全等與相似模型-對角互補模型

全等三角形與相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜

合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了.本專題就對角互補模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

模型1、旋轉中的對角互補模型

對角互補模型概念：對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構造全等三角形；②進行旋

轉的構造，構造手拉手全等。

常見的對角互補模型含90。-90。對角互補模型、120。-60。對角互補模型、2a-(180°-2a)對角互補模型。

1)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側型)

結論：①CD=C￡,②OD+OE=4ioC,③

結論：①CD=CE,②OE-OD=MOC,③S$-OC2-

2

3)”等邊三角形對120。模型”(1)

條件：如圖，已知/NO8=2/DCE=120°,0c平分//O氏

結論：①CD=CE,②OD+OE=OC,③Sd,=BoC。.

△CCZtJACC/JC4

4）”等邊三角形對120。模型”（2）

條件：如圖，已知N/O3=2NOCE=120。，OC平分//OB,/DCE的一邊與2。的延長線交于點.

結論：①C?=CE,②OD—OE=OC,③$5「冰=走0。2.

ACC/ZJ△CC/zl4

5)“120。等腰三角形對60。模型”

條件：△N3C是等腰三角形，且/歷1C=12O。，NBPC=60。。結論：①PB+PO^PA；

6)“2a對180。-2a模型”

條件：四邊形48。中，乙4+乙8=180。結論：0P平分入102

注意：①AP=BP,②乙4+乙8=180。，③OP平分乙―以上三個條件可知二推一。

7）“蝴蝶型對角互補模型”

例1.（2023?黑龍江黑河?八年級期中）R04BC中，AB=/C,點。為2c中點.^MDN=90°,AIDN繞點D

旋轉，DM、DN分別與邊48、/C交于E、尸兩點.下列結論：?（BE+CF）=^BC,②SAAEF.SAABC，

24

③S四邊形AEDF="。?即，④即其中正確結論的個數是（）

例2.（2022遼寧九年級期末模擬）已知NAOB=90。，在NAOB的平分線OM上有一點C,將一個三角板的直

角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA,0B（或它們的反向延長線）相交于點D,E.

當三角板繞點C旋轉到CD與0A垂直時（如圖①），易證：OD+OE=72OC；

當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結論是否仍然成立？若

成立，請給予證明：若不成立，線段OD,OE,OC之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

例3.(2022秋?四川綿陽?九年級校聯考階段練習)已知//CD=90。，AC=DC,MN是過點A的直線，過

點、D作DBLMN于點B,連接C8.⑴問題發現：如圖(1),過點C作CE_LCB,與龍W交于點E,BD、48、

C2之間的數量關系是什么？并給予證明.(2)拓展探究：當"N繞點A旋轉到如圖(2)位置時，BD、4B、CB

之間滿足怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并給予證明.

例4.(2022四川宜賓八年級期末)如圖1,ZAOB=90°，OC平分/AOB,以C為頂點作/DCE=90°，

交OA于點D,03于點E.(1)求證：CD=CE；(2)圖1中，若。C=3,求。。+OE的長；

(3)如圖2,4405=120°,。。平分2/。8,以C為頂點作/DCE=6CT,交CM于點D,。8于點E.若。C=3,

求四邊形OECD的面積.

OEB

圖1圖2

例5.（2022湖北省宜城市八年級期末）如圖，已知乙408=120。，在乙408的平分線（W上有一點C,將一

個60。角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線08相交于點。、E.

（1）當乙DCE繞點C旋轉到C。與。4垂直時（如圖1）,請猜想OE+8與OC的數量關系，并說明理由;

（2）當NOCE繞點C旋轉到C。與ON不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由;

（3）當四CE繞點C旋轉到CD與。”的反向延長線相交時，上述結論是否成立？若成立，請給于證明；

若不成立，線段與0C之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

例6.（2023?山東?九年級專題練習）如圖，AABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點,NEDF=120。,

把4EDF繞點D旋轉，使NEDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F.（1）當DF1AC時，求證：BE=CF；

（2）在旋轉過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由

例7.（2022山東省棗莊市一模）如圖，已知//。2=60。，在的角平分線上有一點C,將一個120。

角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與射線相交于點

（1）如圖1,當/DCE繞點C旋轉到CO與。/垂直時，請猜想0D+0E與0C的數量關系，并說明理由;

（2）當/DCE繞點C旋轉到8與。/不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由；

（3）如圖3,當/DCE繞點C旋轉到點。位于的反向延長線上時，求線段與OC之間又有怎樣

的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

例8.（2023?浙江金華?校考三模）如圖，點P為定角〃0B的平分線上的一個定點，且ZJWPN與NA0B互補,

若NMPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA、0B相交于M、N兩點，則以下結論：（1）PM=PN恒

成立；（2）0M-ON的值不變；（3）△0MN的周長不變；（4）四邊形P/WON的面積不變，其中正確的序號

為.

'N

B

模型2.對角互補模型（相似模型）

【模型解讀】四邊形或多邊形構成的幾何圖形中，相對的角互補。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向

兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似.

【常見模型及結論】

1）對角互補相似1

條件：如圖，在及A/BC中，乙C=LEOF=90。,點。是的中點，

輔助線：過點。作0DL/C,垂足為。，過點。作。垂足為

結論：①40DE?AOHF；@—=—（思路提示：—=—=—=—）.

OFACOFOHOHAC

2）對角互補相似2

條件：如圖，已知41。2=〃》尊=90。，4BOC=a.

輔助線：作法1：如圖1,過點C作CCM,垂足為尸，過點C作CGL02,垂足為G；

結論：①4ECG?ADCF；②（思路提示：—,CF=OG,在MACOG中，tana=—^

CDCFOG

輔助線：作法2：如圖2,過點。作。尸，。C,交OB于F；

一CFCFCF

結論：@ACFE-ACOD-,②C￡=CZ>to?a.（思路提示：—=—=tana,在MAOCP中，tana=—）

CDCOOC

3）對角互補相似3

條件：已知如圖，四邊形/BCD中，ZB+ZD=18O°?

E

A

DD

O

B

輔助線：過點。作垂足為過點。作。尸，2C,垂足為尸;

結論：①4DAE?4DCF；②Z3CD四點共圓。

例L（2023?成者B市?九年級期中）如圖所示，在Rt"3C中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,在R"MPN中,

/MW=90。，點尸在/C上，PM交AB于點、E,PN交BC于■點、F.當尸E=2Pb時，/尸的值為（）.

C.3D.4

例2.（2023?河南南陽?九年級統考階段練習）如圖，在等腰直角“BC中，AACB=9G°,AC=BC,過點C

作射線C尸過48,D為射線CP上一點，E在邊2c上（不與8,C重合）且ND4E=45。，/C與。￡交于點

O.(1)求證：AADC-AAEB;(2)求證：AADE~AACB；(3)如果CD=CE,求證：CD2=CO-CA.

例3.（2023?廣西河池?校聯考一模）綜合與實踐【問題情境】在RtZXABC中，ZBAC=9Q°,AB=3,AC=4,

在直角三角板EDF中，NEDF=9Q°,將三角板的直角頂點。放在斜邊3C的中點處，并將三角

板繞點D旋轉,三角板的兩邊DE,。尸分別與邊/B,/C交于點M,N.

【猜想證明】如圖1,在三角板旋轉過程中，當M為邊48的中點時，試判斷四邊形的形狀，并說

明理由.【問題解決】如圖2,在三角板旋轉過程中，當=時，求線段CN的長.

例4.（2023年江西省南昌市月考）如圖，兩個全等的四邊形/3CZ）和其中四邊形049。的頂點

。位于四邊形/8C。的對角線交點O.

（1）如圖1,若四邊形和夕C都是正方形，則下列說法正確的有.（填序號）

①OE=。尸；②重疊部分的面積始終等于四邊形N8C。的;；③BE+BF（DB.

（2）應用提升:如圖2,若四邊形ABCD和OA'B'C都是矩形，/。=a,DC=6,寫出OE與O尸之間的數量關系,

并證明.

⑶類比拓展:如圖3,若四邊形/BCD和04月。都是菱形，NDAB=a,判斷（1）中的結論是否依然成立;

如不成立，請寫出你認為正確的結論（可用。表示），并選取你所寫結論中的一個說明理由.

例5.（2023.遼寧中考模擬）如圖，在RS48C中，AC=BC,乙4c8=90。，點O在線段48上（點。不與

點N,B重合），且OB=kOA,點”是NC延長線上的一點，作射線OM,將射線（W繞點。逆時針旋轉90°,

交射線C8于點N.（1）如圖1,當左=1時，判斷線段（W與ON的數量關系，并說明理由；

（2）如圖2,當左>1時，判斷線段與ON的數量關系（用含左的式子表示），并證明；（3）點P在射

線3C上，若乙BON=15。，PN=kAM（k"）,且生<1二1,請直接寫出生的值（用含左的式子表示）.

例6.（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1,已知在RS/2C中，Z^AC=90°,AB=AC,取5c邊

上中點。，連接（，點E為邊上一點，連接DE,作DF1DE交4c于點F,求證：BE=AF-

（2）探索發現：如圖2,已知在必A/BC中，484c=90°,AB=AC=3,取8C邊上中點。，連接4D,點

E為A4延長線上一點，NE=1,連接DE,作。尸IDE交NC延長線于點尸，求/尸的長;

（3）類比遷移：如圖3,已知在A4BC中，的C=120。，AB=AC=4,取BC邊上中點￡>,連接4D,點E

為射線A4上一點（不與點/、點3重合），連接。打，將射線繞點。順時針旋轉30。交射線C/于點尸,

當/￡二44尸時，求/尸的長.

F

圖1圖2圖3

課后專項訓練

1.（2022,江蘇?八年級校聯考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A,B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上,

且OA=OB,點C在第一象限，0C=3,連接BC,AC,若NBCA=90。，貝ljBC+AC的值為.

2.（2023.廣東九年級期中）如圖，AZBC為等邊三角形，以48為邊向外作△43。，使N4D8=120。，再

以點C為旋轉中心把ACBD旋轉到VC4E,則給出下列結論：①D,A,E三點共線；②DC平分NBD4；

③/E=/BAC；④DC=DB+DA.其中正確的有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2023?山西臨汾?統考二模）在菱形48CD中，ZABC=60°,AC=6,對角線/C,AD交于點O,E,F

分別是“A4。邊上的點，且/ECF=60°,BE=2,CF與BD交于點、G,則段的值為.

4.（2023青島版九年級月考）如圖，在火a48c中，ZACB=90°,4BC=30°,直角/MCW的頂點。在

r）A1op

上，OM,ON分別交C/、CB于點P、Q,/MON繞點。任意旋轉.當——=—時，"行的值為；

OB2OQ

r）Aop

當空=▲1時，=為______.（用含"的式子表示）

OBnOQ

5.（2023?西城區校級期中）已知，如圖，在四邊形48。中，BOBA,Z^+ZC=180°,DELBC,BD

平分/48C,試說明/D=DC.

6.（2023?阜新中考模擬）如圖，在△4BC中，NA4c=90°,AB=AC,4D_L2C于點。.

（1）如圖1,點E,尸在48,AC±,且/瓦加=90°.求證：BE=AF；

(2)點M,N分別在直線4D,AC±,且/8MV=90°.

①如圖2,當點〃■在的延長線上時，求證：AB+AN=J^AM；

②當點M在點/,。之間，且/4W=30°時，已知/2=2,直接寫出線段的長.

7、（2023.重慶九年級期中）已知：如圖，在等邊A/BC中，點。是BC的中點，乙DOE=120°,繞著

點。旋轉，角的兩邊與相交于點。，與NC相交于點￡

（1）若。。,OE者B在8c的上方，如圖1,求證：OD=OE.⑵在圖1中，3O,CE與8C的數量關系是.

⑶若點。在的延長線上，點￡在線段NC上，如圖2,直接寫出AD,CE與8C的數量關系是.

8.（2022山西省呂梁市八年級期末）如圖，已知/DCE與/,OC平分/AOB.

⑴如圖L/DCE與的兩邊分別相交于點。、E,ZAOB=ZDCE=90°,試判斷線段CD與CE的

數量關系，并說明理由.以下是小宇同學給出如下正確的解法：解:CD=CE.

理由如下：如圖1,過點。作C/_LOC,交08于點尸，則NOCF=90。，…

請根據小宇同學的證明思路，寫出該證明的剩余部分.

⑵你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程.⑶若408=120。，ZDCE=60°.

①如圖3,/DCE與/403的兩邊分別相交于點。、￡時，（1）中的結論成立嗎？為什么？線段OE、

OC有什么數量關系？說明理由.②如圖4,NDCE的一邊與/。的延長線相交時，請回答⑴中的結論是

否成立，并請直接寫出線段。。、OE、OC有什么數量關系；如圖5,NDCE的一邊與8。的延長線相交

時，請回答⑴中的結論是否成立，并請直接寫出線段。￡、OC有什么數量關系.

9.（2022?湖北武漢?八年級校考期末）已知在四邊形/3C。中，ZABC+ZADC=1^°，AB=BC.

（1）如圖L連接3。，若/8/。=90°,求證：AD=CD.

⑵如圖2,點尸,。分別在線段DC上，滿足尸0=/P+C0,求證：NPBQ=ZABP+NQBC；

⑶若點。在DC的延長線上，點尸在D4的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ=/P+CQ,請寫出/尸

與//OC的數量關系，并給出證明過程.

10.（2023?山東青島?八年級統考期中）［問題］如圖①，點。是。的角平分線3P上一點，連接4D,CD,

若//與NC互補，則線段與。有什么數量關系？

［探究］探究一：如圖②，若44=90。，則/C=180。-44=90。，即40148,CDLBC,又因為8。平分

ZABC,所以理由是：.

探究二：若44/90。，請借助圖①，探究/。與CD的數量關系并說明理由.

［結論］點。是/48C的角平分線AP上一點，連接AD,CD,若//與/C互補，則線段與的數量

關系是?

［拓展］已知：如圖③，在“8C中，AB=AC,44=100。，BD平分/4BC.求證：BC=AD+BD.

11.(2022?陜西寶雞?統考二模)問題提出

(1)如圖1,四邊形ABC。中，AB=AD,N2與/。互補，BC=2CD=20,點A至！］BC邊的距離為17,

求四邊形ABCO的面積.

問題解決(2)某公園計劃修建主題活動區域，如圖2所示，BA=BC=6Qm,/2=60。，CD過4B,在尤

上找一點E,修建兩個不同的三角形活動區域,&ABE區域為體育健身活動區域,AECD為文藝活動表演區域，

根據規劃要求，ED=EA,ZAED=60\設式的長為x(m),"CO的面積為伏m>求了與x之間的函數關

系式，并求出AECD面積的最大值.

圖2

12.(2023山東中考模擬)如圖，矩形ABCD中，乙4c8=30。，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角

線/C,AD的交點處，以點尸為旋轉中心轉動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊2C所在的

PF

直線相交，交點分別為￡,F.(1)當PE上AB,尸時，如圖1,則/的值為；

PF-----

PF

(2)現將三角板繞點尸逆時針旋轉a(0°<a<60°)角，如圖2,求樂的值；(3)在(2)的基礎上繼續

PF

旋轉，當60。<。<90。，且使4尸：PC=1：2時，如圖3,—的值是否變化？證明你的結論.

13.（2022秋?河南鶴壁?九年級統考期末）已知在RM/2C中，NB4c=90°,AB=2,AC=4,D為BC邊

上的一點.過點。作射線DE1DF,分別交邊AB、AC于點、E、F.

（1）當。為2C的中點，DE±AB.。尸//C時，如圖1,——=

DF

DF

（2）若。為BC的中點，將/ED尸繞點。旋轉到圖2位置時，——=_______；

DF

（3）若改變點。到圖3的位置，且生=生時，求匹的值.

BDnDF

14.（2023?浙江臺州?九年級校考階段練習）【問題情境】如圖①，在Rg4BC中，ZACB=90°,AC=BC,

點。為48中點，連結CO,點E為C8的延長線上一點，過點E且垂直于的直線交/C的延長線于點尸.

易知BE與CF的數量關系.

【探索發現】如圖②，在RtA42C中，ZACB=90°,AC=BC,點。為中點，連結8,點E為C2的

延長線上一點，過點石且垂直于。￡的直線交NC的延長線于點尸.【問題情境】中的結論還成立嗎？請說

明理由.【類比遷移】如圖③，在等邊“8C中，48=4,點。是A8中點，點￡是射線NC上一點（不與

點A、。重合），將射線DE繞點。逆時針旋轉60。交2C于點F.當C尸=2CE時，CE=.

15.（2023廣東中考模擬）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做"等鄰角四邊形"

（1）概念理解：請你根據上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；

（2）問題探究；如圖1,在等鄰角四邊形ABCD中，Z.DAB=ZABC,AD,BC的中垂線恰好交于AB邊上一點

P,連結AC,BD,試探究AC與BD的數量關系，并說明理由；

（3）應用拓展；如圖2,在RSABC與RSABD中，ZC=ZD=9O°,BC=BD=3,AB=5,將RtAABD繞著點A順

時針旋轉角a（0°<za<zBAC）得至（JRtAAB'D'（如圖3）,當凸四邊形AD，BC為等鄰角四邊形時，求出它的

面積.

「A

圖1圖:?圖33'

16.（2023年成都市中考模擬）（1）如圖,RS4BC中，乙4=90。，AB=AC,。為8C中點，E、尸分別為

AB、/C上的動點，且乙⑦尸=90。.求證:DE=DF；(2)如圖2,RS/8C中，4艮4c=90°,AC=4,AB

=3,ADLBC,"DF=9。。.①求證：DF?DA=DB?DE；②求斯的最小值.

AA

BDCBDc

圖1圖2

17.（2023浙江省紹興市九年級期中）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,點D為邊BC的中點,

點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且Z.PDQ=90。.

（1）當DPJ_AB時，求CQ的長；（2）當BP=2,求CQ的長.

18.（2023?湖北,九年級專題練習）如圖，四邊形N8C。是矩形，點P是對角線NC上一動點（不與N、C重

合），連接尸8,過點P作尸尸8,交DC于點E,已知4D=3,AC=5.設/尸的長為x.

WAB=；當x=l時，求箴PF的值；⑵試探究：箴PF是否是定值?若是，請求出這個值；若不是,

請說明理由；（3）當APCE是等腰三角形時，請求出x的值.

19.（2023秋?山西忻州?九年級校考期末）綜合與實踐

問題情境：在學習了三角形的相似后，同學們開始了對不同三角形中的相似模型的探究.

猜想推理：（1）如圖1,在等邊“8C中，「為8c邊上一點,E為NC邊上一點，ZADE=60°,AB=6,BD=2,

則CE=.問題解決：（2）如圖2,O3C是等邊三角形，。是8c的中點，射線DE,。尸分別交48,

AC于點、E,F,且NEDE=120°,求證：OE=.（3）如圖3,ZBAC^90°,AB=6,AC=8,D是BC

DF

的中點，射線DE,。尸分別交4B,NC于點E,F,且/ED尸=90。，求一的值.

圖1圖2圖3

20.（2023廣東深圳三模試題）（1）【探究發現】如圖1,正方形A8C。的對角線相交于點。，在正方形HB'C'。

繞點。旋轉的過程中，邊4。與邊3C交于點邊C'O與邊。交于點N.證明：AOMCAOND；

（2）【類比遷移】如圖2,矩形/BCD的對角線相交于點O,S.AB=6,AD=\2.在矩形42'C'。繞點。旋

轉的過程中，邊H。與邊8c交于點邊C'。與邊。交于點N.若DN=\,求CM的長；

（3）【拓展應用】如圖3,四邊形/BCD和四邊形/'B'C'O都是平行四邊形，且NHOC'=ZADC,4B=3,

BC=3也，△BCD是直角三角形.在口N'B'C'。繞點。旋轉的過程中，邊H。與邊3C交于點邊C'O與

邊CD交于點N.當YZ3CD與口HB'C'。重疊部分的面積是YA8CO的面積的2時，請直接寫出ON的長.

B/M

A

A1B'

全等與相似模型-對角互補模型

全等三角形與相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜

合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了.本專題就對角互補模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

模型1、旋轉中的對角互補模型

對角互補模型概念：對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構造全等三角形；②進行旋

轉的構造，構造手拉手全等。

常見的對角互補模型含90。-90。對角互補模型、120。-60。對角互補模型、2a-(180°-2a)對角互補模型。

1)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側型)

結論：①CD=C￡,②OD+OE=4ioC,③

2

結論：?CD=CE,②OE—OD=6OC,@sSron=-OC.

3）”等邊三角形對120。模型”（1）

條件：如圖，已知/NO8=2/DCE=120°,0c平分//O氏

結論：①CD=CE,②OD+OE=OC,③Sd,=BoC。.

△CCZtJACC/JC4

4）”等邊三角形對120。模型”（2）

條件：如圖，已知N/O3=2NOCE=120。，OC平分//OB,/DCE的一邊與2。的延長線交于點.

結論：①C?=CE,②OD—OE=OC,③$5「冰=走0。2.

ACC/ZJ△CC/zl4

5)“120。等腰三角形對60。模型”

條件：△N3C是等腰三角形，且/歷1C=12O。，NBPC=60。。結論：①PB+PO^PA；

6)“2a對180。-2a模型”

E

條件：四邊形48。中，乙4+乙8=180。結論：0P平分入102

注意：①AP=BP,②乙4+乙8=180。，③OP平分乙―以上三個條件可知二推一。

7）“蝴蝶型對角互補模型”

例1.（2023?黑龍江黑河?八年級期中）R04BC中，AB=/C,點。為2c中點.^MDN=90°,AIDN繞點D

旋轉，DM、DN分別與邊48、/C交于E、尸兩點.下列結論：?（BE+CF）=^BC,②SAAEF.SAABC，

24

③S四邊形AEDF="。?即，④即其中正確結論的個數是（）

【答案】C

【詳解】解:??,RtAABC中,AB=AC,點D為BC中點.ZMDN=90°,

.?.AD=DC,ZEAD=Z.C=45",ZEDA=ZMDN-ZADN=90°-ZADN=ZFDC.

.?.△EDA=AFDC(ASA).；.AE=CF..-.BE+CF=BE+AE=AB.

V2V2

在RtAABC中，根據勾股定理，得AB=2BC.MBE+CF)=2BC..,.結論①正確.

設AB=AC=a,AE=b,則AF=BE=a-b.

SAAEF-|SAABC=~AE-AF~~1-AB-AC=1b(a-b)-1a2=-1(a-2by

...SAAEF/SAABC....結論②正確.

如圖，過點E作EI_LAD于點I,過點F作FG_LAD于點G,過點F作FH1BC于點H,ADEF相交于點O.

???四邊形GDHF是矩形，AAEI和AAGF是等腰直角三角形，

.?.EO2日(EF1AD時取等于)=FH=GD,OF>GH(EF1AD時取等于)=AG.

.-.EF=EO+OF>GD+AG=AD.結論④錯誤.

S

6匚M?DF=SAADC=--AD.DC=-AD-<AD-<AD.EF…

???△EDAA=AFDC,???22.???結論③錯慶.

綜上所述，結論①②正確.故選C.

例2.（2022遼寧九年級期末模擬）已知NAOB=90。，在NAOB的平分線OM上有一點C,將一個三角板的直

角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA,OB（或它們的反向延長線）相交于點D,E.

當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖①），易證：OD+OE=V2OC；

當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結論是否仍然成立？若

成立，請給予證明：若不成立，線段OD,OE,OC之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】圖②中OD+OE=&OC成立.證明見解析；圖③不成立，有數量關系：OE—OD=V^OC

【分析】當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，易得ACKD三ACHE,進而可得出證明；判斷出結果，解

此題的關鍵是根據題意找到全等三角形或等價關系，進而得出OC與OD、0E的關系；最后轉化得到結論.

【詳解】解：圖②中OD+OE=0OC成立.

證明：過點C分別作OA,OB的垂線，垂足分別為P,Q

有ACPDmACQE,.1.DP=EQ,-.-OP=OD+DP,OQ=OE—EQ,

又???OP+OQ=V^OC,即OD+DP+OE—EQ=3OC,.-.OD+OE=V2oc.

圖③不成立，有數量關系：OE—OD=0OC過點C分別作CK1OA,CH1OB,

??,OC為NAOB的角平分線，且CK1OA,CH1OB,.?.CK=CH,Z.CKD=ZCHE=90°,

X-Z.KCD與NHCE都為旋轉角,.-.ZKCD=ZHCE,

?■?△CKD=ACHE,.'.DK=EH,.-.OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,

由（1）知：OH+OK=0OC,.'.OD,OE,OC滿足OE-OD=?OC.

【點睛】本題考查旋轉的性質：旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，

兩組對應點連線的交點是旋轉中心.

例3.（2022秋?四川綿陽?九年級校聯考階段練習）已知N/CD=90。，AC=DC,初V是過點A的直線，過

點、D作DBLMN于點、B,連接C反

⑴問題發現：如圖（1）,過點C作CELC2,與交于點￡,BD、AB.C8之間的數量關系是什么？并

給予證明.（2）拓展探究：當"N繞點A旋轉到如圖⑵位置時，BD、AB,C2之間滿足怎樣的數量關系？

請寫出你的猜想，并給予證明.

【答案】（1）BD+AB=0CB；證明見解析⑵9―=證明見解析

【分析】⑴過點C作CELC8,得到=判斷出A/CE0ADCB,確定為等腰直角三角

形即可得出結論；（2）過點°作CELC8于點C,判斷出A/CEGADCB,確定AEC3為等腰直角三角形，即

可得出結論.

【詳解】（1）解：如圖L過點0作CE'CB交加于點上,

ZACE900-ZACB,ZBCD=90°-ZACB,ZACE=ZBCD,

-.■DB1MN,.,.在四邊形/CD2中，ZBAC+ZACD+ZABD+ZD=360°,+=180。，

VZCAE+ZBAC=\^°,...ZCAE=ZD,vAC=DC,:AACE知DCB,AE=DB,CE=CB,

?.?/EC2=90。，是等腰直角三角形，二a^二/四，

:.BE^AE+AB=DB+AB,BD+AB=V2CB;

(2)BD-AB=gCB；理由：如圖2,過點C作C￡，C3交MN于點E,

???ZACE=90°+ZACBtZBCD=9Q0+ZACB,ZACE=ZBCD,

???DB1MN,;.NCAE=9Q°-/AFB,ZD=90。-NCFD,

ZAFB=ZCFD,ZCAE=ZD,-：AC=DC,:.^ACE^DCB,/.AEDB,CE=CB,

?.?/EC8=90。，是等腰直角三角形，，3￡=逝。8,

:.BE=AE-AB=DB-AB,；.BD-AB=OCB；

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，勾股定理，構造全等三角

形是解題的關鍵.

例4.(2022四川宜賓八年級期末)如圖1,ZAOB=90°，OC平分/AOB,以C為頂點作/DCE=90°，

交。4于點D,OB于點E.(1)求證：CD=CE-(2)圖1中，若。C=3,求。。+OE的長；

(3)如圖2,乙403=120°,。。平分,以C為頂點作NOCE=60°,交04于點。，。8于點E.若。。=3,

求四邊形的面積.

973

【答案】(1)見解析；(2)OD+OE=3V2；(3)4

【分析】(1)過點C作CG10A于G,CH10B于H,然后根據題意利用AAS定理進行證明ACDG三ACEH,從

而求解；(2)根據全等三角形的性質得到0D+0E=20H,然后利用勾股定理求OH的值，從而求解；

(3)過點C作CG1OA于G,CH1OB于H,然后根據題意利用AAS定理進行證明ACDG三ACEH,從而求得

33-

,四邊形。ES=S四邊形。HCG=2SAOCG,然后利用含30。的直角三角形性質求得OH=2,CH=2從而求得三角形面積，

使問題得到解決.

【詳解】解：(1)如圖，過點C作CG1OA于G,CH_LOB于H,

???ZCDG+ZCDO=180".'.ZCDG=4CE0

ZCDG=ZCEO

<ZCGD=ACHE

在ACDG與ACEH中tCG=CH

???△CDG=ACEH(AAS).-.CD=CE

(2)由(1)得ACDGmACEH；.DG=HE

由題易得AOCG與AOCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH

.?.0D+0E=0D+0H+HE=0G+0H=20H設OH=CH=x,在RtAOCH中，由勾股定理，得:

37230

—--------------------I

OH2+CH2=OC2；.x2+x2=3).2(舍負)；QH=2,-,OD+OE=20H=3V2

(3)如圖，過點C作CG1OA于G,CH1OB于H,

???OC平分//O3.?.CG=CHVZAOB=120°,ZDCE=60°.-.ZCDO+ZCEO=180°

???ZCDG+ZCDO=180/.ZCDG=NCEO

ZCDG=/CEO

在2XCDG與△CEH中]ZCGD=ZC/fE.-.ACDG=ACEH（^S）.-.DG=HE

CG=CH

由題易得aOCG^AOCH是全等的直角三角形，且OG=OH

??.OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH.\S四邊形。疣。二S四邊形OHCG=2S^OCG

在中，有S.=四邊形還

RtAOCHNCOH=60°,OC=3,...OH=|;CH=l^i.-.OCG—??.S0ECD=2SAOCG^

2224

【點睛】本題考查全等三角形的性質及判定，含30。直角三角形的性質以及勾股定理，是一道綜合性問題,

掌握相關知識點靈活應用解題是本題的解題關鍵.

例5.（2022湖北省宜城市八年級期末）如圖，已知乙408=120。，在乙的平分線（W上有一點C,將一

個60。角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線03相交于點。、E.

（1）當乙DCE繞點C旋轉到C。與O/垂直時（如圖1）,請猜想OE+OD與OC的數量關系，并說明理由;

（2）當ZDCE繞點C旋轉到CD與。/不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由;

（3）當〃）CE繞點C旋轉到CD與。”的反向延長線相交時，上述結論是否成立？若成立，請給于證明；

若不成立，線段。。、與OC之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】（1）詳見解析；（2）（1）中結論仍然成立，理由詳見解析；（3）（1）中結論不成立，結論為0E-

OD=OC,證明詳見解析.

【分析】（1）根據0M是NAOB的角平分線，可得NAOB=60。，則NOCE=30。，再根據30。所對直角邊是斜邊的一

半，得出0D=20C,同理：0E=5（DC,即可得出結論；（2）同⑴的方法得到OF+OG=OC,再根據AAS證明

△CFD=ACGE,得出DF=EG,則OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,OF+OG=OD+OE,即可得出結論.⑶同⑵的

方法得到DF=EG,根據等量代換可得0E-OD=OC.

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【詳解】⑴,.QM是NAOB的角平