動點與平行四邊形存在性問題

一、典例解析

例1.12020?浙江湖州】如圖，已知在平面直角坐標系無Oy中，拋物線》=-爐+6尤+0(00)的頂點為D,與y軸

的交點為C.過點C的直線CA與拋物線交于另一點A(點A在對稱軸左側)，點8在AC的延長線上，連結04,

OB,DA和。A

(1)如圖1,當AC〃x軸時，

①已知點A的坐標是(-2,1),求拋物線的解析式；

②若四邊形A08D是平行四邊形，求證：b2=4c.

(2)如圖2,若b=-2,生=3,是否存在這樣的點A,使四邊形A08D是平行四邊形？若存在，求出點A的

AC5

坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)①：AC〃x軸，點A的坐標是(-2,1),

二點C的坐標是(0,1)

把點A(-2,1),C(0,1)的坐標分別代入拋物線解析式得，

-4-2Z?+c=1b=-2

,解得:

c=lc=1

即拋物線解析式為：產-/-2尤+1

②過點D作DELx軸于點E,交AB于點F,

?/AC//x軸，

JEF=OC=c,

,?,點D的坐標是c+

b1

：.DF=DE-EF=一,

4

V四邊形AO3O是平行四邊形,

JAD=BO,AD//OB,

：.ZDAF=ZOBC.

*.?ZAFD=ZBCO=90°9

：.XAFDmABCO,

：.DF=O,C.

b2

—=c,即b1=4c.

4

(2)由題意，頂點。的坐標是Gl，c+1),

設點A的坐標是(優，-trr-2m+c),m<0.

過點。作。無軸于點E,交AB于點R

貝!]ZAFD=ZEFC=NBCO.

V四邊形是平行四邊形，

AD=BO,AD//OB,

：.ZDAF=ZOBC.

：.^AFD^/\BCO(AAS),

：.AF=BC,DF=OC.

過點A作軸于點M,交DE于點N,

???△ANbs-7

?ANFNAFBC3

**AM-CM-G4-AC-5

AM=-mfAN=AM-NM=-m-lf

：.~m~2=1,解得："Z=2.5

—m5

???點A的縱坐標是c-9<c

4

???點M的坐標(0,c--)

4

點N的坐標是(-1,c--)

4

59

：.MC=-,DN=-

44

???DF=OC=c,

9

JFN=DN-DF=--c

4

9_

*=里得:解得：c=1.5

5CM55

4

51

c——=—

44

故點A的坐標為(-2.5,-),

4

即存在這樣的點4使四邊形是平行四邊形.

例2.12020?遼陽】如圖，拋物線y=a/-2底+c(aWO)過點。(0,0)和A(6,0).點3是拋物線的

頂點，點。是x軸下方拋物線上的一點，連接。2,OD.

(1)求拋物線的解析式；

（2）如圖②，在（2）的條件下，拋物線的對稱軸交x軸于點C,交線段0。于點E,點P是線段上的

動點（點f不與點。和點8重合），連接EF,將沿EF折疊，點8的對應點為點8,△EEB，與△O8E

的重疊部分為△EFG,在坐標平面內是否存在一點"，使以點E,F,G,X為頂點的四邊形是矩形？若存

【解析】解：⑴把點。（0,0）和A（6,0）代入廠"中，

得到136a-12b+c=0'

/3

解得卜=百，

c=0

二拋物線的解析式為y=最2.2V3X.

（2）當NEF.G=90°時，點H在第一象限，此時G,B',O重合，由題意OF=BE可得/（|,-孥）,

3

E（3,-V3）,利用平移的性質可得H（一，—

22

7

當/EGQ9。。時'點”在對稱軸右側，由題意吁小可得『2,-2向，利用平移的性質可得以5,

L3

當/以花=90°時，點”在對稱軸左側，點次在對稱軸上，由題意可得尸（1,-V3）,G（-,

—苧），利用平移的性質，可得-竽）.

綜上所述，滿足條件的點H的坐標為EW）或（"-攣）或《，-孥）.

222322

例3.12020?黑龍江牡丹江】如圖，已知直線AB與x軸交于點A,與y軸交于點3,線段。4的長是方程

7光—18=0的一個根，.請解答下歹U問題：

2

（1）求點A,5的坐標；

（2）直線EF交九軸負半軸于點石，交y軸正半軸于點尸，交直線于點。.若。是郎的中點，OE=6,

反比例函數＞=幺圖象的一支經過點C,求左的值；

X

（3）在（2）的條件下，過點C作CD_LOE,垂足為。，點”在直線AB上，點N在直線CD上.坐標平

面內是否存在點P,使以。，M,N,P為頂點的四邊形是正方形？若存在，請寫出點P的個數，并直

接寫出其中兩個點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】解：(1)?.?線段的長是方程的一個根,

解得：x=9或-2(舍)，而點A在x軸正半軸，

.-.A(9,0),

OB=-OA,

2

(2)OE=6,

：.E(-6,0),

設直線項的表達式為y=將點A和3的坐標代入，

,(1

0=9k+bk=——

得：9，解得：°2,

—=b.9

7b=—

INI2

1Q

二.AB的表達式為：y-——x+—，

22

點C是EF的中點，

.??點C的橫坐標為-3,代入中，y=6,

則C(-3,6),

.,反比例函數y=(經過點C,

x

貝1］左=一3><6=—18；

(3)存在點尸，使以D,M,N,P為頂點的四邊形是正方形,

如圖，共有5種情況，

在四邊形。M/2中，

%和點A重合，

，必(9,0),

此時4(9,12)；

在四邊形。呂2乂中，點3和M重合,

可知M在直線y=尤+3上，

y=x+3

聯立：,19-

"-I*

解得：「，

[y=4

，A(1,O)，

同理可得：^(9,-12),4(-7,4),月(-15,0).

故存在點尸使以。，M,N,P為頂點的四邊形是正方形，

點P的坐標為4(9,12),舄(9,-12),鳥(1,0),乙(-7,4),^(-15,0).

例4.12020?重慶A卷】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線＞=/+區+。與直線AB相交于A,B兩

點，其中A(—3,—4),B(0,—1).

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線〉=%/+4苫+4儂/0),平移后的拋物線與原拋物線

相交于點C,點D為原拋物線對稱軸上.的一點，在平面直角坐標系中是否存在點E,使以點B,C,D,E

為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

【答案】見解析.

【解析】解：(1)???拋物線過4(一3,-4),B(O,-1)

.f9-3/?+c=-4

c=-l

：.b=4

y=+4x—1

(2)4(-1,2*2(1,-3*3(-3,76-2)￡4(-3,-4-后)

則平移后的拋物線表達式為：y=x2—5,

聯立y=x2-5,y=f+4x-l得：C(-1,-4)

設D(-2,m),

當ABCD為等腰三角形時，存在點E,使以點8,C,D,E為頂點的四邊形為菱形,

①當BC=CD時，由對稱性知，m=-l,此時E(-1,2).

②當BC=BD時，貝I]BC2=BD2,即10=4+(m+1)2,解得：m=-l+.s/6,或m=-l-#，

由平移得：此時E(-3,-4-76),(-3,-4+6)

③當BD=CD時，4+(m+1)2=1+(m+4)2,解得：m=-2,

此時E(1,-3).

二、刻意練習

Q

1.12020?湖南常德】如圖，已知拋物線y=a?過點A（-3,-

（1）求拋物線的解析式;

a

(2)已知直線/過點A,M(0)且與拋物線交于另一點8,與y軸交于點C,求證：MC2=MA-MB-,

2

(3)若點P,D分別是拋物線與直線I上的動點，以OC為一邊且頂點為O,C,P,D的四邊形是平行

四邊形，求所有符合條件的尸點坐標.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)把點A(-3,；)代入y=加,

Q

得，一=9〃，

4

,_1

??a-----,

4

拋物線的解析式為X2.

(2)設直線1的解析式為：y=kx+b,

9

-=-3k+bk=--

42

則，解得：＜

3

Q=-k+b

24

即直線1的解析式為：y=-l1x+-3

24

當x=0時，y=—，即C(0,—),

44

y=—x2X=1x=-3

,4，解得：V

聯立1或＜9，

13

V=——x+—

I24

AB(1,-).

4

過點A作A4i_Lx軸于Ai,過8作831，工軸于31,貝ij55i〃OC〃A4i,

.BMCMI

**CA7-AM-3

故MC2=MA^MB.

13

：.D(r,-),

24

整理得：戶+2-6=0或5+2，=0,

解得t=-\-幣或t=-1+不或￡=-2或％=0（舍），

--

P（1A/792+——）或（-1+92-——）或（-2,1）.

22

2.【2020?安徽】在數學探究活動中，敏敏進行了如下操作：如圖，將四邊形ABCD沿過點A的直線折疊,

使得點B落在CD上的點Q處，折痕為AP,再將APCQ,4ADQ分別沿PQ、AQ折疊，此時點C,D落

在AP上的同一點R處，請完成下列探究：

(1)ZPAQ=____________

An

（2）當四邊形APCD是平行四邊形時，——的值為

QR

【答案】⑴30°；⑵6

【解析】解:

由折疊性質知，/DQR=/AQR,ZCQP=ZPQR

.\ZAQR+ZPQR=90°,

.,.ZB=ZAQP=90°,

由/C=/QRP,ZD=ZQRA,ZQRP+ZQRA=180°

得：ZC+ZD=180°,

；.AD〃BC,

ZDAB=90°,

由/DAQ=/PAQ=NBAR,得：ZPAQ=30°.

(2)若四邊形APCD是平行四邊形，貝|AD=PC,AP=CD,

由折疊知，DQ=CE=QR,

由(1)知,ZPAB=30°,ZB=90°

所以，AP=CD=^-AB,

3

.".QR=icD=—AB,—=73.

23QR

故答案為：(1)30。；(2)

3.12020?甘肅天水】如圖所示，拋物線y=a/+加:+c(aWO)與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,且

點A的.坐標為A(-2,0),點C的坐標為C(0,6),對稱軸為直線尤=1.點。是拋物線上一個動點，設

點。的橫坐標為根(l<m<4),連接AC,BC,DC,DB.

(1)求拋物線的函數表達式；

3

（2）當△BCD的面積等于△AOC的面積的一時，求相的值；

4

（3）在（2）的條件下，若點/是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點

使得以點8,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說

明理由.

【答案】見解析.

,

【解析】解：（1），由題意得：\4a-2b+c=0

“=6

a=--T

b=3,

{c=6

二拋物線的函數表達式為：y=-%2+|x+6；

（2）過點￡＞作DE,無軸于E,交BC于G,過點C作磯）交互（的延長線于R

:點A的坐標為（-2,0）,點C的坐標為（0,6）,

：.OA=2,OC=6,

11

：.SMOC=20A?OC=x2X6=6,

??S/\BCD—^AOC—4x6=

當y=0時，—#+全+6=0,

解得：xi=-2,X2=4,

.,.點B的坐標為（4,0）,

設直線BC的函數表達式為：y=kx+n,優=北+九，

16二九

解得：卜=一2,

(兀=6

直線BC的函數表達式為：y=—|^x+6,

:點。的橫坐標為根(l<m<4),

工點。的坐標為:(加，一薪之+藐+6),點G的坐標為：(m,—1m+6),

DG=—ym2+7rm+6-(—-^m+6)=--Tnr+3mCF=m,BE=4-m,

4ZZ4f

〔1In

；?SABCD=SACDG+S/\BDG=]DG。CF+/DG。BE=]DGXQCF+BE)=—々加？+6機,

?329

?\—2機+6m=2，

解得：m\—\(舍去)，加2=3,

:?m的值為3.

(3)由(2)知D(3,—),B(4,0),

4

33

設M(m,0),N(n,--n2+-n+6),

42

①當四邊形BNDM是平行四邊形時，

3+4=m+n

<1533，解得：n=3(舍)或n=-l,m=8

——=——n+—n+6

〔442

即M(8,0)；

②當四邊形BDMN是平行四邊形時，

根+4=〃+3

<39315，解得：n=l+\/14n=l-^/14,m=y/14m=-A/14

——n+—〃+6-l=0

I424

即M(瓜0)、(-A/U,0);

③當四邊形BDNM是平行四邊形時，

n+4=m+3

<3。315,解得：n=3(舍)或n=-l,m=0,

——n+—〃+6=—

〔424

即M(0,0).

綜上所述，滿足條件的M坐標為(8,0)、(V14,0)>(0,0).

4.【2020?廣西玉林】如圖，已知拋物線：yi=-/-2尤+3與無軸交于A,2兩點(A在B的左側)，與y軸

交于點C.

(1)直接寫出點A,B,C的坐標；

(2)將拋物線聲經過向右與向下平移，使得到的拋物線”與x軸交于8,B兩點(8在8的右側)，頂點。

的對應點為點D1,若/8。8=90。，求點8的坐標及拋物線y2的解析式；

(3)在(2)的條件下，若點。在x軸上，則在拋物線yi或”上是否存在點尸，使以夕，C,Q,P為頂點

的四邊形是平行四邊形？,如果存在，求出所有符合條件的點尸的坐標；如果不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)在yi=-2x+3中，令yi=0,解得x=-3或1,

.".A(-3,0),B(1,0),

令尤=0,得至!jy=3,

：.C(0,3).

(2)設平移后的拋物線的解析式為y=-(x-a)2+b,

過點。作。7/_LO9于H.,連接8。，B'D'.

?..。是拋物線的頂點，

：.D'B=D'B',D'(a,b),

'：NBD'B'=90°,D'HLBB',

：?D'H=BH=HB'=b,

??ci1+。，

又-(x-a)2+b,經過8(1,0),

'.b=(1-a)2,

解得a=2或1（舍），b=l,

：.B'(3,0),

y2=-(x-2)2+l=-X2+4X-3.

(3)①2'(3,0),C(0,3),設Q(m,0),P(n,-n2-2n+3)

3=m+n」,人—

,解得：n=0(舍)或n=-2,即P(-2,3)；

3=-“2-2”+3

八2ccc，解得：n=-1+近或n=-l-夕，即P(-l+/,-3),(-l->/7,-3);

0=-n-2〃+3+3

3+n=m4

,解得：n=0(舍)或n=-2,即P(-2,3)；

3=—〃2_2〃+3

②&(3,0),C(0,3),設Q(m,0),P(n,-n2+4?-3)

3=m+n

3=-'此方程無實數解;

3+m=n

八2,cc，解得：n=0或n=4,即P(0,-3),(4,-3)；

0=-n+4n-3+3

3+n=m,、一

3f此方程無實數解;

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（-2,3）或（-1—近，-3）或（-1+近，-3）或（0,-.3）或

(4,-3).

5.12020?貴州黔東南州】已知拋物線丫=正+州+c（a/0）與x軸交于A、3兩點（點A在點3的左邊），

與y軸交于點。（0,-3）,頂點D的坐標為（1,-4）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）在y軸上找一點E,使得AE4c為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標.

（3）點尸是x軸上的動點，點。是拋物線上的動點，是否存在點尸、Q,使得以點尸、Q、B、。為頂

點，為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點尸、。坐標；若不存在，請說明理由.

1;

cK-/

D

【答案】見解析.

【解析】解：⑴,.拋物線的頂點為(1,-4),

設拋物線的解析式為y=a(x-l)2-4,

將點C(0,-3)代入拋物線y=。(尤-Ip-4中，得。一4=一3,

即a=l,

拋物線的解析式為y=。(尤-I)?-4=/-2x-3；

(2)由(1)知，拋物線的解析式為y=f-2尤-3,

令y=0,貝"-2x-3=0,

x=-1或x=3,

8(3,0),A(-l,0),

令x=0,貝Uy=-3,

C(0,-3),

Ac=yfid,

設點E(0,〃z),則AE=，/"+l,CE=\m+3\,

AAGE是等腰三角形，

①當AC=4E時，a=荷+1,

.?.m=3或根=—3(點C的縱坐標，舍去)，

，E(3,0),

②當AC=CE時，^0=\m+3\,

m=-3iy/lQ,

E(0,-3+而)或(0,-3-710),

③當AE=CE時，-Jm2+1=\m+3\,

4

/.JTI------,

3

4

即滿足條件的點E的坐標為(0,3)、(0,-3+710),(0,-3-^10),(0,-1)

(3)存在,

D(1,-4,),B(3,0),

設P(m,0),Q(n,?2-2?-3),

①當四邊形BDPQ是平行四邊形時，

f3+m-l+n\m-2應-1\m=-2A/2-1

[0=n--2n-3-4]〃=l+2應n=1-272

即P(2A/2-1,0),Q(1+20,4)或P(-2夜-1,0),Q(1-2A/2,4)

②當四邊形BDQP是平行四邊形時

3+n=l+m,m=3

2?解得:1(舍)

0=n2-2n-3+4An=l

綜上所述，P(2及一I,0),Q(1+2V2,4)或P(-2A/2-1,0),Q(l一2挺，4).

6.[2020?黑龍江大興安嶺】綜合與探究

在平面直角坐標系中，拋物線y=#+fcc+c經過點A(-4,0),點M為拋物線的頂點，點8在y軸上，且

OA^OB,直線AB與拋物線在第一象限交于點C(2,6),如圖①.

(I)求拋物線的解析式；

(2)在坐標平面內是否存在點N,使以點A、。、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫

出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

圖①

【答案】見解析.

【解析】解:

(1)將點A、C的坐標代入拋物線表達式得:

)

x16—4/+c=0=2

=0,

x4+2b+c=6

拋物線的表達式為：尸系+2x；

(2)存在，理由:

設點N(相，n),而點A、C、。的坐標分別為(-4,0)、(2,6)、(0,0),

①當AC為邊時,

由平移得：0±6=m，0±6=幾，解得：m=n=±6,

點N(6,6)或(-6,-6)；

②當AC是對角線時,

-4+2=徵+0,6+0=〃+0,

解得：m—-2,〃=6,

點N(-2,6)；

綜上，點N的坐標為(6,6)或(-6,-6)或(-2,6).

7.12020糊北黃岡】已知拋物線>=以2+云+。與％軸交于點A(-1,0),點3(3,0),與y鈾交于點C(0,

3).頂點為點。.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點尸在拋物線上，點。在x軸上，當以點。，C,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點尸

的坐標;

【解析】解：(1)因為拋物線經過A(-b0),B(3,0),

可以假設拋物線的解析式為y=a(尤+1)(x-3),

把C(0,3)代入，可得a=-1,

二拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3)=-/+2x+3.

當四邊形P1QCD,四邊形「2。20)是平行四邊形時，點尸的縱坐標為1,

當y=l時，-?+2尤+3=1,

解得x=1+V3,

：.P1(1+V3,.1),尸2(1-V3,1),

當四邊形P30OC,四邊形P404DC是平行四邊形時，點P的縱坐標為-1,

當y=1時，-x1+2x+3=-1,

解得x=1±V5,

：.P1(1+V5,-1),Pi(1-V5,-1),

綜上所述，滿足條件的點尸的坐標為(1+V3,1)或(1-V3,1)或(1-V5,-或(1+迷，-1).

8.【2020?湖南郴州】如圖1,拋物線＞=0?+法+3(°。0)與無軸交于A(-1,0),B(3,0),與y軸交

于點C.己知直線y=fcr+〃過2,C兩點.

(1)求拋物線和直線BC的表達式；

(2)點P是拋物線上的一個動點.如圖2,拋物線的對稱軸/與x軸交于點￡,過點E作EFLBC,垂足為

況點。是對稱軸/上的一個動點，是否存在以點E,F,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求

出點尸，。的坐標；若不存在，請說明理由.

(圖1)(圖2)

【答案】見解析.

【解析】解：⑴把4(7,。)，2(3,。)代入產門灰+3得：工鼠，

解得,憶廠

二?拋物線的表達式，＞=-7+21+3,

.?.點C坐標為(0,3),

3fc+n=0

把8(3,0),C.(0,3)代入得:

n=—3

解得,C：：3

直線BC的表達式：y=-x+3.

(2)存在，理由如下：過點尸作FGLO8于G,

???OE=1,

VB（3,0）,C（0,3）

VOC=OB=3,NOCB=90°,

...△OCB是等腰直角三角形，

VZ￡FB=90°,BE=OB-OE=2,

...AOCB是等腰直角三角形，

:.EG=GB=EG=1,

二點尸的坐標為（2,1）,

當所為邊時，

,：EFPQ為平行四邊形，

：.QE=PF,QE//PF//y^i,

：.點P的橫坐標與點F的橫坐標同為2,

當x=2時，y=-22+2><2+3=3,

點尸的坐標為（2,3）,

:.QE=PF=3-1=2,

點。的坐標為（1,2）；

當所為對角線時，

0

尸為平行四邊形，

：.QE=PF,QE〃PF〃軸，

同理求得：點尸的坐標為（2,3）,

：.QE=PF=3-1=2,

點。的坐標為（1,-2）；

綜上，點P的標為（2,3）,點。的坐標為（1,2）或（1,-2）.

9.12020?江蘇蘇州】如圖，二次函數>=^+笈的圖象與x軸正半軸交于點A,平行于x軸的直線/與該

拋物線交于B、。兩點（點3位于點C左側）,與拋物線對稱軸交于點0（2,-3）.

(1)求》的值;

(2)設P、Q是x軸上的點(點尸位于點Q左側)，四邊形PBCQ為平行四邊形.過點P、0分別作入軸

的垂線，與拋物線父于點P(X[,%)、Q'(.X2>y2)■若[y?1=2,求不、電的值.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)直線與拋物線的對稱軸交于點0(2,-3),

故拋物線的對稱軸為x=2,即工6=2,解得：b=T,

2

故拋物線的表達式為：y=x2-4x；

(2)把》=-3代入y=/-4x并解得x=i或3,

點、B、C的坐標分別為(1,-3)、(3,-3),則BC=2,

:四邊形PBCQ為平行四邊形，

PQ=BC-2,故三-為=2,

又；％=卻-4番，%=￥-4龍2，1%一力1=2,

故|（X；-4%］）-（巷—4%）=2,|%+%2—41=1?

玉+%2=5或2+%2=—3，

_3

-2

由解得；

%+%=5=7

-2

由解得,

［石+/2=35

2

10.【2020?青海】如圖1（注：與圖2完全相同）所示，拋物線y=-#+6x+c經過8、。兩點，與x軸

的另一個交點為A,與y軸相交于點C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）設拋物線的頂點為求四邊形ABWC的面積.（請在圖1中探索）

（3）設點。在y軸上，點P在拋物線上.要使以點A、8、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿

足條件的點尸的坐標.（請在圖2中探索）

5X5

55

--

22

圖1圖2

【答案】見解析.

【解析】解：（1）把2（3,0）和。（-2,-f）代入拋物線的解析式得,

9

+3b+C-

2-0

—2—2b+c=

???拋物線的解析式為：y=-2%2+%+］；

1QQ

(2)令x=0,得y=—.^x2+x+=2?

3

???C(0,|),

令y=0,得y=_*%2+%+9=0,

解得，x=-L或x=3,

AA(-1,0),

,**y=—ix2+無+\=-i(x—l)2+2,

：.M(1,2),

S四邊形ABA/CnSzxAOC+SaCOM+SziMOB

=2OA-OC+2OC-xM+2OB-yM

131319

=2X1X2+2X2X1+2X3X2=2;

（3）設。（0,n）,

①當AB為平行四邊形的邊時，有AB〃尸。，AB=PQ,

。點在尸點左邊時，則。（-4,"）,

1Q

把。（-4,n）代入y=-2%2+%+才得n=-2~j

：.P（-4,一日0；

②。點在P點右邊時，則。（4,〃），

把。（4,幾）代入y=-2%2+%+.得幾=——,

：.P（4,一|）；

③當A3為平行四邊形的對角線時，如圖，AB與尸。交于點￡

9：PE=QE,：.P（2,-n）,

1QQ

把P（2,-n）代入y=—+%+a，得"=—2，

3

：.P（2,-）.

2

綜上，滿足條件的尸點坐標_為：（-4,一2年1）或（4,一慨[）或3（2,

11.12020?山東荷澤】如圖，拋物線,=加+法—6與X軸相交于A,5兩點，與y軸相交于點C,04=2,

03=4,直線/是拋物線的對稱軸，在直線/右側的拋物線上有一動點。，連接AD,BD,BC,CD.

（1）求拋物線的函數表達式；

Q

（2）若點。在九軸的下方，當ABCD的面積是-時，求AABD的面積；

2

(3)在(2)的條件下，點M是x軸上一點，點N是拋物線上一動點，是否存在點N,使得以點8,D,

M,N為頂點，以3D為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】解：(1)OA=2,OB=4,

?.A(-2,0),8(4,0),

4〃一2〃-6=0

把A(-2,0),僅4,0)代入拋物線y=渥+云_6中得:

16。+4b-6=0

33

二拋物線的解析式為：尸丁丁-6；

(2)過。作。軸于G,交BC于H,

：.C(0,-6),

設的解析式為：y=kx+b,

::工屋解得:

則2，

b=-6

_3

:.BC的解析式為：y=-x-6，

2

333

設--x-6),則H(x,—x-6),

3333

/.DH=-x—6—(—%2—x—6)=—爐+3x,

2424

9

ABCD的面積是一，

2

19

-DH.OB=-,

22

1-32c、9

一x4x(—x+3x)=—，

242

解得：％=1或3,

??點O在直線/右側的拋物線上，

.?.AABD的面積=，AB.r>G=」x6x"="；

2244

（3）分兩種情況：

「.N的縱坐標為一，

4

當丁="時，即』/一31一6="，

4424

角軍得：彳=1+舊或1-9,

NQ-舊,")或(1+&Z,

4

②如圖，點N在x軸的下方時，四邊形是平行四邊形，此時M與O重合,

綜上，點N的坐標為：(1-V14,")或(1+舊，”)或

444

12.12020?山東聊城】如圖，二次函數,==。/+云+4的圖象與工軸交于點A(-1,0),5(4,0),與y軸交于

點C,拋物線的頂點為。，其對稱軸與線段3c交于點E,垂直于x軸的動直線/分別交拋物線和線段BC于

點尸和點歹，動直線/在拋物線的對稱軸的右側(不含對稱軸)沿x軸正方向移動到5點.

(1)求出二次函數,=加+陵+4和所在直線的表達式;

(2)在動直線/移動的過程中，試求使四邊形DEEP為平行四邊形的點P的坐標;

【解析】解：(1)將點4-1,0),8(4,0),代入得,

0=a-b+4

得:

0=16a+4Z?+4

a=-1

解得:

b=3

二次函數的表達式為：y=-x2+3x+4,

當冗=0時，y=4,

/.C(0,4),

設BC所在直線的表達式為：y=mx+n,

將。(0,4)、B(4,0)代入y=+

4=〃

得:

0=4m+n

m=-l

解得:

n=4

_BC所在直線的表達式為：y=—x+4；

(2)。石_Lx軸，尸產_Lx軸，

:.DE//PF,

只要_DE=PF,四邊形DEEP即為平行四邊形,

2c，/3、225

y=-x+3x+4=-(x-—)+—,

.?.點。的坐標為:(1,亍)，

將％=三3代3入y=—1+4,即>=—三+4=5三，

222

35

.??點E的坐標為：g,|),

八廠25515

DE=--------=——,

424

設點P的橫坐標為，

則尸的坐標為：9-〃+3,+4),b的坐標為：&V+4),

/.PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t,

由DE=PF得:—r+4/=L,

4

解得：=-(不合題意舍去)，t=~,

t1l2222

當/=*時，—』+3/+4=—(9)2+3X』+4=2,

2224

點尸的坐標為g5,亍91)；

13[2020?四川甘孜州】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線>=丘+3分別交x軸、y軸于A,8兩點,

經過A,8兩點的拋物線y=-/+6x+c與x軸的正半軸相交于點C(1,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若尸為線段上一點，ZAPO=ZACB,求AP的長；

(3)在(2)的條件下，設M是y軸上一點，試問：拋物線上是否存在點N,使得以A,P,M,N為頂點

的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點N