2024-2025學年湖南省長沙市開福區長雅中學九年級（下）入學數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在0，?2，?3，π四個數中，最大的數是(

)A.?2 B.0 C.π D.?2.在下列幾何體中，主視圖、左視圖和俯視圖形狀都相同的是(

)A. B. C. D.3.已知某新型感冒病毒的直徑約為0.000000823米，將0.000000823用科學記數法表示為(

)A.82.3×10?8 B.8.23×10?7 C.4.下列式子運算正確的是(

)A.x3+x2=x5 B.5.在一次中學生田徑運動會上，參加跳遠的15名運動員的成績如下表所示成績(米)4.504.604.654.704.754.80人數232341則這些運動員成績的中位數、眾數分別是(

)A.4.65、4.70 B.4.65、4.75 C.4.70、4.75 D.4.70、4.706.不等式組1?3x≤73x<?15的解集在數軸上表示正確的是(

)A. B.

C. D.7.如圖，△ABC繞點C按順時針旋轉30°到△DEC，若點A恰好在DE上，則∠BAC的度數為(

)A.15°

B.55°

C.65°8.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，連接OB，OD，BD，若∠C=110°，則∠BOD=(

)A.130°

B.120°

C.125°

9.《孫子算經》是我國古代著名的數學典籍，其中有一道題：“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩度之，不足一尺.木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設木長x尺，繩子長y尺，則可以列出的方程組為(

)A.y?x=4.5x?0.5y=1 B.y?x=4.5x+0.5y=1 C.x+y=4.5x?y=110.如圖，點A在反比例函數y=12x的圖象上，點B在反比例函數y=4x的圖象上，AB//y軸，交x軸于點C，連結OA，取OA的中點D，連結BD，則△ADB(陰影部分)的面積為A.16

B.8

C.4

D.2二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.分解因式：x2?9=______.12.分式2x3?x有意義，則x的取值范圍是______.13.已知正多邊形的一個外角等于40°，則這個正多邊形的內角和的度數為_____.14.如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，若DE//BC，ADDB=23，DE=6cm，則BC的長為______

15.若二次函數y=x2+bx?5的對稱軸為直線x=2，則關于x的方程x216.如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別過點A、B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點；②作直線PQ交AB于點D；③以點D為圓心，AD長為半徑畫弧交PQ于點M，連接AM、BM.若AB=22，則AM的長為______

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題6分)

計算：(18.(本小題6分)

先化簡，再求值：(1?1a+219.(本小題6分)

春天是放風箏的好季節，如圖，張同學在園林生態園B處放風箏，風箏位于A處，風箏線AB長為50m，從B處看風箏的仰角為37°，張同學的妹妹從C處看風箏的仰角為60°(A,B,C三點位于同一平面).

(1)風箏離地面多少米？

(2)張同學和妹妹的直線距離BC是多少米？(結果精確到0.1，參考數據：sin37°≈0.6，cos3720.(本小題8分)

整理錯題是一種優秀的學習習慣和學習方法，為此某校教務處就這項優秀的學習習慣對部分九年級學生進行了問卷調查.設計的調查問題：對自己做錯的題目進行整理、分析、改正情況；答案選項為：A、很少，B、有時，C、常常，D、總是.將調查結果的數據進行了整理、繪制成部分統計圖：

請根據圖中信息，解答下列問題：

(1)求a、b的值及“常常”所對應扇形的圓心角度數；

(2)請你補全條形統計圖；

(3)為了共同進步，王老師從被調查的A類和D類學生中各選出兩人，再從四人中選取兩位學生進行“一幫一”互助學習，請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位學生恰好組合成功(即“很少”和“總是”的兩人為一組)的概率.21.(本小題8分)

在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在CD邊上，DF=EB，連接AF，BF.

(1)求證：四邊形BFDE是矩形；

(2)若AF平分∠DAB，DE=8，AE=6，求矩形BFDE的面積．22.(本小題9分)

綜合與實踐：

問題情境

小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價x與日銷售量y情況，記錄如下：售價(元/盆)日銷售量(盆)A2050B3030C1854D2246E2638數據整理：

(1)請將以上調查數據按照一定順序重新整理，填寫在下表中：售價(元/盆)______________________________日銷售量(盆)______________________________模型建立

(2)分析數據的變化規律，探究出日銷售量y與售價x之間的關系式.

拓廣應用

(3)根據以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中.

①要想每天獲得400元的利潤，應如何定價？

②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？23.(本小題9分)

如圖，AB為⊙O的直徑，D為BA延長線上一點，過點D作⊙O的切線，切點為C，過點B作BE⊥DC交DC的延長線于點E，連接BC.

(1)求證：BC平分∠DBE；

(2)求證：BC2=AB?BE；

(3)若BC=4524.(本小題10分)

新定義：如果實數m，n滿足m?n=?2時，則稱P(m,n)為“立足點”，稱Q(m?1,5?n)為“制高點”，例如，P(1,3)是“立足點”，Q(0,2)是“制高點”.

(1)求正比例函數y=x圖象上“制高點”的坐標；

(2)已知點D(x1,y1)，E(x2,y2)是拋物線y=ax2+(2b?1)x+3c+2上的“制高點”，若a+b+c=0，且a>2b>3c，求|x1?x2|的取值范圍；

(3)若點A25.(本小題10分)

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，M為OB上一點，過M作CD⊥AB，N為弧AC上一動點，連接NC、NB、ND，NB交CD與P.

(1)當M為OB中點時，求證以O、C、B、D為頂點的四邊形是菱形.

(2)當NC⊥CD時，設NB的長為3x，y=AM?AB，求y與x的關系式.

(3)在(2)的條件下，△PBC=S1，△PBM=S2，△NPC=S3，自然數p、t滿足以下關系，S

參考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.C

6.D

7.D

8.D

9.A

10.D

11.(x+3)(x?3)

12.x≠3

13.1260°14.15

15.x1=2，16.2

17.解：原式=4?1+2×12+18.解：原式=a+2?1a+2?a(a+2)(a+1)(a?1)

=a+1a+2?19.解：(1)過點A作AD⊥BC于點D，如圖所示：

∵sin37°=ADAB，

∴AD=AB×sin37°≈50×0.6=30(m)，

答：風箏離地面30米．

(2)由(1)得，AD=30m，

∵tan37°=ADBD，

∴BD=ADtan37°≈300.75=40(m)20.解：(1)調查的總人數為：44÷22%=200(人)，

a=24÷200=12%，

b=72÷200=36%，

“常常”對應扇形的圓心角度數為360°×30%=108°；

(2)“常常”的人數有：200×30%=60(人)，

補全條形統計圖如圖所示：

(3)畫樹狀圖如下：(或列表都得分)

共有12種等可能得情況數，其中所選兩位學生恰好組合成功的有8種，則所選兩位同學恰好組合成功(即“很少”和“總是”的兩人為一組)的概率為21.(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DF//EB，

又∵DF=EB，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四邊形BFDE是矩形；

(2)解：∵DE⊥AB，DE=8，AE=6，

∴AD=AE2+DE2=62+82=10，

∵AF平分∠DAB，DC//AB，

∴∠DAF=∠FAB，∠DFA=∠FAB，

∴∠DAF=∠DFA22.解：(1)根據銷售單價從小到大排列得下表：售價(元/盆)1820222630日銷售量(盆)5450463830故答案為：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；

(2)觀察表格可知銷售量是售價的一次函數；

設銷售量為y盆，售價為x元，y=kx+b，

把(18,54)，(20,50)代入得：

18k+b=5420k+b=50，

解得：k=?2b=90，

∴y=?2x+90；

(3)①∵每天獲得400元的利潤，

∴(x?15)(?2x+90)=400，

解得x=25或x=35，

∴要想每天獲得400元的利潤，定價為25元或35元；

②設每天獲得的利潤為w元．

根據題意得：w=(x?15)(?2x+90)=?2x2+120x?1350=?2(x?30)2+450，

∵?2<0，

∴當x=30時，w取最大值450，

∴售價定為30元時，每天能夠獲得最大利潤450元．

23.(1)證明：連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥DE，

∵DE⊥BE，

∴OC//BE，

∴∠EBC=∠OCB，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OBC=∠EBC，

∴BC平分∠DBE.

(2)證明：連接AC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵BE⊥CD，

∴∠BED=90°，

∴△ABC～△CBE，

∴BEBC=BCAB，

∴BC2=AB?BE.

(3)解：設⊙O的半徑為r，

∵tanD=34=COCD=rCD，

∴CD=43r，

∴DO=CD2+CO224.解：(1)設正比例函數y=x圖象上“制高點”的坐標為(m?1,5?n)，

根據題意得m?n=2m?1=5?n，

解得：m=2n=4，

∴正比例函數y=x圖象上“制高點”的坐標為(1,1)；

(2)∵a+b+c=0，且a>2b>3c，

∴a>0，c<0，b=?(a+c)，

∴ax2+(2b?1)x+3c+2=?x+2，

∴ax2+2bx+3c=0，

則x1+x2=?2ba，x1x2=3ca，

則|x1?x2|=(x1+x2)2?4x1x2=4×(ca)2?4×ca+4，

由a>2b=?2(a+c)，得ca>?32，

由2b=?2(a+c)>3c，得ca<?25，

∴?32<ca<?25，

設函數m=4(ca)2?4(ca)+4=4(ca?12)2+3，

當?32<ca<?25時，函數m的值隨自變量的增大而減少，

當ca=?25，m=15625，

當ca=?32，m=19，

即2395<|x1?x2|<19；

(3)設點A的坐標為(m,n)，根據題意得m?n=?2n=km，

整理得m2+2m?k=0，

∵點A是反比例函數唯一“立足點”，

∴Δ=22?4(?k)=0，

解得k=?1，

∴反比例函數的解析式為y=?1x，

當k=?1時，m2+2m+1=0，

解得m1=m2=?1，

∴n=km=1，

∴點A的坐標為(?1,1)，

設點B(m?1,5?n)25.(1)證明：如圖，連接OC，BD，

∵AB為直徑，CD⊥AB，

∴CM=DM，

∵M是OB中點，

∴OM=BM，

∵四邊形ODBC為平行四邊形，

∵CD⊥AB，

∵平行四邊形ODBC為菱形．

(2)解：連接AN，如圖，

∵CN⊥CD，CD⊥AB，

∴CN//AB，

∴∠NCA=∠BAC，

∴CB=AN，

又∵AB為直徑，

∴∠ACB=∠ANB=90°，

又∵AB=BA，

∴Rt△ACB≌Rt△BNA(HL)，

∴AC=BN，

∵∠AMC=∠ACB=90°，∠CAM=∠BAC，

∴△CAM∽△