軸對稱綜合題一線段、面積、角度問題（專項培優訓練）

試卷滿分：100分考試時間：120分鐘試卷難度：中等

試卷說明：本套試卷結合人教版數學八年級上冊同步章節知識點，精選易錯，常考，壓軸類問

題進行專題匯編！題目經典，題型全面，解題模型主要選取熱點難點類型！同步復習，考前強

化必備！適合成績中等及偏上的學生拔高沖刺。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（本題2分）（2022秋?山西呂梁?八年級統考期末）如圖，直線。是一條輸氣管道，M,N是管道同側

的兩個村莊，現計劃在直線々上修建一個供氣站。，向“，N兩村莊供應天然氣.在下面四種方案中，鋪設

管道最短的是（）

2.（本題2分）（2018?天津河北?八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線/是一三象限的

角平分線，點P的坐標為（3』），點M是直線/上的動點，點N是x軸上的動點，則PM+MN的最小值為（）

3.（本題2分）（2023秋?重慶南川?八年級統考期末）如圖，在網格圖中選擇一個格子涂陰影，使得整個

圖形是以虛線為對稱軸的軸對稱圖形，則把陰影涂在圖中標有數字（）的格子內.

A.1B.2C.3D.4

4.（本題2分）（2023春?內蒙古巴彥淖爾?八年級統考期末）如圖，一次函數>=履+。的圖象與x軸、y

軸分別交于點A（2,0）,8（0,4）,點C,。分別是OA,的中點，尸是上一動點，則PD+PC的最小

5.（本題2分）（2023春?福建漳州?八年級福建省漳州第一中學校考期中）如圖，在"C中，AB=AC,

BC=6,S11Ase=18,。是BC中點，EF垂直平分AB,交AB于點E,交AC于點尸，在EF上確定一點P,

使+最小，則這個最小值為（）

C.9D.12

6.（本題2分）（2023秋?新疆烏魯木齊?八年級新疆生產建設兵團第一中學校考期末）如圖，已知/AOB

的大小為a,P是—403內部的一個定點，且OP=5,點￡、產分別是。4、08上的動點，若PE尸周長

的最小值等于5,則￡=（）

oB

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.（本題2分）（2022秋?全國?八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點4-2,2）,8（2,6）,點p為x軸

上一點，當PA+P2的值最小時，三角形P4B的面積為（）

A.1B.6C.8D.12

8.（本題2分）（2022秋?河北邢臺?八年級校考階段練習）現需要在某條街道/上修建一個核酸檢測點P,

向居住在A,B小區的居民提供核酸檢測服務，要使P到A,8的距離之和最短，則核酸檢測點P符合題意

的是（）

BB

??

/P1P

9.（本題2分）（2022秋?河南信陽?八年級校考階段練習）如圖，在中，ZACB=90。，AC=6,

BC=8,AB=1O,AD是44c的平分線.若P,。分別是A。和AC上的動點，則PC+尸。的最小值是（）

C.2.4D.4.8

10.（本題2分）（2022秋?河北邯鄲?八年級校考階段練習）如圖，直線〃?表示一條河，點M、N表示兩

個村莊，計劃在〃，上的某處修建一個水泵向兩個村莊供水.在下面四種鋪設管道的方案中，所需管道最短

二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.

11.（本題2分）（2023?浙江?八年級假期作業）如圖，點P關于OB的對稱軸分別為C、D,連接CO,

交。4于M,交OB于N.ZAOB=46°,求ZMPN=

12.（本題2分）（2023秋?寧夏石嘴山?八年級校考期末）在.ABC中，AB^AC,BC=5,=15,ADJ.BC

于點。，EF垂直平分AB,交AB于點E,交AC于點F，在EF上確定一點P,使PB+PD最小，則這個

最小值為.

13.（本題2分）（2023秋?江蘇連云港?八年級統考期末）如圖，在中RABC,NC=90。，ZB=60°,點

￡）在BC上，M=4,點P、E分別是AC、AB上動點，當OP+EP的值最小時，3E=5,則AB的長為.

14.（本題2分）（2023秋?湖北黃石?八年級統考期末）如圖，已知NAO8=30。，OC平分/A03,在。4

上有一點M,OM=10V3cm,現要在。。,上分別找點Q,N,使QM+QN最小，則其最小值為cm.

15.（本題2分）（2022秋?湖南岳陽?八年級校考期中）如圖，直線/垂直平分,ABC的AB邊，在直線/上

任取一動點O,連結。4、OB、OC.若。4=5,則。3=.若AC=9,BC=6,貝|BOC的最小

周長是.

16.（本題2分）（2023春?河南開封?八年級校考階段練習）如圖，在周長為16的菱形ABCD中，點￡、尸

分別在邊AB、AO上，AE=LAF=3,尸為2。上一動點，則線段EP+股長度的最小值為.

A

17.（本題2分）（2022春?湖南婁底?八年級婁底一中校考階段練習）如圖，在45c中，ZC=90°,44=30。,

BC=1,直線加垂直平分AC,點P為直線加上的動點，則P8+PC的最小值是.

18.（本題2分）（2023秋?河北滄州?八年級統考期末）如圖，已知點點E分別是等邊三角形ABC中BC,

邊的中點，匹=5,點/是AD由動點，則8歹+所的最小值__________.

19.（本題2分）（2022秋?湖北十堰?八年級十堰市實驗中學校考期中）如圖，等邊ABC中，。為AC中

點，點尸、。分別為必AD上的點，BP=AQ=4,QD=3,在2。上有一動點￡,則PE+QE的最小值

為.

20.（本題2分）（2023秋?山西晉城?八年級統考期末）如圖，在ASC中，AB=AC^13,BC=10,AD

為中線，點￡在中線上運動，但不與點4。重合，點廠在N8上運動，但不與點48重合，連接8E

和EF.則BE+EF的最小值是

三、解答題：本大題共8小題，21-22題每小題6分，23-28題每小題8分，共60分.

21.（本題6分）（2023?江蘇?八年級假期作業）如圖所示.

1111111111A

-5-4^2-41,O12345x

--T-1—r-s-rr--i-1----r—i—i

(1111II???

14

r-4,--j--I--------

????I**iiiii

u-1-J--L_—

1111r-J????t

11111d?????

j—T—i—i—r-fcf—~i—r-T—i—i

,1111iiii?

(I)作出ABC關于y軸對稱的圖形4A片G；

(2)在X軸上確定一點P,使得P4+PC最小;

⑶求出ABC的面積.

22.（本題6分）（2023春?廣東河源?八年級統考開學考試）如圖已知平面直角坐標系中

A（-l,3）,B（2,O）,C（-3,-l）

Ay

（i）在圖中作出ABC關于y軸的對稱圖形△A4G，并寫出點A，Bt,G的坐標.

（2）在>軸上找一點P,使R4+PC最短，并求出p點的坐標.

23.（本題8分）（2023秋?八年級課時練習）如圖，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地《吃草，然后趕

羊到小河4飲水，之后再回到8處的家，假設山娃趕羊走的都是直路，請你為他設計一條最短的路線，標明

吃草與飲水的位置.

24.（本題8分）（2023秋?八年級課時練習）如圖，四邊形ABCD為正方形，M,N分別是AB,BC邊

的中點，請在對角線AC上找一點P,使尸河+PN的值最小（不寫作法，保留作圖痕跡）.

25.（本題8分）（2023秋?山西陽泉?八年級統考期末）如圖，已知ABC的三個頂點的坐標分別為A（-6,4）,

B（T,O）,C（-2,2）.

（1）作ABC關于y軸的軸對稱圖形得△A4G，畫出圖形，并直接寫出點A的坐標」

（2）已知點尸是X軸上一點，則p\+PC的最小值是

26.（本題8分）（2023春?四川南充?八年級南部縣第二中學校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，菱

形。4BC的對角線06在x軸上，已知點A（4,2）,點。在Q4上，坐標為（2,m）,在05上求作一點P,

⑴求點尸的坐標；

（2）求PD+PA最小值.

27.（本題8分）（2023春?湖北襄陽?八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系犬。V中，點。是坐標原

點，直線=與直線AC:y=-2x+6交于點N,兩直線與x軸分別交于點明可和C（2,0）.

（1）求直線AB和直線AC的解析式；

（2）點尸是y軸上一點，當R4+PC最小時，求點P的坐標.

28.（本題8分）（2023春?廣西南寧?八年級統考期末）已知直線/為x+y=8,點P（x,y）在/上，且x>0,y>0,

點A的坐標為(4,0).

(1)設△OAP的面積為S,求S與尤的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍;

(2)當S=10時，求點P的坐標；

(3)在直線/上有一點使OM+M4的和最小，求點M的坐標.

軸對稱綜合題一線段、面積、角度問題（專項培優訓練）

試卷滿分：100分考試時間：120分鐘試卷難度：中等

試卷說明：本套試卷結合人教版數學八年級上冊同步章節知識點，精選易錯，常考，壓軸類問

題進行專題匯編！題目經典，題型全面，解題模型主要選取熱點難點類型！同步復習，考前強

化必備！適合成績中等及偏上的學生拔高沖刺。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（本題2分）（2022秋?山西呂梁?八年級統考期末）如圖，直線。是一條輸氣管道，M,N是管道同側

的兩個村莊，現計劃在直線。上修建一個供氣站O,向“，N兩村莊供應天然氣.在下面四種方案中，鋪設

【答案】C

【分析】利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離.

【詳解】解：作點M關于直線a的對稱點加’，連接交直線a于。.

根據兩點之間，線段最短，可知選項C修建的管道，則所需管道最短.

故選：C.

【點睛】本題考查了最短路徑的數學問題.這類問題的解答依據是"兩點之間，線段最短”.由于所給的條件

的不同，解決方法和策略上又有所差別.

2.（本題2分）（2018?天津河北?八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線/是一三象限的

角平分線，點P的坐標為（3,1）,點M是直線/上的動點，點N是x軸上的動點，則PM+MN的最小值為（）

C.4D.5

【答案】B

【分析】作N點關于/的對稱點N',根據對稱性可得=故欲使尸河+W最小要保證p、M、N'

是一三象限的角分線,

??.X軸與》軸關于/對稱，

作N點關于/的對稱點N',

則N'必在》軸上，目MN二MN,

欲使PM+MN最小，

只需尸M+最小，

欲使PM+MN'最小至少要保證P、M、N'三點共線,

此時最小值為PN',恰為P點到y軸的連接，

點到直線的連線中垂線段最短，

故軸時取得最小值，

此時PN'=3,

故選B.

【點睛】此題主要考查對稱性的應用，解題的關鍵是作N點關于/的對稱點N',再根據對稱性求解.

3.（本題2分）（2023秋?重慶南川?八年級統考期末）如圖，在網格圖中選擇一個格子涂陰影，使得整個

圖形是以虛線為對稱軸的軸對稱圖形，則把陰影涂在圖中標有數字（）的格子內.

【答案】C

【分析】從陰影部分圖形的各頂點向虛線作垂線并延長相同的距離找對應點，然后順次連接各點可得答案.

【詳解】如圖所示，

把陰影涂在圖中標有數字3的格子內所組成的圖形是軸對稱圖形.

故選：c.

【點睛】本題考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形，其依據是軸對稱的性質，基本作法：①先確定圖

形的關鍵點；②利用軸對稱性質作出關鍵點的對稱點；③按原圖形中的方式順次連接對稱點.

4.（本題2分）（2023春?內蒙古巴彥淖爾?八年級統考期末）如圖，一次函數>=履+。的圖象與x軸、〉

軸分別交于點4（2,0）,8（0,4）,點C,。分別是。4,的中點，尸是上一動點，則PD+PC的最小

A.V5B.4C.2A/2D.20+2

【答案】c

【分析】如圖，作點C關于y軸的對稱點C',連接尸C',連接C'Z）,交y軸于點口，由對稱知，PC=PC,

由兩點之間線段最短，可知當C'，P，O三點共線時，PD+PC=PD+Pa=OD取最小值；由中位線定理,

CD//OB,CD=2,△△C'CD中，CC'=2,Cf）=SJCD2+CCf=25/2.

【詳解】解：如圖，作點C關于y軸的對稱點C,連接PC',連接C'￡>,交y軸于點口.由對稱知，PC=PC,

：.PD+PC="+伊C0,當C',P,D三點共線時，PD+PC=PD+PCkC0,取最小值，

VC,D分別是以，AB的中點

CD=—OB=4=2

/.CD//OB,22

/.DDCO=DC（OP=90°

RtACCD中，CC<t=IOC=2

...Cf￡>=\/CD2+CCi=V22+22=2V2

故選：C.

【點睛】本題考查軸對稱，勾股定理，兩點之間線段最短，運用軸對稱知識作出輔助線，將求線段和最小

值轉化為求線段長是解題的關鍵.

5.（本題2分）（2023春?福建漳州?八年級福建省漳州第一中學校考期中）如圖，在"C中，AB=AC,

BC=6,S^c=18,。是中點，EP垂直平分AB,交AB于點E,交AC于點尸，在EF上確定一點P,

使PB+PD最小,則這個最小值為（）

A

C.9D.12

【答案】B

【分析】連接8尸,根據垂直平分線的性質以及軸對稱的性質即可求解.

【詳解】解：如圖所示：連接8尸

18

AB=AC,BC=6,ABC=,。是BC中點，

.?.ADI3c于點。，

:.AD=6,

：所垂直平分AS,

.?.點P到A,B兩點的距離相等，

??AD的長度=PB+PD的最小值，

即尸8+PO的最小值為6,

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，知道AD的長

度=9+尸。的最小值是解題的關鍵.

6.（本題2分）（2023秋?新疆烏魯木齊?八年級新疆生產建設兵團第一中學校考期末）如圖，己知/AOB

的大小為a,P是NAOB內部的一個定點，且OP=5,點E、B分別是。4、08上的動點，若PEP周長

的最小值等于5,則。=（）

瓦

，p

B

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】設點P關于8的對稱點為C,關于08的對稱點為〃，當點E、尸在⑦上時，尸所的周長為

PE+EF+FP=CD,此時周長最小，根據8=5可得出「COD是等邊三角形，進而可求出。的度數.

【詳解】解：如圖，作點P關于8的對稱點C,關于08的對稱點。，連接。，交。4于E,08于尸.

此時，.尸所的周長最小.

連接。C,OD,PE,PF.

點P與點C關于以對稱，

垂直平分尸C,

:.ZCOA=ZAOP9PE=CE,OC=OP,

同理，可得=PF=DF,OD=OP.

:.NCOA+NDOB=NAOP+NBOP=NAOB=a,OC=OD=OP=5f

NCOD=2a

又：PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5,

.?.OC=OD=CD=5,

???CO。是等邊三角形，

/.2a=60°,

/.or=30°

故選：A.

【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點E和F的位置是解題的關鍵.要使［PEF的周長最小，

通常是把三邊的和轉化為一條線段，運用三角形三邊關系解決.

7.(本題2分)(2022秋?全國?八年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，點4-2,2)，8(2,6),點p為無軸

上一點，當PA+PB的值最小時，三角形P4B的面積為()

A.1B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】如圖，作點A關于x軸的對稱點A,連接A8交x軸于點P,連接AP,此時尸A+PB的值最小，進

而根據SPAB=S~5'IA4-P,即可求解.

【詳解】如圖，作點A關于X軸的對稱點A,連接A2交x軸于點P,連接AP,此時PA+PB的值最小，

由圖可知，點P坐標為(-1,0),

..A(-2,2),8(2,6),A'(-2,-2),P(-l,0)

?，

?_sx4x4-—x4xl=6

^PAB=^AA'B-^AA'P=22,

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，坐標與圖形，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.

8.（本題2分）（2022秋?河北邢臺?八年級校考階段練習）現需要在某條街道/上修建一個核酸檢測點P,

向居住在A,B小區的居民提供核酸檢測服務，要使P到A,B的距離之和最短，則核酸檢測點P符合題意

的是（）

【答案】A

【分析】作A點關于直線I的對稱點，連接對稱點和點B交I于點P,進而根據軸對稱性質解答即可.

【詳解】解：作A點關于直線I的對稱點，連接對稱點和點B交I于點P,P即為所求；

故選：A.

【點睛】此題考查軸對稱中的最短路線問題，關鍵是作A點關于直線I的對稱點.

9.（本題2分）（2022秋?河南信陽?八年級校考階段練習）如圖，在RtA4BC中，ZACB=90。，AC=6,

BC=8,AB=1O,AD是N54C的平分線.若分別是A。和AC上的動點，則尸C+尸。的最小值是（）

【答案】D

【分析】由題意可以把Q反射到A8的。點，如此尸C+PQ的最小值問題即變為c與線段上某一點o

的最短距離問題，最后根據"垂線段最短”的原理得解.

【詳解】解：如圖，作Q關于AP的對稱點。，連接尸0,過點C作CM±9于點M,則PQ=P0,所以。、

P、C三點共線時，CO=PC+PO=PC+PQ此時PC+PQ有可能取得最小值,

當C0垂直于AB即CO移到CM位置時，CO的長度最小,

PC+PQ的最小值即為C"的長度,

l

Sv.nr=-ABxCM=-ACxCB

V4BC22

叱小4.8

即PC+尸0的最小值為4.8,故D正確.

【點睛】本題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段最短，通過軸反射把線段和最小的問題轉化為線段外一

點到線段某點連線段最短問題是解題關鍵.

10.（本題2分）（2022秋?河北邯鄲?八年級校考階段練習）如圖，直線機表示一條河，點〃、N表示兩

個村莊，計劃在加上的某處修建一個水泵向兩個村莊供水.在下面四種鋪設管道的方案中，所需管道最短

的方案是（圖中實線表示鋪設的管道）（）

【答案】D

【分析】利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離.

【詳解】解：作點M關于直線m的對稱點加'，連接M0'交直線m于Q,

根據兩點之間，線段最短，可知選項D修建的管道最短，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，這類問題的解答依據是"兩點之間，線段最短”.由于所給的條件的

不同，解決方法和策略上又有所差別.

二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.

11.（本題2分）（2023?浙江?八年級假期作業）如圖，點P關于。4、03的對稱軸分別為C、D,連接CD,

交。4于交OB于N.ZAOB=46°,求NMPN=.

【答案】88。歸8度

［分析】首先求出/C+/D=46。證明NPNAf=ND+NOPN2=2ND,/PMN=/C+/CPM=2NC,,

推出/PW+NPMM=92。，可得結論.

【詳解】解：關于°A、的對稱軸分別為C、D,

:.PM=CM,PN=DN,NC=NCPM,ND=NDPN,

-;ZAOB=46°,

ZCPD=180°—46°=134°,

???/C+/D=46°，

...ZPNM=ZD+ZDPN2=2ND,^PMN=ZC+ZCPM=2NC

：,NPMN+/PNM=2x46°=92°,

.ZMPN=180°-（ZPMN+ZPNM）=180°-92°=88°

故答案為：88。.

【點睛】本題考查軸對稱，三角形內角和定理，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活

運用所學知識解決問題.

12.（本題2分）（2023秋?寧夏石嘴山?八年級校考期末）在：ABC^,AB=AC,BC=5,=15,ADJ.BC

于點D,EF垂直平分AB,交AB于點E,交AC于點產，在EF上確定一點P,使尸B+PD最小，則這個

最小值為.

【答案】6

【分析】連接^尸,根據垂直平分線的性質以及軸對稱的性質即可求解.

【詳解】解：如圖所示：連接8尸

AB=AC,BC=5,SAABC=15,ADS3C于點。,

:.AD=6,

E/垂直平分A8,

.?.點P到A,B兩點的距離相等，

???AO的長度=PB+PD的最小值，

即尸2+尸。的最小值為6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，知道AD的長

度=P3+P。的最小值是解題的關鍵.

13.（本題2分）（2023秋?江蘇連云港?八年級統考期末）如圖，在中RABC,ZC=90°,/3=60。，點

。在2C上，BD=4,點P、E分別是AC、A8上動點，當。尸+EP的值最小時，跖=5,則A8的長為.

【答案】14

【分析】根據動點的運動，當點。、尸、/（E關于AC的對稱點）三點共線且于點￡時,

。尸+￡尸=。尸+/＞史=。￡的值最小，再根據等邊三角形的性質，即可求出答案.

【詳解】如圖所示，以AC為對稱軸作VA*C,E的對稱點為盡；

DP+EP=DP+PE',

當。、P、E'三點共線且OEU42'時，。尸+即=。尸+/^'=。￡的值最小，

DE'1AB',NB=NB'=60。,BE=B'E'=5,

B'D=2B'E'=IO,

：,B'B=B'D+BD=14,

ZB=Z5,=6O°,

.?.△ABB是等邊三角形，

AB=B'B=14,

故答案為14.

【點睛】本題考查軸對稱最短路徑問題，等邊三角形和直角三角形的知識，解題的關鍵是掌握軸對稱最短

路徑問題，等邊三角形的性質和直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半.

14.（本題2分）（2023秋?湖北黃石?八年級統考期末）如圖，已知NAOB=30。，OC平分N49B，在。4

上有一點M,OM=106cm,現要在OC,上分別找點Q,N,使QM+QN最小，則其最小值為cm.

【答案】5君

【分析】作M關于0c的對稱點P,過點P作尸NLQ4于N,交0c于Q,則此時的值最小，可

求。尸=OM=106cm,PQ=MQ/PNO=90。,再根據含30。角的直角三角形的性質求解即可.

【詳解】作M關于0c的對稱點P,過點P作/WQ4于N,交℃于Q,則此時QM+QN的值最小，

VZAOB=30°,OC平分NA03,在。4上有一點反，

關于0c對稱，

點P在上，

?OP=OM=10芯cmPQ=MQZPNO=90°

??，，，

PAf=-OP=-xloV3=5V3cm

22,

.QM+QN=PQ+QN=PN=5^3cm

??，

故答案為：50.

【點睛】本題考查了含3。°角的直角三角形的性質，軸對稱一最短路線問題，垂線段最短的應用，能夠確定

0，N的位置是解題的關鍵.

15.（本題2分）（2022秋?湖南岳陽?八年級校考期中）如圖，直線/垂直平分ABC的AB邊，在直線/上

任取一動點0,連結。4、OB、OC.若。4=5,則03=.若AC=9,BC=6,貝!I8OC的最小

周長是.

【分析】根據直線/是A8邊的垂直平分線，則49=30,O8+OC=AC最小，此時的周長有最小值

為3C+AC,進而即可求解.

【詳解】當直線/與AC的交點為0時（即點°移到AC上時），如圖,

:直線/是AB邊的垂直平分線，

:.AO=BOf

CO+BO=CO+AO-AC,止匕時OB+OC—AC最小，

BOC的周長=5O+OC+8C=AB+AC,

此時IBOC的周長有最小值為BC+AC,

：AC=9,8c=6,

???30c周長的最小值為15

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，軸對稱的性質，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.

16.（本題2分）（2023春?河南開封?八年級校考階段練習）如圖，在周長為16的菱形ABCD中，點￡、/

分別在邊A5、AD上，AE=1,A歹=3,P為8。上一動點，則線段EP+長度的最小值為.

【答案】4

【分析】在℃上截取DG=FD,連接EG,則EG與BD的交點為p,EG的長就是EP+4的最小值，據

此即可求解.

【詳解】解：???菱形MCO的周長為16,

AB=BC=CD=DA=4,

在°C上截取DG=ED,連接EG,則EG與8。的交點為P.

：.PF=PG,

EP+FP=PG+PE=EG,即EG的長就是EP+FP的最小值,

.-.DG=FD=AD-AF=4-3=1,

???AE=1,

：.GD=AE,

：.四邊形.GO是平行四邊形

.-.EG=AD=4_

故答案為：4.

【點睛】本題考查了軸對稱，理解菱形的性質，對角線所在的直線是菱形的對稱軸是關鍵.

17.（本題2分）（2022春?湖南婁底?八年級婁底一中校考階段練習）如圖，在QABC中，/C=90。，NA=30。,

BC=1,直線加垂直平分AC,點P為直線加上的動點，則P8+PC的最小值是.

【答案】2

【分析】根據直線m垂直平分&C,得到點A與C關于直線m對稱，設直線m與A8的交點為D,當點P

與D重合時，P3+PC的值最小，且最小值是AB的長度，根據直角三角形的性質得到結論.

【詳解】解：：直線m垂直平分AC,

點A與C關于直線m對稱，

設直線m與A8的交點為D,

當點P與D重合時，P3+PC的值最小，此時尸4=PC則P3+PC最小值是A8的長度，

?.?在：ABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=I,

AB=2BC^2,

...P3+PC的最小值是2,

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題，含30度角的直角三角形以及線段垂直平分線的性質，解題

的關鍵是找到點P所在的位置.

18.（本題2分）（2023秋?河北滄州?八年級統考期末）如圖，已知點。，點E分別是等邊三角形ABC中8C,

邊的中點，瓦>=5,點/是AO由動點，則+所的最小值___________.

【答案】5君

【分析】根據已知條件得出等邊三角形的邊長為10，連接CE,CF,根據軸對稱的性質，得出

BF+EF=CF+EF>EC,當斤在線段EC上時，取得最小值，最小值為EC的長，勾股定理即可求解.

【詳解】解：??,點。，點E分別是等邊三角形中3C,A3邊的中點，ED=5,

?ADLBC,BD=CD=BE

ZEBD=60°

：.BE。是等邊三角形,

ED=BE=EA=-AB

-2

BE=BD=-BC=5

.?AB=2ED=102,

如圖，連接CE,CT,則'+班'=b+EFNEC,當P在線段EC上時，取得最小值，最小值為EC的長,

?.?E為AB的中點,

CE1AB

...CE=NBC。-BE?=V102-52=54

即BF+EF的最小值為5省.

故答案為：56.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，等邊三角形的性質，軸對稱的性質，含3。度角的直角三角形的

性質等知識點的綜合運用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

19.（本題2分）（2022秋?湖北十堰?八年級十堰市實驗中學校考期中）如圖，等邊ABC中，。為AC中

點，點尸、。分別為必AD上的點，BP=AQ=4,QD=3,在2。上有一動點￡,則PE+QE的最小值

【答案】10

【分析】作點Q關于3。的對稱點°,，連接尸°交于E,連接Q",此時PE+E2的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQ=PQ

【詳解】如圖，???.0是等邊三角形,

:.BA=BC,ZA=60°

?.?D為AC中點，

.?.BDJ_AC,

作點Q關于刈＞的對稱點a,連接PQ'交8。于E,連接。石，此時尸E+EQ的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQf=PQ

BP=AQ=4QD=3

AAD=DC=AQ+QD=JQD=D0=3

?CQ,=CD-DQ,=4=BP

??，

.??AP=AQ=10

?.?ZA=60°,

???△A尸。'是等邊三角形，

...PQ=PA=10

...PE+QE的最小值為io.

故答案為：1°.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決

最短問題，屬于中考常考題型.

20.（本題2分）（2023秋?山西晉城?八年級統考期末）如圖，在：ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD

為中線，點￡在中線AD上運動，但不與點4。重合，點/在48上運動，但不與點48重合，連接BE

和EF.則BE+EF的最小值是

【答案】13

【分析】根據等腰三角形三線合一性質可得ADS3C,得到點B、點C關于直線AD對稱，過c作b工腦

交于F,則此時BE+EF=CE的值最小，根據三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】解：'/R=AC=13,點D是BC的中點，

:.AD±BC,

...點B、點C關于直線A。對稱，

過C作CF1AB交AD于E,則此時班+EF=EC+￡F=CF的值最小，

A

clBCAD10x12120

AB1313,

120

.?.BE+M的最小值為13,

120

故答案為：13.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，垂線段最短，線段垂直平分線的性質，三角形的面積公式，利

用垂線段最短來解答本題.

三、解答題：本大題共8小題，21-22題每小題6分，23-28題每小題8分，共60分.

21.（本題6分）（2023?江蘇?八年級假期作業）如圖所示.

⑴作出ABC關于y軸對稱的圖形△A4G；

⑵在無軸上確定一點P,使得及1+PC最小；

（3）求出ABC的面積.

7

【答案】⑴見解析；⑵見解析；⑶5

【分析】（1）根據軸對稱的性質作圖即可；

（2）過x軸作點A的對稱點A，，連接AC,與x軸交于點P,此時點尸即為所求;

（3）利用割補法求三角形的面積即可.

【詳解】（1）解：如圖，耳G即為所求.

作法：1.41，2），8（3,1）,以4,4）關于》軸的對稱點分別為4（-12），4（-3/）6（=1,4）,

2.順次連接小綜G,

故即為所求.

（2）解：如（1）中圖，點P即為所求.

作法：1.作點AQ2）關于x軸的對稱點AU-2）,

2.連接AC交x軸于點p,

故點P即為所求.

1117

/、―現ABC=3x3一一x2xl一一x3xl一一x2x3=-

（3）解:2222

7

的面積為5.

【點睛】本題考查作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵.

22.（本題6分）（2023春?廣東河源?八年級統考開學考試）如圖已知平面直角坐標系中

A（-l,3）,B（2,O）,C（-3,-l）

⑴在圖中作出關于y軸的對稱圖形△A4G，并寫出點A,Bt,c的坐標.

（2）在y軸上找一點p,使9+PC最短，并求出p點的坐標.

【答案】⑴圖見解析，AM）,4（-2,o）,q（3,-i）

⑵尸（。,2）

【分析】（1）找出他c三個頂點關于》軸的對稱點坐標，再連接對稱點即可得到片G,根據坐標系

寫出點4,耳，G的坐標即可求解;

（2）連接A。，交）軸于p,這時PA+PC最短，利用待定系數法先求出直線A。的解析式，再求出與,軸

的交點即可.

【詳解】（I）解：如圖所示，作：的三個頂點關于＞軸的對稱點坐標4*G連接A4、46、B?

即得到△4旦￡,

■:直線經過A(L3)和C(一3,-1),

k+b=3k=i

-3k+b=-1,解得:6=2

;?直線4c解析式為：＞=了+2

當x=o時，y=2,

.?.尸（0,2）

【點睛】本題結合最短問題考查了待定系數法求一次函數的解析式，軸對稱圖形性質，掌握這些性質，數

形結合進行計算是解此題的關鍵.

23.（本題8分）（2023秋?八年級課時練習）如圖，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地《吃草，然后趕

羊到小河4飲水，之后再回到B處的家，假設山娃趕羊走的都是直路，請你為他設計一條最短的路線，標明

吃草與飲水的位置.

草地

小河

【答案】見解析

【分析】作點A關于乙的對稱點E,點B關于4的對稱點尸，連接EP,分別交4，&于點C,D,即可得

出答案.

【詳解】解：如圖，作點A關于4的對稱點E,點B關于4的對稱點尸，連接EF,分別交￡占于點C,D.

小河

點C為吃草的位置，點。為飲水的位置，則AC-CD-D3是他走的最短路線.

【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

24.（本題8分）（2023秋?八年級課時練習）如圖，四邊形ABCD為正方形，M,N分別是AB,BC邊

的中點，請在對角線AC上找一點P,使PN+PN的值最小（不寫作法，保留作圖痕跡）.

［分析】連接8。交AC于。，連接N尸并延長交于T,由對稱軸的性質可知當點P與點。重合時，P"+PN

的值最小.

【詳解】解：如圖所示，點尸即為所求.

連接8。交AC于0,連接N?并延長交于T,

由正方形的對稱性可知M、T關于AC對稱，

/.PM=PT,

:.PM+PN=PT+PN,

.?.當P、T、M三點共線時，PT+PN最小,即PM+PN最小，此時點P與點。重合.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，軸對稱最短路徑問題，熟知相關知識是解題的關鍵.

25.（本題8分）（2023秋?山西陽泉?八年級統考期末）如圖，已知ABC的三個頂點的坐標分別為A（-6,4）,

B（-4,0）,C（-2,2）.

⑴作MC關于〉軸的軸對稱圖形得AH與c，畫出圖形，并直接寫出點A的坐標」

(2)已知點尸是X軸上一點，則PA.+PC的最小值是

【答案】⑴畫圖見解析，4(64)

(2)10

【分析】(1)分別確定A,B,C關于y軸對稱的對稱點A,用，G,再順次連接即可,再根據a的位置

可得其坐標；

(2)如圖，作4關于x軸的對稱點G,連接CG,交無軸于尸，可得PA=PG,則/科+PC=PG+PC=CG

此時最短，再利用勾股定理進行計算即可.

【詳解】(1)解：如圖，^4片G即為所求作的三角形；

...4(6,4).

(2)如圖，作4關于X軸的對稱點G,連接CG,交x軸于P,

.PA=PG

??，

...PA+PC=PG+PC=CG,此時最短，

如圖，構造直角三角形CGK,

由勾股定理可得：CG=JCK2+KG2=J62+8'=1O,

...PA+PC的最小值是I。.

【點睛】本題考查的是畫軸對稱，坐標與圖形，利用軸對稱的性質求解線段和的最小值，熟練的運用軸對

稱的性質進行畫圖是解本題的關鍵.

26.（本題8分）（2023春?四川南充?八年級南部縣第二中學校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，菱

形。4BC的對角線在x軸上，已知點A（4,2）,點。在Q4上，坐標為（2,機），在08上求作一點尸，

（1）求點P的坐標；

⑵求PD+PA最小值.

【答案】⑴【3

⑵了

【分析】（1）連接0C,交08于點尸，連接AP,則M=PC,則點尸即為所求，進而求得RC的坐標,

得出8的直線解析式，即可求解；

（2）勾股定理求得。的長，即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，連接°C,交于點P,連接AP,則/%=PC,

???點A",2）

k=」

設直線3的解析式為、=依，則42,

1

y=-x

?,?直線必的解析式為2,

當九=2時，y=i,

.3）；

?.?四邊形。RC是菱形，

AC關于x軸對稱，

...C（4,一2）

設直線CD的解析式為y=S+d,

3

c=——

\2c+d=12

貝ij14c+d=_2,解得:d=4

y=——x+4

?,?直線8的解析式為2

8

x=-

當y=o時，3

（2）解：由（1）可得。（2』），C（4，-2）,PD+PA=PC+PD=CD,

QPPD+PA的最小值為C