PAGEPAGE1§11.2隨機抽樣最新考綱考情考向分析1.理解隨機抽樣的必要性和重要性．2.會用簡潔隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統抽樣的方法.在抽樣方法的考查中，系統抽樣、分層抽樣是考查的重點，題型主要以選擇題和填空題為主，屬于中低檔題.1．簡潔隨機抽樣(1)定義：從元素個數為N的總體中不放回地抽取容量為n的樣本，假如每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡潔隨機抽樣．(2)最常用的簡潔隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數表法．2．系統抽樣(1)定義：當總體數量很大時，可將總體分成均衡的若干部分，然后依據預先制定的規則，從每一部分抽取一個個體，得到所須要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統抽樣．(2)系統抽樣適用于大規模的抽樣調查，由于抽樣的間隔相等，因此系統抽樣也被稱作等距抽樣．3．分層抽樣(1)分層抽樣的定義：在抽樣時，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進行簡潔隨機抽樣或系統抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)分層抽樣的應用范圍：當總體由有明顯差別的幾個部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的狀況，常采納分層抽樣．概念方法微思索三種抽樣方法有什么共同點和聯系？提示(1)抽樣過程中每個個體被抽取的機會均等．(2)系統抽樣中在起始部分抽樣時采納簡潔隨機抽樣；分層抽樣中各層抽樣時采納簡潔隨機抽樣或系統抽樣．題組一思索辨析1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)簡潔隨機抽樣是一種不放回抽樣．(√)(2)簡潔隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關．(×)(3)抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大．(×)(4)系統抽樣在第1段抽樣時采納簡潔隨機抽樣．(√)(5)要從1002個學生中用系統抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，須要剔除2個學生，這樣對被剔除者不公允．(×)(6)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關．(×)題組二教材改編2．在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統計分析．在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體B．個體C．樣本的容量D．從總體中抽取的一個樣本答案A解析由題目條件知，5000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中1名居民的閱讀時間是個體；從5000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的一個樣本，樣本容量是200.3．某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應在這三個年齡段分別抽取人數為()A．33,34,33 B．25,56,19C．20,40,30 D．30,50,20答案B解析因為125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人數分別為25,56,19.4．某班共有52人，現依據學生的學號，用系統抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號，29號，42號學生在樣本中，那么樣本中還有一個學生的學號是()A．10B．11C．12D．16答案D解析從被抽中的3名學生的學號中可以看出學號間距為13，所以樣本中還有一個學生的學號是16，故選D.題組三易錯自糾5．從編號為1～50的50枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取5枚來進行放射試驗，若采納每部分選取的號碼間隔一樣的系統抽樣方法，則所選取5枚導彈的編號可能是()A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32答案B解析間隔距離為10，故可能的編號是3,13,23,33,43.6．從300名學生(其中男生180人，女生120人)中按性別用分層抽樣的方法抽取50人參與競賽，則應當抽取的男生人數為________．答案30解析因為男生與女生的比例為180∶120＝3∶2，所以應當抽取的男生人數為50×eq\f(3,3＋2)＝30.題型一簡潔隨機抽樣例1(1)某班級有男生20人，女生30人，從中抽取10人作為樣本，其中一次抽樣結果是：抽到了4名男生，6名女生，則下列命題正確的是()A．這次抽樣中可能采納的是簡潔隨機抽樣B．這次抽樣肯定沒有采納系統抽樣C．這次抽樣中每個女生被抽到的概率大于每個男生被抽到的概率D．這次抽樣中每個女生被抽到的概率小于每個男生被抽到的概率答案A解析利用解除法求解．這次抽樣可能采納的是簡潔隨機抽樣，A正確；這次抽樣可能采納系統抽樣，男生編號為1～20，女生編號為21～50，間隔為5，依次抽取1號，6號，…，46號便可，B錯誤；這次抽樣中每個女生被抽到的概率等于每個男生被抽到的概率，C和D均錯誤．(2)福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01,02,03，…，32,33這33個兩位號碼中選取，小明利用如下所示的隨機數表選取紅色球的6個號碼，選取方法是從第1行第9列的數字起先，從左到右依次讀取數據，則第四個被選中的紅色球的號碼為()81472368639317901269868162935060913375856139850632359246225410027849821886704805468815192049A.12B．33C．06D．16答案C解析被選中的紅色球的號碼依次為17,12,33,06,32,22.所以第四個被選中的紅色球的號碼為06.思維升華應用簡潔隨機抽樣應留意的問題(1)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否便利；二是號簽是否易攪勻．一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．(2)在運用隨機數表法時，如遇到三位數或四位數，可從選擇的隨機數表中的某行某列的數字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，將超過總體號碼或出現重復號碼的數字舍去．跟蹤訓練1(1)在簡潔隨機抽樣中，某一個個體被抽到的可能性()A．與第n次有關，第一次可能性最大B．與第n次有關，第一次可能性最小C．與第n次無關，與抽取的第n個樣本有關D．與第n次無關，每次可能性相等答案D解析∵在簡潔隨機抽樣中，每個個體被抽到可能性都相等，與第n次無關，∴D正確．(2)總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字起先由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B．07C．02D．01答案D解析由題意知前5個個體的編號為08,02,14,07,01.題型二系統抽樣例2(1)利用系統抽樣法從編號分別為1,2,3，…，80的80件不同產品中抽取一個容量為16的樣本，假如抽出的產品中有一個產品的編號為13，則抽到產品的最大編號為()A．73B．78C．77D．76答案B解析樣本的分段間隔為eq\f(80,16)＝5，所以13號在第三組，則最大的編號為13＋(16－3)×5＝78.(2)某單位有840名職工，現采納系統抽樣方法抽取42人做問卷調查，將840人按1,2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入區間[481,720]的人數為()A．11B．12C．13D．14答案B解析由eq\f(840,42)＝20，即每20人抽取1人，所以抽取編號落入區間[481,720]的人數為eq\f(720－480,20)＝eq\f(240,20)＝12.引申探究1．若本例(2)中條件不變，若號碼“5”被抽到，那么號碼“55”________被抽到．(填“能”或“不能”)答案不能解析若55被抽到，則55＝5＋20n，n＝2.5，n不是整數．故不能被抽到．2．若本例(2)中條件不變，若在編號為[481,720]中抽取8人，則樣本容量為________．答案28解析因為在編號[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，所以抽樣比應為240∶8＝30∶1，又因為單位職工共有840人，所以應抽取的樣本容量為eq\f(840,30)＝28.思維升華(1)系統抽樣適用的條件是總體容量較大，樣本容量也較大．(2)運用系統抽樣時，若總體容量不能被樣本容量整除，可以先從總體中隨機地剔除幾個個體，從而確定分段間隔．(3)起始編號的確定應用簡潔隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定．跟蹤訓練2將參與夏令營的600名學生按001,002，…，600進行編號．采納系統抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分別住在三個營區，從001到300在第Ⅰ營區，從301到495在第Ⅱ營區，從496到600在第Ⅲ營區，則三個營區被抽中的人數依次為()A．26,16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9答案B解析由題意及系統抽樣的定義可知，將這600名學生按編號依次分成50組，每一組各有12名學生，第k(k∈N＋)組抽中的號碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103,4)，因此第Ⅰ營區被抽中的人數是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此第Ⅱ營區被抽中的人數是42－25＝17；第Ⅲ營區被抽中的人數為50－25－17＝8.題型三分層抽樣命題點1求總體或樣本容量例3(1)某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n等于()A．9B．10C．12D．13答案D解析∵eq\f(3,60)＝eq\f(n,120＋80＋60)，∴n＝13.(2)某工廠生產甲、乙、丙三種型號的產品，產品數量之比為3∶5∶7，現用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產品有18件，則樣本容量n等于()A．54B．90C．45D．126答案B解析依題意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即樣本容量為90.命題點2求某層入樣的個體數例4(1)某電視臺在因特網上就觀眾對其某一節目的寵愛程度進行調查，參與調查的一共有20000人，其中各種看法對應的人數如下表所示：最寵愛寵愛一般不寵愛4800720064001600電視臺為了了解觀眾的具體想法和看法，準備從中抽取100人進行具體的調查，為此要進行分層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應抽取的人數分別為()A．25,25,25,25 B．48,72,64,16C．20,40,30,10 D．24,36,32,8答案D解析方法一因為抽樣比為eq\f(100,20000)＝eq\f(1,200)，所以每類人中應抽取的人數分別為4800×eq\f(1,200)＝24，7200×eq\f(1,200)＝36,6400×eq\f(1,200)＝32,1600×eq\f(1,200)＝8.方法二最寵愛、寵愛、一般、不寵愛的比例為4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每類人中應抽取的人數分別為eq\f(6,6＋9＋8＋2)×100＝24，eq\f(9,6＋9＋8＋2)×100＝36，eq\f(8,6＋9＋8＋2)×100＝32，eq\f(2,6＋9＋8＋2)×100＝8.(2)我國古代數學專著《九章算術》中有一衰分問題：今有北鄉八千一百人，西鄉七千四百八十八人，南鄉六千九百一十二人，凡三鄉，發役三百人，則北鄉遣()A．104人B．108人C．112人D．120人答案B解析由題意可知，這是一個分層抽樣的問題，其中北鄉可抽取的人數為300×eq\f(8100,8100＋7488＋6912)＝300×eq\f(8100,22500)＝108，故選B.思維升華分層抽樣問題類型及解題思路(1)求某層應抽個體數量：按該層所占總體的比例計算．(2)已知某層個體數量，求總體容量或反之：依據分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算．(3)確定是否應用分層抽樣：分層抽樣適用于總體中個體差異較大的狀況．跟蹤訓練3(1)某校為了了解學生學習的狀況，采納分層抽樣的方法從高一1000人，高二1200人，高三n人中抽取81人進行問卷調查，已知高二被抽取的人數為30，那么n等于()A．860B．720C．1020D．1040答案D解析分層抽樣是按比例抽樣的，所以81×eq\f(1200,1000＋1200＋n)＝30，解得n＝1040.(2)某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為200,400,300,100件，為檢驗產品的質量，現用分層抽樣的方法從以上全部的產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取________件．答案18解析∵eq\f(樣本容量,總體個數)＝eq\f(60,200＋400＋300＋100)＝eq\f(3,50)，∴應從丙種型號的產品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．1．某工廠平均每天生產某種機器零件10000件，要求產品檢驗員每天抽取50件零件，檢查其質量狀況，采納系統抽樣方法抽取，將零件編號為0000,0001,0002，…，9999，若抽取的第一組中的號碼為0010，則第三組抽取的號碼為()A．0210B．0410C．0610D．0810答案B解析將零件分成50段，分段間隔為200，因此，第三組抽取的號碼為0010＋2×200＝0410，故選B.2．打橋牌時，將洗好的撲克牌(52張)隨機確定一張為起始牌后，起先按次序搬牌，對任何一家來說，都是從52張總體中抽取一個13張的樣本，則這種抽樣方法是()A．系統抽樣 B．分層抽樣C．簡潔隨機抽樣 D．非以上三種抽樣方法答案A解析符合系統抽樣的特點，故選A.3．下列抽取樣本的方式屬于簡潔隨機抽樣的個數為()①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本；②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質量檢驗．在抽樣操作時，從中隨意拿出一個零件進行質量檢驗后再把它放回盒子里；③從20件玩具中一次性抽取3件進行質量檢驗；④某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參與學校組織的籃球賽．A．0B．1C．2D．3答案A解析①不是簡潔隨機抽樣．②不是簡潔隨機抽樣．由于它是放回抽樣．③不是簡潔隨機抽樣．因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取．④不是簡潔隨機抽樣．因為指定個子最高的5名同學是56名中特指的，不存在隨機性，不是等可能抽樣．4．某中學有中學生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習狀況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從中學生中抽取70人，則n為()A．100B．150C．200D．250答案A解析方法一由題意可得eq\f(70,n－70)＝eq\f(3500,1500)，解得n＝100.方法二由題意，得抽樣比為eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，總體容量為3500＋1500＝5000，故n＝5000×eq\f(1,50)＝100.5．在一次馬拉松競賽中，35名運動員的成果(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示：13003456688891411122233445556678150122333若將運動員按成果由好到差編為1～35號，再用系統抽樣方法從中抽取7人，則其中成果在區間[139,151]上的運動員人數是()A．3B．4C．5D．6答案B解析第一組(130,130,133,134,135)，其次組(136,136,138,138,138)，第三組(139,141,141,141,142)，第四組(142,142,143,143,144)，第五組(144,145,145,145,146)，第六組(146,147,148,150,151)，第七組(152,152,153,153,153)，故成果在[139,151]上恰有4組，故有4人，故選B.6．已知某地區中小學生人數和近視狀況分別如圖(1)和圖(2)所示．為了解該地區中小學生的近視形成緣由，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的中學生近視人數分別為()A．100,10 B．200,10C．100,20 D．200,20答案D解析該地區中小學生總人數為3500＋2000＋4500＝10000，則樣本容量為10000×2%＝200，其中抽取的中學生近視人數為2000×2%×50%＝20.7．(2024·大連模擬)某中學安排從全校學生中按年級采納分層抽樣方法抽取20名學生進行心理測試，其中高三有學生900人，已知高一與高二共抽取了14人，則全校學生的人數為()A．2400B．2700C．3000D．3600答案C8．(2024·沈陽模擬)分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后依據肯定的比例，從各層獨立地抽取肯定數量的個體，組成一個樣本的抽樣方法．在《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢．欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢，要依據各人帶錢多少的比例進行交稅，問三人各應付多少稅？則下列說法錯誤的是()A．甲應付51eq\f(41,109)錢B．乙應付32eq\f(24,109)錢C．丙應付16eq\f(56,109)錢D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少答案B解析依題意由分層抽樣可知，100÷(560＋350＋180)＝eq\f(10,109)，則甲應付：eq\f(10,109)×560＝51eq\f(41,109)(錢)；乙應付：eq\f(10,109)×350＝32eq\f(12,109)(錢)；丙應付：eq\f(10,109)×180＝16eq\f(56,109)(錢)．9．將某班的60名學生編號為01,02，…，60，采納系統抽樣方法抽取一個容量為5的樣本，且隨機抽得的一個號碼為04，則剩下的四個號碼依次是______________．答案16,28,40,52解析編號組數為5，間隔為eq\f(60,5)＝12，因為在第一組抽得04號：4＋12＝16,16＋12＝28,28＋12＝40,40＋12＝52，所以其余4個號碼依次為16,28,40,52.10．某中學在校學生有2000人．為了響應“陽光體育運動”的號召，學校開展了跑步和登山的競賽活動．每人都參與而且只能參與其中一項競賽，各年級參與競賽的人數狀況如下表：高一年級高二年級高三年級跑步abc登山xyz其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校參與登山的人數占總人數的eq\f(2,5).為了了解學生對本次活動的滿足程度，從中抽取一個200人的樣本進行調查，則從高二年級參與跑步的學生中應抽取的人數為______．答案36解析依據題意可知，樣本中參與跑步的人數為200×eq\f(3,5)＝120，所以從高二年級參與跑步的學生中應抽取的人數為120×eq\f(3,2＋3＋5)＝36.11.200名職工年齡分布如圖所示，從中隨機抽取40名職工作樣本，采納系統抽樣方法，按1～200編號，分為40組，分別為1～5,6～10，…，196～200，若第5組抽取號碼為22，則第8組抽取號碼為________．若采納分層抽樣，40歲以下年齡段應抽取________人．答案3720解析將1～200編號分為40組，則每組的間隔為5，其中第5組抽取號碼為22，則第8組抽取的號碼應為22＋3×5＝37；由已知條件得，200名職工中40歲以下的職工人數為200×50%＝100，設在40歲以下年齡段中應抽取x人，則eq\f(40,200)＝eq\f(x,100)，解得x＝20.12．一個總體中有100個個體，隨機編號為0,1,2，…，99.依編號依次平均分成10個小組，組號依次為1,2，…，10.現用系統抽樣的方法抽取一個容量為10的樣本，規定假如在第1組中隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼的個位數字與m＋k的個位數字相同．若m＝6，則在第7組中抽取的號碼是________．答案63解析m＝6，則在第7組中抽取的號碼的個位數字與13的個位數字相同，而第7組中數字編號依次為60,61,62,63，…，69，故在第7組中抽取的號碼是63.13．某市教化主管部門為了全面了解2025屆高三學生的學習狀況，確定對該市參與2024年高三第一次全省統一考試(后稱統考)的32所學校進行抽樣調查．將參與統考的32所學校進行