全等三龜形2種基聲模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

模型一:一線三等角模型

一線三等角指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角

或鈍角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看著是“一線三等角”中當角為直角時的特例,三直角型相似通常是以矩形或者正方形形

為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉的直角，幾種常見的基本圖形如下：

當題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構造完整的三直角型相似，這往往是

很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉化。

基本類型:

同側“一線三等角”異側“一線三等角”

模型二:手拉手模型--旋轉型全等

一、等邊三角形手拉手-出全等

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點。旋轉過程中（B、C、。不共線）始終有：

①4BCD法AACE；②，4E（位置關系）且BO=AE（數量關系）；③FC平分2BFE；

題型三:倍長中線模型構造全等三角形

倍長中線是指加倍延長中線,使所延長部分與中線相等,往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相

等。常用于構造全等三角形。中線倍長法多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系（通常用“SAS”證明）

（注:一般都是原題已經有中線時用）=

三角形一邊的中線（與中點有關的線段），或中點,通常考慮倍長中線或類中線，構造全等三角形.把該中線延長

一倍，證明三角形全等,從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法.

\?

%

主要思路:倍長中線（線段）造全等

在△ABC中入。是邊中線

MS

A

?E

延長入。到E,使。E=4D,連接BE

E

作CF_LAD于F,作BE_L4D的延長線于E連接BE

延長上到N,使DN=MD,連接CD

題型四:平行線+線段中點構造全等模型

遇有兩條平行線間線段的中點時，我們可以通過作經過該中點

的直線與兩條平行線相交構造“8”字型全等。

如圖，AB〃CD,點E是BC的中點.可延長DE交AB于點F.我們把

這種情況叫做平行線間夾中點.處理這種情況的一般方法是：延長過

中點的線段和平行線相交.即“延長中線交平行”。

如圖，D是AB上一點，DF交AC于點

E,DE=FE,FC〃AB,試判斷AE與CE有怎樣的

數量關系？并證明你的結論。

解：AE=CE,理由如下：

證明：VFC/7AB,

；.NADE=NF,(兩直線平行，內錯角相等)

又?：DE=FE,NAED=NCEF,

AAADE^ACFE(ASA),

AAE=CE.

MS

證明：延長DE交AB的延長線于點F

???ZB=ZC^9tf

ADC>7AB,

???NCDE=NF,（兩直線平行，內錯角相等）

又???CE=BE,ZCED=ZBEF,

/.△CDE^ABFE（ASA）,

ADE=FE.

VED平分/ADC

???NODE=NEDA'

：?NF=NEDA

AAD=AF

.?.AE平分/DAB.（等腰三角形的三線合一）

題型五:等腰三角形中的半角模型

過等腰三角形頂點兩條射線,使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。

解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角

形成的三角形全等,再通過全等的性質得到線段之間的數量關系。

題型六:角平分線+垂直構造全等模型

類型一'角平分線垂兩邊

角平分線+外垂直

當已知條件中出現OP為AOAB的角平分線、PMA_OA于點M時，輔助線的作法大都為過點P作PN±

08即可.即有=兒―空AON尸等，利用相關結論解決問題.

類型二、角平分線垂中間

角平分線+內垂直

MS

當已知條件中出現OP為NAO8的角平分線,PN，OP于點P時，輔助線的作法大都為延長M尸交

08于點N即可.即有AOMN是等腰三角形、OP是三線等，利用相關結論解決問題.

壓軸題預測

模型一:一線三等角模型

趣目工（2023?石家莊模擬）如圖①，矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線Z的上方，線段AB與點E、

F都在直線Z上，且AB=7,EF=10,BC>5.點B以1個單位/秒的速度從點E處出發，沿射線EF方向

運動，矩形48co隨之運動，運動時間為t秒.

（1）如圖②，當力=2.5時，求半圓。在矩形ABCD內的弧的長度；

（2）在點B運動的過程中，當40、BC都與半圓。相交時，設這兩個交點為G、H.連接OG、OH,若

圖①圖②圖③

題目②（2023?懷化三模）如圖所示,工人趙師傅用10塊高度都是L5m的相同長方體新型建筑材料，壘了兩

堵與地面垂直的墻ABCD和EFGH，點,P在BE上,己知AP=PF,NAPF=90°.

（1）求證：^ABP=kPEF；

（2）求BE的長.

題目叵〕（2023?承德二模）如圖1,BAC經過R1AABC的三個頂點，圓心O在斜邊AB上，AC=4,直徑AB

所對的弧長為衣長的3倍，將等腰五的直角頂點。放置在邊上，于點F.

MS

AA

CD

圖1

圖2

（1）ZABC=°；

（2）求證：^ACD=^DFE■,

（3）如圖2,當點E落在AB上時，求EF的長.

1題目⑷（2023?鳳臺縣校級二模）感知:數學課上，老師給出了一個模型:如圖1,點A在直線DE上，且ABDA

=90°,像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等

角“模型.

應用：（1）如圖2,放A4BC中，乙4cB=90°,CB=CA,直線ED經過點。，過A作4D，ED于點。，過B

作BE_LE。于點E.求證；ABECxbCDA.

（2）如圖3,在^ABC中，。是BC上一點，/CAD=90°,AC=AD,ADBA=/DAB,4B=2通,求點。到

48邊的距離.

（3）如圖4,在O4BCD中，E為邊8。上的一點，F為邊48上的一點.若NDEF=2B,AB=10,BE=6,

求黑的值.

:題目回（2023?鄂倫春自治旗二模）如圖1,二次函數夕=aQ+3）（,—4）的圖象交坐標軸于點A,5（0,-2）,

點P為名軸上一動點.

（1）求二次函數?/=a（c+3）（①一4）的表達式；

⑵過點P作PQ，z軸分別交線段AB,拋物線于點Q,C,連接47.當QP=1時，求AACQ的面積;

⑶如圖2,將線段PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PD.

①當點D在拋物線上時,求點D的坐標；

②點E（在拋物線上，連接PE,當PE平分ABPD時,直接寫出點P的坐標.

MS

題目包（2023?濰坊三模）如圖1,將一個等腰直角三角尺ABC的頂點。放置在直線，上，/ABC=90°,AB

=BC,過點A作AO，1于點。，過點B作BE±l于點E.

觀察發現：

（1）如圖1,當A,B兩點均在直線I的上方時

①猜測線段人。，。￡與跳;的數量關系并說明理由；

②直接寫出線段。。，AD與BE的數量關系；

操作證明：

（2）將等腰直角三角尺ABC繞著點。逆時針旋轉至圖2位置時，線段人。與BE又有怎樣的數量關系,

請寫出你的猜想，并寫出證明過程；

拓廣探索：

⑶將等腰直角三角尺ABC繞著點。繼續旋轉至圖3位置時，AD與BC交于點H,若CD=3,AD=9,請

直接寫出的長度.

題目可（2023?尤溪縣校級模擬）在矩形ABCD中，連接AC,線段AE是線段4。繞點人逆時針旋轉90°得

至I」，平移線段AE得到線段。F（點A與點。對應，點E與點F對應），連接BF,分別交AC,CE于息M,N,

連接EF.

（1）求證：BN=FN；

（2）求乙4BF的大小；

（3）若BM=a:,FN=y,求矩形ABCD的面積（用含有c,g的式子表示）.

題目⑥（2024-龍馬潭區一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+6（a/0）與c軸交于A（-l,0）,B（3,0）兩點，與g軸

交于點C,頂點為O.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若在線段上存在一點"■，使得ABMO=45°,過點。作OH,交BC的延長線于點求點"■的

坐標；

（3）點P是9軸上一動點，點Q是在對稱軸上一動點，是否存在點P,Q,使得以點P,Q,為頂點的四邊

形是菱形？若存在，求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

MS

題目回（2023-太康縣二模）在正方形ABCD中，E是BC邊上一點（點E不與點5,。重合），AELE尸，垂

足為點與正方形的外角/OCG的平分線交于點F.

（1）如圖1,若點后是B。的中點,猜想AE與EF的數量關系是_AE=EF_；證明此猜想時，可取AB的

中點P,連接EP.根據此圖形易證△AEPwAEFC.則判斷AAEPwAEFC的依據是.

（2）點E在邊上運動.

①如圖2,（1）中的猜想是否仍然成立？請說明理由.

②如圖3,連接AF,DF，若正方形ABCD的邊長為1,直接寫出^AFD的周長c的取值范圍.

模型二:手拉手模型--旋轉型全等

:題目回（2023?巴中）綜合與實踐.

（1）提出問題.如圖1,在AABC和A4DE中，/氏4。=/。40=90°,且48=4。，人。=AE,連接BD,連

接CE交BD的延長線于點O.

①/BOC的度數是_90°一

②BD:CE=.

（2）類比探究.如圖2,在^ABC和ADEC中,ABAC=ZEDC=90°,且AB=AC,DE=,連接AD、

BE并延長交于點O.

①乙4OB的度數是；

②AD：BE=.

（3）問題解決.如圖3,在等邊XABC中，AD，BC于點。，點E在線段AD上（不與A重合），以AE為邊在

AD的左側構造等邊AAEF,將AAEF繞著點A在平面內順時針旋轉任意角度.如圖4,同為EF的中點，

N為BE的中點.

①說明AMND為等腰三角形.

②求/MND的度數.

MS

A

〔題目仄（2024?武漢模擬）如圖，在AABC和ACDE中，ZBAC=ZCEL>=90°,AB^AC,CE=DE,點、E

在邊AB上，F是BC的中點.連接AD,G是AD的中點.

（1）求證:AACE?^BCD；

（2）如圖（2）,若點G在BO上，直接寫出tan乙4CE的值；

（3）如圖⑴，判定以E,尸，G為頂點的三角形的形狀，并證明你的結論.

題目至〕（2023?市中區校級四模）［問題提出］如圖1,在等邊^ABC內部有一點P,PA=3,PB=4,PC=

5,求乙4PB的度數.

［數學思考］當圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉可以將分數的條件集中起來解決問題.

［嘗試解決］將AAPC繞點A逆時針旋轉60°,得到4APB，連接PP,則^APP'為等邊三角形.

PP'=PA=3,又；PB=4,PC=5,PP'2+PB2^PC2.

MBPP為三角形，

.?./APB的度數為.

［類比探究］如圖2,在中，乙民4。=90°,人8=4。,其內部有一點「,若已4=2,03=1,「。=3,求

乙4PB的度數.

MS

［聯想拓展］如圖3,在ZL4BC中，/BAC=90°,/BCA=30°,其內部有一點P,若PA=3,PB=2,PC=

4代,求乙4PB的度數.

［題目叵（2023?深圳模擬）如圖，AABC是邊長為3的等邊三角形，。是AB上一動點，連接CD,以CD為邊

向CD的右側作等邊ACDE,連接AE.

（1）【嘗試初探】

如圖1,當點。在線段AB上運動時，AC與DE相交于點在運動過程中發現有兩個三角形始終保持全

等，請你找出這對全等三角形，并說明理由.

（2）【深入探究】

如圖2，當點O在線段AB上運動時，延長ED,交的延長線于點隨著。點位置的變化，H點的位置隨

之發生變化，當人。=2BD時,求tan/DHC的值.

（3）【拓展延伸】

如圖3,當點。在BA的延長線上運動時，CD、AE相交于點F,設^ADF的面積為&，ACEF的面積為S2，

題目回（2023?岱岳區二模）如圖,正方形48co邊長為7.E、F在半徑為4的。入上，且EA，FA,連接

DE、BE、BF、DF.

（1）試探求線段DE、BF的數量和位置關系；

（2）求證：DF2+BE2=EF2+BD2,并求。尸2+破2的值.

題目B（2023-蘇州一模）如圖，AABC是邊長為3的等邊三角形，。是AB上一動點，連接CD,以。。為邊

向CD的右側作等邊三角形CDE,連接4E.

MS

D

圖1圖2因J

（1）【嘗試初探】

如圖1,當點。在線段上運動時，AC,DE相交于點F,在運動過程中發現有兩個三角形始終保持全等,

請你找出這對全等三角形,并說明理由.

（2）【深入探究】

如圖2,當點O在線段AB上運動時,延長即，交的延長線于點隨著。點位置的變化，H點的位置隨

之發生變化，當AD=2BD時,求tan/DHC的值.

（3）【拓展延伸】

如圖3,當點。在氏4的延長線上運動時，CD,AE相交于點F,設A4DF的面積為Si，ACEF的面積為S2,

當$2=4sl時，求的長.

〔題目叵（2023?灌云縣校級模擬）在"BC中，=/民4。=&,點P是平面內不與點4。重合的任

意一點,連接PC,將線段PC繞點P旋轉a得到線段PD,連接AP,CD,BD.

（1）當a=60°時，

①如圖1,當點P在^ABC的邊BC上時，線段PC繞點P順時針旋轉a得到線段PD,則AP與BD的數量

關系是_AP=BD_.

②如圖2,當點P在^ABC內部時,線段PC繞點、P順時針旋轉a得到線段PD,①中4P與BD的數量關系

還成立嗎？若成立，請證明結論，若不成立，說明理由；

（2）當a=90°時，

①如圖3,線段PC繞點P順時針旋轉a得到線段PD.試判斷AP與BD的數量關系，并說明理由；

②若點4。,P在一條直線上，且AC=3PC,線段PC繞點P逆時針旋轉a得到線段DP,求臂的值.

題目立（2024-邳州市校級一模）⑴問題發現：

如圖1,△力CB和ADCE均為等邊三角形，點在同一直線上，連接BE.

①線段人。,跳；之間的數量關系為_40=跳；_；

②ZAEB的度數為.

（2）拓展探究：

如圖2,^ACB和^AED均為等腰直角三角形，NACB=AAED=90°,點B,D,E在同一直線上,連接CE,

求弟的值及/BEC的度數；

⑶解決問題：

如圖3,在正方形ABCD中，。。二小6若點?滿足心:^^且NBPD=90°，請直接寫出點。到直線BP

的距離.

【題目回（2023-酒泉一模）（1）感知:如圖①，四邊形ABCD和CEFG均為正方形，BE與DG的數量關系為

_BE=DG_；

（2）拓展:如圖②，四邊形ABCD和CEFG均為菱形，且/A=/F,請判斷BE與DG的數量關系,并說明理

由；

（3）應用：如圖③，四邊形ABCD和CEFG均為菱形,點E在邊4D上，點G在4D延長線上.若AE=

2ED,/A=/F,AEBC的面積為8,求菱形CEFG的面積.

圖①圖②圖③

［題目叵（2023-海淀區校級四模）在平面直角坐標系2。沙中，。。的半徑為1,M■為。O上一點，點N（0,

一2）.

對于點P給出如下定義:將點P繞點Af順時針旋轉90°,得到點尸，點P'關于點N的對稱點為Q,稱點Q為

點P關于點的“中旋點”.

（1）如圖1,已知點F（4,0）,點Q為點P關于點M,N的“中旋點”.

①若點”（0,1）,在圖中畫出點Q,并直接寫出OQ的長度為??

②當點河在。。上運動時，直線夕=c+6上存在點P關于點的“中旋點”Q,求b的取值范圍；

（2）點F（t,O）,當點M■在?O上運動時，若OO上存在點P關于點N的“中旋點”Q,直接寫出t的取值

范圍.

［題目|20）（2023-黑龍江模擬）在XABC中，AB=AC,90°,P為直線AB上一點,連接P。,將PC繞

點P順時針旋轉90°得到PD,連接BD.

（1）當點P在線段AB上時，如圖①,求證：BC-BD^V2BP；

（2）當點P在氏4的延長線上時，如圖②;當點P在的延長線上時，如圖③，線段BC,BD,BP之間又有

怎樣的數量關系？直接寫出你的猜想，不必證明.

［題目'3（2024。東城區一模）在①AABC中，/區4。=90°,=AC,點。，E是3C邊上的點，。E=

連接AD.過點。作AD的垂線，過點E作BC的垂線，兩垂線交于點F.連接AF交于點G.

（1）如圖1,當點。與點B重合時,直接寫出/DAF與/區4。之間的數量關系；

（2）如圖2,當點。與點B不重合（點。在點E的左側）時，

①補全圖形；

②/ZZ4F與/A4C在（1）中的數量關系是否仍然成立？若成立，加以證明;若不成立,請說明理由.

（3）在（2）的條件下,直接用等式表示線段BD,OG,CG之間的數量關系.

圖1圖2

,顧目叵（2023-天寧區校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，點4（0,2），點3在，軸正半軸上，點。在第一象

限內.

（1）如圖1,08=4.

①若AABC是以AC為斜邊的直角三角形，且tan/BAC=2.請在圖⑴中利用圓規、無刻度直尺作出點

。的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），寫出點。的坐標：_（8,8）_；

②若A4BC是等邊三角形.求點。的坐標；

（2）如圖2,是等邊三角形，點。在以P（3哼，6）為圓心，半徑為r的圓上.若存在兩個AABC滿足條

MS

【題目叵（2023-牡丹區校級一模）有共同頂點的AABC與bADE中，。4=CB,EA=ED,且/ACB=

/AED=a，連接BD,CE,線段BD,CE相交于點

（1）如圖①，當a=60°時，然的值是，/BHC的度數是；

（2）如圖②，當&=90。時，求弟的值和ZBHC的度數，并說明理由；

（3）如果a=90°,筆■=2,當點H與AADE的頂點重合時，請直接寫出錯的值.

〔題目叵（2023?泰州）已知：A、B為圓上兩定點，點。在該圓上，為卷所對的圓周角.

?圖①圖②圖③

知識回顧

（1）如圖①，。。中，B、。位于直線人。異側，AAOB+ZC=135°.

①求/。的度數；

②若。。的半徑為5,4。=8,求BC的長；

逆向思考

（2）如圖②，若P為圓內一點，且24PB<120°,PA=PB,/4PB=2/0.求證：P為該圓的圓心；

拓展應用

（3）如圖③，在⑵的條件下,若AAPB=90°,點。在。P位于直線AP上方部分的圓弧上運動.點。在。

P上，滿足CD=V2CB-CA的所有點D中，必有一個點的位置始終不變.請證明.

題型三:倍長中線模型構造全等三角形

MS

［題目E（2023-興寧區校級模擬）【模型啟迪】

⑴如圖1,在AAB。中，。為邊的中點，連接AD并延長至點H,使DH=AD,連接則AC與的

數量關系為_AC=BH_,位置關系為；

【模型探索】

（2）如圖2,在中，。為BC邊的中點，連接A。，E為AC邊上一點，連接BE交40于點F,且BF=

AC.求證：AE=EF；

【模型應用】

⑶如圖3,在⑵的條件下，延長AC至點N,使AN=AB,連接BN,交AD的延長線于點若4B=7,

4。=5,。河=1■，求線段AD的長.

O

圖1圖2圖3

,穎目遠（2023?撫州三模）課本再現：

（1）我們研究平行四邊形時，常常把它分成幾個三角形，利用三角形全等的性質研究平行四邊形的有關問題，

同時也可以利用平行四邊形研究三角形的有關問題，如探究三角形中位線的性質.

如圖（1）,在AABC中，點。，E分別是4B,的中點，連接DE.則DE與BC的關系是_DE=^BC^

DE〃BC_.

定理證明

（2）請根據（1）中內容結合圖（1）,寫出（1）中結論的證明過程.

定理應用

（3）如圖（2）,在四邊形ABCD中，點“，N,P分別為AD,的中點，BA,8的延長線交于點E.

若/E=45°,則/MPN的度數是.

（4）如圖（3）,在矩形中，AB=4,AD=3,點H在邊AB上，且AE=3BE.將線段AE繞點A旋轉一

定的角度a（O°<aV360。）,得到線段AF,點M是線段CF的中點，求旋轉過程中線段長的最大值和最

小值.

【題目叵（2023?蜀山區校級一模）如圖，在AABC中，乙4cB=90°,AC,。。，48于點。,點七是

4B的中點，連接CE.

⑴若AC=3,BC=4,求CD的長;

（2）求證：BC>2-AD2=2DE-AB-,

⑶求證：CE=^AB.

［題目區（2023?沙坪壩區校級模擬）如圖，AAB。中，。在AB上，E在6。上，NAED=NABC,F在AE

上，EF=DE.

⑴如圖1,若CE=50,求證：BE=CF；

（2）如圖2,若CE=AD,G在。E上，/EFG=/EFC,求證：CF=2GF；

（3）如圖3,若CE=AD,EF=2,NABC=30°,當ACEF周長最小時,請直接寫出XBCF的面積.

題目M（2023?南關區校級二模）【提出問題】興趣小組活動中老師提出了如下問題:如圖①，在AABC中，若

=5,4。=3,求邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內經過合作交流,得到了如下的解決方法：

延長AD到E,使得,DE=AD,再連接BE（或將XACD繞點。逆時針旋轉180°得到AEBD）,把AB.AC.

2Ao集中在AABE中,利用三角形的三邊關系可得2VAEV8,則IVADV4.

【方法感悟】當條件中出現“中點”、“中線”等條件時，可以考慮作“輔助線”，把一條過中點的線段延長一倍,

構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中，這種作輔助線的方法稱為“中

線加倍”法.

【解決問題】如圖②，在AABC中，點。是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點。作交邊AC于

點F,連接EF.

（1）求證：BE+CF>EF.

（2）若乙4=90°,則線段BE、CF、EF之間的等量關系為—BEa+CF'EF'」

（3）【應用拓展】如圖③，在&ABC中，NABC=90°,點。為邊AC的中點，點E和點F分別在邊AB、BC上,

點河為線段EF的中點.若AE=2,CF=5,則。M的長為.

題型四:平行線+線段中點構造全等模型

：>目應（2023?射洪市校級一模）在RtdABC中，90°,。是BC的中點，E是AD的中點，過點A

作AF"BC交CE的延長線于點F.??

⑴求證：四邊形ADBF是菱形；

（2）若AB=8,菱形4DBF的面積為40.求AC的長.

［題目叵（2022-前進區校級一模）已知：AD是AABC的角平分線,點E為直線BC上一點,BD=DE,過點、

E作EF〃人B交直線AC于點F,當點F在邊的延長線上時，如圖①易證AF+EF=AB；當點F在邊

AC上，如圖②;當點F在邊力。的延長線上，AD是AABC的外角平分線時，如圖③.寫出AF、EF與AB

的數量關系，并對圖②進行證明.

①②③

題目叵（2022.壽光市一模）如圖,在矩形ABCD中，AB=1,40=3,E為4D邊的一動點（不與端點重

合），連接CE并延長，交A4的延長線于點F，延長94至點G,使AG=AE；分別連接BE,BG,FG.

（1）在點E的運動過程中，四邊形BEFG能否成為菱形？請判斷并說明理由.

（2）若^BAE與AEDC相似，求AE的長.

題目包（2022-九江三模）⑴化簡并求值：1—辭p其中a=—5

（2）如圖，在O4BCD中，點。是AC的中點，點F在邊CB的延長線上，連接FO并延長交4D的延長線于

點E,EF分別與AB.CD交于點、H、G.求證：AH=CG.

E

題目叵（2023-薛城區校級模擬）【感知】小亮遇到了這樣一道題：已知如圖①在AAB。中，=AC,。在

4B上，E在入。的延長線上，DE交8。于F,且。求證：BD=CE,小亮仔細分析了題中的已知條

件后，如圖②過。點作DG〃人。交于G,進而解決了該問題.（不需證明）

【探究】如圖③，在四邊形ABCD中，AB〃OC,E為BC邊的中點，ABAE=AEAF,AF與。。的延長線相

交于點F.試探究線段與AF、CF之間的數量關系，并證明你的結論.

【應用】如圖④，在正方形4BCD中，E為4B邊的中點，G、F分別為AD,BC邊上的點，若AG=1,BF=

V2,/GEF=90°,則GF的長為_2+1_.

???

AA

［題目回3（2022?婺城區校級模擬）如圖，點4。是。。上的點，且乙40。=90°,過點A作48,04連接

交。。于點。，點。是的中點.

（1）求乙8的度數；

題目國（2022-豐澤區校級模擬）在四邊形ABCD中，BD平分4ABe，點E是BD上任意一點,連接CE,

且/BAD=2/CEB,乙BCE=120°,點9為BD延長線上一點，連接AF,ZBAF=60°.

⑴如圖1,求證：4D=AF；

（2）如圖2,當=時,求證：AB-2BC^AF；

⑶如圖3,在⑵的條件下，點G在AD上,連接FG,AAFG=乙BEC,BC=3BDG=3求線段AB

的長.

題型五:等腰三角形中的半角模型

：題目〔37］（2023?昌平區二模）在等邊^ABC中，點。是48中點，點E是線段BC上一點，連接DE,ZDEB=

?（30°<?<60°）,將射線DA繞點、D順時針旋轉a,得到射線DQ,點、F是射線QQ上一點，且OF=OE,連

接FE,FC.??

⑴補全圖形；

⑵求/EDF度數；

（3）用等式表示EE,FC的數量關系，并證明.

穎目恒（2023.大連模擬）綜合與實踐

問題情境:數學活動課上，王老師出示了一個問題:如圖1,在AABC中，點。在AC邊上，于F交

BC于E,NABD=2NCAE.求證AB=BD.

獨立思考：（1）請解答王師提出的問題.

實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面條件,并提出新問題，請你解答.“如圖2,作

EGJ_A。于點G,若AB=BD,探究線段AD與CE之間的數量關系,并證明.”

問題解析：（3）數學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發現，當點G與點。重合時，連接CF,若

給出DE的值，則可求出CF的值.該小組提出下面的問題，請你解答

如圖3,在（2）的條件下，當點。與點G重合時，連接CF,若DE=，^求CF的長”.

圖1圖2圖3

，題目M（2023-南崗區校級二模）圓內接A4BC,BE是圓。的切線，點B為切點，BE〃AC.

⑴如圖1,連接求證：BOLAC；

（2）如圖2,當AC為直徑，點。在弧AB上，連接CD、BD、AD時;求證：CD^AD+V2BD.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接CD與BO交于點P,連。。延長與BE交于點K,KB-.PB=3:2,AC=

8西，求的長.

題型六:角平分線+垂直構造全等模型

；題目國］（2024?平谷區一模）如圖，在中/BAC=90°,AB=AC,點。為BC邊中點

E,作AEDC的平分線交AC于點F,過點E作。尸的垂線交OF于點G,交BC于點H.

⑴依題意補全圖形；

（2）求證：DH=BE；

（3）判斷線段FD、HC與BE之間的數量關系，并證明.

題目叵口（2024?金華一模）已知：如圖，在AABC中，于點。，后為AC上一點，且

DC.

（1）求證:NBDFwAADC.

（2）已知AC=5,DF=3,求AF的長.

題目應（2023?武陟縣一模）如圖，在AABC中，/。=45°,點E是邊上一點，=AE于點

。，交47于DF點乩若40=2,。后=3,求。歹的長.

題目［43］（2023?沙坪壩區校級一模）如圖，在^ABC中，AC=BC,點E為AB邊上一點,連接CE.

（1）如圖1,若乙4cB=90°,CE=事，AE=4,求線段跳;的長;

（2）如圖2,若/ACB=60°,G為8。邊上一點且EGLBC,F為EG上一點且EF=2FG,H為CE的中

點，連接BF,AH,AF,FH.猜想AF與之間存在的數量關系，并證明你的猜想；

（3）如圖3,當AACB=90°,NBCE=22.5°時，將CE繞著點E沿順時針方向旋轉90°得到EG,連接CG.

點P、點Q分別是線段CB、CE上的兩個動點，連接EP、PQ.點H為EF延長線上一點，連接將

沿直線翻折到同一平面內的ABRH,連接班.在P、Q運動過程中，當EP+PQ取得最小值且

AEHR=45°,AC=時,請直接寫出四邊形EQPR的面積.

題型六:正方形中的半角模型

解答題（共5小題）

：題月回（2023?增城區二模）在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且NEAF=45°,連接EF.

（1）如圖1,若BE=2,DF=3,求EF的長度；

（2）如圖2,連接BD,BD與AF、AE分別相交于點N,若正方形ABCD的邊長為6,8￡=2,求。尸的

長；

（3）判斷線段BN、MN、ZW三者之間的數量關系并證明你的結論.

題目國（2023?明水縣二模）已知:正方形ABCD中，/K4N=45°,/M4N繞點A順時針旋轉，它的兩邊分

別交CB、（或它們的延長線）于點M、N.當NMAN繞點、A旋轉到BM=DN時（如圖1），易證BM+

DN=MN.

（1）當/M4N繞點A旋轉到BMKON時（如圖2）,線段BM、ON和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜

想,并加以證明；

（2）當NMAN繞點、A旋轉到如圖3的位置時，線段BM、ON和之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出

你的猜想.

題目@（2023-昆明模擬）綜合與實踐

【問題情境】

數學活動課上，楊老師出示了教材上的一個問題：

如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是上的任意一點，DELAG于點E,BF//DE,交AG于點、F,求

證：AF—BF=EF.

數學興趣小組的小明同學做出了回答，解題思路如下：

由正方形的性質得到AB=A。，ABAD=90°,

再由垂直和平行可知/APB=90°,

再利用同角的余角相等得到/ADE=/A4F，

則可根據“44S”判定AADEwABAF,

得到AE=BF,所以AF1—BF=AF-AE=EF.

【建立模型】

該數學小組小芳同學受此問題啟發，對上面的問題進行了改編，并提出了如下問題：

⑴如圖2,四邊形ABCD是正方形，E,F是對角線47上的點，BF〃。0連接BE,DF.

求證：四邊形BEDF是菱形；

【模型拓展】

該興趣小組的同學們在楊老師的指導下大膽嘗試，改變圖形模型，發現并提出新的探究點；

（2）如圖3,若正方形ABCD的邊長為12,E是對角線AC上的一點，過點E作EGLDE,交邊BC于點G,

連接DG,交對角線力。于點F,CF-.EF=3:5,求FG?DF的值.

圖1圖2圖3

［題目反］（2022?綏化三模）已知,正方形48co中，/AMN=45°,/AMN繞點人順時針旋轉,它的兩邊長分

另!］交CB、（或它們的延長線）于點M、N,Af/LTW于點區

（1）如圖①，當/MAN點、A旋轉到BM=ON時，請你直接寫出與AB的數量關系:_AH=AB_；

（2）如圖②，當/AMN繞點A旋轉到BMWDN時，（1）中發現的AH■與AB的數量關系還成立嗎？如果不成

立請寫出理由，如果成立請證明；

（3）如圖③，已知AMAN=45°，AH_LMN于點H,且MH=2,NH=3,求AH的長.

圖①圖②圖③

題目|48］（2022?集賢縣模擬）已知正方形ABCD中，乙M4N=45°,/AMN繞點4順時針旋轉，它的兩邊分

別交CB,DC（或它們的延長線）于點河，N,AH_LMN于點H.

圖①

（1）如圖①，當/M4N繞點A旋轉到BM=ON時，請你直接寫出與AB的數量關系：_AB=AH

（2）如圖②，當/M4N繞點A旋轉到的WWON時，（1）中發現的4H與AB的數量關系還成立嗎？如果不成

立請寫出理由，如果成立請證明；

⑶如圖③，已知/M4N=45°,AH,上W于點H,且MH=2,AH=6,求NH的長.（可利用（2）得到的結

論）

MS

全等三龜形2種基聲模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

模型一:一線三等角模型

一線三等角指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角

或鈍角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看著是“一線三等角”中當角為直角時的特例,三直角型相似通常是以矩形或者正方形形

為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉的直角，幾種常見的基本圖形如下：

當題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構造完整的三直角型相似，這往往是

很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉化。

基本類型:

同側“一線三等角”異側“一線三等角”

模型二:手拉手模型--旋轉型全等

一、等邊三角形手拉手-出全等

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點。旋轉過程中（B、C、。不共線）始終有：

①4BCD法AACE；②，4E（位置關系）且BO=AE（數量關系）；③FC平分2BFE；

題型三:倍長中線模型構造全等三角形

倍長中線是指加倍延長中線,使所延長部分與中線相等,往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相

等。常用于構造全等三角形。中線倍長法多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系（通常用“SAS”證明）

（注:一般都是原題已經有中線時用）=

三角形一邊的中線（與中點有關的線段），或中點,通常考慮倍長中線或類中線，構造全等三角形.把該中線延長

一倍，證明三角形全等,從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法.

\?

%

主要思路:倍長中線（線段）造全等

在△ABC中入。是邊中線

MS

A

?E

延長入。到E,使。E=4D,連接BE

E

作CF_LAD于F,作BE_L4D的延長線于E連接BE

延長上到N,使DN=MD,連接CD

題型四:平行線+線段中點構造全等模型

遇有兩條平行