高數知識點總結（下冊）——北雁友情提供向量代數與空間解析幾何空間直角坐標系 卦限：三個坐標面把空間分成八部分，每一部分即為一個卦限（上下同為逆時針）。 空間兩點間的距離：向量代數 向量概念（略）。向量的表示法幾何表示法（有向線段） 向量相等：模相等、彼此平行且指向相同 逆向量：與向量a大小相等而方向相反的向量稱為a的逆向量 單位向量：模為1 零向量：模為0，記為，零向量方向不定，也可以說任意向量的加、減法與數的乘法 向量加法規則 平行四邊形法則：兩向量、的和是以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線，即向量，記為=+(如右圖) 三角形法則：（見圖如右側）向量加法運算規律 （1）a+b=b+a (2)(a+b)+c=a+(b+c) （3）a+0=a (4)a+(-a)=0向量減法（即向量加法的逆運算） 數與向量的乘積：數量與向量a的乘積是一個向量，記為a a的模等于|a|與||的乘積，即|a|=|||a| a的方向：當>0時，與a同向；當<0時，與a反向；=0時，它是零向量。數量與向量的乘積規律 （1）(a)=()a (2)(+)a=a+a(對數量分配率) （3）(a+b)=a+b(對向量分配率) 單位向量：把與a同向，模為1的向量叫做a的單位向量，記為 顯然有=或 a=|a|向量在軸上的投影（見書）向量的坐標表示 向量的模 方向余弦： 其中把、、叫做向量的方 向余弦 ++=1（任何向量的方向余弦的平方和恒等于1） a的方向余弦，就是的坐標，即 ={，，}方向數：與方向余弦成比例的一組實數l，m，n，即（向量的方向數不是唯一的）向量的數量積定義：兩個非零向量a，b的數量積等于兩個向量的模和它們間夾角余弦的乘積，記為，即（0） |b|cos（a，b）就是向量b在向量a的方向上的投影零向量與任何向量的數量積為0數量積運算規律（1）ab=ba (2)a(b+c)=ab+ac（3）(ab）=(a)b=a(b)推論：（1）aa= (2)a,b向量垂直ab=0結論：兩個非零向量a與b互相垂直的充要條件是ab=0數量積的坐標表達式(1)ab=(2)兩向量互相垂直的充要條件是兩向量的向量積定義：兩向量a與b的向量積食一個向量c，記為c=abC的模C的方向垂直于a和b，即c垂直于a與b決定的平面向量積運算規律(見書17頁)（1）a×b=-b×a 結論：兩個非零向量a與b互相平行的充要條件是a×b=0推論：i×i=0j×j=0k×k=0向量積的坐標表示兩向量平行條件坐標表達式平面及其方程曲面方程概念（見書21頁）平面的點法式方程：（設為平面的任意一點，向量n={A,B,C}為平面的一個法線向量）平面的一般式方程：（其中A,B,C不同時為零）重要結論：平面方程中，如缺x,y,z中的某一項，平面就平行或通過（D=0）某個軸，如缺其中兩項，則平面就平行或重合（D=0）與那兩項所決定的坐標平面平面的截距式方程：兩平面的夾角及平面平行、垂直條件 兩平面的夾角公式：兩平面法線向量分別為, 兩平面垂直的充要條件： 兩平面平行的充要條件：空間直線及其方程 直線參量式方程：設有一點及一個已知向量（l,m,n不全為零） 直線的標準式方程：（條件同參量式方程） 直線的一般式方程：（直線為兩平面交線）空間兩直線的夾角及直線平行、垂直條件 兩向量夾角余弦公式： 兩直線垂直的充要條件： 兩直線平行的充要條件：直線與平面的夾角及平行、垂直條件 直線L標準式方程： 平面的方程為： 直線與平面夾角的正弦為： 直線與平面垂直的充要條件： 直線與平面平行的充要條件：多元函數微分學 二元函數的定義見書59頁（點函數的概念同上） 二元函數定義域見書61頁（幾何定義，極限） 二元函數的連續性 定義：設函數在點的某一鄰域內有定義，如果當點趨于點時，函數的極限等于在點處的函數值即，稱函數在點處連續 表示形式二： 全增量 定義二：設函數在點的某一鄰域內有定義，若，則稱函數在點處連續最大值與最小值定理 若函數在有界閉域D上連續，則在D上一定取得最大值和最小值，即如下結論 （1）在D上至少存在一點，恒有 （2）在D上至少存在一點，恒有介值定理：若函數在有界閉域D上連續，則在D上必取得介于函數最大值M和最小值m之間的任何值 多元初等函數在其定義域（是指包含在定義域內的區域）內是連續的偏導函數概念（見書69頁）（幾何意義）高階偏導數 定理：如果函數在域D上二階混合偏導數，連續，則在該區域上必有=。 全微分及其應用 全微分概念（見書79頁） 定理：如果在點處可微，則它在點處連續 定理：如果函數在點處可微，則在該點處的兩個偏導數存在，并且, 全微分計算公式：或 定理：設在點的某鄰域內偏導數、存在，且、連續，則函數在點處可微 推論：偏導數連續，函數一定可微：函數可微，偏導數一定存在 函數可微，函數一定連續復合函數的微分法 定理：設函數，在點處有偏導數，而函數在對應點（u，v）處有連續偏導數，則復合函數在點處有偏導數和，且（多元復合函數偏導數的基本公式） z、u、v這三個函數都是x的一元函數，故對x的導數寫成..全微分形式不變性dz=du+dv(一階全微分的形式不變性)全微分的運算公式d(u±v)=du±dvd(u*v)=udv+vdud()=(v≠0)復合函數的高階偏導數（見書95頁）隱函數微分方法將y=f（x）帶入F（x,y）=0，于是有恒等式F[x,f(x)]=0，其左端可以看成x的復合函數，兩端對x求導，得Fx+Fy=0.如果Fy≠0則有=-（由方程F（x,y）=0所確定的隱函數y=f(x)求導公式）由方程F(x,y,z)=0所確定的隱函數z=f(x,y)的偏導數的公式 將z=f(x,y)帶入方程F(x,y,z)=0于是得恒等式F[x,y,f(x,y)]=0左端可以看做是x,y的復合函數，上式兩端分別對x和y求偏導得Fx+Fz=0,Fy+Fz=0若Fz≠0,解出，得，多元函數微分方法在幾何上的應用空間曲線的切線與法平面（見書103頁）曲線L在點M處的切線方程曲線L在點M的法平面方程x(t)(x-x)+y(t)(y-y)+z(t)(z-z)=0空間曲線的切平面與法線 曲面S在點M處的切平面方程：多元函數的極值設函數z=f(x,y)在點的某一鄰域內有定義，若對于該鄰域呢異于點的任何點P(x,y)恒有f(x,y)<f(x,y)（或f(x,y)>f(x,y)）則稱點為函數f(x,y)的極大值點(或極小值點)定理：設函數z=(x,y)在點(x,y)處去得極值，且在該點的偏導數存在，則函數在該點的兩個偏導數必為零即，（極值點的必要條件）駐點：使，同時成立的點稱為函數f(x,y)的駐點推論：在偏導數存在的條件下函數的極值點必是駐點(駐點不一定是極值點)定理：設函數z=f(x,y)在點的某一鄰域內有連續的一階與二階偏導數，假定點是函數的一個駐點即，記則有如下結論：(1),當A<0時，為極大值點，為極大值；當A>0是為極小值點，為極小值。(2),不是極值。(3),可能是極值，也可能不是極值。多元函數的最大、最小值問題（113頁）條件極值與拉格朗日乘數法重積分二重積分的定義（見書126頁） 注意： 二重積分是個極限值，因此是個數值，這個數值的大小僅與被積函數及積分區域D有關，而與積分變量的記號無關 二重積分存在定理：如果函數在閉域D上連續，則函數在D上可積，即二重積分存在二重積分的幾何意義： 如果函數0，則二重積分在數值上等于以函數z=所確定的曲面為頂，以積分域D為底的曲頂柱體的體積。二重積分的性質 性質一、函數和（或差）的二重積分等于多個函數的二重積分的和（或差），即 性質二、被積函數的常數因子，可以提到二重積分號的外面，即 性質三、如果積分區域D分為兩個區域D1和D2，即D=D1+D2，則 性質四、如果在D上，，則， 性質五、如果在D上， 由性質五得到結論： 性質六、（估值定理）設M和m分別為在閉域D上的最大值和最小值，則，其中為積分域D的面積 性質七、（二重積分中值定理）如果在閉域D上連續，是區域D的面積，則在D上至少存在一點（）使得下式成立二重積分的計算 二重積分在直角坐標系下的計算方法 基本原則：（1）畫出積分區域D的圖形（詳見書133） （2）找x，y的下限累次積分方法 （3）求值（套用公式） 注意：二重積分化為二次積分時，二次積分的上限必須大于下限二重積分在極坐標系下的計算方法二重積分在極坐標系下的表達式 二重積分化為在極坐標系下的要點是： （1）將被積函數中的x，y換成， （2）面積元素換成極坐標系下的表達式 1、極點O在積分域D外部的情況 2、極點O在積分域D內的情況 三重積分的概念與在直角坐標系下的計算法（待續）在柱坐標系和球坐標系下三重積分的計算法（待續）重積分的應用（待續）曲線積分（出大題）概念（175頁） 對弧長的曲線積分——————第一類曲線積分 或即 若B與A重合，這是記為對弧長曲線積分的簡單性質 （1） （2） （3）若積分路徑L上是由m段弧L1，L2，,……lm組成，則 （4）改變積分路徑的方向，對弧長的曲線積分值不變，即 結論：對弧長的曲線積分與積分路徑方向無關 若x=g(y),(),則 若，則對弧長曲線積分的計算 1、平面曲線L由參量方程給出 若上具有一階連續導數，且，又f(x,y)在L上連續，則有 2、平面曲線L由方程y=y(x)給出 設L:y=y(x),(),其中y(x)在就[a,b]上有一階連續導數，f(x,y)在L上連續，則有對坐標的曲線積分（定義181頁） ……第二類曲線積分（組合曲線積分） 注意：對坐標的曲線積分必須規定積分弧段的指向為表明積分的起止點，有時記為 曲線L也可以是封閉曲線，即起點與重點重合（沿閉路的曲線積分） 對坐標的曲線積分常分成向量的形式，設F=P(x,y)i+Q(x,y)j,ds=dxi+dyj于是對坐標曲線積分的性質 （1） （2）改變積分路徑的方向，積分值要改變符號，即 或 （3）設L是由有向曲線弧L1和弧L2組成，則有（曲線分段） 對坐標曲線積分的計算 1、設曲線L由參數方程給出，L：，具有一階連續導數，t=a對L的起點，t=b對L的終點，當t由a變到b時，曲線上的對應點恰好畫出曲線L，函數P(x,,y),Q(x,y)在L上連續，則有（坐標曲線積分計算公式） 2、設曲線L以方程y=f(x)給出 格林公式 平面曲線積分與路徑無關的條件 定理：設P(x,y),Q(x,y)在單連通域D1內及其邊界L上具有連續的一階偏導數，則 （L取正向）平面曲線積分與路徑無關的條件 定義：設函數P(x,y),Q(x,y)在區域D內具有連續的一階偏導數如果對于D內任意指定的兩點A，B以及D內任意兩條曲線等式恒成立，則除曲線積分在D內與路徑無關，反則…… 結論：如果曲線積分與路徑無關，即由曲線積分性質得，上式可化為 重要結論：曲線積分在D1內與路徑無關等價于沿D內任意閉曲線C得曲線積分 定理：設函數P(x,y),Q(x,y)在單連通域D內具有一階連續偏導數，則在D內曲線積分與路徑無關的充要條件是等式在D內恒成立無窮級數無窮級數的概念（見書202頁）等比級數（幾何級數） 結論：等比級數當公比q的絕對值|q|<1時，收斂；時發散無窮級數的基本性質 性質一、如果級數收斂，其和為S，k為常數，則級數也收斂，其和為kS性質二、收斂級數也可以逐項相加或逐項相減，也就是說，設有兩個收斂級數，，則級數也收斂，其和為 性質三、在級數前加上或去掉有限項，不影響級數的斂散性，只是當級數收斂時，加上有限項或去掉有限項，一般會改變級數的和。級數收斂的必要條件 如果級數收斂，則 注意：如果，級數可能收斂，也可能發散正向級數 概念：如果，則稱級數為正向級數 正向級數收斂的必要條件：它的前n項和數列有上界正向級數收斂性的判別法： 1、比較判別法 設 ①， ②為兩個正向級數，則有： （1）如果級數②收斂，且，則級數①也收斂 （2）如果級數②發散，且，則級數①也發散比較判別法的極限形式 設與是兩個正向級數，如果，則級數與同時收斂或同時發散比值判別法（達朗貝爾判別法） 設正向級數， ③ 其中，如果其后項與前項之比的極限存在，即，則 （1）當q<1時，級數③收斂 （2）當q>1時，級數③發散 （3）當q=1時，級數③可能收斂也可能發散根值判別法（柯西判別法） 如果正向級數通項的n次方根的極限存在，即，則 （1）當q<1時，級數收斂 （2）當q>1時，級數發散（3）當q=1時，級數可能收斂也可能發散要判定一個正向級數是否收斂，通常按下列步驟進行 （1）用級數收斂的必要條件：如果，則級數發散，否則進一步…… （2）用比值判別法(有時也用根值判別法) 如果，則比值判別法失效，則改用比較判別法 （3）用比較判別法 掌握一些斂散性已知的函數，如等比級數，P-級數等交錯級數 ① 交錯級數收斂性的判別法（萊布尼茨定理） 如果交錯級數①滿足條件（1），（2），則級數①收斂，其和，其余項的絕對值||絕對收斂與條件收斂②為任意項級數，其各項取絕對值，則得到正向級數③ 定理：如果級數③收斂，則級數②也收斂 定義：如果級數收斂，則稱級數為絕對收斂級數 如果級數收斂，而級數發散，則稱級數為條件收斂級數 注意：對于任意級數，如果收斂，則絕對收斂；但當發散時，只能判定非絕對收斂，卻不能判定它必發散。但如果用比值法判定發散，則級數也發散 定理：如果任意項級數滿足條件，則 （1）當q<1時，級數絕對收斂 （2）當q>1時，級數發散冪級數函數項級數的一半概念（見書226頁）冪級數及其收斂性（見書227頁）正向級數：，記當n充分大時，，且，則，于是 當時，有下列兩種情況 如果，則級數③絕對收斂 如果，則級數③發散。推論：只要是個不為0的正數，就會有一個以原點為中心的對稱區間,在這個區間內冪級數絕對收斂，在這個區間外冪級數發散，當時，冪級數可能收斂也可能發散，稱，為冪級數③的收斂半徑。 當=0時，|x|=0<1，級數③對于一切實數x都絕對收斂，這時規定收斂半徑 如果冪級數③僅在x=0一點處收斂，則規定收斂半徑R=0 定理：如果冪級數③的系數滿足則 （1）當0<<+時， （2）當=0時， （3）當，R=0冪級數的收斂區間 定義：設冪級數③的收斂半徑為R，且0<R<+，如果冪級數③在x=R處級數收斂，而在x=-R處級數發散，則冪級數③在區間（-R,R]上收斂，這個區間（-R,R]稱為冪級數③的收斂區間。 推論：冪級數③的收斂區間為[-R,R),或（-R,R），或[-R,R]，如果冪級數③的收斂半徑R=+，則它的收斂區間為（-，+），如果冪級數③的收斂半徑R=0，則收斂區間化為一點x=0.冪級數的性質: 性質一、設二冪級數分別在，內絕對收斂，其中R1>0,R2>0,有對于這兩個冪級數，可進行下列運算 （1）加法： （2）減法： （3）乘法： 性質二、設冪級數，其收斂半徑R>0，則冪級數的和函數f(x)在(-R,R)內是連續的 性質三、設冪級數，其收斂半徑為R，則在區間(-R,R)內這個級數可以逐項求導，即 性質四、設冪級數，其收斂半徑為R，則在區間(-R,R)，內的任何閉區間上這個級數可逐項積分，即當-R<x<R是，有，即，且收斂半徑為R函數展開成冪級數 泰勒級數（見書235頁） 函數展開成冪級數:(直接展開法和間接展開法)直接展開法： 把f(x)展開成x的冪級數,如下步驟（最基本方法） （1）求出f(x)的各階導數 （2）計算f(x)及其導數在點x=0處的值， （3）寫成冪級數，并求出它的收斂區間 （4）考察當x在收斂區間內時余項的極限是否為零，如果為零，則由式（3）所求得的冪級數就是f(x)的冪級數的展開式。 類似得到下述函數的x的冪級數展開式 （1） （-1,1） （2）當m為實數時它的收斂半徑R=1，在x=1處，展開式是否成立，要據m的數值看右端級數是否收斂而決定，（-1,1）當m=-1，時間接展開法 （1）變量置換法（對已知的級數進行變量置換而得所需冪級數展開式） （2）逐項求導法： 首先找出所給函數是哪個已知級數的和函數的導數，然后利用 逐項求導公式（冪級數的性質三）得到所需要的冪級數展開式 （3）逐項積分法：函數的冪級數展開式的應用（見書241頁）；歐拉公式（見書242頁）微分方程概念：含有未知函數的導數或微分的方程微分方程的階：微分方程中的未知函數的最高階導數的階數稱為微分方程的階微分方程的解：若將某個函數代入微分方程，能使方程兩端相等，則稱這個函數為該微分方程的解通解：如果微分方程中的解中含有任意常數的個數等于微分方程的階數，這樣的解稱為微分方程的通解微分方程的初始條件：用來確定通解中任意常熟的條件叫做定解條件，若給出t=0時的條件，則為初始條件（）特解：有初始條件確定了通解中的任意常數后所得到的解一階微分方程 一階微分方程的一般形式為 若能解出，則方程=f(x,y)稱為導數已解出的一階微分方程 一階微分方程對稱形式可分離變量的微分方程 若一階微分方程可化為g(y)dy=f(x)dx的形式，則原方程稱為可分離變量的微分方程 若g(y),f(x)都是連續函數，設G(y),F(x)分別為g(y),f(x)的一個原函數，則對方程（2）兩端積分得，即G(y)=F(x)+C(3) 由式（3）所確定的隱函數y=y(x)就是方程（2）的通解 注意：在解微分方程時，若得到一個含有對數的等式，為了利用對數的性質將結果進一步花間，可將任意常數C寫成的形式，k的值可根據實際情況來確定齊次方程 如果一階微分方程中的函數f(x,y)可化為的函數，即，稱這種方程為齊次方程。齊次方程通解的求法： （1）將所給方程化為式（4） （2）令，則，代入方程（4）,得到可分離變量的方程 （3）分離變量后兩端積分得，求出積分后，再用代替u，便得齊次方程通解一階線性微分方程 方程(6)稱為一階線性微分方程（其中p(x),Q(x)都是已知的連續函數，這里方程中的未知函數y及導數都是一次的，Q(x)稱為自由項） 若方程（6）變為（7）稱為一階線性齊次微分方程 若，則稱為一階線性非齊次微分方程一階線性非齊次微分方程通解的求法如下 （1）先求一階線性齊次方程（7）的通解，將方程（7）分離變量，得，兩端積分，的方程（7）的通解為 （2）利用常數變量法球一階線性非齊次微分方程（6）的通解（通解）（參考過程詳見書270頁）可降解的高階微分方程 型微分方程 這類微分方程的右端僅含有自變量x，因此，只要連續積分n次，即可得到方程的含有n個任意常數的通解 型微分方程 這類微分方程不顯含未知函數y，只需設，則從而將所給方程化為一階微分方程 型微分方程（這類方程不顯含自變量x） 設且把看做y的函數，則有從而將所給方程化為一階微分方程二階線性微分方程解的結構 微分方程（1）稱為二階線性微分方程，其中P(x),Q(x),f(x)都是連續函數 當時，方程（1）稱為二階線性非齊次微分方程 當時，方程（2）稱為二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程解的結構 定理：如果是方程（2）的兩個解，則也是方程（2）的解，其中C1，C2是任意常數 結論：線性齊次微分方程的解具有疊加性 當是方程（2）的解時，是方程（2）的解，但不一定是方程（2）的通解 定義：設是定義