專題突破卷20曲線的軌跡方程問題

題生領嵬

橢圓的軌跡方程問題

原題生各小擊破

題型一：橢圓的軌跡方程問題

1.如圖所示，以過焦點用月的直線為X軸，線段耳耳的垂直平分線為V軸，建立平面直角

坐標系.其中國瑞|=2c(c>0),橢圓上任意一點尸滿足忸￡|+|pq=2a(a>0),求橢圓的標

準方程.

“0)

【分析】直接按求曲線的方程步驟求解即可.

【詳解】設橢圓上任意一點P(x,y),焦點F](-c,0),6(c,O),

因為|P4|+|P周=2a(a>0).

貝!J+y2+—+y2_2a,

即J(x+c)2+/=2a-—c)2+y2,

兩邊平方得，(x+c『+y=4/一4aJ(x-c)2+=2+(x-c)2+y2.

整理得，oj(x-c)2+心=a2-ex,

兩邊平方得，a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2=a4-2a2ex+c2x2

整理得(6-c2>jx2+a2y2=a2一，).

22

兩邊同除以/(〃一。2)得，T+F^=i.

aa-c

由橢圓定義知2〃>2c>0,BPa>c>0,所以儲一，〉。.

_________22

令b=[a?-c2,得/+==1(。>/?>0).

22

即橢圓的標準方程為1r+方=l(a>b>0).

22/1\

2.已知橢圓「：3+2=1(。>6>0)的離心率為e,且：T過點M[,0J，N(l,e).

⑴求「的方程；

⑵若A8分別為「的上、下頂點.。為坐標原點，直線/過「的右焦點尸與「交于C,。兩點，

與y軸交于尸點.

①若E為O的中點求點E的軌跡方程；

②若A。與直線8c交于點°,求證。尸為定值.

【答案】(l)[+y2=l⑵①彳2-工+2y=0(彳*1)；②證明見解析

【分析】(1)根據離心率e=￡以及兩點坐標構造方程組即可求得「的方程；

a

(2)①聯立直線和橢圓方程并利用韋達定理求得中點E的表達式，再利用斜率公式可得E

的軌跡方程；

②對直線斜率以及兩點位置關系進行分類討論，根據點共線時斜率相等整理變形可得

做=-1，即可求得OPOQ=-飯=1,為定值.

【詳解】(1)設r的焦距為設,則e吟則M已。m,

21「2

將N代入橢圓方程可得品a=1,與+鼻=1,可得，=1；

acaab

22

又/=b+c,

解得。=>/2,b=l,c=l,

所以r的方程為］+y2=l.

(2)①由(1)知F(1,O),由題意知直線1的斜率存在,

故設1的方程為y=k(x—l),Ca，x),D(%,%),E(x,y),如下圖所示:

_Iy2_1

聯立2,一，消去y并整理，得（1+2/卜2一4左2%+2/-2=0,

y=A:（x—1）

所以》+"（-）="（百4"2一21>一2k

所以x=A±^=^^,y=2i±A=__J,所以x=_2外,

21+2/，21+242

又左=?，%wl,所以x=-2?y-y,

x-\x-\

化簡得d-x+2y2=O（xwl）,

即點E的軌跡方程為x2-x+2y2=0(x^1).

②證明：由(1)知4(0,1),8(0,—1),由(2)①知尸(0,—兀),

當左=0時，C,D分別為『的左、右頂點，由橢圓的對稱性知AC〃3D,不合題意，故左W0,

當P異于A,B時，設。(%,%),

由A,Q,D三點共線，得工一二2^,由B,Q,C三點共線，得

x2x0xxXQ

因為牛=。，

x{+x22k

兩式相除，得迎生=%%=依無2+（1-%）々

八'%一1%%一玉芯（也一女）一百2%2一（k+1）玉

k*2-\

左?^^（占+々）+（1-左）超（X]+x）+（l-^）x

2k222

k2-l

（玉+%2）-。+%）石（再+彳2）-（1+左）玉

2k2

（42_1）菁_（左_1）2%_（左一1）［（>+1）丁一（左一1）々］_l-k

_（1+左）~尤［+優2_1）々_（后+1）［（k+1）玉_（左一l）%］k+1

解得什o=-1.所以OPOQ=-Ay（）=1，為定值,

當P點與A點重合時，P（0,1）,Q（0,1）,OPOQ=1,

當P點與B點重合時，P（0-1）,Q（0,-1）,OPOQ=1,

所以OPOQ=1,為定值.

3.記橢圓￡:二+工=1的左，右頂點和左，右焦點分別為A，4，4,F,,尸是E上除左

43

右頂點外一點，記P在E處的切線為/,作直線4打〃尸片交/于點&,作直線4鳥〃尸鳥交/

于點&，記直線A居與的交點為Q.

⑴求點Q的軌跡方程;

（2）求|。周;

22

⑶求四邊形A禺&&面積的最大值.附：橢圓|y+%=l（a>b>0）在點尸（加,〃）處的切線為

等+*1（P在橢圓上）.

22_

【答案】⑴］+卷=1（》*±4）⑵|。周=2（3）3君

【分析】⑴設點P（xo，y0）,聯立直線4用和&&的方程求出。（2%,2%）,則

代入?+。=1，可以得到點Q的軌跡方程.

（2）運用兩點間距離公式得到|PFi|,|「局，104,1，\QA,\,求出AQ：y=A+2后；求出

/c「4、\PF\\MF.\..

田-1,@,求出/匕,0）結合初中幾何結論渦t=篙，求|網即可.

（3）由（2）同理可求得|然|=2,將四邊形4N&4轉化為△QA4,△。穴述2的面積之差,

結合余弦定理和基本不等式求解即可.

22

【詳解】（1）設點P（x0,yo）,則/w±2,則至+』L=i.

43

由題知，直線4用的方程為尤=口〉-2,

%

直線4%的方程為X=9y+2,聯立直線和4鳥的方程有Q（2x0,2%）,

%

設Q（xy）,則與=；,%=與代入五+近=1,得到《+$=1,

''202431612

22

???點Q的軌跡方程為標+女=l（x2±4）.

（2）|尸耳|=J（x（）+1）+*=Jx：+2x0+1+3—IX；=［（x（）+4）,

同理可得|PB|=g（4-尤0）,1ali=4+x0,|以|=4-%，

由對稱性，可設%>。，％=。時，則。（0,2道），AQ:y=&+26；

所以R"-1,6），此時|。周=2；%片。時，由對稱性可設%>0,

（4）|P用幽

設1與x軸交于點M,則M一,0由初中幾何有，y

（七）HI'

代入有|A周=2+5，此時|QN|=2.綜上所述，I。周=2.

（3）由（2）同理可證明|。4|=2,記四邊形A內&4,△QA4,△。我內的面積分別為風,

S],S2,

則S0=S「S?=；（|QAI|Q4H0周|0勸sinZAQA,

由前面知，風=?|。&|。闋一4六畝/4尺&，|QA||Q4區/」=16,

當且僅當x0=o時取等；在△QA4中，有COS/4Q41AA0+麻一4闋

2%。|也。

241/?

代入數據有cos/AQA=16.2-1Nsin，AQ4&y-，

當且僅當％=0時取等，.〔S。=；（|QA||Q4|-4卜inNA?4W3省,

當且僅當％=0時取等.

綜上所述，四邊形4片&4面積的最大值為3VL

22

4.如圖，在平面直角坐標系x0y中，橢圓C：二+乙=1的左焦點為為橢圓C上的動點

95

（異于左頂點），定點。，|,0）在無軸上，點尸滿足呼=2P￡>，直線EP與橢圓c交于AB

⑴求點尸的軌跡方程；

（2）證明：尸為A3中點.

【答案】（i）（x+iy+竽=1（尤~2）⑵證明見口

【分析】（1）設P（x,y）,由EP=2PD，可得點E坐標，代入橢圓方程即可；

（2）分析可得斜率存在，得出直線方程，聯立橢圓消元后可得一元二次方程，根據根

與系數的關系及中點坐標公式化簡即可得證.

【詳解】（1）設P（x,y）,由呼=2P￡>且可知E（3x+3,3y）,

因為E在橢圓上且異于橢圓左頂點，所以3x+3w-3,且包苴+@￡=i，

95

所以點P的軌跡方程為（x++容=1（力-2）；

（2）證明：易知直線A3的斜率存在，設直線AB:y=%（x+2）,

y=左（冗+2）

將直線方程與橢圓。的方程聯立，工22,

——+—=1

化簡得（93+5b2+36Hx+36k2-45=0,所以+/=，

yK?D

y=Z（%+2）

將直線方程與點尸的軌跡方程聯立，/遂9y2，

（x+l），子=1

化簡得（9獷+5b2+（36/+10）X+36/=0,

即（x+2）［（9公+5）x+18k［=0,解得馬=一^^,

因為修=/血，所以尸為A3中點，原命題得證.

?2,.21

5.已知橢圓E：3+斗=1（.>6>0）的長軸長為40,離心率為；,M（2,0）,N（-2,0）.

⑴求橢圓E的方程；

⑵過尸（4,0）作一條斜率存在且不為0的直線/交E于A,2兩點.

（i）證明：直線AM和直線的斜率均存在且互為相反數；

（ii）若直線AM與直線3N交于點。，求。的軌跡方程.

【答案】（1）［+1=1（2）⑴證明見解析；（ii）9=1（尤X2,尸0）

【分析】（1）根據已知條件直接計算出橢圓相關基本量即可；

（2）（i）設A（x1,yi）,B（x2,y2）,直線/的方程為y"（x-4乂心0）,聯立方程組,利用韋

達定理證明；（ii）設直線，直線：伍+2）y=%（x+2）,聯立方程組得馬=&，%=?我，

七不

采用代入法可得。的軌跡方程.

【詳解】（1）根據題意，2a=40

1c1

因為橢圓離心率為1，所以e=—=彳，

2a2

所以c=5/2，b=y/a2—c2=6，

所以橢圓的方程為!+二=1;

86

(2)(i)設A(x1,yi),B(x2,y2),直線/的方程為y=k(x-4乂b0),

y=^(x-4)

聯立方程/2消去y得：(3+4左2_32k2x+64k2-24=0,

—+—=1

[86

則A=96(3—4/)>0,即閃<#,

i4i*、4?小工田7曰32k264左2-24

由韋達定理得，％1+%22=--------7，%［?％2=---------廠，

3+4左2123+4左2

當網二日時，A=0,%=々=2,不合題意，故工產2,%2。2,

所以直線AM和直線的斜率均存在，心〃=』7?3=上7,

玉一2x2-2

左（玉_4）（%2_2）+k（x2—4）（玉—2）

所以％A?+原時=會+上=

（玉-2）（々-2）

左［2玉?％2-6（玉+元2）+16］%（128%2-48-6?32%2+16（3+422））

%人-2（X1+X2）+4（3+4左2）（玉.%2—2（%+々）+4）

即直線AM和直線BM的斜率均存在且互為相反數；

（ii）由（i）知/。2,>kAM=-kBM=,

2-X2

可設直線AM:（2-%2）丁=J2（X-2）,直線BM:（x2+2）y=%（x+2）,

（%2—2）%=-%（%o—2）%%=2%①

設。(%,%)，則整理得

（電+2）%=%（%+2）.%=2%%

由題意知％W。，由①知先工。，％0工。，

所以由①知，x2=—,yi=-@,

%%

將②代入［+》=i得怖+需=i,化簡得］一4=1,

又因為苫2片2,所以不片2,

22

所以。的軌跡方程為5-3=1口/2,丫*0).

6.已知橢圓C:：y』，過C外一點尸作C的兩條切線分別交x軸于小兩點.

⑴記IJ的傾斜角分別為4M.若tanq?tan%=-2,求尸的軌跡方程.

（2）求..AB尸面積的最小值.

【答案】（1）2元?+/=9（"±2）（2）4

【分析】（1）設尸（%,%）,過點尸直線方程設為、-為=左5-%），聯立直線與橢圓方程，

利用判別式為0,結合韋達定理，求解點P軌跡方程.

（2）根據點斜式可得A,8的坐標，即可根據三角形面積公式得表達式，結合韋達定理，以

及二次函數的性質即可求解最值.

【詳解】（D設P5,%）,過點尸直線方程設為>-%=朗》-%）.

y=kx-(kx0-y0')

由V爐2解得1+左2)/一2女(此一%)%+(■-%)?-1=0.

=1

相切n△=4/(而°_-(1+4/)3一%了-1]=o.

化簡得：(4-尺)左2+2%為4+1-y：=0.

k&=tang].tan%=--=一2n2%；+y；=9,

4—不

???點軌跡方程為2爐+/=9(xw±2).

（2）由（1）知：直線尸AP3的斜率％i，%2滿足（4一%）左之+2%0>0左+l—y：=。,

"+2三皆，2=€

4人o4—%0

在直線V-%中，令y=0,貝1|3-學+兩，

K

因此人(-4+%0,04+%0,0,

I勺JIk2)

故用一A七一鏟

“11入2/22KlA2Kl

所以

1J-4+$+4y>2y^

當且僅當%=0,%=士點時，取等號，故面積的最小值為4.

7.已知點A在曲線C:土+二=1上，。為坐標原點，若點B滿足04=008，記動點8的

86

軌跡為r.

（1）求r的方程;

（2）設r的右焦點為尸，過點尸且斜率不為。的直線/交橢圓「于尸,。兩點，若板與x軸垂

直，且M是MB與r在第一象限的交點，記直線與直線MQ的斜率分別為左,網,當

尢+佝=0時，求aMPQ的面積.

【答案】⑴工+匯=1（2）至

438

【分析】（1）設2（羽田,4（/，以），根據。4=應08,把B點的坐標用A點的坐標表示，再

22

代入曲線C:二+匕=1即可得解；

86

（2）設直線/的方程為x=%+l（mwO）,P（叫+1,必）,。（〃少2+L%），聯立方程，利用韋達

定理求出%+%，%%，再結合《+網=。可求出機，即可得直線/的方程，進而可求出三角形

的面積.

【詳解】（1）設B（x,y）,A（XA，%）,因為點A在曲線C:二+3=1上,

86

所以立+近

1,

86

XA=y/2x

因為。4=夜。8,所以＜

f

yA=^y

代入E+比=1可得巫11+由正=1,

8686

即土+工=1,即「的方程為L+二=1；

4343

（2）由（1）知，r的右焦點為尸（i,o）,

令x=l,則:+：=1,解得>=土］,所以A/101,

據題意設直線/的方程為x=：畋+1（〃2/0）,尸的）\+1,芳）,。（沖2+1,%），

_3_3

則左-y'~22V.-3/2-22y-3,

/v|,“k22

my12my{my22my2

于是由尢+自=0得2十y—一3+2T必—一3=0,

2my12my2

化簡得4%必=3（乂+%）（*），

x=my+1,

消去x整理，得（3利2+4）/+67到一9=0,

3x2+4y2-12=0'

22

A=(6m)+36(3療+4)=144(//1+1)>0,

由根與系數的關系得…「3加--高

18m36

代入（*）式得:解得m=2,

3m2+43m2+4

所以直線/的方程為1—2y—1=0,

2

方法一：A=144(2+1)=720,^+72=一:，%%=一77，

416

所以|P0=J1+2?，(必+%)2-4%%二百x+二,

1—2X--1r-

點可到直線/的距離2__3。5,

J]+(-2)25

[13

方法二：由題意可知SMPQ=SMPF+SMQF=-|MF||xp-xe|=-|xp-xe|,

工一2丫一1=0代入3/+4：/-12=0消去',

得4，-2X-11=0,

所以A=(_2)2_4x4x(_n)=]80>O,4+q=J,Xpq=_t<0,

所以Supouljx..qb]“辱+x°)_4xpX°=|x+?=券?

8.已知曲線C上的點p(x,y)滿足J尤2+(y+1)2+7x2+(y-l)2=2V2.

⑴化簡曲線c的方程；

⑵己知點A(TO),點川-跖0),過點卜川的直線/(/斜率存在)與橢圓C交于不同

的兩點直線4W,4V與V軸的交點分別為RQ,證明：三點在同一圓上.

【答案】(1)/+《=1⑵證明見解析

【分析】(1)根據已知曲線方程，進行移項平方，化簡的方法，即可得曲線C的方程；

(2)設直線/的方程，并聯立橢圓方程，可得根與系數的關系式，進而表示點尸，。的坐標，

從而可得以尸。為直徑的圓的方程，并化簡，求出該圓與x軸交點坐標，即可證明結論.

【詳解】(1)由題意知曲線C上的點P(X,y)滿足&2+(y+1)2+收+(y-1)2=20，

則Jx?+(y+l)2=20-y/x2+(y-l)2,

故x?+(y+l)2=8-4^2-y/x2+(y-l)2+x2+(y-l)2,

y—2=—V2-yjx2+(_y—I)2，故(y-2>=2[x-+(y-1)~],

2

即2/+9=2,即化簡曲線C的方程為尤2+5=1；

(2)證明：由題意知直線/斜率存在，故設>=/+；),聯立尤2+亡=1,

得(左？+2)無？+左2尤+；%2-2=0,

由于直線I過點而點在橢圓f+；=i內，故必有公＞0,

-k2-i

設加（石，%）?。?2，%），則r一k?4

12=x,x2=----

"F7212e+2

直線AM的方程為照房（x+1）,直線AN的方程為"言（x+1）,

令x=0,可得20,已）,。（0,4），

xx+1x2+1

故以p。為直徑的圓的方程為

2玉+1x2+14玉+1x2+1

即x2+y2-（-上+」My+上上=0,

玉+1x2+1玉+1x2+1

111

k9（X|++5）k9[石/+—（玉+馬）+

而工2

玉+1x2+l玉玉+%+1+玉+%+1

-k2-2.

k2山一6,

k2[4-----+-（-

r+22F+2

OSk2

+1

F+2-F+2

即以P2為直徑的圓的方程為一+4點+加）i一。,

令y=o，貝U—6=o,「.x=±J^,

即〃卜布,0）在以PQ為直徑的圓上，故H,P,Q三點在同一圓上.

9.橢圓總+丁=1上有動點P,點片，尸2分別是橢圓的左、右焦點，求W鳥的重心M的

軌跡方程.

2

【答案】*+千=1（"0）

9

【分析】根據重心坐標公式以及相關點代入法求出M的軌跡方程.

【詳解】設點P，M的坐標分別為（餐,兀），（x,y）,

,?在已知橢圓的方程中，a=3,b=l,

??c=J'9-1=2,\/2,

則已知橢圓的兩焦點為耳（-272,0）,F2（2A/2,0）.

?.二尸百乙存在，；.〉尸0.

%+卜2@+2忘

X-%=3%,

由三角形重心坐標公式有3即

y+0+0%=3y

<yw0,二?"0.

???點P在橢圓上，，式+犬=1,

9'

,（3x）2

.?玩-+（3>）=l（y/0），

,2

故/耳工的重心M的軌跡方程為/+丁=1（k°）.

9

10.已知點尸，。是圓。：爐+,2=6上的兩個動點，若直線OP與0。的斜率都存在且滿足

kopk（）Q—幾.

⑴當〃=-1時，求尸。的中點M的軌跡方程；

（2）當〃=-彳時，橢圓°：與+左=ig〉b>o）與動直線尸。恒相切，求橢圓c的標準方程.

2ab

【答案】⑴龍2+/=3k±§（2）三+匕=1

I2J42

【分析】（1）先根據七判斷出△OPQ為等腰直角三角形以及點P,Q的限制條件，

求出=再利用兩點間距離公式化簡可得到點M的軌跡方程.

（2）根據條件對直線PQ的斜率是否存在進行分類討論.當直線PQ的斜率存在時，設出直

線方程；先與圓的方程聯立，由電得到4右一2=77?；再與橢圓方程聯立，由橢圓

與動直線PQ相切得至1」/%2+廿="2；最后兩式聯立求出a,b的值，得到橢圓方程.當直線

PQ的斜率不存在時，列出關系式求出直線PQ的方程，易判斷直線PQ與橢圓相切.

【詳解】（1）設點M（x,y）,尸（%,%）,。（孫為）.

如圖所示:

.點P,Q是圓。：/+;/=6上的兩個點，直線OP與0Q的斜率都存在.

OP=OQ=-\/6,不+X,片i>/6.

；當〃=_］時，*及。=-1

???OPLOQ,△OPQ為等腰直角三角形.

「點M是PQ的中點

.?.在△OPQ中|OM|=#x"=6，

22

???由兩點間距離公式得,Jx+y=6，其中x=與歪w土半，

B|J%2+y2=3x^+^~.

所以PQ的中點M的軌跡方程為f+/=3,片土乎.

k27

（2）由題意得：當〃二一5時，kOPkOQ=

當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為丁="+根（人工。）,尸（石,另）,。（%2，%），如圖

y=kx+m（、、、、

聯立方程組j+y2一6，消去y可得：k+1）尤+2A?a+機—6=0.

△1=4%2_4（22+1）（加2_6）=24k2-4療+24>0

2km

X.+x=------

則12%2+1

m-6

國九2二—；---

.12廿+1

-=（腦+加）（優+加）=/左21]

），化簡得：4k2-2=府.

..KopK。?！獈——2~7~

玉一。%2-0玉々機一6

y=kx+m

聯立方程組/,2,消去y可得：左2+/）/+2（^kfWC+#1T^—//—0,

17+

直線PQ與橢圓C恒相切,

/.4=4/公小2_4（〃2左2M2_.2/）=0,化簡得/左2+〃=機2

4k2+2=a2k2+b2,

■4〃+2=片左？+/對任意的女都成立,

/=4萬=2,

22

???橢圓c的標準方程為L+匕=1.

42

xx=x2

%=%

當直線PQ的斜率不存在時，＜項2+%2=6，解得國2=4,此時直線PQ的方程為x=±2,

j_

kopkoQ=

x{x22

22

顯然直線PQ與橢圓C：?+與=1相切.

22

綜上可得：橢圓C的標準方程為工+匕=1.

42

題型二：雙曲線的軌跡方程問題

11.已知直線/：丁=履+/與雙曲線C：]-v=i相切于點。.

⑴試在集合孝，弓,1,中選擇一個數作為上的值，使得相應的f的值存在，并求出相應

的f的值;

⑵過點。與/垂直的直線/'分別交蒼'軸于A,2兩點，P是線段A8的中點，求點P的軌跡方

程.

【答案】（1）當％=變時，-0；當上=噂時，/=±也；當左=1時，”土1.

222

，y29（）

⑵廠》獲*土3丁0）

【分析】（1）直線方程和雙曲線方程聯立，由A=0求得上與/的函數關系，再由左的值求出

相應的f的值；

（2）設2（根,〃），利用導數求直線/的斜率，得直線/'的斜率和方程，求出兩點的坐標,

表示出分點尸的坐標，由Q（w）在雙曲線上，得點尸的軌跡方程.

v_

【詳解】（1）由《2,2=一1，消去y得（2左2-l*+4依+2/+2=0,

y=kx+t

由公=-16左2+8/+8=0,得2左2=產+1,當"=￡時，/不存在；

當％=也時，rwO；當后=中時，t=+—＞當左=1時，r=±l.

222

（2）設。（九九），貝m2=2n2+2.

Y

對c求導可得x-2y.y=o,則y'=E，

有品=一為=一?,所以/':,一〃=_&（%一機），

xmm

則相=:與,〃=;兀,所以才+2,得,=￥+，無。。,

33yV2o

2Q(3萬

即P的軌跡方程是f-3=Jxw土學.

2814J

12.在平面直角坐標系xQy中，已知雙曲線加：片->2=1經過點A(2,1),點3與點A關于

m

原點對稱，C為"上一動點，且C異于A,8兩點.

⑴求M的離心率；

(2)若4臺^^的重心為人一點^岱⑷，求口刀的最小值；

(3)若小BCT的垂心為A,求動點T的軌跡方程.

【答案】⑴半⑵0(3)苒一9=1(去除點(一2,±1),(2,-1)).

【分析】(1)將點4(2,1)代入雙曲線的方程求出加值，即可求得〃的離心率；

(2)根據三角形的重心公式求得動點T的軌跡方程，根據兩點間距離公式求出陷刀的最小

值；

(3)根據原廣原7,k=1求動點7的軌跡方程.

【詳解】⑴因為雙曲線M:二72=1經過點A(2,1),所以3-1=1,解得加=2,

mm

所以Af的離心率e-Jl+4=Jl+g=,

(2)易知5(-2,-1).設。(%o，%),T(x,y).

-+/-2_O

a-,fx--8-x

因為ABCT的重心為A,所以?，解得°

y+%T=11%==4-y'

13

因為五一y；=l,所以場―-(4一y)2=l,即(X-8)2=2+2(y-4)2.

22

[x^6[x^lO

因為A,B,C不共線，所以。且

["3["5

所以T的軌跡不含(6,3),(10,5)兩點.

故口T|=J(x-8)2+(y_4)2=j2+3(y-4)2>72,當且僅當y=4時，等號成立,

即|。刀的最小值為JL

(3)因為人為八BCT的垂心，所以AT_L3C,3T_LAC,

設c?，%)，T(x，y)，

當直線BC或AC的斜率為0時，點C的坐標為(2,-1)或(-2,1),

此時點T與點C重合，不合題意，舍.

當直線BC或AC的斜率不為0時，直線AT與3T的斜率存在,

則kAT'kBC=kBT-Kc=T，

由(2)知號一y；=l,則y；-l=才一2,

貝k=%+]%_]尤_].(”―)j.

ACBC-

~x0+2x0-2"xj-4考-4-2

因為K?■?原廣心廠的。=1，所以心廣凝r=晨」廠=2,

加=二j==，則二?二=2,得>2-1=2/-8,

x—2x+2x+2x-2

22

則2上x一V上=1,因為民CT構成三角形，故B不能在軌跡上，

77

,22

綜上，動點T的軌跡方程為會-5=1(去除點(一2，±1)，(2，一1)).

13.已知點A是雙曲線C:己-三=1的上頂點.

42

(1)若點B的坐標為(虛,1),延長A3交雙曲線于點。，求點。的坐標;

(2)雙曲線C與直線l:y=kx+m(k^±逝)有唯一的公共點尸，過點尸且與/垂直的直線分別

交x軸，y軸于M(x,O),N(O,y)兩點，當點尸運動時，求點Q(x,y)的軌跡方程.

【答案】⑴，孚與(2)合嘖=1("0)

<。/yio

【分析】(1)求出直線AB的方程，聯立雙曲線方程，求出加=個，進而求出租，得到點。

的坐標;

2k4

（2）聯立/與雙曲線方程，由A=0得到2獷+蘇=4,求出尸和過點P且與/垂直

mm

的直線方程，表達出”（x,O）,N（O,y）的坐標，結合2產+療=4得到軌跡方程，注意ywO.

【詳解】（1）由題意得人（0,2）,

故直線A3方程為三=上淮，即x+應v-20=O,

2-10-壺

22

聯立X+0-20=0與--土=1得-3y2+16)-20=0,

42

由韋達定理得2%=弓，解得知=5,

故冗0=20-0%=-W則點。的坐標為/f，9;

3133J

22

(2)聯立/:y=日+機(左。土形)與——土=1得，

42

(k2—2)x2+2kmx+m2—4=0,

k手土血，由A=4左2/_4伏2—2）（加2—4）=0,解得242+4=4,則相。0,

_-km_—km_2k

72k2k2+H12

又尸k2-2m2m，y=k-----\-m=

Pmmm

（2k4]

故P一,一,由題可知上wO,

mmJ

過點尸且與/垂直的直線方程為y-3=-；（x-如l即y=-1x+g,

mk\mJkm

令尤=0得y=g,令y=0得無=竺,

mm

66,mx6xx

因為y=一,所以加=一，故々=w=_.￡=_，顯然ywO,

my6y6y

r236

代入242+根2=4中得2=十三二4,

yy

22

化簡得2y2一元2=18,即（_一言=i（〉#o）；

14.已知過點尸（2,0）的直線4與雙曲線C：*-y2=i的左右兩支分別交于A、8兩點.

（1）求直線乙的斜率k的取值范圍;

⑵設點&/，%）&*2y）,過點。且與直線4垂直的直線4,與雙曲線C交于M、N兩點.

當直線4變化時，身畫一看西恒為一定值，求點。的軌跡方程.

【答案】（1）-理<k<亞⑵Y-2y2=4

22

【分析】（1）當人=0時，顯然符合題意，當人聲0時，設直線乙的方程為x=少+2,其中

|A=8r2+16>0

f=1,設A?,%）、3（羽,巴），聯立直線與雙曲線方程，消元、依題意可得產-2x0

k?

%%>0

即可得到不等式求出左的取值范圍，即可得解;

2r+1

（2）由（1）知，因為|到.網=十—『，設Q（%為）,則直線4的方程為可產%）,

F-2|

設M（x,,%），N（z，yJ,聯立直線與雙曲線方程，消元，即可表示出畫耘所，從而表

不出網彳閑一@7口函，即可得至小片一2y；一斗=2時，網府曠何麗函為定值，從

而求出動點的軌跡方程.

【詳解】（1）當左=0時，顯然符合題意，

當人r0時，設直線4的方程為x=少+2,其中/=：,設4（/yJ、35,羽），

k

與雙曲線方程聯立可得（『-2b2+4ry+2=o,

A=8r+16>0-4/

…="2

因為直線4與雙曲線交于不同的兩支，所以<「-2片。，又?

2

*當>°“J

211/y

所以「7>。，解得->2,即>2,所以產〈”且太r0,解得-——〈左＜0或0＜女＜

t-2k7T222

綜上可得當

2（?+1）

（2）由（1）知，因為|以|.|尸理=（/+1）|%%|=*一A

F-2|

、1_R

所以網