2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常考點(diǎn)微專題提分精練

專題06反比例函數(shù)中的平行四邊形

1.如圖，在第一象限內(nèi)，A是反比例函數(shù)），=~伏＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，A8平行于y軸交反比

例函數(shù)y=§化＜。）的圖象于點(diǎn)叢作以A8為邊的平行四邊形ABCZ）,其頂點(diǎn)C,。在）?軸上,

若S*=7,則這兩個(gè)反比例函數(shù)可能是（）

34

B.y=一和v=——

x'x

工

D.y=一5和Hy=——6

xxxx

2.如圖，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)平行四邊形布。的頂點(diǎn)C。，若點(diǎn)A、點(diǎn)八點(diǎn)C的坐

標(biāo)分別為（3,0）,（0,4）,（?〃），且〃+人=7.5,則k的值是

3.如圖‘在平面直角坐標(biāo)系中’點(diǎn)A在反比例函數(shù)），=：（XV。）的圖像上一點(diǎn)'點(diǎn)B是y軸正半

4

軸上一點(diǎn)，以04、48為鄰邊作平行四邊形"CO,若點(diǎn)C和4C的中點(diǎn)。都在反比例函數(shù)），=一（X

X

4.如圖，已知反比例函數(shù)產(chǎn)々x>0)與止比例困數(shù)y=x(x.O)的圖象，點(diǎn)AU，4),點(diǎn)4(4/)與點(diǎn)8

X

均在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)8在直線)上，四邊形是平行四邊形，則8點(diǎn)的坐標(biāo)為一

5.如圖，分別過(guò)反比例函數(shù)y=:圖像上的點(diǎn)P/(I,)，/),P2(1+2,”)，P3(1+2+3,yj),...,

PH(1+2+3+...+〃,刈)作x軸的垂線,垂足分別為A/,A2f4….，連接A/P2,A2P3,AH….，

AnjPn,再以A/P"A/P2為一組鄰邊畫(huà)一個(gè)平行四邊形A/P/B/P2,以4尸2,A2P3為一組鄰邊畫(huà)一個(gè)

平行四邊形A2P282P3,以此類推，則歷的縱坐標(biāo)是;點(diǎn)、B/,B”.,8〃的縱坐標(biāo)之和

為_(kāi)_________

Q

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)產(chǎn)區(qū)+Z?的圖象與雙曲線v=--交于點(diǎn)M(4機(jī))、N(〃,

x

-4)?與x軸交于A.

⑴求A、b的值;

（2）①將直線尸匕仍向上平移4個(gè)單位分別交x軸、），軸于點(diǎn)3、C,畫(huà)出這條直線；

②P是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，若以A、B、a尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

7.綜合與探究

如圖，己知，4（0,4）,B（-3.0）,C（2,0）,。為8點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，反比例函數(shù)y的圖象

經(jīng)過(guò)。點(diǎn).

（1）證明四邊形/WCQ為菱形；

（2）求此反比例函數(shù)的解析式；

⑶已知在y=V的圖象（x>0）上有一點(diǎn)N,丁軸正半軸上有一點(diǎn)“，且四邊形A8MN是平行四

x

邊形，求M點(diǎn)的坐標(biāo).

1L

8.如圖，一次函數(shù)y=;x+2的圖象與X軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)），=一伙壬0）的圖象的一個(gè)交

2x

點(diǎn)為A（2,m）.

（1）宜接寫(xiě)出反比例函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AC_Lx軸，垂足為點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，且APBC的面積等于6,請(qǐng)

求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）設(shè)M是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN//X軸，交反比例函數(shù).y=的圖象于點(diǎn)N,若以B、

X

0、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).

9.如圖，一次函數(shù)產(chǎn)依+〃與反比例函數(shù))，二竺的圖像交于點(diǎn)A(l,6),6(3,〃)兩點(diǎn).

.X

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵連接04、0B,求一4。4的面積；

⑶直線。經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)且平行于x軸，點(diǎn)M在直線。上，點(diǎn)N在)，軸上，以A、B、M、N為頂點(diǎn)的

四邊形可以是平行四邊形嗎？如果可以，直接寫(xiě)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，如果不可以，說(shuō)明理由.

10.如圖，一次函數(shù)y=x+l與反比例函數(shù))，=&的圖象相交于4科2),B兩點(diǎn),分別連接。4,OB.

x

(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求AO8的面積；

⑶在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)O,B,A,P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接

寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖，已知一次函數(shù)好如+2與反比例函數(shù)尸石的圖象交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A(l,6)和

X

8(6,，〃)，與X軸交于點(diǎn)C,交丁軸于點(diǎn)O.

(I)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接。4、0B,求AAO8的面積：

(3)點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，若點(diǎn)。，A,C,P組成的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐

標(biāo).

12.加圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y/=2t-4(00)的圖象與反比例函數(shù))，2=9的圖象交

x

于A、B兩點(diǎn).

(1)求A、8的坐標(biāo).

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，Zv-4>-?

x

(3)如圖，將直線A8向上平移與反比例函數(shù))，=2的圖象交于點(diǎn)。、D,順次連接點(diǎn)4、B、C、D,

X

若四邊形ABC。是平行四邊形，求的值.

13.如圖，一次函數(shù)y=x+【與反比例函數(shù))，=一的圖象交于點(diǎn)A和B(-2,〃)，與)，軸交于點(diǎn)C.

⑴求反比例函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作PD〃y軸，交線段A8于點(diǎn)。，是否存在點(diǎn)

P使得四邊形DPOC為平行四邊形？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=gx+l的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,

與反比例函數(shù)(存0)的圖象交于8,。兩點(diǎn)，jlAC=BC.

x

(1)寫(xiě)出點(diǎn)A,6的坐標(biāo)為：A(,),B(,)

(2)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí)對(duì)應(yīng)x的取值范圍；

(3)若?是x軸上一點(diǎn)，軸交一次函數(shù)于點(diǎn)交反比例函數(shù)于點(diǎn)N,當(dāng)O,C,M,N為

頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

15.如圖1,菱形頂點(diǎn)A在戶軸,上，頂點(diǎn)。在反比例函數(shù))公夕*。)」：，邊"C交y軸于點(diǎn)E,

AO〃x軸，AE=2EC,AD=5.

（1）求h

⑵如圖2,延長(zhǎng)川交工軸于點(diǎn)尸，問(wèn)是否在該反比例函數(shù)上存在的點(diǎn)“，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)0,使得

以A、尸、/>、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo),

若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)乂=犬-2的圖像與反比例函數(shù)為二K（ZHO）的圖像交

X

于4（-2,〃），4（次2）兩點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)。，連接04.OB.

備用圖

⑴求反比例函數(shù)必」（攵工。）的表達(dá)式；

X

（2）求AAOA的面積；

⑶點(diǎn)N為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)M為凡的圖像上一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo).

17.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=4（&為常數(shù)，x>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,〃。,

.1

8(6,〃)兩點(diǎn).

y

oX

備用圖

⑴加與〃的數(shù)量關(guān)系是（）

A.m=3nB.n=3mC.tn+n=SD.m—n=4

（2）如圖2,若點(diǎn)A繞了軸上的點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，恰好與點(diǎn)8重合.

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式：

②連接04、08,則3A04的面積為；

（3）若點(diǎn)M在反比例函數(shù)），=幺*>0）的圖像上，點(diǎn)N在〉軸上，在（2）的條件卜，是否存在以A、

X

B、例、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)用的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

Q

18.如圖1,動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)j=-（x>0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和丁軸的平行線，交函數(shù)

Xr

4,

1y=—">0）的圖象于點(diǎn)C,作直線4C,設(shè)直線4c的函數(shù)表達(dá)式為丁=履+以

圖1圖2

(1)若點(diǎn)例的坐標(biāo)為(2,4).

①〃點(diǎn)坐標(biāo)為,C點(diǎn)坐標(biāo)為,直線AC的函數(shù)表達(dá)式為；

②點(diǎn)。在X軸上，點(diǎn)E在y軸上，且以點(diǎn)3、C、D、￡為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)

出點(diǎn)。、E的坐標(biāo)；

(2)連接80、CO.

①當(dāng)08=0。時(shí)，求。8的長(zhǎng)度；

②如圖2,試證明.80c的面積是個(gè)定值.

專題06反比例函數(shù)中的平行四邊形

1.如圖，在第一象限內(nèi)，A是反比例函數(shù)），=&（4＞（））圖象上的任意一點(diǎn)，A8平行于y軸交反比

例函數(shù)§化＜。）的圖象于點(diǎn)B,作以A8為邊的平行四邊形ABCZ）,其頂點(diǎn)C,。在）?軸上,

若SABCD=L則這兩個(gè)反比例函數(shù)可能是（）

34

B.?=一和），=——

x'x

D.y=一和y=—

xxxx

【答案】B

【分析】設(shè)A（。，&），B（a，&），然后求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)，然后根據(jù)5^0=7求

得4的值，進(jìn)而確定心-依=7,最后結(jié)合選項(xiàng)即可解答.

【詳解】解：設(shè)A（a,—）,B（小紅）,ki＞0＞后＜0,

aa

…k、k,k,-k

aaa

???平行四邊形A8CQ,

:?CD=AB=^^~,

a

*?S^BCD=7>

CDa=l,即——k.a=7,

a

:.k]—k[=7,

結(jié)合選項(xiàng)可得B選項(xiàng)符合題意.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，求出尢-&=7是解答本

題的關(guān)鍵.

2.如圖，反比例函數(shù)），=K的圖像經(jīng)過(guò)平行四邊形A8C。的頂點(diǎn)C,D,若點(diǎn)A、點(diǎn)8、點(diǎn)C的坐

標(biāo)分別為（3,。），（0,4）,（〃/），且々+。=7.5,則A的值是—.

【答案】9

【分析】根據(jù)平移和平行四邊形的性質(zhì)將點(diǎn)。也用小〃表示，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫

縱坐標(biāo)的乘積相等列式算出公仇再由點(diǎn)坐標(biāo)求出出的值.

【詳解】解：???A（3,0）,8（0,4）,

，A可以看作由B向右平移3個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到的，

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，。也可以看作由。向右平移3個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到的，

VC（a.b）,???O（a+3,〃—4）,

Va+b=7.5,

/.C（a,7.5—?）,。（〃+3,3.5-o）,

?:C、。都在反比例函數(shù)圖象上，

???它們橫縱坐標(biāo)的乘積相等，即。（7.5-〃）=（4+3）（3.5-。），解得々=1.5,

AA:=1.5x（7.5-1.5）=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件，用同一個(gè)未知數(shù)設(shè)

出反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，然后用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)列式求解.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4在反比例函數(shù)丁="（x<0）的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)4是y軸正半

x

4

軸上一點(diǎn)，以O(shè)A、A8為鄰邊作平行四邊形48cO,若點(diǎn)。和8。的中點(diǎn)。都在反比例函數(shù)），=一（x

x

>0）的圖像上，則A的值是.

【答案】-8

【分析】作AEJ_人軸，b_L人軸，DG_L人軸，證&A°?三AC/?F(/VAS),設(shè)。［〃?，2)，則0(2小,5

4(-2〃?,展)；因?yàn)?)GJ_x軸，力是BC的中點(diǎn)，由。E=B尸=2G/即可求解；

【詳解】解：???作AE_Lx軸，b_Lx軸，OG_Lx軸，

???四邊形4BC0是平行四邊形，

A0//BC,

:.ZAOE=ZCBF,

???AE_Lx軸，bJ_x軸，

JZAEO=/CFB,

在A4OE和AC8尸中，

ZAEO=ZCFB

?.?Z4OE=NC8/，

AO=BC

:.M0E=\CBF{AAS),

:?AE=FC,OE=BF,

設(shè)￡>[〃[,3],則C(2〃?,2],,cfo,-1,F[^—

\fn)km)l-2〃"Vm)\mJ

???Z)G_Lx軸，。是8c的中點(diǎn)，

/.FC=2DG,OE=BF=2GF,

mmm

-2mrn

&=一8,

都答案為：-8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、三角形的全等、平行四邊形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)，掌

握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)健.

4.如圖，已知反比例函數(shù)產(chǎn)々x>0)與正比例函數(shù)y=x("O)的圖象，點(diǎn)41,4),點(diǎn)4(4刈與點(diǎn)用

X

均在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)8在直線)，=X上，四邊形必宣/是平行四邊形，則8點(diǎn)的坐標(biāo)為

【答案】(\A5,x/l3)

【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出H點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平行四邊形的性質(zhì)假設(shè)出“點(diǎn)

坐標(biāo)，進(jìn)而表示出9點(diǎn)坐標(biāo)，即可代入反比例函數(shù)解析式得出答案.

【詳解】解：反比例函數(shù)乃々x>())過(guò)點(diǎn)A(l,4),

x

/.Ar=1x4=4,

4

???反比例函數(shù)解析式為：y=-,

?點(diǎn)。(4,份在反比例函數(shù)的圖象

.-.4/7=4,

解得：b=l,

.5(4,1),

點(diǎn)B在直線丁二彳上，

???設(shè)8點(diǎn)坐標(biāo)為：(a,a),

點(diǎn)4(1,4),8(4,1),

??.A點(diǎn)向下平移3個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，即可得到A點(diǎn)，

:四邊形/VV88是平行四邊形，

.??B點(diǎn)向下平移3個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，即可得至IJ9點(diǎn)(〃+3/-3),

.?點(diǎn)9在反比例函數(shù)的圖象上，

(a+3)(。-3)=4,

解得；a-(負(fù)數(shù)不合題意)，

故B點(diǎn)坐標(biāo)為：(加，V13).

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合及平行四邊形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意表示出用

點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖,分別過(guò)反比例函數(shù),，=■!■圖像上的點(diǎn)P/(1,y/),P2(1+2,y2),P3(1+2+3,”)，...，

Pn(1+2+3+...+〃，/)作x軸的垂線,垂足分別為AhA2,Ab...?An,連接A/P2,A2P3,A必，…,

An.jPn,再以A/P/,4小2為一組鄰邊畫(huà)一個(gè)平行四邊形A/P/8/P2,以4尸2,A2P3為一組鄰近畫(huà)一個(gè)

平行四邊形A2P2&尸3,以此類推，則&的縱坐標(biāo)是__________；點(diǎn)、B/,B2….,8〃的縱坐標(biāo)之和

為?

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)修、尸2的縱坐標(biāo)，由平行四邊形對(duì)邊平行且相

等的性質(zhì)求得點(diǎn)田的縱坐標(biāo)是”+#、B2的縱坐標(biāo)是"+”、&的縱坐標(biāo)是興+W，據(jù)此可以推知點(diǎn)

114

Bn的縱坐標(biāo)是然+?儲(chǔ)，再求和整理即嘰

11-+2+3++n1+2+3+,+〃+一(〃“+1)/7(/7+2)

【詳解】???點(diǎn)B(l,川)，巳(1+2,”)在反比例函數(shù)y=:的圖象上，

..11

.?>,，，2=由=屋

???4A=x=i.

又???四邊形A/P/8/P2,是平行四邊形，

???，4=片鳥(niǎo)=1,RAJIBH.

14

???點(diǎn)8/的縱坐標(biāo)是：y+=-+1=-.

2JJ

???點(diǎn)丹(1+2+3,戶)在反比例函數(shù))，=’的圖象上，

*1+2+3

???點(diǎn)&的縱坐標(biāo)是：%+*=:+[；

??.點(diǎn)尸川+2+3+4,聞在反比例函數(shù)必的圖象上,

1

”=

1+2+3+4

，點(diǎn)B.；的縱坐標(biāo)是：%+>4=----------+---------------

1+2+31十2十3十4

???點(diǎn)Bn的縱坐標(biāo)是：然+了川=------+——:一1——;一-

1+2+3++〃1+2+3++〃+(〃+1)

=--2---1----2---

〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

4

一〃(〃+2)

二點(diǎn)以，比…曲]的縱坐標(biāo)之和為

I、，114

(1+—)+(4-------)+(--------F-----------)++

1+21+21+2+31+2+31+2+3+4〃(〃+2)

1

=4xJ++)

1x32x43x5〃x(〃+2)

=4xix(l-l+l-l+l-l++i—L)

232435nn+2

1

=2(1+—一)

2〃+ln+2

3n2+5n

n~+3〃+2

故答案為:，-￥十”

〃-+3〃+2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的國(guó)象.解

答此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行同相等的性質(zhì)求得點(diǎn)Bn的縱坐標(biāo)為/+/+)九

三、解答題(共0分)

Q

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)尸質(zhì)+力的圖象與雙曲線產(chǎn)■一交于點(diǎn)M(~4,in).N(〃,

x

-4),與x軸交于A.

⑴求聯(lián)人的值；

⑵①將直線產(chǎn)區(qū)+〃向上平移4個(gè)單位分別交x軸、），軸于點(diǎn)4、C,畫(huà)出這條直線；

②P是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，若以A、B、C、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1火=-1,b=-2；

⑵①作圖見(jiàn)解析；②點(diǎn)尸坐標(biāo)為（0,-2）或（Y,2）或（4,2）.

【分析】（1）先求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，再待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后的直線解析式，進(jìn)一步求出點(diǎn)8和點(diǎn)C坐標(biāo)，即可畫(huà)出平移后

的直線；

②分情況討論：當(dāng)CA,C8為邊時(shí)，當(dāng)AC,84為邊時(shí)，當(dāng)AC,A8為邊時(shí)，分別根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)即可求出點(diǎn)P坐標(biāo).

（1）

88

解：把x=-4,y=ni代入產(chǎn)--中，得m=--=2,

x-4

，點(diǎn)M（-4,2）,

QQ

把x=〃，產(chǎn)代入產(chǎn)--中，得〃=--7=2,

x-4

???點(diǎn)N（2,-4）,

工將點(diǎn)M(-4,2),點(diǎn)N(2,-4)代入尸H+b中,

z(-4k+b=2

得2k+h=-4"

%=一1

解得

b=-2

.?.仁1,。二2；

(2)

解：①由（1）知直線MN的解析式為尸土2,

將直線尸*2向上平移4個(gè)單位，得產(chǎn)了+2,

當(dāng)人=0時(shí)，尸2,

???點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,2）,

當(dāng)｝=-x+2=0時(shí)，x=2,

，點(diǎn)B坐標(biāo)為（2,0）,

直線與x軸的交點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-2,0）,

分情況討論：

當(dāng)C4,C3為邊時(shí)，A0〃a且AP=C4,

???點(diǎn)C（0,2）向左平移2個(gè)單位，向下平移平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A（-2,0）,

?,?點(diǎn)B（2.0）向左平移2個(gè)單位,向下平移平移2個(gè)單位得創(chuàng)點(diǎn)P（（）,-2）.

點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,-2）；

當(dāng)BC,BA為邊時(shí)，AP//CBRAP=CB,

同理可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（-4,2）；

當(dāng)AC,4H為邊，AC//BPRAC=BP,

同理可得點(diǎn)尸坐標(biāo)為（4,2）.

綜_1_,滿足條件的點(diǎn)尸坐標(biāo)為（0,-2）或（-4,2）或（4,2）.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，平移的性質(zhì),

平行四邊形的判定等，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng).

7.綜合與探究

如圖，已知，A（0,4）,B（-3.0）,C（2,0）,。為8點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，反比例函數(shù)y的圖象

經(jīng)過(guò)D點(diǎn)、.

（1）證明四邊形/WCQ為菱形；

（2）求此反比例函數(shù)的解析式；

⑶已知在y=V的圖象（x>0）上有一點(diǎn)N,丁軸正半軸上有一點(diǎn)“，且四邊形A8MN是平行四

x

邊形，求M點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）見(jiàn)詳解

（2）y=—

x

Q

⑶%）

【分析】（1）由A（0,4）,B（-3,0）,C（2,0）,利用勾股定理可求得AB=5=8C,又由。為B點(diǎn)關(guān)

「AC的時(shí)稱點(diǎn)，可得人8=人。，BC=DC,即可證得人B=A/）=CO=CB,繼而證得四邊形人BCO為菱

形；

（2）由四邊形ABCQ為菱形，可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求得此反比例函數(shù)

的解析式；

（3）由四邊形ABMN是平行四邊形，根據(jù)平移的性質(zhì)，可求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解

析式，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，繼而求得M點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）證明：?.F（0,4）,?（-10）,C（2,O）,二。A=4,OB=3,OC=2,：,

AI3=y/OA2+OI32=x/42+32=5?4c=4O+OC'=2+3=5，六A4=4C'，:。為8點(diǎn)關(guān)于AC'的對(duì)

稱點(diǎn)，AA/3=AD,CB=CD,:.AB=AD=CD=CB,工四邊形ABC。為菱形：

出???四邊形鈦，。為菱形，??.。點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,4）,反比例函數(shù)丫」的圖象經(jīng)過(guò)。點(diǎn)，.?.44,

x5

20

???上20,???反比例函數(shù)的解析式為：），二工；

x

（3）,?,四邊形A8AW是平行四邊形，???AN〃用W,4N=4M,工AN是8M經(jīng)過(guò)平移得到的，

???將8點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到A點(diǎn)，，將M先向右平移3

個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到N點(diǎn)，???M點(diǎn)在），軸正半軸，??.M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,

（）（）

???即根據(jù)平移可知N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入y=‘?，得），=2”,即N點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2多0），???艱據(jù)平移

x33

onQQ

的路徑可知M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：4=a，???M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,7.

【點(diǎn)睛】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了菱形的性質(zhì)與判定、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及

平行四邊形的性質(zhì).注意掌握坐標(biāo)與圖形的關(guān)系是關(guān)鍵.

1b

8.如圖，一次函數(shù)>=71+2的圖象與x軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)），二一（2H0）的圖象的一個(gè)交

2x

點(diǎn)為A（2m）.

（1）宜接寫(xiě)出反比例函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AC_Lx軸，垂足為點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，且^PBC的面積等于6,請(qǐng)

求出點(diǎn)2的坐標(biāo)；

（3）設(shè)M是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN〃x軸，交反比例函數(shù)y=人的圖象于點(diǎn)N,若以B、

X

O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-；（2）P（3,2）或P（-3,-2）；（3）點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)

X

為：M,（2>/7,2+>/7）;M2（-277,2-77）；M3（2>/5-4，x/3）；M4（-2x/3-4,->/3）

【分析】（1）先將點(diǎn)A（2,m）代入反比例函數(shù)），=工入+2求得A的坐標(biāo)，然后代入），二與，求得

2x

k的值即可;

(2)可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y),由S”BC=6,即可求得X,y的值；

(3)設(shè)M(2y-4,y),N(-,y),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得(2)，-4)-9=4,解出y即可求解.

)'y

【詳解】(1)???一次函數(shù)y=；x+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,m),

m=3.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3).

???反比例函數(shù))，=A(kwO)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),

x

...k=6,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=9.

X

(2)令gx+2=0,解得x=-4,即B(-4,0).

???AC_Lx軸，

AC(2,0).

.\BC=6.

設(shè)P(x,y),

丁SAPBC=g?BC*|y|=6,

Ayi=2或y2=-2.

分別代入y=9中，

X

得xi=3或X2=-3.

???P(3,2)或P(-3,-2).

(3)<MN〃OB,故M,N的縱坐標(biāo)相同,

<M是直線ABy=gx+2上一動(dòng)點(diǎn)，N在反比例函數(shù)y=工的圖象上，

2x

設(shè)M(2y-4,y),N(y,y),

依題意可得(2)=4)-；=4

當(dāng)(2.尸4)-°=4時(shí)，

y

解得yi=2+幣,y2=2-41,

???M|(2a2+⑺；M2(-2X/7,2-5/7)

當(dāng)(2y_4)_q=_4時(shí)，

解得yi=5y2=-G,

M3(2X/3-4,^);M4(-2>/3-4,-X/3)

綜上，點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)為:M,(277,2+77)；M2(-2V7,2-X/7)；M3(2>/3-4,>/3)；M(2癢

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用平行四邊形的性質(zhì)及待定系數(shù)法求解

析式是解此題的關(guān)鍵.

9.如圖，一次函數(shù)尸辰+〃與反比例函數(shù)y二'的圖像交于點(diǎn)A(l,6),8(3，〃)兩點(diǎn).

X

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵連接OA、OB,求AO8的面積；

⑶直線。經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)且平行于x軸，點(diǎn)”在直線〃上，點(diǎn)N在)，軸上，以A、4、M、N為頂點(diǎn)的

四邊形可以是平行四邊形嗎？如果可以，直接寫(xiě)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，如果不可以，說(shuō)明理由.

【答案】(1)反比例函數(shù)解析為尸9,一次函數(shù)解析式為嚴(yán)-2x+8

x

(2)8

⑶M(4,1),N(0,7)或M(2,I),N(0,5)或M(-2,1),N(0,-3)

【分析】(1)由4點(diǎn)坐標(biāo)可求得，〃的值，可求得反比例函數(shù)解析式，則可求得8點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B

兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線A4的解析式；

(2)設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)D,求出。點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出“OQ^LBOD的面機(jī)即可?確定aAOB

的面積；

(3)設(shè)M(〃?，1),N(0,?),分三種情況討論，AB.AM、4N分別為平行四邊形的對(duì)角線，列

出相應(yīng)方程式解得即可.

(1)

解：???反比例函數(shù)產(chǎn)絲的圖像過(guò)A(1,6),

x

.*.///=1x6=6,

???反比例函數(shù)解析為產(chǎn)9,

X

把x=3代入可得〃=2,

：.B(3,2),

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b(k*0),

k+b=6

把A、8坐標(biāo)代入可得《

3k+b=2'

k=-2

y=kx+b(^k^O)解得，

b=8'

工一次函數(shù)解析式為y=-2*8；

(2)

解：設(shè)直線4B與x軸的交點(diǎn)為D,

令)，=0,得2i+8=0,

解得m4,

：,D(4,0),

?'?SADO=；X4X6=I2，S8W=；X4X2=4,

**?SAOR—SADO-SBDO=8；

(3)

解：點(diǎn)M在直線〃」：，點(diǎn)N在)，軸上,

設(shè)M(m,1),N(0?n),

①當(dāng)48為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，

I+3=〃?+0

6+2=1+〃

rn=4

解得「，

〃二7

:,M(4,1),N(0,7)；

②當(dāng)AW為為平行四邊形對(duì)角線時(shí),

\+ni=3+0

6+1=2+〃'

m=2

解得

〃=5

???M(2,1),N(0,5)；

③當(dāng)AN為為平行四邊形對(duì)角線時(shí),

1+0=3+，〃

6+〃=2+1'

in=-2

解得

n=-3

:.M(-2,1),N(0,-3)；

綜上所述，以4、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，例(4,1),N(0,7)或Mi2,1),

N(0,5)或M(-2,1),N(0,-3).

【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖像與％軸交點(diǎn)、平行

四邊形的性質(zhì)、方程思想及數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí)，在(1)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在(2)中注

意數(shù)形結(jié)合，在(3)中確定出M、N的位置是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，一次函數(shù)尸x+l與反比例函數(shù)尸人的圖象相交于4九2),B兩點(diǎn)，分別連接04,OB.

x

(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求一408的面積：

⑶在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)0,B,4,P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接

寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴丁，2

x

(2)|

⑶P(T1)或代―3,-3)或P(3,3)

【分析】(1)先利用一次函數(shù)求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可；

(2)先求出以。點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式求解即可；

(3)分三種情況，利用坐標(biāo)平移的特點(diǎn)，即可得出答案.

(1)

解：把A(皿2)代入一次函數(shù))，=*+1,得2=m+1,

解得〃2=1,

二.A(l,2),

把A(l,2)代入反比例函數(shù))，=士k，得2=k￡,

x1

:.k=2,

2

「?反比例函數(shù)的表達(dá)式為)，=-；

x

(2)

2

解：令-=x+l,解得工=1或戶_2,

x

當(dāng)X=-2時(shí)，y=-l,即8(-2,-1),

當(dāng)x=0時(shí)，y=l,

/.OC=1,

SAO8=Sg+S0cB=JOC.kJ+foe3=OC(k/-XA)=；xIx(2+1)=1；

(3)

解：存在，理由如下：

當(dāng)04與04為鄰邊時(shí)，點(diǎn)0(0,0)先向左平移2個(gè)單位再向下平移1個(gè)單位到點(diǎn)3(-2,-1),則點(diǎn)A(l,2)

也先向左平移2個(gè)單位再向下平移I個(gè)單位到點(diǎn)P,即/'(-ID；

當(dāng)A〃與AO為鄰邊時(shí)，點(diǎn)4L2)先向左平移3個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位到點(diǎn),則點(diǎn)0(0,0)

也先向左平移3個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位到點(diǎn)即2-3,-3)；

當(dāng)84與8。為鄰邊時(shí)，點(diǎn)B(-2,-l)先向右平移3個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位到點(diǎn)4L2),則點(diǎn)。。0)

也先向右平移3個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位到點(diǎn)P,即P(3,3):

綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為打一口)或尸(T-3)或尸(3,3).

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例法數(shù)與特殊四邊形的綜合題目，涉及求反比例函數(shù)解析式，三角形的面

積公式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，平移的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用分類討金的思想

是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，已知一次函數(shù)y=3+力與反比例函數(shù))，=&的圖象交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)41,6)和

X

8(6,m),與上軸交于點(diǎn)C,交軸于點(diǎn)Q.

(1)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接。4、08,求AAQ8的面積；

(3)點(diǎn)?為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，若點(diǎn)。，A,C,尸組成的四邊形是平行四邊形，清直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐

標(biāo).

【答案】(l)y=9,y=-x+7

x

(2)T

(3)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為:(8,6),(-6,6),(6,-6)

【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法分別求出?次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式；

(2)利用三角形面積的和差求解，即可得出結(jié)論；

(3)利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合當(dāng)4P〃0C且AP=OC時(shí)，當(dāng)AP〃O。且AP，=OC時(shí)，當(dāng)A0〃P”C,

且40=P"C時(shí)，分別得出答案.

(1)

???點(diǎn)41,6)在反比例函數(shù)y=8■的圖象上，

X

.?.6=牛，解得：&2=6,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式是：y=-；

X

.8(6,⑼在反比例函數(shù)尸工的圖象上，

/.m=\t

???4(6,1),

6=k.+h

將點(diǎn)41,6),8(6,1)代入)，=k/+入可得：\

1=6^+b

k.=—1

解得：］,，

b=l

，一次函數(shù)表達(dá)式是：)，=f+7；

(2)

由(1)知,直線L3的解析式為y=-x+7,則力(0,7),C(7,0),

1|35

?'-S^OB=SACOD-(SMOD+S^oc)=3℃.OD-k=于7x7-7=W；

(3)

..P點(diǎn)坐標(biāo)為(&6)：

當(dāng)4〃〃0C且4P=O。時(shí)，貝|J4P=OC=7,

41,6),

二產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為：（Y，6）；

當(dāng)AO〃產(chǎn)C,且47=產(chǎn)。時(shí)，則點(diǎn)A與P〃到尤軸距離相等，且尸點(diǎn)橫坐標(biāo)為7-1=6,

產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為：（6,-6）

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（&6）,（-6,6）,（6,-6）.

【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考杳了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)

等知識(shí)，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)）"=214（右0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交

x

于4、B兩點(diǎn)、.

（1）求A、4的坐標(biāo).

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，2r-4>g?

⑶如圖，將直線4B向上平移與反比例函數(shù)），=9的圖象交于點(diǎn)C、D,順次連接點(diǎn)A、從C、D,

x

若四邊形A8c。是平行四邊形，求S型繡人8C。的值.

【答案】⑴點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為（?1,?6）、（3,2）

（2）x>3或-IVxVO

⑶32

【分析】（1）聯(lián)立），尸244（原0）和即可求解；

x

（2）觀察函數(shù)圖象即可求解；

（3）當(dāng)四邊形48CO是平行四邊形，則（x4-x8）2=（xC-xD）2,求出直線A3平移的距離為8,由

S四邊形ABCD=AB?EH,即可求解.

(1)

解：聯(lián)立y/=2x-4（附））和”=9,得

x

y=2x-4

，6，

）'=一

x

4,x=-l4fx=3

解得：A或C，

y=-6[y=2

故點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為（-1,-6）、（3,2）；

（2）

解：由圖象得，當(dāng)x>3或-l<r<0時(shí)，2x-4>-；

x

（3）

設(shè)直線AB向上平移了機(jī)個(gè)單位得到直線CD,

則直線CD的表達(dá)式為y=2?4+加②，

聯(lián)立①②并整理得：源+（w-4）x-6=0,

.*.x/+%2=y（4-in）,x/X2=-3,

則（X/-X2）2=（X/+X2）2-4xiX2=_竺）—+12,

4

???四邊形48CQ是平行四邊形，

故（M?x8）2=（3+1）2=（xC-.vD）2=（X/-X2）2=?-〃，）_+12,

4

解得〃?=0（舍去）或8,

即直線A8平移的距離為8,

設(shè)直線A8交），軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EH_LCO于點(diǎn)”，宜線CO交y軸于點(diǎn)尸,

則FE=m=S,

由直線CD的表達(dá)式知，tan/HFE=g,MsinZ/7FE=^,

在RSEH*中，EH=EFsin^HIE=4=x8=

???S艱/ABCD=AB?EH=J(3++(2+6『x專=32.

【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直隹三角形、

圖形的平移、面積的計(jì)算等，有一定的綜合性，難度適中.

13.如圖，一次函數(shù)y=x+l與反比例函數(shù)y=@的圖象交于點(diǎn)4和B（-2,〃），與,，軸交于點(diǎn)C.

X

⑴求反比例函數(shù)解析式；

⑵點(diǎn)P為第三象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸。〃），軸，交線段AB于點(diǎn)。，是否存在點(diǎn)

尸使得四邊形。尸0C為平行四邊形？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

【答案】（1）丁二一

x

⑵存在,（S-近）

【分析】（1）將點(diǎn)3（-2,加代入y=x+l得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將點(diǎn)8坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式

即可；

2

（2）由四邊形。POC為平行四邊形，得PO=OC,設(shè)尸（m,-）,表示出點(diǎn)。的坐標(biāo)，求出P。

的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題.

解：由題意知，點(diǎn)8在一次函數(shù).v=x+l的圖象上,

，點(diǎn)4坐標(biāo)為（-2,-1）,

代入反比例函數(shù)解析式可得〃=（-2