第一章數與式

第04講二次根式

口題型09二次根式的混合運算

模擬基礎練口題型10二次根式估值

□題型11與二次根式有關的新定義問題

口題型01二次根式有意義的條件

口題型12與二次根式有關的規律探究

口題型02與二次根式有關的開放性試題

口題型13二次根式的應用

□題型03二次根式的非負性

口題型04二次根式的性質化簡重難創新練

口題型05二次根式與數軸

口題型06應用乘法公式求二次根式的值

□題型07最簡二次公式的判斷真題實戰練

口題型08分母有理化

模擬基礎練?

□題型01二次根式有意義的條件

1.（2024.全國.模擬預測）在函數y=-力-在不I中，自變量》的取值范圍是—

2.（2024.黑龍江綏化?模擬預測）要使代數式右下+7^與有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>2B.x<2C.x=2D.全體實數

3.（2023?浙江寧波?模擬預測）［a］表示不超過。的最大整數.若實數。滿足方程a=+6

，則［a］=

（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024.江蘇南京?模擬預測）整數a滿足a?-<a<a2+1成立，則a為（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

□題型02與二次根式有關的開放性試題

1.（2024松江區三模）下列機取值中，能滿足后在實數范圍內有意義的是（）

A.m=-2B.m=2024C.m=-0.2D.m=-1

2.（2024.河北邢臺.模擬預測）若質是正整數，則a不可能的值為（）

11

A.zB,-C,2D.8

3.（2024?浙江.模擬預測）若式子焉在實數范圍內有意義，則x的值可以是.（寫出一個即可）

V1-X

4.（2024.山西大同.模擬預測）請寫出一個無理數，使它與舊的積是有理數，這個無理數可以是.（寫

出一個即可）

口題型03二次根式的非負性

1.（2024儀征市一模）若|2023-刈+Sn-2024=m,則機—2023?=.

2.（2024?四川廣元.三模）先化簡，再求值1—必+y;4bz+"號其中“匕滿足g—畫+=0.

a2-aba-b\72

口題型04二次根式的性質化簡

1.（2024.貴州畢節?模擬預測）若7Vt<9,則化簡|5——10）2的結果是（）

A.5B.-5C.2t-15D.15-2t

2.（2024?甘肅武威?二模）已知一次函數:y=-mx+幾的圖象經過第二、三、四象限，則化簡J（jn-n）2+VT?

的結果是（）

A.nB.—mC.2m—nD.m—2n

3.（2024?四川樂山?模擬預測）已知△ABC的三邊分別為2,%5,化簡-6%+9+|%—7|=.

4.（2024?湖南?模擬預測）設4=〃+.+*+/1+.+*+/1+±+0+…+J1++則不

71/7243/y3Z4Z-M2023/2024z

超過2的最大整數為（）

A.2027B.2026C.2025D.2024

□題型05二次根式與數軸

1.（2024.寧夏銀川.模擬預測）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則在守+l+|a-1|的化簡結果是

（）

a

]I.」I?

-1012

A.2B.2a—1C.0D.1—2a

2.（2024?江蘇鹽城?三模）a,b在數軸上的位置如圖所示，那么化簡|a-b|-病的結果是（）

----1---1----1--->

b0a

A.2a-bB.bC.-bD.—2a+b

3.（2023?山東濱州?二模）若實數a、b在數軸上對應點的位置如圖所示，則化簡后—府+J（a+6尸的

結果是.

ab

-3-2-10123

4.（2024?河北?二模）計算&X聲的結果為,這個數落在了數軸上的段.

□題型06應用乘法公式求二次根式的值

1.（2024.河北.模擬預測）老師在復習二次根式的運算時，給出了一道題：計算遮x（百-奩）+&*

（V3-V2）.甲、乙分別給出了不同的解法：

甲：V3x（V3—V2）+V2x（V3—V2）=3—V6+V6—2=1.

22

乙:V3x（V3—V2）+V2x（V3—V2）=（V3+V2）x（V3—V2）=（V3）—（V2）=1.

對于甲、乙的計算過程及結果，下列判斷正確的是（）

A.甲和乙都對B.甲對乙錯

C.甲錯乙對D.甲和乙都錯

2.（2024?天津濱海新?模擬預測）計算（有-舊『的結果等于.

3.（2024.山西長治.模擬預測）計算（庫-舊）（同+舊）的結果為.

4.（2024江蘇蘇州?三模）計算：（世-Ip。?飛‘+1『。23的結果是.

口題型07最簡二次公式的判斷

1.（2024.廣東江門?模擬預測）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.V32B.V0?4C.D.V15

2.（2024.河北?模擬預測）若a的倒數是J,則G的值為一.

8

3.（2024.吉林長春.二模）V7與最簡二次根式2,2m+1是同類二次根式,則優的值為.

4.（2024.江西九江.三模）在等式“（）3=企”中，括號內應填入的最簡根式為.

口題型08分母有理化

1.（2024.江蘇南京.二模）計算縹業的結果是_.

V8

2.（2024.廣東?模擬預測）先化簡，再求值：—7+白+々，其中％=近一1

X2-4X+42-xx-2

3.（2024?湖南岳陽?模擬預測）化簡求值：-出產）+1,請你自選x,y的值，其中x為負整數，

y為無理數.

4.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）先化簡，再求代數式蕓+（a+l—六）的值，其中a=2sin60。—2tan45。.

□題型09二次根式的混合運算

1.（2024.甘肅隴南.模擬預測）計算：V2xV3-V12+V2

2.（2024?湖南.模擬預測）計算：（TT—V5）°+2cos30。-V12-|V3-2|-2-1

3.（2024.廣東中山.模擬預測）計算：——（2020+sin30°）0-V12+

tan60°-l\3/

4.（2024?浙江杭州?一模）以下是小濱計算g+電-4的解答過程：

解：原式=26'+?-2v5=V6—2V3.

小濱的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程.

口題型10二次根式估值

1.（2024.云南昆明.二模）估算02-屈義的結果在（）

A.0和I之間B.1和2之間C.2和3之間D.3和4之間

2.（2024?重慶?模擬預測）估計（2魚+4）+專的值為（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

3.（2024.江蘇南京.一模）如圖，實數機在數軸上對應的點M到原點的距離為5.下列各數中，與血最接近的

是（）

M

m0

A.-4V2B.-3V2C.-2V2D.-V2

4.（2024.云南昆明.模擬預測）如圖，估計百x（專-1）的值所對應的點可能落在（）

ABCD

_______III1It>

-5-4-3-2-1012345

A.點4處B.點B處C.點C處D.點。處

□題型11與二次根式有關的新定義問題

1.(2023?山東荷澤?三模)對于實數P,我們規定:用{旃}表示不小于旃的最小整數.例如:{〃}=2,{百}=2,

第一次第二次第三次

現在對72進行如下操作：72-{V72}=9;{%}=33{皆}=2,即對72只需進行3次操作后

變為2.類比上述操作：對36只需進行次操作后變為2

2.(2024?內蒙古烏海.一模)對于任意兩個不相等的正實數a,b定義新運算“※，，規定：a※匕=華跡，求

b-a

2米(x-1)中x的取值范圍是.

3.(2024烏海二中一模)對于任意的正數a、b,定義運算“*”為計算a*b=［無+噂(口?切計算(5*2)X

IVa-Vb(a<b)

(8*20)的結果為.

4.(2022?重慶.模擬預測)材料一：若。是正整數，。除以3的余數為1,則稱。是“三拖一數”.例如：13

是正整數，且13+3=4…1,則13是“三拖一數”.

材料二：對于任意四位正整數p,p的千位數字為八百位數字為b、十位數字為c、個位數材字為d,規定：

F(7p,)=c+d

請根據以上材料，解決下列問題：

(1)判斷：124,1838是不是“三拖一數”？并說明理由；

(2)若四位正整數p是“三拖一數”，p的千位數字的2倍與個位數字的和等于9,百位數字與十位數字的和等

于8,"而是有理數，求所有滿足條件的p.

□題型12與二次根式有關的規律探究

1.(2023?貴州六盤水?二模)人們把手。0.618這個數叫做黃金比，優選法中的“0.618法”與黃金分割緊密

相關,這種方法經著名數學家華羅庚的倡導在我國得到大規模推廣,取得了很大的成果.設a=誓,6=等,

記工=工+、52=貯嘿叱，53=絲翳，…依此規律，則S6的值為()

1ab4a2b2°a3b3°

A.5V5B.25C.6V5D.125

2.(2024?山東泰安.三模)細心觀察下面圖形，其中，Sn表示圖中第九個三角形的面積，認真分析各式：。的=

222222

(V1)+I=2,S1=曰，。禺=I+(V2)=3,S2=芋，0幽=I+(V3)=4,S3=圣若一個

三角形的面積是近，則說明這是第一個三角形.

1

3.（2024?山東臨沂?模擬預測）如圖，正方形48CD邊長為1,以2C為邊作第2個正方形4CEF,再以CF為邊

作第3個正方形FCGH,…，按照這樣的規律作下去，第2024個正方形的邊長為（）

2025/l、2024/；—、2025

C.(V2)D.(V2)

4.（2023?湖北黃岡?模擬預測）觀察下列等式:

第1個等式：的=-^j==V2—1；

第2個等式：a2=后：Q=V3-V2；

第3個等式：a3==2-V3；

根據以上等式給出的規律，計算：a1+a2+a3+■■■+Gt19=_.

5.（22-23九年級下?黑龍江齊齊哈爾?階段練習）如圖，直線人與直線G所成的角=30。，過點&作

占B114交直線%于點Bi，OB1=2,以公名為邊在△04/1外側作等邊三角形4/1的，再過點的作出⑶？11「

分別交直線人和％于4產2兩點，以4B2為邊在△。々殳外側作等邊三角形2c2，…按此規律進行下去，

則第2023個等邊三角形力2023B2023c2023的周長為.

6.（2024?安徽池州?模擬預測）觀察下列等式:

03-2V2=(V2-1)2；(2)5-2V6=(V3-V2)2；@7-2V12=(V4-V3)2；......

請你根據以上規律，解答下列問題：

⑴寫出第6個等式：_；第〃個等式：_；

(2)計算：，5-2逐+。-2m+內-4西+J11-2聞.

□題型13二次根式的應用

1.(2024.湖南益陽?模擬預測)小靜、小智、小慧是同一學習小組里的成員，小靜在計算時出現了一步如下

的錯誤：V2+V3=V5

小智與小慧分別從不同的角度幫助小靜加深對這一錯誤的認識：

小智的思路：將魚+,，追兩個式子分別平方后再進行比較；

小慧的思路：以VLV3,尤為三邊構造一個三角形，再由三角形的三邊的關系判斷/+舊與遮的大小關

系.

根據小智與小慧的思路，請解答下列問題：

⑴填空：

???(a+遍)2=,(V5)2=,

??.(V2+V3)H(V5),?'-V2+V3中V5.

(2)如圖，以魚，V3,有為三邊構造ATIBC,

①請判斷△ABC是什么特殊的三角形，并說明理由；

②根據圖形直接寫出魚+我與班的大小關系.

2.(2024?廣東肇慶?一模)【發現問題】由Q-bp>0得，a2+b2>2ab；如果兩個正數a,力，即a>0,b>0,

則有下面的不等式：a+b>2yjab,當且僅當a=b時取到等號.

【提出問題】若a>0,b>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢？

【分析問題】例如：已知久>0,求式子久+3的最小值.

X

解：令。=居b=±,則由a+得x+士之2x?士=4,當且僅當久=±時，即％=2時，式子有最

XxyXX

小值，最小值為4.

【解決問題】請根據上面材料回答下列問題：

(1)2+32V2V3(用“〈”填空)；當x>0,式子x+工的最小值為；

X

【能力提升】

(2)用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻(墻長20米)，問這個

長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？

(3)如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點。，AZOB、AC。。的面積分另IJ是8和14,求四邊形4BCD

面積的最小值.

3.(2023?山東濟寧?二模)探究問題：探究手與面的大小關系.

(1)觀察猜想：手與我的大小關系是手

(2)計算驗證：當a=8,6=8時，卓與A/方的大小關系是等______y[ab-,當a=2,6=6時，巴薩與的大

小關系是y[ab.

(3)推理證明：如圖，以AB為直徑作半圓。，點C半圓上一動點，過C作CD于點。，設4。=a,BD=b.先

用含a,6的式子表示出線段。C,CD,再寫出他們(含a,6的式子)之間存在的大小關系.

(4)實踐應用：要制作一個面積為1平方米的矩形，請直接利用探究得出的結論，求矩形周長的最小值.

4.(2023?河南洛陽?二模)閱讀材料：我們學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發現：當a>0,6>0時,

有+Vfe)=a—2y[ab+b>0,.>-a+6>24ab,當且僅當a=b時取等號.

請利用上述結論解決以下問題：

(1)當％>0時，久+工的最小值為；當x<0時，x+工的最大值為；

XX

（2）當久＞0時，求y=#+?+16的最小值;

（3）如圖，四邊形力BCD的對角線AC、B。相交于點。，XAOB、△C。。的面積分別為9和16,求四邊形48CD

的最小面積.

重難創新練

1.（2024四川廣安?中考真題）已知，直線1:、=日式—日與％軸相交于點兒,以。公為邊作等邊三角形。2/1，

點名在第一象限內，過點當作x軸的平行線與直線1交于點為，與y軸交于點G，以G4為邊作等邊三角形

G4B2（點殳在點名的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形C2&B3,等邊三角形C3/I4B4…，則點人2024的

橫坐標為.

2.（2023?山東濰坊?中考真題）［材料閱讀］

用數形結合的方法，可以探究q+q2+q3+…+勺九+…的值，其中。＜q＜1.

例%+G）2+（丁+…+（丁+…的值.

方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知

）（丁+針+―+（￡）"+,,?的結果等于該正方形的面積，

即打針+（丁+…++…=L

方法2：借助函數y=+］和y=x的圖象，觀察圖②可知

1+（1）+G）+…+。+--?的結果等于%,a2,a3,即…等各條豎直線段的長度之和,

即兩個函數圖象的交點到X軸的距離.因為兩個函數圖象的交點(1,1)到無軸的距為1,

所以，/0+0

圖①

【實踐應用】

任務一完善|+(1)2+(|)3+…+(|)U+…的求值過程.

圖③

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知|+針+針+???+(1)7??=一?

方法2：借助函數y=|久+|和y=x的圖象，觀察圖④可知

因為兩個函數圖象的交點的坐標為,

所以，升針+針+-“+電"+-“=-------

任務二參照上面的過程，選擇合適的方法，求|+(|)2+(|丫+…+(|)2+…的值.

任務三用方法2,求q+T+口3+…+中+…的值(結果用表示).

【遷移拓展】

長寬之比為當匚：1的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形.

觀察圖⑤，直接寫出(等)2+(亨f+(笞?+…+(與1)"+…的值.

7\

1

1

/1

1

1

1、

1

oX

圖④

二、填空題

7.（2024.山東青島.中考真題）計算：V18+（0-1-2sin45°=.

8.（2021.貴州銅仁.中考真題）計算（何+質）（百-魚）=；

9.（2022?四川宜賓?中考真題）《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，書中提出了已知三

角形三邊°、灰。求面積的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜塞減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕

乘大斜幕減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S=

小卜2。2—仔±1升.現有周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2,則用以上給出的公式求得這

個三角形的面積為.

10.（2022呼倫貝爾市中考真題）己知x,y是實數，且滿足丫=＞序方+71^+3則F?后的值是.

11.（2021?湖北鄂州?中考真題）已知實數a、6滿足7^二北+仍+3|=0,若關于x的一元二次方程/—5+

b=0的兩個實數根分別為修、上，則工+工=.

X

1%2

12.（2021?湖北荊州?中考真題）已知:a=g）-1+（-V3）°,b=（百+夜）（遮一a）,則=

三、解答題

13.（2024?青海?中考真題）計算：V18-tan45°+7T°-|-V2|.

14.（2022.四川遂寧.中考真題）計算：tan3（T+|l—E|+（n——（01+V16.

15.（2023?江蘇?中考真題）先化簡，再求值：——+（1+工），其中。=有+1.

16.（2023,遼寧盤錦?中考真題）先化簡，再求值：+殺］）+Ap其中久=712+一G）?

17.（2024?河北?中考真題）情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心。為頂點的等腰直角三角形后得到的.

該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數據如圖所示.

（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）

操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形.

如圖3,嘉嘉沿虛線EF,GH裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接.根據嘉嘉

的剪拼過程，解答問題：

（2）直接寫出圖3中所有與線段BE相等的線段，并計算BE的長.

探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形.

請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的BC邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規），畫出裁

剪線（線段PQ）的位置，并直接寫出BP的長.

第一章數與式

第04講二次根式

口題型09二次根式的混合運算

模擬基礎練口題型10二次根式估值

□題型11與二次根式有關的新定義問題

口題型01二次根式有意義的條件

口題型12與二次根式有關的規律探究

口題型02與二次根式有關的開放性試題

口題型13二次根式的應用

□題型03二次根式的非負性

口題型04二次根式的性質化簡重難創新練

口題型05二次根式與數軸

口題型06應用乘法公式求二次根式的值

□題型07最簡二次公式的判斷真題實戰練

口題型08分母有理化

模擬基礎練?

□題型01二次根式有意義的條件

1.（2024?全國?模擬預測）在函數y=-力-后G中，自變量》的取值范圍是—

【答案】x>一1且久豐2

【分析】根據分式的分母不為零、二次根式的被開方數為非負數求解可得答案.

【解答】解：根據題意，得：％-2力0且％+1》0,

解得x>-1且x豐2,

故答案為：*》—1且％中2.

2.（2024?黑龍江綏化?模擬預測）要使代數式GI+VI=^有意義，則x的取值范圍是（）

A.%>2B.x<2C.x=2D.全體實數

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開方數為非負數，列式計算，即可作答.

【詳解】解：要使代數式k^+&"有意義

?,?%—2>0,2—x>0

?,?%=2

故選：C

3.（2023?浙江寧波?模擬預測）［a］表示不超過。的最大整數.若實數。滿足方程a=則［a］=

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本題主要考查二次根式的性質及不等式的解法，熟練掌握二次根式的性質及不等式的解法是解題

的關鍵；由題意易得a20,l-l>0,a-->0,進而問題可求解.

aa

【詳解】解：由。=I1--+可知:a>0,1-i>0,a-->0,

7a7aaa

解得：a>lf

-［a］=1；

故選A.

4.（2024?江蘇南京?模擬預測）整數a滿足小一6<。v〃+［成立，貝必為（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

【答案】B

【分析】本題考查了實數的運算，根據題中的二次根式的運算，有理數的乘方逐項判斷即可，熟練掌握運

算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：A、當a=0時，a2—=0,a2+1=1,

a2-Va<a<a2+1不成立，不符合題意；

B、當a=l時，a2—=0,a2+1=2,

a2—<a<a24-1成立，符合題意；

C>當a=-1時，歷無意義，不符合題意；

D、當a=l時，a2—y/a=0,a2+1=2,M—正<。/十］成立，當。=—1時，G無意義，不符合題

思；

故選：B.

□題型02與二次根式有關的開放性試題

1.（2024松江區三模）下列機取值中，能滿足后在實數范圍內有意義的是（）

A.m=-2B.m=2024C.m=-0.2D.m=-1

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數大于等于零是二次根式有意義的條

件是解題的關鍵.

根據二次根式有意義的條件：被開方數不小于零，直接解答即可.

【詳解】:而在實數范圍內有意義，

???m>0,

則在四個選項中，只有巾=2024時，標在實數范圍內有意義；

故選：B.

2.（2024.河北邢臺?模擬預測）若凡是正整數，則。不可能的值為（）

11

A.zB,-C.2D.8

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質，根據被開方數能開平方的知識點進行解題即可.

【詳解】解：A、J32xj=V8=2V2,故不是正整數，符合題意；

B、,32xi=V16=4,故是正整數，不符合題意；

C、V32V2=V64=8,故是正整數，不符合題意；

D、V32x8=V256=16,故是正整數，不符合題意；

故選：A.

3.（2024?浙江.模擬預測）若式子焉在實數范圍內有意義，則x的值可以是.（寫出一個即可）

Vl-x

【答案】0（答案不唯一）

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件和分式

有意義的條件是解題的關鍵.

根據二次根式有意義的條件的條件是被開方數大于等于0,分式有意義的條件是分母不為0進行求解即可.

【詳解】解：???式子春在實數范圍內有意義，

Vl-x

???1—%>0,

解得％<1.

.?.X的值可以是0,

故答案為：0（答案不唯一）.

4.（2024?山西大同?模擬預測）請寫出一個無理數，使它與何的積是有理數，這個無理數可以是.（寫

出一個即可）

【答案】V3（答案不唯一）

【分析】本題考查了無理數的定義，二次根式的性質，二次根的乘法，熟練掌握二次根式的性質和乘法法

則是解本題的關鍵.

先化簡歷，再根據二次根式的乘法法則進行計算后確定這個符合條件的無理數.

【詳解】??,仞=3百，3V3XV3=9,

這個無理數可以是百，（答案不唯一）

故答案為：V3（答案不唯一）.

口題型03二次根式的非負性

1.（2024儀征市一模）若|2023-？n|+-2024=m,則m-2023?=.

【答案】2024

【分析】本題考查二次根式有意義，先根據Sn—2024得到m22024,再化簡絕對值計算即可.

【詳解】解：Vm-2024,

??m>2024,

,?,|2023—m|+Vm-2024=m,

■'-m-2023+7m-2024=m,

-,-y/m-2024=2023,

???m-2024=20232,

■■.m-20232=2024,

故答案為：2024.

2.（2024?四川廣元?三模）先化簡，再求值1一年粵工+號，其中a、6滿足（a-&『+lb+l=0.

az-aba-bv，72

【答案】烏

【分析】本題考查的是分式的化簡求值，分母有理化，先計算分式的除法運算，再計算分式的減法運算,

再利用非負數的性質求解a=&,匕=-|，再代入計算即可.

a2+4ab+4b2a+2b

【詳解】解：一

1a2-aba-b

(a+2b￥a—b

—]----------------

a(a-b)a+2b

aa+2b

aa

_2b_

-9

a

??,(a-V2)2+Jb+1=0,

??.a—V2=0,b+-=0,

2

解得：a=V2,b=—I，

原式=一竺2=七=字

v2V22

□題型04二次根式的性質化簡

1.(2024.貴州畢節.模擬預測)若7<t<9,則化簡|5-t|+J(t-10)2的結果是()

A.5B.-5C.2t-15D.15-2t

【答案】A

【分析】本題主要考查可化解絕對值，求一個數的算術平方根，根據7<t<9化簡絕對值，求出，(t—10)2

的算術平方根，然后計算求解即可.

【詳解】解:"<t<9,

=t—5+10—t

=5,

故選：A.

2.(2024?甘肅武威二模)已知一次函數:y=-mx+n的圖象經過第二、三、四象限,則化簡'(仁一中產+標

的結果是()

A.nB.—mC.2m—nD.m—2n

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡以及一次函數的圖象與系數的關系，根據題意可得-爪<0,n<0,

再進行化簡即可.熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

【詳解】?.?一次函數y=—加式+n的圖象經過第二、三、四象限，

m<0,n<0,即m>0,n<0,

—n)2+

=|m—n|+\n\

=m-n—n

=m—2n,

故選：D.

3.（2024?四川樂山?模擬預測）已知△ABC的三邊分別為2,%5,化簡-6%+9+氏-7|=

【答案】4

【分析】本題考查了三角形的三邊關系以及二次根式的化簡，正確理解二次根式的性質是關鍵.

首先根據三角形的三邊的關系求得％的范圍，然后根據二次根式的性質進行化簡.

【詳解】解：???2、X、5是三角形的三邊,

?，.3<%<7,

%—3>0,x—7<0,

???原式=—31+—7尸=|x-3|+|x—7|=x—3+(7—%)=4.

故答案為：4.

r

4.(2024?湖南?模擬預測)設/=〃+.+*++.+*+/1++,*,+/1+777777n742則不

7廿247243/y3Z4Z-M2023/2024z

超過a的最大整數為()

A.2027B.2026C.2025D.2024

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，根據1++++=(管-^)2把原式的對應項化簡，然后計

算求解即可.

【詳解】解：對于正整數n,有

11

14--71-21T--(-九--+--1-)-2

/1\221

=(1H—)----F7---7V7

\nJn(n+1)2

=*2二+(八

\nJn\n+1/

總〔

,1,1n+11.,11

w1+運+?^=丁一言=1+5_;^'

,必=J1+]+\+J1+]+++J1+]+喪+,■,+J1+募+高

1+1_1+(1+*+(1+T+…+(1+募一

12.

不超過4的最大整數為2024.

故選：D.

口題型05二次根式與數軸

1.（2024.寧夏銀川.模擬預測）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則“^+1+1。-1］的化簡結果是

（）

a

-1012

A.2B.2a-1C.0D.1-2a

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質與化簡、實數與數軸.先根據數軸分析出a的取值范圍，再根據二次根式

的性質進行化簡即可.

【詳解】解：由數軸知0<a<1,

ci-1V0,

*，?J（—a）2+1+|（1—1|=a+l+l—ci=2.

故選：A.

2.（2024?江蘇鹽城?三模）a,b在數軸上的位置如圖所示，那么化簡|a-m-后的結果是（）

---1--1---1-->

b0a

A.2d-bB.bC.-bD.—2a+b

【答案】c

【分析】本題主要考查了化簡絕對值，求一個數的算術平方根，實數與數軸，先根據數軸得到b<0<a,

則a-6>0,據此化簡絕對值，求算術平方根即可得到答案.

【詳解】解：由題意得，b<0<a,

■■.a—b>0,

—b\—=a—b—a=—b,

故選：C.

3.（2023?山東濱州?二模）若實數a、b在數軸上對應點的位置如圖所示，則化簡后一年+J（a+6尸的

結果是?

a

__I_____i.i____?_____ibii?

-3-2-10123

【答案】一2a-2b

【分析】首先由實數a、b在數軸上的位置，可得a<0<b,|a|>\b\,再根據二次根式的性質化簡，即可

求解.

【詳解】解：由實數。、6在數軸上的位置，可得a<0<b,|a|>\b\,

a+b<0,

+J(a+b)2

=|a|—|b|+|a+b|

=—a—b—（a+b）

——a—b—a—b

=—2a—2b

故答案為：-2a-2b.

【點睛】本題考查了根據實數在數軸數軸上的位置，化簡二次根式，去絕對值符號，整式的加減運算，熟

練掌握和運用各運算法則是解決本題的關鍵.

4.（2024.河北.二模）計算/X連的結果為,這個數落在了數軸上的段.

①②③④

01234

【答案】2百④

【分析】本題考查了二次根式的運算與估值，掌握運算方法與估值技巧是解題關鍵.利用二次根式乘法計

算即可，注意結果為最簡二次根式，再利用找相鄰兩數的平方的方法估值即可.

【詳解】解：V2xV6=V12=2A/3,

?.?9<12<16,

???3<273<4,

??.2次落在第④段，

故答案為：2V3；④.

口題型06應用乘法公式求二次根式的值

1.（2024?河北?模擬預測）老師在復習二次根式的運算時，給出了一道題：計算百x（W-魚）+&X

（V3-V2）.甲、乙分別給出了不同的解法：

甲：V3x(V3-V2)+V2x(V3-V2)

=3—V6+V6—2

=1.

乙：V3x(V3-V2)+V2x(V3-V2)

=(V3+V2)x(V3-V2)

=(V3)2-(V2)2

=1.

對于甲、乙的計算過程及結果，下列判斷正確的是()

A.甲和乙都對B.甲對乙錯

C.甲錯乙對D.甲和乙都錯

【答案】A

【分析】本題主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握乘法分配律的

逆用和二次根式的混合運算法則，根據二次根式的混合運算法則和乘法分配律的逆用即可進行解答.

【詳解】解：根據題意可得：甲和乙都對，

故選：A.

2.(2024.天津濱海新.模擬預測)計算(代一百『的結果等于.

【答案】8-2V15/-2V15+8

【分析】本題考查了二次根式的乘法.根據完全平方公式計算即可求解.

【詳解】解：(迷-百『

=5-2V15+3

=8-2同.

故答案為：8-2V15.

3.(2024.山西長治.模擬預測)計算(VH-同)(VH+g)的結果為.

【答案】2

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，利用平方差公式進行計算即可解答.

【詳解】(⑶-vi9)(vn+vi9)

=21—19

=2,

故答案為：2.

4.(2024?江蘇蘇州?三模)計算：(/一Ip。?7或+1『°23的結果是.

【答案】V2-1/-1+V2

【分析】本題考查了積的乘方逆用，二次根式的乘法運算以及平方差公式，熟練掌握運算法則是解答本題

的關鍵.把原式變形為(a—e+1)2°23(魚—1),逆用積的乘方計算即可.

[詳解]解：(a_1)2°24*(a+1)2°23

223

=(V2-以°23X(V2+1)°X(V2-1)

=[(V2-1)X(V2+1)]2°23X(V2-1)

「712023

=[(V2)-l2]x(V2-1)

=I2023x(V2-1)

-1x(V2-1)

=V2—1,

故答案為：V2—1.

口題型07最簡二次公式的判斷

1.(2024.廣東江門?模擬預測)下列二次根式是最簡二次根式的是()

A.V32B.VOAC.D.V15

【答案】D

【分析】本題考查最簡二次根式，根據最簡二次根式的定義進行解題即可.

【詳解】解：A.V32-4V2,不是最簡二次根式；

B.屈=?，不是最簡二次根式；

c.11=；值,不是最簡二次根式；

D.同是最簡二次根式；

故選D.

2.(2024?河北.模擬預測)若“的倒數是J則正的值為一.

【答案】2V2

【分析】本題考查的是倒數的含義，二次根式的化簡，先求解a=8,再化簡聲即可.

【詳解】解：:a的倒數是；，

8

'-a=8,

?—yj8—2V2；

故答案為：2位.

3.（2024.吉林長春.二模）位與最簡二次根式2,27n+1是同類二次根式,則機的值為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了同類二次根式，最簡二次根式，根據同類二次根式定義可知26+1=7,求出解

即可.

【詳解】:近