:1，BP=5×23=313，PO=OB-BP=5-3陰影部分的面積為162 88.如圖所示，陰影部分的面積為多少？（圓周率取3）【答案】

27【分析】

圖中A、B兩部分的面積分別等于右邊兩幅圖中的A、B的面積．所以SA89.如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓O的半徑為15，AEB是以C為圓心，AC為半徑的圓弧．求陰影部分面積．【答案】

225平方厘米【分析】

陰影部分是個月牙形，不能直接通過面積公式求，那么我們可以把陰影部分看成半圓加上三角形ABC再減去扇形ACB的結(jié)果．半圓面積為12三角形ABC面積為1又因為三角形面積也等于12所以AC那么扇形ACB的面積為90陰影部分面積S90.如圖所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一個邊長為10米的正方形，繩長是20米，那么小狗的活動范圍能有多少平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，π取3）【答案】

1050【分析】

狗的活動范圍如圖所示，分為A、B、C三部分，求面積得：3491.面上有7個大小相同的圓，位置如圖所示．如果每個圓的面積都是10，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【答案】

20【分析】

陰影包括中間的一個圓和周圍六個花瓣狀的小小圖形．這個圖形可以割補(bǔ)成一個頂角為60°的扇形，如下圖所示，因此六個這樣的圖形面積和正好是一個圓：陰影部分的面積等于兩個圓的面積，為2092.求下列各圖中陰影部分的面積（π=3）（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】

（1）4.5（2）4（3）1（4）2（5）1.5（6）4.5【分析】

略93.如圖所示，陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【答案】

4.56【分析】

陰影面積為兩個半圓的面積之和減去直角三角形的面積，兩個半圓的面積之和為12.56，直角三角形的面積是8，所以，陰影面積是4.56．94.在半徑為1的圓內(nèi)，畫13個點，其中任意3點不共線．請證明：一定存在3個點，以它們?yōu)轫旤c的三角形面積小于π6【答案】

略【分析】

證明：將半徑為1的圓八等分，分為六個扇形，每個扇形的面積是π6，根據(jù)抽屜原理，至少有三個點在同—部分中，這三個點組成的三角形不會大于所在的扇形，即π95.一只小狗被拴在一個邊長為4米的正五方形的建筑物的一個頂點處，四周都是空地．繩長剛好夠小狗走到建筑物外的墻邊的任一位置．小狗的活動范圍是多少平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，π取3.14）【答案】

270.04平方米．【分析】

根據(jù)題意，如上圖所示，由對稱性，小狗最遠(yuǎn)活動點是A點，故繩長為10米，所以其活動的范圍是：S96.如圖，三角形ABC為等邊三角形，邊長為2，D為BC邊中點，分別以B,C為圓心，1為半徑作兩個扇形（即圖中陰影部分），那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14，結(jié)果保留2位小數(shù)）【答案】

1.05【分析】

陰影部分是兩個60°的扇形，面積是3.14×97.如圖，等腰直角三角形的一腰的長是8厘米，以它的兩腰為直徑分別畫了兩個半圓，那么陰影部分的面積共有多少平方厘米？（π取3.14）【答案】

18.24【分析】

如下圖，我們將原題中陰影部分分成①、②、③、④4個部分，并且這4個部分的面積相等．有②、③部分的面積和為二分之一圓的面積與其內(nèi)等腰直角三角形的面積差．二分之一圓的面積為1其內(nèi)等腰直角的底為8，高為4，所以其面積為1所以②、③部分的面積和為25.12-16=9.12(而①、②、③、④四部分的面積和為②、③部分的面積和的2倍，即為9.12×2=18.24(所以，原題中陰影部分的面積共有18.24平方厘米．幾何-曲線型幾何-扇形-1星題課程目標(biāo)知識點考試要求具體要求考察頻率扇形B1.了解扇形的特征和有關(guān)概念

2.能夠通過圓的面積和周長公式推導(dǎo)出扇形的面積和弧長公式

3.能夠運(yùn)用公式計算扇形的弧長、面積和周長少考知識提要扇形概念

圓上兩點之間的部分叫做弧。

扇形是指一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

其中，圓的半徑也稱為扇形的半徑，而兩條半徑所形成的夾角稱為扇形的圓心角。

公式

扇形的弧長=n360×2πr

扇形的面積=n360πr2

精選例題扇形1.下圖中，兩個圓心角是90°的扇形蓋在大圓上，小圓蓋在兩個扇形上，它們的圓心都在同一點．如果小圓、大圓、扇形的半徑比是1:3:4，那么陰影圖形面積占整個圖形面積的

%【答案】

32【分析】

設(shè)大圓、小圓、扇形的半徑分別是r、3r、4r．整個商標(biāo)的面積是1陰影部分的面積是1所以，陰影圖形面積占整個商標(biāo)圖形的面積的42.一個邊長為100厘米的正五邊形和五個扇形拼成如圖的“海螺”，那么這個圖形的周長是

厘米（π取3.14）．【答案】

2384【分析】

周長3.如圖，是一個由2個半圓、2個扇形、1個正方形組成的“心型”．已知半圓的直徑為10，那么，“心型”的面積是

．（注：π取3.14）【答案】

257【分析】

圖中圖形面積等于一個正方形加上一個半徑為5的圓，再加上一個半徑為10的1410×10+4.分別以一個邊長為2厘米的等邊三角形的三個頂點為圓心，以2厘米為半徑畫弧，得到下圖．那么，陰影圖形的周長是

厘米．（π取3.14）【答案】

12.56【分析】

圖形周長由6段弧組成，每段弧對應(yīng)的圓心角為60°2×3.14×2=12.56(厘米)5.如下圖所示，梯形ABCD中的兩個陰影部分的面積相等，DE=1厘米，∠A=∠B=45°，則CD=

厘米．（其中π取【答案】

0.57【分析】

由于兩個陰影部分面積相等，可知扇形面積為梯形面積的一半，又知道扇形面積為18×π×(12+12求得CD的長為π26.半徑為10、20、30的三個扇形如下圖放置，S2是S1的【答案】

5【分析】

三個扇形的半徑比為1:2:3，則面積比為1:4:9，所以答案為(9-4)÷1=5倍．7.如下圖所示，已知圓心是O，半徑r=9厘米，∠1=∠2=15°，那么陰影部分的面積是

平方厘米．（【答案】

42.39【分析】

因為圓的半徑都相等，于是OA=OB．在等腰三角形AOB中兩個底角都是15°．又知道三角形內(nèi)角之和是180°，所以，三角形AOB的頂角∠AOB=180°-(15°+158.如下圖所示，一個14圓中有一個正方形，陰影正方形的面積是16，那么圖中的扇形面積是

．（π取3【答案】

30【分析】

給圖中標(biāo)上字母，如下圖所示，由于陰影正方形的面積為16，則邊長為4，OC=CH=ED=2,OD=2+4=6，根據(jù)勾股定理，可知扇形的半徑滿足：r所以圖中扇形的面積為：19.如下圖所示，ABCD是邊長為10厘米的正方形，且AB是半圓的直徑，則陰影部分的面積是

平方厘米．（π取3.14）【答案】

17.875【分析】

如下圖所示，連接DB，陰影部分的面積的2倍相當(dāng)于$$\text{正方形面積}-\text{三角形$DOC$的面積}-\text{半圓面積},$$所以該面積=(10×10-10×10÷4-3.14×5×5÷2)÷2=17.875(平方厘米)10.（1）求下列各圖的周長和面積各是多少？（用含π的式子表示）（2）已知一個扇形面積為18.84平方厘米，圓心角為60°，這個扇形的半徑和周長是多少？（π取3.14【答案】

（1）5π+10，1212π，712（2）6厘米，18.28厘米．【分析】

（1）半圓的周長2×面積π342×面積π132×面積π（2）由于：16πr11.如圖所示，圖中是一個正六邊形，每個角上有一個半徑是10厘米的扇形，六扇形面積總和是多少？（π取3.14）【答案】

628平方厘米．【分析】

扇形面積公式S扇=nπR12.如下圖，直角三角形ABC的兩條直角邊分別為6和7，分別以B、C為圓心，2為半徑畫圓，已知圖中陰影部分的面積是17，那么角A是多少度（【答案】

∠A=60【分析】

S△ABC三角形ABC內(nèi)兩扇形面積和為21-17=4，根據(jù)扇形面積公式兩扇形面積和為∠B+∠C360所以∠B+∠C=120°，13.如下圖所示，為一個半圓和一個扇形，扇形的半徑是半圓的直徑，空白部分與陰影部分面積哪個大？ 【答案】

一樣大．【分析】

記半圓的半徑為1，半圓的面積為12π，扇形的半徑為2，面積為 空白與陰影的面積1214.下圖中五個相同的圓的圓心連線構(gòu)成一個邊長為10厘米的正五邊形．求五邊形內(nèi)陰影部分的面積．（π=3.14【答案】

117.75平方厘米【分析】

我們用兩條線將五邊形分成了三個三角形，如下圖所示，可以看出，這個五邊形的五個角的度數(shù)和是180×3=540°,540÷360=1.5倍，即陰影部分面積相當(dāng)于1.5個半徑為515.如圖，在一個邊長為4的正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個半圓．求陰影部分的面積．【答案】

8．【分析】

陰影部分經(jīng)過切割平移變成了一個面積為正方形一半的長方形，則陰影部分面積為4×4÷2=8．16.如圖中扇形的半徑OA=OB=6厘米，∠AOB=45°，AC垂直O(jiān)B于C，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（【答案】

5.13平方厘米【分析】

陰影部分面積為：4517.如下圖所示，邊長為3的兩個正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC為邊向同側(cè)作等邊三角形，分別以B、C為圓心，BK、CK為半徑畫弧．求陰影部分面積．（π取3.14）【答案】

8.58【分析】

每塊陰影可以算成16118.圖中正方形的邊長是4厘米，圓形的半徑是1厘米．當(dāng)圓形繞正方形滾動一周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？（π取3.14）【答案】

44.56平方厘米．【分析】

掃過的區(qū)域如圖中陰影所示，由兩類圖形組成：4個長為4厘米、寬為2厘米的長方形，4塊半徑為2厘米、圓心角為90°4×2×4+π×19.如圖所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一個邊長為10米的正方形，繩長是20米，那么小狗的活動范圍能有多少平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，π取3）【答案】

1050【分析】

狗的活動范圍如圖所示，分為A、B、C三部分，求面積得：3420.如圖所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一個邊長為2米的等邊三角形，繩長是3米，那么小狗的活動范圍是多少？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，π取3）【答案】

24.5【分析】

首先畫出小狗活動的范圍，然后把活動范圍分成幾個扇形來求解，30036021.如圖，求各圖形中陰影部分的面積．（圖中長度單位為厘米，π取3.14）【答案】

（1）4.5平方厘米；（2）1平方厘米．【分析】

（1）將右邊四分之一圓的陰影部分鏡像到左邊四分之一圓，陰影部分的面積為：3×3÷2=4.5（2）將右圖的四分之一圓左移，則為一個正方形，面積為：1×1=122.如圖，BD=DC=DA=1．求陰影部分面積． 【答案】

0.6775【分析】

方法一：12 方法二：1223.如圖，正方形ABCD邊長分別為1厘米，依次以A,B,C,D為圓心，以AD,BE,CF,DG為半徑畫出四個直角扇形，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【答案】

23.55平方厘米．【分析】

陰影部分的面積是3.14×24.如圖，長方形的長為6厘米，寬為2厘米，圓形的半徑是1厘米，當(dāng)圓形繞長方形滾動一周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？（π取3.14）【答案】

44.56平方厘米．【分析】

掃過的區(qū)域如圖所示，面積為2×2×6+2×2×2+π×25.圓的半徑是9cm，圓心角為120【答案】

周長：36.84cm；面積【分析】

圓心角120°面積周長26.如圖，正方形邊長為2cm【答案】

4-π【分析】

陰影面積等于正方形的面積減去扇形的面積S=2×2-27.如圖所示，陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【答案】

4.56【分析】

陰影面積為兩個半圓的面積之和減去直角三角形的面積，兩個半圓的面積之和為12.56，直角三角形的面積是8，所以，陰影面積是4.56．28.下圖中正方形ABCD及DCEG的面積均為64平方厘米，EFG則為一半圓，F(xiàn)是弧EFG的中點．請問陰影部分的面積為多少平方厘米？（取π=3.14【答案】

36.56【分析】

如下圖所示，正方形邊長為8厘米，連接GF，陰影部分面積=129.如圖，三角形ABC為等邊三角形，邊長為2，D為BC邊中點，分別以B,C為圓心，1為半徑作兩個扇形（即圖中陰影部分），那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14，結(jié)果保留2位小數(shù)）【答案】

1.05【分析】

陰影部分是兩個60°的扇形，面積是3.14×30.一只狗被拴在底座為邊長3m的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩長是4m，求狗所能到的地方的總面積．（π取【答案】

43.96m【分析】

如圖所示，狗活動的范圍是一個半徑4m，圓心角300°的扇形與兩個半徑1m30031.草場上有一個長20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊（見下圖）．問：這只羊能夠活動的范圍有多大？（注：π取3.14）【答案】

2512【分析】

如圖所示，羊活動的范圍可以分為A，B，C三部分，其中A是半徑30米的34個圓，B，C分別是半徑為20米和10米的1π32.下圖中，點P、Q、R是三個半徑都為7厘米的圓之圓心．請問圖中陰影部分的面積為多少平方厘米？（取π=【答案】

77【分析】

通過割補(bǔ)可將一塊陰影變?yōu)?6圓（見右圖），題中陰影部分面積為半圓面積即133.（1）如圖1所示，有一個長是10、寬是6的長方形，那么兩個陰影部分的面積之差為多少．（π取3.14）（2）如圖2所示，三角形ABC是直角三角形，長40厘米，以AB為直徑做半圓，陰影部分①比陰影部分②的面積小28平方厘米．求AC的長度．（π取3.14）【答案】

（1）18.5；（2）32.8【分析】

（1）大塊“陰影+空白”剛好構(gòu)成直角扇形，小塊“陰影+（2）“陰影①+空白”剛好構(gòu)成半圓，“陰影②+空白”剛好構(gòu)成直角三角形，半圓面積為1234.如圖所示，扇形AOB的圓心角是90度，半徑是2，C是弧AB的中點．求兩個陰影部分的面積差．（π取3.14）【答案】

0【分析】

兩個陰影分別加上下部的空白部分可得到扇形和半圓，而扇形和半圓面積相等，所以，面積之差是0．35.如圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【答案】

0.6075【分析】

連接BD，將最左邊的弓形補(bǔ)過來．陰影部分的面積就是平行四邊形BDEC的面積減去扇形的面積，S陰影36.（1）如左圖所示，三角形ABC是等腰直角三角形，以AC為直徑畫半圓，以BC為半徑畫扇形．已知AC=BC=10，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）（2）如右圖所示，由一個長方形與兩個直角扇形構(gòu)成，其中陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【答案】

（1）28.5；（2）12.765【分析】

（1）半圓加圓心角是45度的扇形面積之和減去直角三角形面積：12（2）陰影面積為兩個直角扇形面積之和減去長方形面積：1437.有一飛鏢形建筑物ABCD，其各邊之長度如下圖所示，AB=60米、BC=70米、CD=40米、AD=30米，并且已知∠ADC=90°．在其外圍擬建一條步道，使得此步道的外緣距離建筑物之最近距離都保持5米．請問沿著此步道之外緣繞一圈共需走多少米？（取【答案】

229.25【分析】

可知步道可分為直線段與圓弧段，直線段之長度和為60+70+(30-5)+(40-5)=190(米)．而三個圓弧的角度和為360所以三個圓弧段的長度和為2×5×3.14×450°36038.如圖，正方形的邊長是2厘米，圓形的半徑是1厘米，當(dāng)圓形繞正方形滾動一周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？（π取3.14）【答案】

28.56平方厘米．【分析】

掃過的區(qū)域如圖所示，正方形的邊長是2厘米，四個正方形的面積之和是16平方厘米，四個扇形正好可以拼成一個半徑為2厘米的圓，圓的面積是12.56平方厘米，最后的結(jié)果是28.56平方厘米．39.在下圖中，AC為圓O的直徑，三角形ABC為等腰直角三角形，其中∠C=90°．以B為圓心，BC為半徑作弧CD交線段AB于D點．若AC=10厘米，試求下圖中陰影部分面積之和．（令【答案】

62.5平方厘米【分析】

陰影部分面積為圓加扇形減三角形，陰影面積為：π幾何-曲線型幾何-扇形-2星題課程目標(biāo)知識點考試要求具體要求考察頻率扇形B1.了解扇形的特征和有關(guān)概念

2.能夠通過圓的面積和周長公式推導(dǎo)出扇形的面積和弧長公式

3.能夠運(yùn)用公式計算扇形的弧長、面積和周長少考知識提要扇形概念

圓上兩點之間的部分叫做弧。

扇形是指一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

其中，圓的半徑也稱為扇形的半徑，而兩條半徑所形成的夾角稱為扇形的圓心角。

公式

扇形的弧長=n360×2πr

扇形的面積=n360πr2

精選例題扇形1.如圖，是一個由2個半圓、2個扇形、1個正方形組成的“心型”．已知半圓的直徑為10，那么，“心型”的面積是

．（注：π取3.14）【答案】

257【分析】

圖中圖形面積等于一個正方形加上一個半徑為5的圓，再加上一個半徑為10的1410×10+2.一個邊長為100厘米的正五邊形和五個扇形拼成如圖的“海螺”，那么這個圖形的周長是

厘米（π取3.14）．【答案】

2384【分析】

周長3.半徑為10、20、30的三個扇形如下圖放置，S2是S1的【答案】

5【分析】

三個扇形的半徑比為1:2:3，則面積比為1:4:9，所以答案為(9-4)÷1=5倍．4.如下圖所示，已知圓心是O，半徑r=9厘米，∠1=∠2=15°，那么陰影部分的面積是

平方厘米．（【答案】

42.39【分析】

因為圓的半徑都相等，于是OA=OB．在等腰三角形AOB中兩個底角都是15°．又知道三角形內(nèi)角之和是180°，所以，三角形AOB的頂角∠AOB=180°-(15°+155.分別以一個邊長為2厘米的等邊三角形的三個頂點為圓心，以2厘米為半徑畫弧，得到下圖．那么，陰影圖形的周長是

厘米．（π取3.14）【答案】

12.56【分析】

圖形周長由6段弧組成，每段弧對應(yīng)的圓心角為60°2×3.14×2=12.56(厘米)6.如圖，分別以長方形的一條長邊的兩個頂點為圓心，以長方形的寬為半徑作14圓，若圖中的兩個陰影部分的面積相等，則此長方形的長與寬的比值是

【答案】

π:2【分析】

因為S2=SS與長方形面積相等．所以設(shè)長為a，寬為b，1πb=2a,a:b=π:2.7.下圖中，兩個圓心角是90°的扇形蓋在大圓上，小圓蓋在兩個扇形上，它們的圓心都在同一點．如果小圓、大圓、扇形的半徑比是1:3:4，那么陰影圖形面積占整個圖形面積的

%【答案】

32【分析】

設(shè)大圓、小圓、扇形的半徑分別是r、3r、4r．整個商標(biāo)的面積是1陰影部分的面積是1所以，陰影圖形面積占整個商標(biāo)圖形的面積的48.如圖，△ABC是一個等腰直角三角形，直角邊的長度是1米．現(xiàn)在以C點為圓心，把三角形ABC順時針轉(zhuǎn)90度，那么，AB邊在旋轉(zhuǎn)時所掃過的面積是

平方米．（π≈3.14【答案】

0.6775【分析】

如圖，順時針旋轉(zhuǎn)后，A點沿弧AA?轉(zhuǎn)到A?點，B點沿弧BB?轉(zhuǎn)到B?點，D點沿弧DD?轉(zhuǎn)到D?點．因為CD是C點到AB的最短線段，所以AB掃過的面積就是圖中的弧A?AB與BDD?A?之間的陰影圖形．SSS所以，S我們推知S9.如圖，邊長為12米的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A，B，C，D處各有一根木樁，且AB=BC=CD=3米．現(xiàn)用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上（不計打結(jié)處）．為使羊在草地上活動區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在

處的木樁上． 【答案】

C【分析】

在A點時活動區(qū)域的面積是一個半徑為4米的半圓，即1 在B、D點時活動區(qū)域的面積都是一個半徑為4米的半圓加一個14半徑為11 在C點時活動區(qū)域的面積是34個半徑為43 綜上所述，拴在C處的木樁上時活動范圍最大．10.如下圖所示，平行四邊形的長邊是6，短邊是3，高為2.6，則陰影部分的面積為

．（π取3.14）【答案】

15.9【分析】

根據(jù)容斥的思想，陰影的一半所以陰影面積為：111.如圖，分別以B，C為圓心的兩個半圓的半徑都是1厘米，則陰影部分的周長是

厘米．（π取3）【答案】

3【分析】

BE，BC，CE均為圓的半徑，所以△BCE等邊三角形，每個角均為60度，所以陰影部分的兩段圓弧均為60度的扇形所對應(yīng)的圓弧，所以周長為6012.如下圖所示，AB是半圓的直徑，O是圓心，AC=CD=DB，M是CD的中點，H是弦CD的中點．若N是OB上一點，半圓的面積等于 【答案】

2【分析】

連接OC、OD、OH，由于C、D是半圓的兩個三等分點M是CD的中點，H是弦CD的中點，可見這個圖形是對稱的．由對稱性可知CD與AB平行，由此可得：△CHN的面積與△CHO的面積相等，所以，陰影部分面積等于扇形COD面積的一半，而扇形COD的面積又等于半圓面積的13，所以，陰影部分面積等于半圓面積的16，為13.如下圖所示，ABCD是邊長為10厘米的正方形，且AB是半圓的直徑，則陰影部分的面積是

平方厘米．（π取3.14）【答案】

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