第1頁(yè)（共3頁(yè)）2025年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末模擬試卷及答案（共七套）（理科）2025年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末模擬試卷及答案（一）（理科）一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．向量，且∥，則銳角α的余弦值為（）A． B． C． D．2．=（）A．﹣ B．﹣ C． D．3．函數(shù)f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx（x∈R）的最小正周期為（）A． B．π4 C．π8 D．π4．在△ABC中，acos2+ccos2=b，則（）A．a(chǎn)，b，c依次成等差數(shù)列B．b，a，c依次成等差數(shù)列C．a(chǎn)，c，b依次成等差數(shù)列D．a(chǎn)，b，c既成等差數(shù)列，也成等比數(shù)列5．已知{an}為等差數(shù)列，若a1+a5+a9=8π，則cos（a3+a7）的值為（）A． B． C． D．6．函數(shù)y=log2x+logx2x的值域?yàn)椋ǎ〢．（﹣∞，﹣1] B．[3，+∞） C．[﹣1，3] D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）7．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖示，則將y=f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象解析式為（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+） D．y=sin（2x﹣）8．《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄，問(wèn)織幾何．”其意思為：有個(gè)女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織五尺，最后一天織一尺，三十天織完，問(wèn)三十天共織布（）A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)Q（1，1）的直線l與曲線C：y=交于點(diǎn)M，N，則?﹣?=（）A．2 B． C．4 D．10．已知、為平面向量，若+與的夾角為，+與的夾角為，則=（）A． B． C． D．11．在斜三角形ABC中，sinA=﹣cosBcosC且tanB?tanC=1﹣，則∠A的值為（）A． B． C． D．12．已知不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，點(diǎn)O（0，0），A（1，0）．若點(diǎn)M是D上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．二．填空題：本大題共4小題，每小題5分13．已知向量夾角為45°，且，則=．14．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5=3π，則sin（log3a1+log3a2+…+log3a7）的值為．15．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2=4，S10=110，則的最小值為．16．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b（tanA+tanB）=ctanB，BC邊的中線長(zhǎng)為1，則a的最小值為．三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．如圖，平面四邊形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ）∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面積S．18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且+=．（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．19．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：xx1x2x3ωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）+B00﹣0（Ⅰ）請(qǐng)求出上表中的xl，x2，x3，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式．（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x釉向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g（x），若函數(shù)g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4））上的值域?yàn)閇﹣，]，且此時(shí)其圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為P，Q，求與夾角θ的大小．20．已知函數(shù)f（x）=sin（x﹣）+．（1）若x∈[0，]，f（x）=，求cosx的值；（2）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿足2bcosA≤2c﹣a，求f（B）的取值范圍．21．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=8，公比為q（q≠1），Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．（1）若S3，2S4，3S5成等差數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式an；（2）令bn=log2an，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若T3是數(shù)列{Tn}中的唯一最大項(xiàng)，求的q的取值范圍．22．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足且a2，a5，a14恰好是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意的n∈N*，（T）k≥3n﹣6恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

參考答案與試題解析一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．向量，且∥，則銳角α的余弦值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；平行向量與共線向量．【分析】根據(jù)平行向量滿足的條件列出關(guān)系式，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值即可．【解答】解：∵=（，tanα），=（cosα，1），∥，∴cosαtanα=sinα=，∵α為銳角，∴cosα==．故選D2．=（）A．﹣ B．﹣ C． D．【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角差的正弦即可求值．【解答】解：原式====．故選：D．3．函數(shù)f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx（x∈R）的最小正周期為（）A． B．π4 C．π8 D．π【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】把函數(shù)f（x）的解析式利用二倍角公式變形后，化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式中，求出函數(shù)的周期．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx=sin2x（1﹣2sin2x）=sin2x?cos2x=sin4x，故函數(shù)的最小正周期為=，故選：A．4．在△ABC中，acos2+ccos2=b，則（）A．a(chǎn)，b，c依次成等差數(shù)列B．b，a，c依次成等差數(shù)列C．a(chǎn)，c，b依次成等差數(shù)列D．a(chǎn)，b，c既成等差數(shù)列，也成等比數(shù)列【考點(diǎn)】數(shù)列與三角函數(shù)的綜合．【分析】根據(jù)已知條件，利用三角函數(shù)余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化簡(jiǎn)便可得出a+c=2b，即可求出a、b、c關(guān)系．【解答】解：設(shè)R是三角形ABC外接圓半徑，∵acos2+ccos2=b，∴+=b，即a+acosC+c+ccosA=3b，即a+c+（acosC+ccosA）=3b即a+c+（acosC+ccosA）=2b+ba+c+2R（sinAcosC+sinCcosA）=2b+2RsinBa+c+2Rsin（A+C）=2b+2RsinB∵A、B、C在三角形ABC中，所以sin（A+C）=sinB，所以a+c+2Rsin（A+C）=2b+2RsinB得到a+c=2b，即a，b，c成等差數(shù)列，故選A．5．已知{an}為等差數(shù)列，若a1+a5+a9=8π，則cos（a3+a7）的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得a5=，可得a3+a7=2a5=，再由cos（a3+a7）=cos利用誘導(dǎo)公式求得結(jié)果．【解答】解：{an}為等差數(shù)列，若a1+a5+a9=8π，則有3a5=8π，a5=．∴a3+a7=2a5=，cos（a3+a7）=cos=cos=﹣cos=﹣，故選A．6．函數(shù)y=log2x+logx2x的值域?yàn)椋ǎ〢．（﹣∞，﹣1] B．[3，+∞） C．[﹣1，3] D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考點(diǎn)】基本不等式；函數(shù)的值域．【分析】注意到log2x和logx2互為倒數(shù)，積是定值，所以只要將原函數(shù)化為用logx2和log2x表示，再用基本不等式求最值即可．【解答】解：y=log2x+logx2x=（log2x+logx2）+1，設(shè)log2x=t，則logx2=，y=t++1（t∈R），因此y≥3或y≤﹣1故選D．7．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖示，則將y=f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象解析式為（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+） D．y=sin（2x﹣）【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】通過(guò)函數(shù)的圖象求出A，求出函數(shù)的周期，利用周期公式求出ω，函數(shù)過(guò)（），結(jié)合φ的范圍，求出φ，推出函數(shù)的解析式，通過(guò)函數(shù)圖象的平移推出結(jié)果．【解答】解：由圖象知A=1，T=﹣=，T=π?ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=?φ=?f（x）=sin（2x+），則圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象解析式為y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故選D．8．《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄，問(wèn)織幾何．”其意思為：有個(gè)女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織五尺，最后一天織一尺，三十天織完，問(wèn)三十天共織布（）A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列的定義與前n項(xiàng)和求解即可．【解答】解：由題意每天織布的數(shù)量組成等差數(shù)列，在等差數(shù)列{an}中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故選：B．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)Q（1，1）的直線l與曲線C：y=交于點(diǎn)M，N，則?﹣?=（）A．2 B． C．4 D．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】曲線，可知：曲線C的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）成中心對(duì)稱，Q是線段MN的中點(diǎn)，因此．【解答】解：∵曲線，∴曲線C的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）成中心對(duì)稱，∴Q是線段MN的中點(diǎn)，故?﹣?=?（+）=22=4．故選：C．10．已知、為平面向量，若+與的夾角為，+與的夾角為，則=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，畫出平行四邊形表示向量=，=，=，利用正弦定理即可求出．【解答】解：如圖所示：在平行四邊形ABCD中，=，=，=，∠BAC=，∠DAC=，在△ABC中，由正弦定理得，===．故選：D．11．在斜三角形ABC中，sinA=﹣cosBcosC且tanB?tanC=1﹣，則∠A的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值．【分析】由條件可得sinBcosC+cosBsinC=﹣cosBcosC，兩邊同除cosBcosC可得tanB+tanC的值，再利用兩角和的正切公式求得tan（B+C）的值，可得B+C的值，從而得到A的值．【解答】解：∵在斜三角形ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣cosBcosC，兩邊同除cosBcosC可得tanB+tanC=﹣．又tanBtanC=1﹣，所以tan（B+C）==﹣1，∴B+C=，A=．故選A．12．已知不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，點(diǎn)O（0，0），A（1，0）．若點(diǎn)M是D上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】利用向量的數(shù)量積將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)z=，則z==||?cos∠A0M，∵O（0，0），A（1，0）．∴||=1，∴z=||?cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：要使cos∠A0M最小，則∠A0M最大，即當(dāng)M在C處時(shí)，∠A0M最大，由得，即C（1，3），則|AC|=，則cos∠A0M==，故選：A．二．填空題：本大題共4小題，每小題5分13．已知向量夾角為45°，且，則=．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案為：314．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5=3π，則sin（log3a1+log3a2+…+log3a7）的值為．【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】利用對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算化簡(jiǎn)log3a1+log3a2+…+log3a7，通過(guò)a3a4a5=3π，求出對(duì)數(shù)的值，然后求解即可．【解答】解：因?yàn)橛烧龜?shù)組成的等比數(shù)列{an}中，a3a4a5=3π，所以a43=3π，a4=3，∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a7=log3=log3=7log3=7log3=．∴sin（log3a1+log3a2+…+log3a7）=sin=sin（2π+）=sin=．故答案是：．15．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2=4，S10=110，則的最小值為．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】根據(jù)條件a2=4，S10=110，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，然后利用基本不等式即可得到結(jié)論．【解答】解：在等差數(shù)列中a2=4，S10=110，則，解得a1=2，d=2，即an=2+2（n﹣1）=2n，，∴==8+，當(dāng)且僅當(dāng)，即n2=64，n=8時(shí)取等號(hào)．故答案為：．16．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b（tanA+tanB）=ctanB，BC邊的中線長(zhǎng)為1，則a的最小值為．【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)條件式可得cosA=，由向量線性運(yùn)算的幾何意義可得=2，兩邊平方得出b，c間的關(guān)系，使用基本不等式解出bc的范圍，于是a=||，兩邊平方即可求出a2的最小值．【解答】解：在△ABC中，∵b（tanA+tanB）=ctanB，∴b（）=，∴bsinC=csinBcosA，∴bc=bccosA，∴cosA=．∵BC邊的中線長(zhǎng)為1，∴=2，∴c2+b2+2bccosA=4，即b2+c2=4﹣bc≥2bc，解得bc≤4﹣2．∴a2=（）2=b2+c2﹣2bccosA=4﹣2bc≥4﹣2（4﹣2）=12﹣8．∴a的最小值為=2﹣2．故答案為：2．三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．如圖，平面四邊形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ）∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面積S．【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】（I）在△BCD中由正弦定理解出BD，在△ABD中，由余弦定解出cos∠ADB；（II）代入三角形的面積公式計(jì)算．【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：，即，解得BD=3．在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB===．∴∠ADB=45°．（Ⅱ）∵∠CBD=30°，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°．∴sin∠ADC=sin（45°+30°）=，∴S△ACD=?CDsin∠ADC==．18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且+=．（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）將已知等式通分后利用兩角和的正弦函數(shù)公式整理，利用正弦定理，即可證明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函數(shù)值，利用（Ⅰ）的條件，求解B的正切函數(shù)值即可．【解答】（Ⅰ）證明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．19．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：xx1x2x3ωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）+B00﹣0（Ⅰ）請(qǐng)求出上表中的xl，x2，x3，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式．（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x釉向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g（x），若函數(shù)g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4））上的值域?yàn)閇﹣，]，且此時(shí)其圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為P，Q，求與夾角θ的大小．【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】（Ⅰ）由條件利用五點(diǎn)法作圖，求得ω、φ的值，再結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)可得函數(shù)f（x）的解析式，從而求得表中的xl，x2，x3．（Ⅱ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，可得P、Q的坐標(biāo)，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義、兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得與夾角θ的大小．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得ω?+φ=，ω?+φ=，∴ω=，φ=，再結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，可得函數(shù)f（x）=sin（x+）．再根據(jù)x1+=0，x2+=π，x3+=2π，求得xl=﹣，x2=，x3，=；（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x釉向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g（x）=sin[（x﹣）+]=sinx的圖象，若函數(shù)g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4））上的值域?yàn)閇﹣，]，且此時(shí)其圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為P（1，）、Q（3，﹣），∴=（3，﹣）、=（﹣2，2）．設(shè)與夾角θ的大小為θ，則cosθ===﹣，∴θ=．20．已知函數(shù)f（x）=sin（x﹣）+．（1）若x∈[0，]，f（x）=，求cosx的值；（2）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿足2bcosA≤2c﹣a，求f（B）的取值范圍．【考點(diǎn)】正弦定理；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）運(yùn)用角的變換：x=x﹣，由條件求出cos（x﹣），再由兩角和的余弦公式，即可得到cosx；（2）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，即可得到2cosB≥，再由余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到B的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到f（B）的范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=sin（x﹣）+，由f（x）=，即sin（x﹣）=，由于x∈[0，]，則x﹣∈[﹣]，即有cos（x﹣）=，則cosx=cos（x﹣）=cos（x﹣）cos﹣sin（x﹣）sin=﹣=；（2）由于2bcosA≤2c﹣a，則由正弦定理得，2sinBcosA≤2sinC﹣sinA=2sin（A+B）﹣sinA=2sinAcosB+2cosAsinB﹣sinA，則有2cosB≥，B為三角形的內(nèi)角，則0＜B≤，由于f（B）=sin（B﹣），而﹣＜B﹣，sin（B﹣）∈（﹣，]，則有f（B）的取值范圍是（0，1]．21．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=8，公比為q（q≠1），Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．（1）若S3，2S4，3S5成等差數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式an；（2）令bn=log2an，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若T3是數(shù)列{Tn}中的唯一最大項(xiàng)，求的q的取值范圍．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由題意知S3+3S5=2?2S4，從而可得=，從而求得an=8?=；（2）化簡(jiǎn)bn=log2an=3﹣log2q+nlog2q，從而由等差數(shù)列的性質(zhì)可得b3＞0，b4＜0，從而解得．【解答】解：（1）∵S3，2S4，3S5成等差數(shù)列，∴S3+3S5=2?2S4，∴3（a4+a5）=4a4，∴=，故等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為8，公比為，故an=8?=；（2）bn=log2an=log2（8?qn﹣1）=3﹣log2q+nlog2q，∵T3是數(shù)列{Tn}中的唯一最大項(xiàng)，∴b3=3﹣log2q+3log2q＞0，b4=3﹣log2q+4log2q＜0，∴﹣＜log2q＜﹣1，∴＜q＜．22．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足且a2，a5，a14恰好是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意的n∈N*，（T）k≥3n﹣6恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）由得，當(dāng)n≥2時(shí)，，兩式相減并化簡(jiǎn)，得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，再由題目中其他條件計(jì)算出{an}、{bn}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）計(jì)算得到Tn=，再進(jìn)行參數(shù)分離，將題中不等式轉(zhuǎn)化為：對(duì)n∈N*恒成立，令cn=，作差確定數(shù)列的單調(diào)性，求出數(shù)列的最小值即可．【解答】（Ⅰ）由題意，，當(dāng)n≥2時(shí)，，∴4an=4Sn﹣4Sn﹣1=，，又an＞0，∴an+1=an+2．∴當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是公差d=2的等差數(shù)列．又a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，，，解得a2=3，由條件可知，，∴a1=1，又a2﹣a1=3﹣1=2，∴{an}是首項(xiàng)a1=1，公差d=2的等差數(shù)列．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1，則b1=a2=3，b2=a5=9，b3=a14=27，且{bn}是等比數(shù)列，∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）==，∴對(duì)n∈N*恒成立，∴對(duì)n∈N*恒成立，令cn=，cn﹣cn﹣1==，當(dāng)n≤3時(shí)，cn＞cn﹣1，當(dāng)n≥4時(shí)，cn＜cn﹣1，∴，∴．2025年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末模擬試卷及答案（二）（理科）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．sin750°的值為（）A． B． C． D．2．在等比數(shù)列{an}中，a1=，q=，an=，則項(xiàng)數(shù)n為（）A．3 B．4 C．5 D．63．已知向量=（1，2），=（3，1），則﹣=（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3）4．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，則sinB=（）A． B． C． D．15．已知α為第二象限角，且，則tan（π+α）的值是（）A． B． C． D．6．在遞減數(shù)列{an}中，an=﹣2n2+λn，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，6）7．若D點(diǎn)在三角形ABC的邊BC上，且=4=γ+s，則3γ+s的值為（）A． B． C． D．8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a、b、c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面積為，則=（）A． B． C．2 D．29．已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N*）．我們把使乘積a1?a2?a3?…?an為整數(shù)的數(shù)n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在區(qū)間（1，2004）內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和為（）A．1024 B．2003 C．2026 D．204810．函數(shù)f（x）=lgsin（﹣2x）的一個(gè)增區(qū)間是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（﹣，﹣）11．已知△ABC的重心為G，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a+b+c=，則角A為（）A． B． C． D．12．在平行四邊形ABCD中，∠A=，邊AB，AD的長(zhǎng)分別為2，1，若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足=，則?的取值范圍是（）A．[1，4] B．[2，5] C．[2，4] D．[1，5]二、填空題（共4小題，每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，則的值為______．14．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S5=5，S9=27，則S7=______．15．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），則sinα的值為______．16．已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3×5n，a1=6，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為______．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．已知函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面積．19．已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．20．如圖，點(diǎn)A，B是單位圓O上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，將銳角α的終邊OA按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OB．（1）若A的坐標(biāo)為（，），求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；（2）求|BC|的取值范圍．21．已知向量=（sinx，sinx），=（sinx，﹣cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=?，若函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值，并求出此時(shí)x的取值；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若f（﹣）+g（+）=﹣，b+c=7，bc=8，求邊a的長(zhǎng)．22．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（2）若bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；（3）設(shè)ck=，{ck}的前n項(xiàng)和為An，是否存在最小正整數(shù)m，使得不等式An＜m對(duì)任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．sin750°的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【分析】原式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=．故選：D．2．在等比數(shù)列{an}中，a1=，q=，an=，則項(xiàng)數(shù)n為（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立等式關(guān)系，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解指數(shù)方程即可求出項(xiàng)數(shù)n．【解答】解：∵{an}是等比數(shù)列∴=a1qn﹣1=×==解得：n=5故選C．3．已知向量=（1，2），=（3，1），則﹣=（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3）【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；向量的減法及其幾何意義．【分析】直接利用向量的減法的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（3，1），∴﹣=（2，﹣1）故選：B．4．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，則sinB=（）A． B． C． D．1【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由正弦定理列出關(guān)系式，將a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，∴由正弦定理得：sinB===．故選B5．已知α為第二象限角，且，則tan（π+α）的值是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式的作用；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】由α為第二象限角，根據(jù)sinα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，進(jìn)而求出tanα的值，原式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，將tanα的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵α為第二象限角，sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，則tan（π+α）=tanα=﹣．故選D6．在遞減數(shù)列{an}中，an=﹣2n2+λn，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，6）【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】由數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，可得an+1＜an，化簡(jiǎn)利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，∴an+1＜an，∴﹣2（n+1）2+λ（n+1）＜﹣2n2+λn，化為：λ＜4n+2，∵數(shù)列{4n+2}為單調(diào)遞增數(shù)列，∴λ＜6，∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（﹣∞，6）．故選：D．7．若D點(diǎn)在三角形ABC的邊BC上，且=4=γ+s，則3γ+s的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】可作圖，根據(jù)便可得到，而由條件，這樣根據(jù)平面向量基本定理便可得出r，s的值，從而求出3r+s的值．【解答】解：如圖，；∴；又；∴；∴．故選：C．8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a、b、c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面積為，則=（）A． B． C．2 D．2【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinA與b的值，以及已知面積代入求出c的長(zhǎng)，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理求出a的長(zhǎng)，由a與sinA的值，利用正弦定理求出三角形外接圓的半徑R，利用正弦定理及比例的性質(zhì)即可求出所求式子的值．【解答】解：∵S△ABC=bcsin120°=，即c×=，∴c=4，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos120°=21，解得：a=，∵，∴2R===2，則=2R=2．故選：D．9．已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N*）．我們把使乘積a1?a2?a3?…?an為整數(shù)的數(shù)n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在區(qū)間（1，2004）內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和為（）A．1024 B．2003 C．2026 D．2048【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】根據(jù)換底公式，把a(bǔ)n=log（n+1）（n+2）代入a1?a2…an并且化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為log2（n+2），由log2（n+2）為整數(shù)，即n+2=2m，m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得區(qū)間[1，2004]內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和．【解答】解：由換底公式：．∴a1?a2?a3?…?an=log23?log34…log（n+1）（n+2）===log2（n+2），∵log2（n+2）為整數(shù)，∴n+2=2m，m∈N*．n分別可取22﹣2，23﹣2，24﹣2，最大值2m﹣2≤2004，m最大可取10，故和為22+23++210﹣18=2026．故選：C．10．函數(shù)f（x）=lgsin（﹣2x）的一個(gè)增區(qū)間是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（﹣，﹣）【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【分析】函數(shù)y=lgsin（﹣2x）=lg[﹣sin（2x﹣）]，令t=sin（2x﹣），則有y=lg（﹣t），本題即求函數(shù)t在滿足t＜0時(shí)的減區(qū)間．令2kπ+π＜2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，可得結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)y=lgsin（﹣2x）=lg[﹣sin（2x﹣）]，令t=sin（2x﹣），則有y=lg（﹣t），故本題即求函數(shù)t在滿足t＜0時(shí)的減區(qū)間．令2kπ+π＜2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ+＜x≤kπ+，故函數(shù)t在滿足t＜0時(shí)的減區(qū)間為（kπ+，kπ+]，k∈z，所以函數(shù)y=lgsin（﹣2x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（，）．故選：C．11．已知△ABC的重心為G，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a+b+c=，則角A為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】根據(jù)G為三角形重心，化簡(jiǎn)已知等式，用c表示出a與b，再利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a與b代入求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC的重心為G，∴++=，即+=﹣，∵a+b+c=，∴（a﹣c）+（b﹣c）=，∴a﹣c=0，b﹣c=0，即a=c，b=c，∴cosA===，則A=．故選：A．12．在平行四邊形ABCD中，∠A=，邊AB，AD的長(zhǎng)分別為2，1，若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足=，則?的取值范圍是（）A．[1，4] B．[2，5] C．[2，4] D．[1，5]【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】畫出圖形，建立直角坐標(biāo)系，利用比例關(guān)系，求出M，N的坐標(biāo)，然后通過(guò)二次函數(shù)求出數(shù)量積的范圍．【解答】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則B（2，0），A（0，0），D（，），設(shè)==λ，λ∈[0，1]，則M（2+，），N（﹣2λ，），所以=（2+，）?（﹣2λ，）=5﹣4λ+λ﹣λ2+λ=﹣λ2﹣2λ+5，因?yàn)棣恕蔥0，1]，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]時(shí)，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故選：B．二、填空題（共4小題，每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，則的值為20．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算，即可得到的值為20．【解答】解：∵在△ABC中，=a=5，=b=8，∴根據(jù)向量數(shù)量積的定義，得=?cos∠C=5×8×cos60°=20故答案為：2014．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S5=5，S9=27，則S7=14．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，S5=5，S9=27，∴，解得．∴S7==﹣7+21=14．故答案為：14．15．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），則sinα的值為．【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)．【分析】求得sinβ和cosβ的值，根據(jù)已知條件判斷出α+β的范圍，進(jìn)而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的兩角和公式求得答案．【解答】解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，∴0＜α+β＜，∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=．故答案為：．16．已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3×5n，a1=6，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1+5n．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】由an+1=2an+3×5n，變形為an+1﹣5n+1=2（an﹣5n），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：∵an+1=2an+3×5n，變形為an+1﹣5n+1=2（an﹣5n），∴數(shù)列{an﹣5n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．∴an﹣5n=2n﹣1．即an=5n+2n﹣1．故答案為：an=5n+2n﹣1．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．已知函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用周期公式求得最小正周期T和函數(shù)的最大和最小值．（2）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+）∴T==π，當(dāng)2x+=2kπ+，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最大值2．當(dāng)2x+=2kπ﹣，即x=kπ﹣，k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最小值﹣2．（2）當(dāng)2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z時(shí)，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函數(shù)單調(diào)增，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面積．【考點(diǎn)】解三角形；二倍角的余弦；余弦定理．【分析】（1）由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知的等式，再根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，合并整理后得到關(guān)于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；（2）利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，再根據(jù)完全平方公式變形后，將a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，然后再由ab，sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：（1）∵A+B+C=180°，∴=90°﹣，由得：，∴，整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，解得：，∵0°＜C＜180°，∴C=60°；（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，∴7=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab?ab=6，∴．19．已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（Ⅰ）設(shè)出數(shù)列{an}的公差，由已知條件列式求出公差，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求；（Ⅱ）把數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入bn=，整理后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比數(shù)列，得（2+2d）2﹣（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=﹣1，當(dāng)d=﹣1時(shí)，a3=0，與a2，a3，a4+1成等比數(shù)列矛盾，舍去．∴d=2，∴an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n．即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n；（Ⅱ）由an=2n，得bn==，∴Sn=b1+b2+b3+…+bn==．20．如圖，點(diǎn)A，B是單位圓O上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，將銳角α的終邊OA按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OB．（1）若A的坐標(biāo)為（，），求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；（2）求|BC|的取值范圍．【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)線．【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義可得cosα=，sinα=，∠COB=α+，利用兩角和的余弦可求得cos（α+）=，從而可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；（2）先求|BC|2=2﹣2cos（α+）的取值范圍，再開方即可求得|BC|的取值范圍．【解答】解：（1）由于A的坐標(biāo)為（，），由三角函數(shù)的定義知，cosα=，sinα=…2分又∠COB=α+，∴cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=…5分∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為…6分（2）|BC|2=2﹣2cos（α+）…9分∵0＜α＜，故＜α+＜，∴cos（α+）∈（﹣，﹣），∴|BC|2∈（1，2+），∴|BC|∈（1，）…12分21．已知向量=（sinx，sinx），=（sinx，﹣cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=?，若函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值，并求出此時(shí)x的取值；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若f（﹣）+g（+）=﹣，b+c=7，bc=8，求邊a的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由向量的數(shù)量積運(yùn)算求得f（x）的解析式，化簡(jiǎn)后取x=﹣x，y=﹣y求得g（x）的解析式，則函數(shù)g（x）在區(qū)間上的最大值及取得最大值時(shí)的x的值可求；（Ⅱ）由求得角A的正弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得角A的余弦值，在利用余弦定理求邊a的長(zhǎng)．【解答】解：（Ⅰ）由向量，且，得，，∴．∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間上的最大值為；（Ⅱ）∵，，由，得，∴．又∵0＜A＜π，解得：或，由題意知：bc=8，b+c=7，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA）=33﹣16cosA，則a2=25或a2=41，故所求邊a的長(zhǎng)為5或．22．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（2）若bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；（3）設(shè)ck=，{ck}的前n項(xiàng)和為An，是否存在最小正整數(shù)m，使得不等式An＜m對(duì)任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（1）在數(shù)列遞推式中取n=n﹣1得另一遞推式，作差后即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）把數(shù)列{an}的通項(xiàng)代入bn=，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；（3）把Sk，Tk代入ck=，整理后利用裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)，放縮后可證得數(shù)列不等式．【解答】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a2=S1+1=a1+1=2；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn+1=an+1，Sn﹣1+1=an，相減得an+1=2an，又a2=2a1，{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴；（2）由（1）知，∴，∴，，兩式相減得=，∴；（3）CK===．∴==．若不等式∴＜m對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，則m≥2，∴存在最小正整數(shù)m=2，使不等式∴＜m對(duì)任意正整數(shù)n恒成立．…2025年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末模擬試卷及答案（三）（理科）一、選擇題（每小題5分，共60分）1．為得到函數(shù)y=cos（x+）的圖象，只需將函數(shù)y=sinx的圖象（）A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位2．設(shè)兩向量，滿足，，，的夾角為60°，+，則在上的投影為（）A． B． C． D．3．函數(shù)y=sin2xcos2x是（）A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為π的偶函數(shù)4．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，則A的取值范圍是（）A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）5．已知sin（+α）=，則cos（﹣2α）的值等于（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，且其圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=cosωx的圖象，則函數(shù)f（x）的圖象（）A．關(guān)于直線x=對(duì)稱 B．關(guān)于直線x=對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱7．已知||=2||≠0，且關(guān)于x的方程x2+||x+?=0有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是（）A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]8．在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B），則△ABC的形狀（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．若A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，若O不在l上，存在實(shí)數(shù)x使得=，實(shí)數(shù)x為（）A．﹣2 B．0 C． D．10．△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，若，則sin2B+2cosC的最大值為（）A． B．1 C． D．211．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，則A=（）A．30° B．60° C．120° D．150°12．已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A．﹣2 B． C．﹣3 D．﹣6二、填空題（每小題5分，共20分）13．=．14．在△ABC中，若，則等于．15．已知△FOQ的面積為S，且．若，則的夾角θ的取值范圍是．16．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為2且互相垂直的平面向量和，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng)，若，其中x，y∈R，則x+y的最大值是．三、解答題（共70分）17．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥，求|﹣|（2）若與夾角為銳角，求x的取值范圍．18．已經(jīng)cos（2θ﹣3π）=，且θ是第四象限角，（1）求cosθ和sinθ的值；（2）求+的值．19．已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），設(shè)=+t（t為實(shí)數(shù)）．（1）若，求當(dāng)||取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t的值；（2）若⊥，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)t，使得向量﹣和向量的夾角為，若存在，請(qǐng)求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．已知在△ABC中，．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范圍．21．．（1）若時(shí)，，求cos4x的值；（2）將的圖象向左移，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得y=g（x），若關(guān)于g（x）+m=0在區(qū)間上的有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求m的范圍．22．如圖，矩形ABCD是一個(gè)歷史文物展覽廳的俯視圖，點(diǎn)E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在△ADE區(qū)域內(nèi)參觀，在AE上點(diǎn)P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控?cái)z像頭，∠MPN為監(jiān)控角，其中M、N在線段DE（含端點(diǎn)）上，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右下方，經(jīng)測(cè)量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=，記∠EPM=θ（弧度），監(jiān)控?cái)z像頭的可視區(qū)域△PMN的面積為S平方米．（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的取值范圍：（參考數(shù)據(jù)：tan≈3）（2）求S的最小值．

參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共60分）1．為得到函數(shù)y=cos（x+）的圖象，只需將函數(shù)y=sinx的圖象（）A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用誘導(dǎo)公式將y=cos（x+）轉(zhuǎn)化為y=sin（x+），利用平移知識(shí)解決即可．【解答】解：∵y=cos（x+）=cos（﹣x﹣）=sin[﹣（﹣x﹣）]=sin（x+），∴要得到y(tǒng)=sin（x+）的圖象，只需將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，故選C．2．設(shè)兩向量，滿足，，，的夾角為60°，+，則在上的投影為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量投影的定義，計(jì)算?、以及||的值，代入投影公式計(jì)算即可．【解答】解：，，，的夾角為60°，∴?=2×1×cos60°=1；又+，，∴=2+5?+2=2×22+5×1+2×12=15，||====2，∴在上的投影為||cosθ===．故選：A．3．函數(shù)y=sin2xcos2x是（）A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為π的偶函數(shù)【考點(diǎn)】GS：二倍角的正弦．【分析】由倍角公式化簡(jiǎn)可得解析式y(tǒng)=sin4x，顯然是個(gè)奇函數(shù)，由周期公式可得：T==，從而得解．【解答】解：∵y=sin2xcos2x=sin4x，顯然是個(gè)奇函數(shù)．∴由周期公式可得：T==故選：C．4．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，則A的取值范圍是（）A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值轉(zhuǎn)化成邊，進(jìn)而代入到余弦定理公式中求得cosA的范圍，進(jìn)而求得A的范圍．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范圍是（0，]故選C5．已知sin（+α）=，則cos（﹣2α）的值等于（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】GO：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【分析】已知等式中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式求出cos（﹣α）的值，原式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將cos（﹣α）代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵sin（+α）=sin[﹣（﹣α）]=cos（﹣α）=，∴cos（﹣2α）=2cos2（﹣α）﹣1=﹣．故選：C．6．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，且其圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=cosωx的圖象，則函數(shù)f（x）的圖象（）A．關(guān)于直線x=對(duì)稱 B．關(guān)于直線x=對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用正弦函數(shù)的周期性、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、誘導(dǎo)公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，∴=π，∴ω=2．把其圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的圖象，∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．由于當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）=0，故A不滿足條件，而C滿足條件；令x=，求得函數(shù)f（x）=sin=，故B、D不滿足條件，故選：C．7．已知||=2||≠0，且關(guān)于x的方程x2+||x+?=0有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是（）A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]【考點(diǎn)】9F：向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義．【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程有實(shí)根，可知方程的判別式大于等于0，找出，再由cosθ=≤，可得答案．【解答】解：，且關(guān)于x的方程有實(shí)根，則，設(shè)向量的夾角為θ，cosθ=≤，∴θ∈，故選B．8．在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B），則△ABC的形狀（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【考點(diǎn)】GZ：三角形的形狀判斷．【分析】利用兩角和與差的正弦將已知中的弦函數(shù)展開，整理后利用正弦定理將“邊”化角的“正弦”，利用二倍角的正弦公式即可求得答案．【解答】解：∵（a2+b2）（sinAcosB﹣cosAsinB）=（a2﹣b2）（sinAcosB+cosAsinB），∴a2sinAcosB﹣a2cosAsinB+b2sinAcosB﹣b2cosAsinB=a2sinAcosB+a2cosAsinB﹣b2sinAcosB﹣b2cosAsinB，整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，在△ABC中，由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，代入整理得：sinAcosA=sinBcosB，∴2sinAcosA=2sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或者2A=180°﹣2B，∴A=B或者A+B=90°．∴△ABC是等腰三角形或者直角三角形．故選D．9．若A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，若O不在l上，存在實(shí)數(shù)x使得=，實(shí)數(shù)x為（）A．﹣2 B．0 C． D．【考點(diǎn)】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】利用向量的運(yùn)算法則將等式中的向量都用以O(shè)為起點(diǎn)的向量表示，利用三點(diǎn)共線的條件列出方程求x的值．【解答】解：∵x2+2x+=，∴x2+2x+﹣=，∴=﹣x2﹣（2x﹣1）；又A、B、C三點(diǎn)共線，∴﹣x2﹣（2x﹣1）=1，解得x=0或x=﹣2；當(dāng)x=0時(shí)，=不滿足題意，∴實(shí)數(shù)x為﹣2．故選：A．10．△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，若，則sin2B+2cosC的最大值為（）A． B．1 C． D．2【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式求得A的值，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得t=cosC的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得sin2B+2cosC的最大值．【解答】解：∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，若，則=tan（+）=，求得tanA=1，∴A=，B+C=，sin2B+2cosC=sin2（﹣C）+2cosC=﹣2cos2C+2cosC=1﹣2cos2C+2cosC．令t=cosC，C∈（0，），則t∈（﹣，1），要求的式子為﹣2t2+2t+1=﹣2?+，故當(dāng)t=時(shí)，則sin2B+2cosC取得最大值為，故選：C．11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，則A=（）A．30° B．60° C．120° D．150°【考點(diǎn)】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】先利用正弦定理化簡(jiǎn)得c=2b，再由可得a2=7b2，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的關(guān)系式分別代入即可求出cosA的值，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的值．【解答】解：由及正弦定理可得c=2b，再由可得a2=7b2．再由余弦定理可得cosA===，故A=30°，故選A．12．已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A．﹣2 B． C．﹣3 D．﹣6【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義，求最小值即可．【解答】解：以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），設(shè)P（x，y），則=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），所以?（+）=﹣x?（﹣2x）+（2﹣y）?（﹣2y）=2x2﹣4y+2y2=2[x2+2（y﹣）2﹣3]；所以當(dāng)x=0，y=時(shí)，?（+）取得最小值為2×（﹣3）=﹣6．故選：D．二、填空題（每小題5分，共20分）13．=1．【考點(diǎn)】GT：二倍角的余弦．【分析】原式根號(hào)下邊的式子利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，完全平方公式，以及二次根式的化簡(jiǎn)公式變形，再利用絕對(duì)值的代數(shù)意義及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，約分即可得到結(jié)果．【解答】解：∵sin40°＜cos40°，∴sin40°﹣cos40°＜0，則原式====1．故答案為：114．在△ABC中，若，則等于2．【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】首先根據(jù)正弦定理可得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，然后化簡(jiǎn)所求即可得解．【解答】解：由正弦定理可得：==2，可得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，則==2，故答案為：2．15．已知△FOQ的面積為S，且．若，則的夾角θ的取值范圍是（45°，60°）．【考點(diǎn)】9P：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角．【分析】由向量的數(shù)量積公式得到與的乘積，把面積轉(zhuǎn)化為含有角OFQ正切的表達(dá)式，由三角形面積的范圍得到角OFQ正切值的范圍，從而得到答案．【解答】解：∵，∴=，得：，由三角形面積公式，得：S=，∴S=﹣=﹣，∵，∴，，∴120°＜∠OFQ＜135°，而的夾角與∠OFQ互為補(bǔ)角，∴夾角的取值范圍是：（45°，60°）．16．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為2且互相垂直的平面向量和，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng)，若，其中x，y∈R，則x+y的最大值是．【考點(diǎn)】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，則||=2，可以得出x和y的關(guān)系式，再利用三角換元法求出x+y的最大值．【解答】解：由題意||=2，即4x2+y2=4，∴x2+=1；令x=cosθ，y=2sinθ，則x+y=cosθ+2sinθ=（cosθ+sinθ）=sin（θ+φ）≤；∴x+y的最大值是．故答案為：．三、解答題（共70分）17．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥，求|﹣|（2）若與夾角為銳角，求x的取值范圍．【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；9K：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】（1）根據(jù)向量平行與坐標(biāo)的關(guān)系列方程解出x，得出的坐標(biāo)，再計(jì)算的坐標(biāo)，再計(jì)算||；（2）令得出x的范圍，再去掉同向的情況即可．【解答】解：（1）∵，∴﹣x﹣x（2x+3）=0，解得x=0或x=﹣2．當(dāng)x=0時(shí)，=（1，0），=（3，0），∴=（﹣2，0），∴||=2．當(dāng)x=﹣2時(shí)，=（1，﹣2），=（﹣1，2），∴=（2，﹣4），∴||=2．綜上，||=2或2．（2）∵與夾角為銳角，∴，∴2x+3﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜3．又當(dāng)x=0時(shí)，，∴x的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，3）．18．已經(jīng)cos（2θ﹣3π）=，且θ是第四象限角，（1）求cosθ和sinθ的值；（2）求+的值．【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）（2）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：由cos（2θ﹣3π）=cos（﹣π+2θ）=﹣cos2θ=，即cos2θ=1﹣2sin2θ=，（1）∵θ是第四象限角，∴sinθ=﹣．∵cos2θ=2cos2θ﹣1=∵θ是第四象限角，∴cosθ=．（2）由+=====．19．已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），設(shè)=+t（t為實(shí)數(shù)）．（1）若，求當(dāng)||取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t的值；（2）若⊥，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)t，使得向量﹣和向量的夾角為，若存在，請(qǐng)求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；93：向量的模．【分析】（1）先把a(bǔ)=代入求出向量的坐標(biāo)，再把轉(zhuǎn)化為=，把所求結(jié)論以及已知條件代入得到關(guān)于實(shí)數(shù)t的二次函數(shù)，利用配方法求出的最小值以及實(shí)數(shù)t的值；（2）先利用向量垂直求出以及和（）（），代入cos45°=，可得關(guān)于實(shí)數(shù)t的方程，解方程即可求出實(shí)數(shù)t．【解答】解：（1）因?yàn)閍=，所以=（），?=，則====所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為．（2）由條件得cos45°=，又因?yàn)?=，==，（）（）=5﹣t，則有=，且t＜5，整理得t2+5t﹣5=0，所以存在t=滿足條件．20．已知在△ABC中，．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范圍．【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】（1）由cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，可得﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，可化為tanB=，即可得出．（2）由a+c=1，利用基本不等式的性質(zhì)化為ac≤．由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3ac，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，∴﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，化為sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，∵cosB≠0，∴tanB=，∵B∈（0，π）．解得B=．（2）∵a+c=1，∴1≥2，化為ac≤．由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3ac≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時(shí)取等號(hào)．∴b≥．又b＜a+c=1．∴b的取值范圍是[，1）．21．．（1）若時(shí)，，求cos4x的值；（2）將的圖象向左移，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得y=g（x），若關(guān)于g（x）+m=0在區(qū)間上的有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求m的范圍．【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）由題意，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求出cos（4x+）的值，再利用三角恒等變換求出cos4x的值；（2）由（1）知f（x）的解析式，利用圖象平移和變換得出g（x）的解析式，畫出函數(shù)g（x）的圖象，結(jié)合圖象求出m的取值范圍．【解答】解：（1）=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x），∴f（x）=?+=sin2xcos2x﹣cos22x+=sin4x﹣cos4x﹣+=﹣cos（4x+）=﹣，∴cos（4x+）=；又時(shí)，4x+∈（，2π），∴sin（4x+）=﹣=﹣，∴cos4x=cos[（4x+）﹣]=cos（4x+）cos+sin（4x+）sin=×+（﹣）×=；（2）由（1）知，f（x）=sin4x﹣cos4x=sin（4x﹣），將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，得y=sin[4（x+）﹣]=sin（4x+）的圖象；再將y各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得y=sin（2x+）的圖象；則y=g（x）=sin（2x+）；當(dāng)x∈時(shí)，2x+∈[，]，畫出函數(shù)g（x）的圖象，如圖所示；則g（x）+m=0在區(qū)間上的有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，應(yīng)滿足﹣≤﹣m＜或﹣m=1；即﹣＜m≤，或m=﹣1．22．如圖，矩形ABCD是一個(gè)歷史文物展覽廳的俯視圖，點(diǎn)E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在△ADE區(qū)域內(nèi)參觀，在AE上點(diǎn)P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控?cái)z像頭，∠MPN為監(jiān)控角，其中M、N在線段DE（含端點(diǎn)）上，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右下方，經(jīng)測(cè)量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=，記∠EPM=θ（弧度），監(jiān)控?cái)z像頭的可視區(qū)域△PMN的面積為S平方米．（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的取值范圍：（參考數(shù)據(jù)：tan≈3）（2）求S的最小值．【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算．【分析】（1）利用正弦定理，求出PM，PN，即可求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，M與E重合時(shí)，θ=0，N與D重合時(shí)，tan∠APD=3，即θ=，即可寫出θ的取值范圍；（2）當(dāng)2θ+=即時(shí)，S取得最小值．【解答】解：（1）在△PME中，∠EPM=θ，PE=4m，∠PEM=，∠PME=，由正弦定理可得PM==，同理，在△PNE中，PN=，∴S△PMN===，M與E重合時(shí)，θ=0，N與D重合時(shí)，tan∠APD=3，即θ=，∴0≤θ≤，綜上所述，S△PMN=，0≤θ≤；（2）當(dāng)2θ+=即時(shí)，S取得最小值=8（﹣1）平方米．2025年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末模擬試卷及答案（四）（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．cos（﹣330°）的值為（）A． B． C． D．2．某校禮堂共有40排座位，每排25個(gè)座號(hào)，一次法制講座報(bào)告會(huì)坐滿了聽眾，會(huì)后留下座位號(hào)為18的所有聽眾40人進(jìn)行座談，這是運(yùn)用了（）A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)表法 C．分層抽樣法 D．系統(tǒng)抽樣法3．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)（﹣3，4），則cosα=（）A． B． C． D．4．某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示提頻率分布直方圖．已知高一年級(jí)共有學(xué)生1200名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)中位數(shù)為（）A．69 B．70 C．7 D．725．為了得到函數(shù)y=cos（x﹣）的圖象，只需將y=sinx的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度6．如圖所示，程序據(jù)圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果為（）A． B． C． D．7．函數(shù)f（x）=tan（x+）的單調(diào)增區(qū)間為（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈Z B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．（kπ﹣，kπ+），k∈Z D．（kπ﹣，kπ+），k∈Z8．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，此函數(shù)的解析式為（）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣）9．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，則tan（α+）的值等于（）A． B． C． D．10．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且4++=0，那么（）A．=﹣ B．=﹣2 C．=2 D．=11．已知向量=（，tanα），=（cosα，2），且∥，則cos2α=（）A． B． C．﹣ D．12．若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，事件A與事件B的關(guān)系是（）A．互斥不對(duì)立 B．對(duì)立不互斥C．互斥且對(duì)立 D．以上答案都不對(duì)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位停靠4小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時(shí)必須等待的概率是．14．拋擲一粒骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，已知P（A）=，P（B）=，則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率是．15．已知tanα=3，則sinαcosα=．16．函數(shù)y=1+的定義域?yàn)椋⒔獯痤}（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．已知向量與滿足||=10，||=3，且向量與的夾角為120°．求：（1）（2+）?（﹣）；（2）|+3|．18．某5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)绫恚簩W(xué)科學(xué)生ABCDE數(shù)學(xué)成績(jī)x8876736663物理成績(jī)Y7868706460（1）畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）求物理成績(jī)Y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的回歸直線方程；（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)字）（參考數(shù)據(jù)：=366，=340，=25146，=27174）19．某射擊隊(duì)的隊(duì)員為在射擊錦標(biāo)賽上取得優(yōu)異成績(jī)，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過(guò)近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次，命中7～10環(huán)的概率如表所示：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.300.280.180.12求該射擊隊(duì)員射擊一次，（1）射中9環(huán)或10環(huán)的概率；（2）至少命中8環(huán)的概率；（3）命中不足8環(huán)的概率．20．設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+sin（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；（Ⅱ）不畫圖，說(shuō)明函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到．21．已知函數(shù)f（x）=sin2x+cosx+a﹣在閉區(qū)間[0，]上的最小值是2，求對(duì)應(yīng)的a值．22．已知向量=（sinωx+cosωx，sinωx），向量=（sinωx﹣cosωx，2cosωx），設(shè)函數(shù)f（x）=?+1（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，其中常數(shù)ω∈（0，2）．（1）若x∈[0，]，求f（x）的值域；（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，