拋物線考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.拋物線y=ax^2+bx+c的開口方向由下列哪個系數決定？

A.a

B.b

C.c

D.a+b

2.拋物線y=x^2-4x+3的頂點坐標是：

A.(1,-2)

B.(2,-1)

C.(3,0)

D.(4,-3)

3.拋物線y=-x^2+6x-9的對稱軸方程是：

A.x=3

B.y=3

C.x=-3

D.y=-3

4.拋物線y=2x^2-4x+1與x軸的交點個數是：

A.1

B.2

C.3

D.4

5.拋物線y=-x^2+4x+3的頂點坐標是：

A.(1,4)

B.(2,3)

C.(3,2)

D.(4,1)

二、填空題（每題4分，共20分）

1.拋物線y=x^2-6x+9的頂點坐標是______。

2.拋物線y=-2x^2+8x-3的對稱軸方程是______。

3.拋物線y=x^2-4x-5的頂點坐標是______。

4.拋物線y=-3x^2+12x-9的對稱軸方程是______。

5.拋物線y=2x^2-4x+1與x軸的交點坐標是______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.已知拋物線y=x^2-6x+9，求它的頂點坐標、對稱軸方程和與x軸的交點坐標。

2.已知拋物線y=-2x^2+8x-3，求它的頂點坐標、對稱軸方程和與x軸的交點坐標。

3.已知拋物線y=x^2-4x-5，求它的頂點坐標、對稱軸方程和與x軸的交點坐標。

四、應用題（每題10分，共20分）

1.一座橋的形狀近似于拋物線，其方程為y=-0.0002x^2+0.1x。若橋的寬度為10米，求橋的最大跨度。

2.一輛汽車以60km/h的速度行駛，剎車后做勻減速直線運動，其運動方程為s=40t-0.5t^2（s為位移，t為時間）。求汽車剎車后滑行的最遠距離。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：拋物線y=ax^2+bx+c的頂點坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。

2.證明：拋物線y=ax^2+bx+c的對稱軸方程為x=-b/2a。

六、綜合題（每題10分，共20分）

1.已知拋物線y=x^2-4x+4與直線y=2x+b相交于點A和B，求直線AB的方程。

2.拋物線y=-x^2+2x+1與x軸相交于點A和B，求線段AB的中點坐標。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.A解析：拋物線的開口方向由系數a決定，當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下。

2.A解析：拋物線的頂點坐標可以通過配方法或者公式直接求得，即頂點坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。將題目中的系數代入公式，得到頂點坐標為(1,-2)。

3.A解析：拋物線的對稱軸方程為x=-b/2a。將題目中的系數代入公式，得到對稱軸方程為x=3。

4.B解析：拋物線與x軸的交點個數由判別式Δ=b^2-4ac決定，當Δ>0時，有兩個交點；當Δ=0時，有一個交點；當Δ<0時，沒有交點。將題目中的系數代入判別式，得到Δ=16-4*2*1=8>0，因此有兩個交點。

5.B解析：拋物線的頂點坐標可以通過配方法或者公式直接求得，即頂點坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。將題目中的系數代入公式，得到頂點坐標為(2,3)。

二、填空題答案及解析：

1.(3,0)解析：拋物線y=x^2-6x+9可以寫成完全平方的形式，即(y-9)=(x-3)^2，因此頂點坐標為(3,0)。

2.x=2解析：拋物線y=-2x^2+8x-3的對稱軸方程為x=-b/2a，將題目中的系數代入公式，得到對稱軸方程為x=2。

3.(2,-1)解析：拋物線y=x^2-4x-5可以寫成完全平方的形式，即(y+1)=(x-2)^2，因此頂點坐標為(2,-1)。

4.x=3解析：拋物線y=-3x^2+12x-9的對稱軸方程為x=-b/2a，將題目中的系數代入公式，得到對稱軸方程為x=3。

5.(1,0)和(3,0)解析：拋物線y=2x^2-4x+1與x軸的交點坐標可以通過令y=0解方程得到，即2x^2-4x+1=0，解得x=1和x=3，因此交點坐標為(1,0)和(3,0)。

三、解答題答案及解析：

1.頂點坐標為(3,0)，對稱軸方程為x=3，與x軸的交點坐標為(2,0)和(4,0)。

2.頂點坐標為(2,3)，對稱軸方程為x=2，與x軸的交點坐標為(1,0)和(3,0)。

3.頂點坐標為(2,-1)，對稱軸方程為x=2，與x軸的交點坐標為(1,0)和(3,0)。

四、應用題答案及解析：

1.橋的最大跨度為10米。解析：拋物線的頂點坐標為(0,0)，因此橋的最大跨度即為橋的寬度，為10米。

2.汽車剎車后滑行的最遠距離為40米。解析：將運動方程s=40t-0.5t^2中的s設為0，解得t=40秒，即汽車剎車后滑行的時間為40秒，代入運動方程計算滑行的距離，得到s=40*40-0.5*40^2=1600-800=800米，因此汽車剎車后滑行的最遠距離為800米。

五、證明題答案及解析：

1.證明：拋物線y=ax^2+bx+c的頂點坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。解析：將拋物線方程轉換為頂點形式，即y=a(x-h)^2+k，其中h=-b/2a，k=c-b^2/4a，因此頂點坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。

2.證明：拋物線y=ax^2+bx+c的對稱軸方程為x=-b/2a。解析：拋物線的對稱軸是垂直于x軸的直線，且通過頂點，因此對稱軸的方程可以表示為x=h，其中h為頂點的x坐標，即h=-b/2a，因此對稱軸方程為x=-b/2a。

六、綜合題答案及解析：

1.直線AB的方程為y=2x+1。解析：將拋物線方程y=x^2-4x+4與直線方程y=2x+b聯立，得到x^2-6x+4-b=0，由于拋物線與直線有兩個交點，因此判別式Δ=36-4(4-b)=0，解得b=1，因此直線AB的方程為y=2x+1。