專題強化電場線、等勢面與帶電粒子運動軌跡問題等分法的應用[學習目標]1.會根據電場線、等勢面與帶電粒子的運動軌跡判斷粒子的受力情況及能量的變化情況(重難點)。2.會利用等分法確定等勢面和電場線(重難點)。一、電場線、等勢面與帶電粒子運動軌跡的綜合問題帶電粒子在電場中運動軌跡問題的分析方法：1．判斷速度方向：帶電粒子運動軌跡上某點的切線方向為粒子在該點處的速度方向。2．判斷靜電力(或電場強度)的方向：僅受靜電力作用時，帶電粒子所受靜電力方向指向軌跡曲線的凹側，再根據粒子的正負判斷該點處電場強度的方向。3．判斷靜電力做功的正負及電勢能的增減：若靜電力與速度方向成銳角，則靜電力做正功，電勢能減少；若靜電力與速度方向成鈍角，則靜電力做負功，電勢能增加。4．判斷粒子動能的增減：可以根據動能定理或能量守恒定律判斷動能的變化情況。例1如圖所示，實線表示某電場的電場線(方向未標出)，虛線是一帶負電的粒子只在靜電力作用下的運動軌跡，設M點和N點的電勢分別為φM、φN，粒子在M和N時加速度大小分別為aM、aN，速度大小分別為vM、vN，電勢能分別為EpM、EpN。下列判斷正確的是()A．vM＜vN，aM>aNB．vM＜vN，φM＜φNC．φM＜φN，EpM＜EpND．aM＜aN，EpM＜EpN答案D解析由粒子的運動軌跡知粒子所受靜電力的方向向右偏，因粒子帶負電，故電場線方向向左，由沿電場線方向電勢降低，可知φN<φM，EpM<EpN；N點附近電場線比M點密，故電場強度EM<EN，知aM<aN，粒子若從N點運動到M點，靜電力做正功，電勢能減少，動能增加，故vM>vN，粒子若從M點運動到N點同樣可得vM>vN。綜上所述，選項D正確。拓展若例1實線為等差等勢面，其他條件不變，下列選項正確的是()A．vM＜vN，aM>aN B．vM＜vN，φM＜φNC．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN答案B解析若實線為等差等勢面，帶電粒子在a點受力如圖，因粒子帶負電，電場強度與F的方向相反，則φM<φN；若粒子從M點運動至N點，靜電力做正功，故EpM>EpN，vM<vN，若粒子從N點運動至M點，靜電力做負功，仍有EpM>EpN，vM<vN，根據等勢面疏密知，EM<EN，故aM<aN，因此選B。1．在解決帶電粒子在電場中運動軌跡問題時，要分清題目中是電場線還是等勢線，一般選擇軌跡與電場線(等勢線)的交點進行分析。2．判斷靜電力的方向時，若題目已知電場線，過交點作電場線的切線，結合軌跡確定具體的靜電力的方向；若題目已知等勢線，過交點作等勢線切線的垂線，結合軌跡確定具體的靜電力方向。二、等分法確定等勢面和電場線例2(1)如圖甲，在勻強電場中，有A、B、C三點，其中B為AC的中點，則UAB________UBC(填“>”“<”或“＝”)，φB＝______________(用φA、φC表示)。(2)如圖乙所示，若線段ABC與勻強電場夾角為θ，B為AC的中點，則φB＝______________(用φA、φC表示)。(3)如圖丙所示，若未知勻強電場的方向，B仍為線段AC的中點，φB＝__________(用φA、φC表示)。答案(1)＝eq\f(φA＋φC,2)(2)eq\f(φA＋φC,2)(3)eq\f(φA＋φC,2)勻強電場中任一線段AC的中點B的電勢φB＝eq\f(φA＋φC,2)。拓展1(1)A、B、C、D是勻強電場中一正方形的四個頂點，已知A、B、C三點的電勢分別為φA＝15V、φB＝9V、φC＝－3V，由此可知φD＝______V。(2)A、B、C、D為下列圖形中的四個點，若A、B、C三點的電勢分別為φA＝15V、φB＝9V、φC＝－3V，則φD＝________V。答案(1)3(2)3解析(1)方法一作輔助線AC、BD，交于O點，φO＝eq\f(φA＋φC,2)＝eq\f(φB＋φD,2)，故φA＋φC＝φB＋φD，解得φD＝3V。方法二因AB∥CD，且dAB＝dCD，則UAB＝UDC，φA－φB＝φD－φC，解得φD＝3V。(2)甲中φA＋φC＝φB＋φD，得φD＝3V；乙中φA＋φC＝φB＋φD，得φD＝3V；丙中φA＋φC＝φB＋φD，得φD＝3V。1．勻強電場中，關于同一點對稱的任意兩點的電勢之和相等；2．勻強電場中，若兩線段平行且相等，兩線段兩端電勢差相等。拓展2在圖中，作出拓展1中過A點的電場線。答案如圖，將AC三等分，標上三等分點E、F，根據勻強電場中沿電場線方向相等距離，電勢差相等，知φE＝9V，φF＝3V。分別連接BE、DF，BE為9V的等勢線，DF為3V的等勢線，過A點作BE(DF)的垂線，電場線沿垂線向下。確定勻強電場的電場方向的方法1．由等分法確定各點電勢；2．連接電勢相等的點畫出等勢線；3．根據電場線與等勢面垂直畫出電場線；4．由電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面標出電場線的方向。例3如圖所示，在平面直角坐標系中，有一個方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為0，點A處的電勢為6V，點B處的電勢為3V，則電場強度的大小為()A．200V/m B．200eq\r(3)V/mC．100V/m D．100eq\r(3)V/m答案A解析方法一在勻強電場中，沿某一方向電勢均勻降低或升高，故OA的中點C的電勢φC＝3V(如圖所示)，因此B、C在同一等勢面上。O點到BC的距離d＝OCsinα，而sinα＝eq\f(\x\to(OB),\r(OB2＋OC2))＝eq\f(1,2)，所以d＝eq\f(1,2)OC＝1.5×10－2m，勻強電場的電場強度大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,1.5×10－2)V/m＝200V/m，故選項A正確。方法二UBO＝3V，電場強度在y軸的分量Ey＝eq\f(UBO,BO)＝100eq\r(3)V/m，方向沿y軸負方向UAO＝6V，電場強度在x軸的分量Ex＝eq\f(UAO,AO)＝100V/m，方向沿x軸負方向E＝eq\r(Ex2＋Ey2)＝200V/m。求勻強電場電場強度大小常用的方法方法一：確定兩等勢面間電勢差U及等勢面之間距離d，利用E＝eq\f(U,d)計算電場強度大小。方法二：分別利用Ex＝eq\f(Ux,dx)和Ey＝eq\f(Uy,dy)計算兩個相互垂直方向上的電場強度大小，再利用矢量合成求出合電場強度的大小。1．(2024·黑龍江省哈爾濱市九中高二期中)圖中虛線為勻強電場中與電場強度方向垂直的等間距平行直線，兩粒子M、N比荷相等，電性相反。現將M、N從虛線上的O點以相同速率射出，兩粒子在電場中運動的軌跡分別如圖中兩條實線所示。點a、b、c為實線與虛線的交點，已知O點電勢高于c點。若不計重力，則()A．M帶負電荷，N帶正電荷B．N在a點的速度與M在c點的速度大小相等C．N在a點的動能與M在c點的動能一定相同D．N從O點運動至a點的過程中電勢能增加答案B解析虛線為勻強電場中與電場強度方向垂直的等間距平行直線，即虛線為等差等勢線，O點電勢高于c點，沿著電場線的方向電勢降低，可知勻強電場電場線的方向如圖所示結合曲線運動的軌跡可知，M粒子所受靜電力方向與電場線方向相同，M粒子帶正電，N粒子所受靜電力方向與電場線方向相反，N粒子帶負電，A錯誤；a、O、c三點分別在連續的等差等勢線上，且兩粒子M、N比荷相等，M粒子帶正電，N粒子帶負電，結合曲線可知，N從O點運動至a點和M從O點運動至c點過程中根據動能定理qU＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02變形為eq\f(2qU,m)＝v2－v02可知N在a點的速度大小與M在c點速度大小相等，B正確；由于M、N粒子的電荷量未知，靜電力做功大小不一定相等，N在a點的動能與M在c點的動能不一定相同，C錯誤；N從O點運動至a點的過程中，靜電力做正功，電勢能減少，D錯誤。2．(2024·長沙市高二期末)P、Q、M是在同一平面上勻強電場中的三個點，已知各點電勢φP＝10V、φQ＝2V、φM＝6V，圖中電場強度的方向表示正確的是()答案D解析由題意可知，直線PQ中點的電勢為6V，與M點電勢相等，勻強電場的電場線垂直等勢面，電場的方向由電勢高處指向電勢低處，故選D。3．(2024·哈爾濱市高二期中)一勻強電場的方向平行于xOy平面，平面內a、b、c三點的位置如圖所示，三點的電勢分別為4V、14V、9V。下列說法正確的是()A．坐標原點處的電勢為零B．電場強度的大小為1.5V/cmC．電子在a點的電勢能比在b點的小D．電子從b點運動到c點，電子克服靜電力做功5eV答案D解析因為是勻強電場，所以有φc－φa＝φb－φO可得φO＝9V，A錯誤；因為φO＝φc＝9V，所以Oc為等勢線，bd方向為電場線方向，如圖b、d兩點的電勢差為U＝φb－φd＝5V由幾何關系可得，b、d兩點的距離為l＝4.8cm根據E＝eq\f(U,l)可得E＝eq\f(25,24)V/cm，B錯誤；根據負電荷在電勢高的地方電勢能小，因為φa<φb，所以電子在a點的電勢能比在b點的大，C錯誤；電子從b點運動到c點，靜電力做功為W＝－eUbc＝－e(φb－φc)＝－5eV所以電子從b點運動到c點，電子克服靜電力做功5eV，D正確。專題強化練[分值：60分]1～7題每題4分，共28分考點一電場線、等勢面與帶電粒子運動軌跡問題1．若帶正電荷的微粒在電場中運動，只受靜電力作用，它在任意一段時間內()A．一定沿電場線由高電勢處向低電勢處運動B．一定沿電場線由低電勢處向高電勢處運動C．不一定沿電場線運動，但一定由高電勢處向低電勢處運動D．不一定沿電場線運動，也不一定由高電勢處向低電勢處運動答案D解析微粒的運動情況取決于合力和初速度的關系，微粒只受到靜電力的作用，是否沿電場線運動，還要看電場線是直線還是曲線，微粒有沒有初速度及初速度方向與電場線的關系；只有當電場線是直線且微粒的運動方向沿著電場線時，微粒才沿電場線運動，微粒不一定由高電勢處向低電勢處運動，故A、B、C錯誤，D正確。2.(多選)(2023·天津市實驗中學高二期中)如圖所示，虛線a、b、c代表電場中三個等勢面，相鄰等勢面間的電勢差相等，實線為一帶正電的質點僅在靜電力作用下通過該區域時的運動軌跡，P、Q是這條軌跡上的兩點，據此可知()A．三個等勢面中，a的電勢最高B．質點通過P點時電勢能大于通過Q點時的電勢能C．質點通過P點時動能大于通過Q點時的動能D．質點通過P點時加速度大于通過Q點時的加速度答案BD解析質點所受靜電力指向運動軌跡凹側，且沿電場線切線方向，由于質點帶正電，電場線與等勢面垂直，故該區域的電場線方向由c指向a，由沿電場線方向電勢降低可知，c等勢面的電勢最高，a等勢面的電勢最低，A錯誤；若質點從P運動到Q，根據質點受力情況可知，運動過程中靜電力做正功，電勢能減小，故通過P點的電勢能大于Q點的電勢能，若質點從Q運動到P，靜電力做負功，在P點的電勢能大于在Q點的電勢能，B正確；從P到Q過程中靜電力做正功，電勢能減小，動能增大，從Q到P的運動過程中靜電力做負功，電勢能增大，動能減小，故通過P點的動能小于Q點的動能，C錯誤；等差等勢面越密的地方電場強度越大，故質點通過P點時電場強度大，靜電力大，根據牛頓第二定律可知，質點通過P點時的加速度大于通過Q點時的加速度，D正確。3.(多選)負點電荷Q固定在正方形的一個頂點上，帶電粒子P僅在該電荷的靜電力作用下運動時，恰好能經過正方形的另外三個頂點a、b、c，如圖所示，則()A．粒子P帶負電B．a、b、c三點的電勢高低關系是φa＝φc<φbC．粒子P由a到b電勢能增加，由b到c電勢能減小D．粒子P在a、b、c三點時的加速度大小之比是2∶1∶2答案BCD解析由運動軌跡可知，粒子P受靜電力作用，粒子帶正電，故A錯誤；a、c與負點電荷Q的距離相等，b點距離負點電荷Q較遠。距離負電荷越遠，電勢越高，故B正確；正電荷在電勢越高(低)的位置，電勢能越大(小)，粒子P由a到b電勢能增加，由b到c電勢能減小，故C正確；由幾何關系，a、b、c三點到負點電荷Q的距離關系為ra＝rc＝eq\f(\r(2),2)rb，又根據F＝keq\f(Qq,r2)＝ma，得aa∶ab∶ac＝2∶1∶2，故D正確。4.(多選)(2023·呂梁市高二期末)如圖所示，在研究電子在電場中的運動時，得到了電子由a點運動到b點的軌跡，圖中一組等間距虛線可能是電場線，也可能是等勢線，則下列判斷正確的有()A．如果虛線是電場線，則a點的電場強度大于b點的電場強度B．如果虛線是電場線，則a點的電勢高于b點的電勢C．如果虛線是等勢線，則a點的電勢低于b點的電勢D．如果虛線是等勢線，則電子由a點運動到b點，電勢能減小答案BCD解析若虛線是電場線，由題圖可知該電場是勻強電場，故A錯誤；如果虛線是電場線，結合電子的運動軌跡知，電子受到向左的靜電力，電場線方向向右，則a點的電勢高于b點的電勢，故B正確；如果虛線是等勢線，結合電子的運動軌跡知，電子受到向下的靜電力，電場線方向向上，則a點的電勢低于b點的電勢，故C正確；如果虛線是等勢線，電子受到向下的靜電力，電子由a點運動到b點，靜電力做正功，電勢能減小，故D正確。考點二等分法確定等勢面和等勢線5．(2024·遼寧省名校聯盟期中)如圖所示，在勻強電場中有a、b、c、d四點，它們處于同一圓周上，且ac、bd分別是圓的直徑，已知a、b、c三點的電勢分別為φa＝12V、φb＝20V、φc＝24V，則此圓的圓心O與d點的電勢差為()A．2VB．3VC．4VD．6V答案A解析根據幾何知識知，ab長度等于cd長度，且線段ab平行于線段cd，根據在勻強電場中平行相等兩線段端點之間的電勢差相等，則φb－φa＝φc－φd，可得φd＝16V，O點的電勢φO＝eq\f(φd＋φb,2)＝18V，圓心O與d點的電勢差UOd＝φO－φd＝2V，故選A。6．(2024·四川省寧南中學高二期中)如圖所示，△ABC為邊長為L的正三角形，某勻強電場的電場線與正三角形平面平行，將一個電荷量為q的正電荷若從A點移到B點，靜電力做的正功為qU，若從A點移到C點，靜電力做的負功為－qU，則下列說法正確的是()A．電場方向由B指向CB．B、C兩點電勢相等C．電場強度大小為eq\f(U,L)D．若電荷從C點移到B點，靜電力所做的正功為2qU答案D解析將一個電荷量為q的正電荷若從A點移到B點，靜電力做的正功為qU，若從A點移到C點，靜電力做的負功為－qU，由此可以判斷，BC中點與A點等勢，故電場方向與BC平行，由于靜電力從A到C做負功，因此正電荷的電勢能增大，A點電勢比C點電勢低，因此電場方向由C指向B，故A錯誤；電場方向由C指向B，沿電場方向電勢降低，故C點電勢大于B點，故B錯誤；電荷量為q的正電荷若從A點移到B點，靜電力做的正功為qU，而A到B沿電場方向的距離為d＝eq\f(L,2)，故由W＝Eqd，得E＝eq\f(W,qd)＝eq\f(qU,q\f(L,2))＝eq\f(2U,L)，故C錯誤；若電荷從C點移到B點，靜電力所做的正功為W＝Eq·2d＝eq\f(2U,L)qL＝2qU，故D正確。7．(多選)(2024·赤峰市高二檢測)如圖所示，A、B、C、D、E、F為勻強電場中一個邊長為1m的正六邊形的六個頂點，A、B、C三點電勢分別為4V、5V、6V，正六邊形所在平面與電場線平行，下列說法中正確的是()A．直線CD和AF可構成電場中的兩條等勢線B．勻強電場的電場強度大小為eq\f(\r(3),3)V/mC．勻強電場的電場強度方向由C指向AD．將一個電子由B點移到D點，電子的電勢能將減少2eV答案AC解析如圖所示，連接AC、BE，根據勻強電場的性質可知，AC中點G電勢為5V，與B點電勢相等，則EB連線必為一條等勢線，由正六邊形對稱性，CD平行于EB，而勻強電場的等勢面平行，則CD直線也是一條等勢線，同理，AF直線也為等勢線，故A正確；由幾何知識可知，CA⊥EB，EB是等勢線，則CA連線必為一條電場線，根據沿電場方向電勢降低可知，電場強度的方向由C指向A；勻強電場的電場強度大小為E＝eq\f(UCA,dCA)＝eq\f(2,\r(3))V/m＝eq\f(2\r(3),3)V/m，故B錯誤，C正確；將一個電子由B點移到D點，靜電力做功為WBD＝－eUBD＝－e(5V－6V)＝1eV，可知電子的電勢能將減少1eV，故D錯誤。8～10題每題8分，共24分8.(多選)(2023·武岡市高二期中)如圖所示，實線為方向未知的三條電場線，虛線分別為等勢線1、2、3，已知MN＝NQ，a、b兩帶電粒子從等勢線2上的O點以相同的初速度飛出。僅在靜電力作用下，兩粒子的運動軌跡如圖所示，則()A．a一定帶正電，b一定帶負電B．a加速度減小，b加速度增大C．MN兩點電勢差|UMN|大于NQ兩點電勢差|UNQ|D．a粒子到達等勢線3的動能變化量比b粒子到達等勢線1的動能變化量小答案BC解析粒子受到的合外力應指向軌跡的凹側，但電場線的方向未知，無法判斷帶電粒子的電性，故A錯誤；由題圖可知，a往電場線稀疏的區域運動，故靜電力變小，加速度變小；b相反，加速度增大，故B正確；由電場線疏密與電場強弱關系可知，MN之間電場強度比NQ之間的電場強度大，且MN＝NQ，由U＝Ed定性分析可知，MN兩點間的電勢差更大，故C正確；因為不知道兩個粒子帶電荷量的關系，故無法判斷電勢能的變化量，也就沒有辦法比較動能變化量的關系，故D錯誤。9.(多選)如圖，一帶正電的點電荷固定于O點，兩虛線圓均以O為圓心，兩實線分別為帶電粒子M和N先后在電場中運動的軌跡，a、b、c、d、e為軌跡和虛線圓的交點。不計粒子重力，下列說法正確的是()A．M帶負電，N帶正電B．M在b點的動能小于它在a點的動能C．N在d點的電勢能等于它在e點的電勢能D．N在從c點運動到d點的過程中克服靜電力做功答案ABC解析由M粒子的運動軌跡，可知M粒子受到了引力作用，故M帶負電，而N粒子的軌跡向下彎曲，則N粒子所受的靜電力方向向下，說明N粒子受到斥力作用，故N粒子帶正電，故選項A正確；虛線為等勢面，對M粒子從a到b的整個過程來說，靜電力對其做負功，動能減小，故選項B正確；對于N粒子，由于d和e在同一等勢面上，故從d到e的整個過程靜電力不做功，電勢能不變，故選項C正確；由于N粒子帶正電，故從c點運動到d點的過程中，