專題06二次函數與線段最值問題

解題點撥

知識要點1：平面內任意兩點距離公式

若4>1，%）,5（%2，y2）

=22

則%2）2+（%-％）2或A§2=（X]-X2）+（3-y2）

知識要點2：平面直角坐標系中構造相似

借助平面直角坐標系的直角特點，作平行線或垂線，構造出“A”“X”型相似或“一線三垂

直”型相似以及“反A”和蝶形相似，利用相似比轉化，列出數量關系求解。

知識要點3：鉛垂線最值

如圖，X軸為水平線，PDLX軸于E,PD叫鉛垂線。

鉛垂線最值一般解法為：一設（設出P點坐標并表示出D點）；二列（表示出PD長度）；三

配（把PD的長度看做關于點P橫坐標的二次函數，配方求最值）

直擊中考

1.（2022?湖北武漢?統考中考真題）拋物線尸犬一2彳-3交x軸于4,5兩點（/在B的左

邊），c是第一象限拋物線上一點，直線AC交y軸于點p.

(1)(2)

⑴直接寫出/,8兩點的坐標；

（2）如圖（1）,當8時，在拋物線上存在點。（異于點8）,使8,。兩點到AC的距

離相等，求出所有滿足條件的點。的橫坐標；

⑶如圖（2）,直線3P交拋物線于另一點E,連接CE交>軸于點尸，點C的橫坐標為

FP

"i.求而的值（用含加的式子表示）.

【答案】⑴4（-L0）,3（3,0）；

(2)0,匕匣或

22

【分析】(1)令爐-2x-3=0求出x的值即可知道/,B兩點的坐標；

(2)求出直線AC的解析式為＞=x+l,分情況討論：①若點。在AC下方時，②若點。

在AC上方時；

fy=kx+b

(3)設點E的橫坐標為〃.過點P的直線解析式為、=丘+以聯立2c。，得

[y=x-2x-5

x2-(2+k)x-3-b=0.利用A,8點的橫坐標求出機=3+兒”=設直線CE的解

析式為y=?+4,求出加〃=一3-4，進一步求出。尸=6,4=；從+。即可求出答案.

【詳解】(1)解：令尤2-2尤一3=0,解得：再=-1,無2=3,

0A(-1,O),3(3,0).

(2)解：SOP=OA=1,

團尸(0,1),

國直線AC的解析式為y=X+1.

①若點。在AC下方時，

過點8作AC的平行線與拋物線的交點即為2.

EB（3,0）,BD,//AC,

回8%的解析式為y=x-3.

y=x-3

聯立

y=x2-2x-3，

解得，*=0,無2=3（舍）.

團點。的橫坐標為0.

②若點。在AC上方時，點^（0,-3）關于點p的對稱點為G（0,5）.

過點G作AC的平行線I，貝U/與拋物線的交點即為符合條件的點D.

直線/的解析式為V=x+5.

y=x+5,

聯立_29&，得/_3%_8=0,

y_JC—/X—J

3-7413+同

解得，x--------------，X、

x22

回點2，2的橫坐標分別為匕匣，巴畫

22

團符合條件的點。的橫坐標為：0,3-百或21巫

22

（3）解：設點E的橫坐標為過點P的直線解析式為、=米+》.

y=kx+b、

聯立2,得f—(2+%)%—3—人=0.

y=x-2x-3

設X1,巧是方程x?—（2+左）x—3-6=。兩根，則X]%=—3—。.（*）

團彳4尤c=XBXE=-3-b.

回4=T,

回％=3+b,

0m=3+Z?.

團蒞=3,

b

團兀￡=_1l_§，

M=T上

3

設直線CE的解析式為V=P%+9,

同（*）得m幾=一3一q,

團q=-mn-3.

E^=-(3+^)[-l-|l-3=11/?2+2Z2.

3

I

^\OF=-b29+2b.

3

SOP=&,

1

0FP=-Z?29+/7.

3

FP1lc、11

團=—b7+dl=—（zm-3）+l=-m.

OP333

【點睛】本題考查二次函數與一次函數的綜合，難度較大，需要掌握函數與X軸交點坐

標，（1）的關鍵是令尤2-2尤-3=0進行求解；（2）的關鍵是分點。在AC下方和在AC上方

時兩種情況討論：（3）的關鍵是求出OP,FP.

2.（2022?山東聊城?統考三模）如如圖，在平面直角坐標系中，拋物線產-1爐+灰+。與x軸

交于/（-2,0）、B（4,0）兩點（點/在點8的左側），與y軸交于點C,連接/C、BC,

點尸為直線8c上方拋物線上一動點，連接。尸交BC于點0.

⑴求拋物線的表達式；

⑵當黑的值最大時，求點尸的坐標和黑的最大值；

⑶點M為拋物線上的點，當/3C0=NACO時，求點M的坐標.

【答案】=+%+4

⑵去最大值為1網2,4）

⑶點V的坐標為或（8,-20）

【分析】（1）運用待定系數法即可求得答案；

（2）運用待定系數法求得直線8c的解析式為y=-x+4,如圖1,過點P作PD與軸交5c于

點。，設尸（加，-1m2+w+4）,則。（m,-m+4）,證明得出：

1

--------4-/M7

￡2=絲=，=_l（m_2）2+l，運用求二次函數最值方法即可得出答案；

OQOC482

(3)分當點N在x軸下方和當點M在x軸上方兩種情況討論，利用三角函數的定義求解

即可.

(1)

解：國拋物線>=-；彳2+云+。與x軸交于N(-2,0)、B(4,0)兩點(點4在點8的左

側)，

19

—x(-2)~-26+c=0

2],解得:b=l

c=4

——X42+4/?+C=0

2

國拋物線的函數表達式為y=-：■?+苫+4；

(2)

解：回拋物線〉=-；無?+x+4與y軸交于點C,

EC(0,4),

團OC=4,

設直線8C的解析式為y=Ax+d,把3(4,0),。(0,4)代入，得:

4-k+d=0k=-l

d=4，解得

d=4

團直線BC的解析式為y=-X+4,

如圖，過點夕作尸軸交于點Q,

1

田PD=——m9+2m,

2

^PD//OC,

120

——m+2m11

^PQ=PD=2

二-----------=-l（,M-2）+i

~OQ~~OC~48V72

團當機=2時，黑取得最大值;，此時，P(2,4)；

(3)

解：①如圖，當點〃在x軸下方時，在x軸上取一點尸，使NBCF=/ACO,延長CF交

拋物線于點過點尸作尸G,3c于點G,過點G作G//LAB于點

團點8,C的坐標分別為（4,0）,（0,4）,

^\OB=OC,

0ZCS（9=45°,

0FG=BG,

nA21

0tanZBCM=tanZACO=——=—=—,

OC42

國CG=2FG=2BG.

在入△BOC中，BC=4iOB=4垃，設FG=BG=n,

貝!JCG=2〃，BC=3n,

國3〃=40，角星得〃=

BBF=y/2BG=-f

3

4

^OF=OB-BF=-

3y

回點方的坐標為

設直線CF的表達式為y=kxx+b{,

4

-k.+h=Q

叫3?1

、4=4

團直線CF的表達式為y=—3x+4,

y=——x2+x+4

2

y=—3x+4

[x=0%2=8

解得，（舍去）,

M=4%=—20

回點河的坐標為（8,-20）.

②如圖，當點M在x軸上方時，過點5作交CM?于點、H,過點H作例，%

軸于點N,

團NCBH=90。.

用OB=OC,

0ZCBO=45°,

ZBHN=ZHBN=45°f

田BN=HN.

團NBCM=NACO,

mrnZBCM=tmZACO=—=-=-=

5coe42

回BH=LBC=2拒,

2

祖HN=BN=2

@ON=OB+BN=6,

團點〃的坐標為（6,2）.

設直線CH的表達式為y=px+q,

1

6p+q=2p=一一

團q=4,解得3,

q=4

團直線CH的表達式為y=—；x+4,

y=——x2+x+4

2

1

y=——x+44

3

8

x=-

[X=0o3

解得,（舍去）,

bi=428

%二

回點加的坐標為

（o28）

綜上可知，點M的坐標為匕，旬或（8,-20）.

【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法，二次函數的圖象和性質，解直角三

角形，相似三角形的判定和性質，熟練運用數形結合思想、分類討論思想是解題關鍵.

3.（2022?廣西百色?統考一模）如圖，已知拋物線y=-/+bx+c與一直線相交于/（：,

0）,B（2,3）兩點，拋物線的頂點為

（1）求拋物線的表達式及頂點M的坐標；

⑵若C是拋物線上位于直線上方的一個動點，設點C的橫坐標為3過點C作y軸的

平行線交與D,當，為何值時，線段的長最大，并求其最大值；

⑶若拋物線的對稱軸與直線N8相交于點N,￡為直線上的任意一點，過點E作E尸〃

交拋物線于點尸，以M,N,E,尸為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點￡

的坐標；若不能，請說明理由.

【答案】⑴>=--+2工+3,頂點M的坐標為（1,4）

⑵當/1時，的長最大，最大值為Q1

24

⑶能，點￡的坐標為：（0,1）或（上二叵，三叵）或（土叵，也叵）

2222

【分析】（1）根據點4C的坐標，利用待定系數法可求出拋物線的表達式；

（2）根據點/,C的坐標，利用待定系數法可求出直線/C的表達式，由點P的橫坐標為

t,可得出點PM的坐標，進而可得出產缶/+什2,再利用二次函數的性質即可解決最值問

題；

（3）利用二次函數的性質及一次函數圖象上點的坐標特征可求出點。，2的坐標，進而可

得出AD的長，由￡7迥3D,可得出當EF=AD=2時，以3,D,E,尸為頂點的四邊形為平

行四邊形，設點E的坐標為（x,x+1）則點尸的坐標為（x,〃+2x+3）,進而可得

出EA|f-x-2|,由￡尸=2可得出關于x的方程，解之即可得出x的值，進而可得出點E的

坐標.

（1）

將4-1,0）,8（2,3）代入拋物線的解析式丫=-幼+法+。得:

J0=-1—b+c

卜-4+2/?+。’

[b=2

解得：。

[c=3

回拋物線的解析式為y=-『+2x+3,

（2）

由y=~x~+2x+3,彳導：y=一（尤―1）一+4

回頂點A/■的坐標為（1,4）

回C是拋物線上位于直線上方的一個動點，橫坐標為,,

回點C的坐標為。，―尸+2+3）；

設直線48的解析式為、=〃a+”0力。），

將/（；,0）,8（2,3）代入得:

[~m+n=0fm=l

L,V解得：]

2m+〃=3\n=l

回直線AB的解析式為y=x+l；

EICDEly軸，點、D在AB上,

回點。的坐標為（夕+1）,

19

回C0=_*?+2,+3—（，+1）=_?一萬產?+a

團當，=:1時，C。的長最大，最大值為9:；

24

（3）

以/N,E,尸為頂點的四邊形能為平行四邊形.

理由如下：

設點石（私機+1）,貝IJ尸（根,—根2+2相+3）,

團EF=\m+l-（-m2+2m+3）=|m2-m-21,

回直線45的解析式為y=x+l,拋物線的對稱軸與直線45相交于點N,

團N（1,2）,

0W=2,

^EF^MN,

^\EF=MN,

in|m2-m-21=2,

2

0m一加一2=2或根?—m—2=—2,

解得：回=。，機2=1（舍去），7723=--，■=1+.

回點E的坐標為：（0,1）或（匕叵，三叵）或（出叵，如叵）.

2222

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、待定系數法求一次函數解析式、二次

函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質以及平行四邊

形的判定與性質，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標特征，利用待定系數法求出二次函數

解析式；（2）用含/的代數式表示出的長；（3）利用平行四邊形的性質，找出關于x的

方程.

4.（2022?廣西百色?統考二模）如圖，拋物線yud+fcv+c與無軸交于N（-1,0）,B（4,

0）,過點/的直線y=-無-1與該拋物線交于點C,點P是該拋物線上不與48重合的動

點，過點尸作軸于點。，交直線4C于點￡.

(1)求拋物線的解析式；

⑵當點尸在直線/C的下方，且PE=2DE時，求點尸的坐標；

⑶當直線尸。為x=l時，在直線尸。上是否存在點0,使站C0與0ED4相似？若存在，請

求出點。坐標；若不存在，請說明你的理由.

【答案】(1仃=尤2-3元-4

(2)(1,⑹

⑶存在，點0的坐標為(1,-4)或(1,-6)

【分析】(1)將點A(-LO)，3(4,0)代入>=1+法+。，求出6,c的值，進而可得拋物線

解析式；

(2)設尸(x,》2一3%一4),貝ljE(x,-x—1),D(x,0),貝lj/+2x+3,DE=x+l,1艮

據PE=2DE,即-d+2x+3=2(x+l),求出滿足要求的x的值，進而可得點尸的坐標；

(3)依題意聯立方程得-x-l=/-3x-4,求出滿足要求的x的值，進而可得點C坐標為

(3,-4),由勾股定理求AC=4夜，由題意知，￡>(1,0),E(l,-2),AD=2,DE=2,求

出AE,CE的值，根據ZAED=NCEP,回0CE與EED4相似，可知分兩種情況求解：①當

ZEQC=ZEDA=90°^,^EQCS^EDA,EQ=DE,求出點0的坐標；②當

NECQ=NED4=90。時，^ECQS^DA,貝|強=生，求出EQ的值，進而根據

EAED

DQ=DE+EQ,求出點。的坐標.

⑴

l—b+c=0

解：將點A(—l,0),3(4,。)代入廣爐十阮+C,得

16+4〃+c=0'

b=-3

解得:

c=-4f

回拋物線的解析式為y=d-3x-4.

⑵

解：設尸(x,V-3x-4),則E(x,—尤一1),￡>(x,0),

回尸E=_x_1——3x_4)=_x~+2尤+3,DE-0—(_x_1)=x+],

0PE=2DE,

團一x~+2尤+3=2(x+1),

解得，西=-1,x2=1,

將X=1代入y=x2-3x-4=i2-3xi-4=-6,

回點P的坐標為(1,-6).

⑶

解：存在，理由如下；

團直線丫=一無一1與拋物線〉=元2—3彳一4交于/、C兩點，

回聯立方程得：-尤-1=Y-3X-4,

解得士=T，x?=3

團點C坐標為(3,-4),

由勾股定理得，AC=^[3-(-1)]2+(-4-0)2=472，

由題意知，0(1,0),E(l,-2),

QAD^2,DE=2,

^AE=y/22+22=2^2>CE=AC-AE=4逝-2母=2及，

^\ZAED=ZCEP,I3QCE與0ED4相似，分兩種情況求解：

①當ZEQC=NEDA=90°時，

回AE=CE=2后，

^EQCS^EDA,

團EQ=DE=2,

團點0的坐標為(1,-4)；

②當ZECQ=NEDA=90°時，

^EECQSSEDA,

回或二區，即用二述，

EAED2夜2

解得EQ=4,

團DQ=DE+EQ=2+4=6,

團點。的坐標為(1,-6)；

綜上所述，當點。的坐標為(1,-4)或(1,-6)時，魴C0與國ED4相似.

【點睛】本題考查了二次函數解析式，二次函數與線段綜合，二次函數與相似三角形綜

合，勾股定理等知識.解題的關鍵在于對二次函數，相似三角形知識的熟練掌握與靈活運

用.

5.（2022?甘肅慶陽?統考二模）如圖，二次函數丁=62+法-3（0工0）的圖象交x軸于

A（-l,0）,8兩點，交y軸于點C,且O3=OC.

⑴求拋物線的函數表達式；

（2）設點。是〉軸右側拋物線上一點（。不與8重合），過點。作。￡以軸，垂足為點￡,交

直線8c于點F若DF=2EF,求點。的坐標；

⑶在（1）的條件下，平面內是否存在點G,使得以點3,C,D,G為頂點的四邊形是平

行四邊形？若存在，求直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由.

[答案]⑴y=/_2x_3

⑵(2,-3)

⑶存在，(—1,一6)或(1,0)或(5,0)

【分析】（1）由題意知C（0，-3）,2（3,0）,待定系數法求。涉的值，進而可得二次函數表達

式；

（2）設。伽，m2-2m-3）,則E（祖,0）,設直線8c的表達式為y=履+萬，待定系數法求

[k=l

得，可得直線2。的表達式為>=尤-3,則巴加，根-3）,當m<3時，

[b——3

DF=3機-m2,EF=3-m,根據AF=2EF,即3力2-加=2（3-〃。，求出滿足要求的優的

值，進而可得。點坐標；當機>3時，DF^rrr-3m,EF=m-3,tg?DF=2￡F,即

2

W-3m=2（m-3）,求出滿足要求的機的值，進而可得。點坐標；

（3）由題意知，分兩種情況求解：①當。是對角線時，如圖，四邊形BCGD是平行四

邊形；C（0,-3）,3（3,0）,0（2,-3）,由平行四邊形的性質可知，C、D與B、。的中點

坐標均為(1,-3),進而可求G1的坐標；②當8是邊長時，如圖，四邊形BGzCQ與

BCZJG,均為平行四邊形；由平行四邊形的性質可知，C、B與D、。的中點坐標均為

(|，-1),進而可求G?的坐標；由平行四邊形的性質可知，B、。與C、&的中點坐標均

為(|，-|)，進而可求G3的坐標.

(1)

解：團二次函數y=ox2+bx-3(〃w0)的圖象交V軸于點C,

回。(0,-3),

國OB=OC=3,

團3(3,0),

a-b-3=0

將A,B代入y=ox?+"一3（〃。0）得,

9〃+3/?—3=0

Q=1

解得

b=-2

回二次函數的表達式為y=x2-2x-3.

⑵

解：設。(帆m2-2m-3),則E(機0),

設直線的表達式為丁=丘+力，

J3左+力=0

將aC代入'=日+萬得,

[b=-3

k=l

解得

b=—3’

團直線BC的表達式為y=%-3,

0F（m,m-3）,

當機＜3時，DF=3m—m2,EF=3—m,

0DF=2￡F,

03m-/n2=2（3-m）,

解得加=2,m=3（不合題意，舍去），

00（2-3）；

當機＞3時，DF=m2-3m,EF=m-3,

0￡）F=2￡F,

0AW2-3zn=2（m—3）,

解得帆=2（不合題意，舍去），m=3（不合題意，舍去），

綜上所述，D（2,-3）.

⑶

解：由題意知，分兩種情況求解：①當8是對角線時，如圖，四邊形2CGQ是平行四邊

形；

0C（O,-3）,3（3,0）,0（2-3）,

由平行四邊形的性質可知，C、D與B、。的中點坐標均為（1,-3）,

回G（-1,-6）；

②當。是邊長時，如圖，四邊形BGzCD與BCDG,均為平行四邊形；

由平行四邊形的性質可知，C、B與D、&的中點坐標均為

0G2（1,O）；

由平行四邊形的性質可知，B、D與c、6的中點坐標均為

回a（5,o）；

綜上所述，存在點G,使得以點8,C,D,G為頂點的四邊形是平行四邊形，點G的坐標

為（T-6）或（1,0）或（5,0）.

【點睛】本題考查了二次函數解析式，二次函數與線段綜合，二次函數與特殊的四邊形綜

合等知識.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

6.（2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四十九中學校校考模擬預測）如圖，拋物線

y=a（x+3）（x-4）交x軸于N、B,交y軸于點C,點。為拋物線第三象限上一點，且

=135。，OD—f

(1)求a的值；

(2)點尸為第一象限拋物線上一點，連接尸D,交y軸于點￡,過點尸作尸敝軸，垂足為

F,求g的值；

PF

⑶在(2)的條件下，連接尸8,若PE+PB=DE,求點尸的坐標.

【答案】⑴a=_g

(2)2

(3)(1,6)

【分析】(1)如圖所示，過點。作取軸于E,先證明。，=。〃，然后利用勾股定理求出

OH=DH=4,從而求出點。的坐標，然后代入拋物線解析式即可求出a的值；

(2)先求出點C的坐標為(0,6),設點尸的坐標為(加，+求出直線

尸名的解析式為y=一蘇+加+203+-2?一2加+24,則點￡的坐標為(0,

2m+8m+4

—*7—QJT14

),即可推出CE=2m,由此即可得到答案；

m+4

(3)如圖所示，在。￡上取一點M使得，EM=EP,過點E作歹軸的平行線交過點。與x

軸平行的直線于。，過點尸作處慳軸于N,直線尸。與x軸交于點7,設點尸的坐標為

(m,-1/7i2+1/n+6),同理可以求出直線尸。的解析式為

y=f2+"+20x+-2m2-2m+24,點石的坐標為(0,-2m2-2m+24然后證明

2m+8m+4m+4

Rt^BPN^RtBDMQ,從而推出即二師5M得到夕丁二心，進而推出點T的坐標為

xA八EH—加？+//I+20—2帆2—2加+24八日4帆2+4加-48加

(z2冽-4,0),令y=0,貝IJ-----------------x+---------------------=0,解得兀=——Z-------------,貝I]

2m+8m+4-m+m+20

2m-4=4"+4"-48,由此即可得到答案.

-m+m+20

（1）

解：如圖所示，過點。作。〃取軸于E,

^\BOD=135°,

WHOD=45°,

又盟汨即0D//O=9O°,

^\HDO=WOD=45°9

配H=OH,

團"+。”2=。。2=32,

國OH=DH=4,

又回點。在第三象限，

團點。的坐標為（-4,-4）,

回T=a（T+3）（T—4）,

1

回Q=——；

2

⑵

解：由（1）可知，拋物線解析式為〉=-3（尤+3）（尤-4）=-g/+g尤+6,

回點C的坐標為（0,6）,

設點P的坐標為（m,-；加2+；，〃+6）,直線的解析式為>=依+>，

—4k+b=—4

,11小

mk7+b=——m2+—m+6

L22

2

1.7—_-_m___+_m__+__2_0

2m+8

.-2m2-2m+24

b=--------------------

m+4

-m2+m+20-2m2-2m+24

回直線尸。的解析式為y=------------------------------------------

2m+8m+4

mALg/n—d/c—2加之一2zn+24、

團點上的坐標為(0,--------------------),

m+4

，-2m2-2m+24

團CE=6----------------------

m+4

6m+24+2m2+2m-24

m+4

2m2+8m

m+4

=2m,

又耽咽y軸,

團PF=m,

解：如圖所示，在。E上取一點M使得，EM=EP,過點E作歹軸的平行線交過點。與％軸

平行的直線于0,過點尸作尸N取軸于N,直線尸。與x軸交于點T,

設點。的坐標為(m,--m2+-m+6),

22

同理可以求出直線PD的解析式為y=一而+"+20%+-2〃/―2"+24

2m+8m+4

—2m2—2m+24)

團點E的坐標為(0,

m+4

^ME-PE,DE=PE+PB,

團￡為“產的中點，DM=BP,

團點M的橫坐標為-加，

團點Q的橫坐標為-冽，

^\DQ=-m-(-4)=4-m,

回點8是拋物線y=-^(%+3)(犬-4)=一；％2+gx+6與x軸靠右邊的一個交點,

團點8的坐標為(4,0),

⑦BN=4-m=DQ,

在H煙5尸N和Rt^DMQ中，

[DM=BP

[DQ=BN'

^Rt^BPN^Rf^DMQ(HL),

^PBN=^\MDQ,

團OQ〃x軸，

^PTB^MDQ^PBN,

國PT=PB,

又明施毒，

團點N為"的中點，

回點7的坐標為(2加-4,0),

八口"—m2+m+20—2m2—2m+24_

令Ay=o,貝！J--------x+----------=0,

2m+8m+4

回X=4〃：+4，〃―48

-m2+m+20

4m2+4m-48

團2m-4=

-m2+m+20

團—2m3+2m2+40m+4m2—4m—80=4m2+4m—48,

0m3-m2-16m+16=0,

Sm2(m—1)—16(m—1)=0,

0(m+4)(m—4)(m—1)=0,

又回點尸在第一象限，

0O<m<4,

0m-l=O,

0m=1,

團點尸的坐標為(1,6).

【點睛】本題主要考查了二次函數與幾何綜合，等腰直角三角形的性質與判定，等腰三角

形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，一次函數與幾何綜合等等，正確作出輔助線

利用屬性結合的思想求解是解題的關鍵.

7.(2022?四川自貢?九年級專題練習)如圖，拋物線3與無軸交于/(-2,0)

和2(4,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點尸為直線2C下方拋物線上一動點(不與點5、C重合)，于點跖PD^AB

于點。，交直線8c于點N,當尸點的坐標為何值時，PM+PN的值最大？

⑶點P在第四象限的拋物線上移動，以尸C為邊作正方形CPEF、當拋物線的對稱軸經過

點E時，求出此時點P的坐標.

［答案］--X-3

o4

(2)當〃=2時，?的值最大，此時尸點坐標為(2,-3)

210410

(3)尸點坐標為(鼻，-々")或(可，一不)

【分析】(1)用待定系數法確定拋物線解析式即可;

333

(2)求出直線3C的解析式為歹=丁-3.設尸點坐標為"，N點的坐標

a3333c3

為Qn,-n-3),則PN=—〃一3-(一7?——n-3)=一一n2+—n,由銳角三角函數表示W=

448482

4

~PNf則由二次函數的性質可得解；

(3)過點尸作尸長眇軸于K,交拋物線的對稱軸于G,證明"EG睡]。尸K(W4S),得出CK

3333

=PG,設P(x,-x2--x-3),拋物線的對稱軸為直線x=L則G(L-x2--x-

8484

33333

3),K(0,-x2----x-3),可得出?G=|l-x|,CK=\-x2-----x-3+31=\x2-----x|,解

84844

方程即可得解.

(1)

解：依題意將4、B兩點坐標代入-3中得：

J4"2O-3=0

116。+4匕-3=0'

3

CL=一

解得：8，

b=——

[4

國拋物線的解析式為y=?尤2-3；

o4

(2)

33

解：在〉=^尤2-3中，令x=0得y=-3,

o4

0C(O,-3)；

設直線5c的解析式為加，

將5(4,0),。(。，―3)分別代入得：

{4k+m=0

Im=—3

,k=-

解得：,4,

m=-3

3

回直線5C的解析式為y=[X-3.

333

設尸點坐標為(m-n2--n-3),N點的坐標為(n,-n-3),

844

33o33o3

0/W=—n—3—(―M2—n—3)=—n2H——n,

48482

0PMZ15C,PD^AB,

^\PMN=^PDB,

^PNM=^\BND,

^MPN=WBC,

回。5=4,OC=3,

叫"y]0B2+0C2=742+32=5,

4

團PM=7W?cos回MPN=7W?cos團O8C=彳尸M

國PM+PN=)PN=--n1+—n=-—(n-2)2+—.

540104010

27

0------<0,且0V〃V4,

40

團當〃=2時，尸M+PN的值最大，此時尸點坐標為(2,-3).

(3)

過點尸作尸K取軸于K,交拋物線的對稱軸于G,如圖，

團四邊形PEFC為正方形，

^PE=PC,^EPC=90°

mPGE=^PKC=90°,

團團PEG=E1。尸K,

^PEG^ICPK(AAS)f

團CK=PG,

33

設尸(x,拋物線的對稱軸為直線x=L

84

3333

則G(l,——x-3),K(0,——x-3),

8484

3333

團PG=11-x|,CK—|-x2--x-3+31=|-x2--x\,

33

0|1-x\^\-x2--x\,

o4

334

解方程1-X=石，-得，Xl=—,X2=-2（舍去）；

843

339

解方程X-1=三--得，Xl=~,X2=4（舍去）；

843

210410

團尸點坐標為（§,一可）或（]，-1）.

【點睛】本題考查了二次函數的綜合題，考查了二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數

的性質和正方形的性質、全等三角形的判定與性質；利用待定系數法求二次函數解析式，

解一元二次方程；理解坐標與圖形性質是解題的關鍵.

8.（2022?山東泰安?統考中考真題）若二次函數y="2+a+c的圖象經過點A（-2,0）,

B（0,-4）,其對稱軸為直線無=1,與x軸的另一交點為C

⑴求二次函數的表達式；

（2）若點M在直線上，且在第四象限，過點M作MNLx軸于點N.

①若點N在線段OC上，且MV=3NC,求點〃的坐標；

②以肱V為對角線作正方形MPNQ（點尸在腦V右側），當點尸在拋物線上時，求點M的

坐標.

【答案】（i）y=g/一＞4

⑵①]|，-/②"

【分析】（1）利用待定系數解答，即可求解；

（2）①先求出直線A3的表達式為y=-2x-4,然后設點N的坐標為（機0）.可得

可得到MN=2〃z+4,NC=4—m.再由MN=3NC,即可求解；②連接

PQ與MN交與息E.設點朋■的坐標為2—4）,則點N的坐標為&0）

根據正方形的性質可得￡的坐標為&T-2）,進而得到P的坐標（2f+2,f-2）.再由點P

在拋物線上，即可求解.

【詳解】（1）解：「二次函數"加+bx+c的圖象經過點（0,-4）,

又拋物線經過點4（-2,0）,對稱軸為直線x=l,

1

_A=1ci=一,

2a'解得回，2

4。一2人一4二0,Z?=—1,

拋物線的表達式為y=-尤-4.

（2）解回①設直線AB的表達式為>=區+”.

點43的坐標為A（-2,0）,B（0,T）,

—2k+〃=0k=-2

0〃一,解得團

n=—^

???直線AB的表達式為y=-2x-4.

根據題意得回點。與點A（-2,0）關于對稱軸直線x=1對稱,

,?,C（4,0）.

設點N的坐標為（根,0）.

軸,

團腦V=2"i+4

:.NC=4-m.

.MN=3NC

2m+4=3（4-m）,

Q

解，得利=].

8_36

???點的坐標

M5,-y

②連接尸。與MN交與點￡.

設點”的坐標為（-2—4）,則點N的坐標為?,0）

四邊形MPNQ是正方形,

PQYMN,NE=EP,NE=-MN.

2

團[毗軸，

...尸Q〃x軸.

.?E的坐標為-2).

/.NE=%+2.

:.ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2.

即的坐標⑵+2,-/-2).

1,點尸在拋物線y=g尤2-尤-4上，

1

.?.萬(2，+2)9-(21+2)-4=一/一2.

解，得乙=1，%=-2.

，點尸在第四象限，

t=—2舍去.

即

2

【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合題，熟練掌握二次函數的圖形和性質，正方形的

性質，一次函數的圖象和性質是解題的關鍵.

9.(2022?遼寧朝陽,統考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o？+2無+c與

x軸分別交于點/(I,0)和點8,與y軸交于點C(0,-3),連接3C.

(1)求拋物線的解析式及點B的坐標.

(2)如圖，點尸為線段5C卜.的一個動點(點、P不與點、B,C重合)，過點尸作y軸的平行線

交拋物線于點。，求線段尸。長度的最大值.

⑶動點尸以每秒收個單位長度的速度在線段8c上由點C向點8運動，同時動點M以每

秒1個單位長度的速度在線段2。上由點2向點。運動，在平面內是否存在點N,使得以

點尸，M,B,N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點N的坐標；若

不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=%2+2x-3,(-3,0)

(3)[-3,-|U(-2,1)或(0,3-30)

【分析】(1)將/,C兩點坐標代入拋物線的解析式求得a,c的值，進而得出解析式，當

方0時，求出方程的解，進而求得8點坐標；

(2)由8,C兩點求出5c的解析式，進而設出點尸和點0坐標，表示出的長，進一

步得出結果；

(3)要使以點尸，M,B,N為頂點的四邊形是菱形，只需即MB是等腰三角形，所以分為

PM=BM,PM=PB和BP=BM,結合圖象，進一步得出結果.

(1)

解：把點4L0),C(0,-3)代入>=62+2]+。得：

fc=—3(c=—3

<o12解得：\1，

[a+2xl+c=0[a=l

回拋物線解析式為y=V+2x-3；

令y=0,則Y+2尤-3=0,

解得：士=1,%=-3,

回點8的坐標為(-3,0);

(2)

解：設直線8C的解析式為丁=履+6(笈W0),

把點B(-3,0),C(0,-3)代入得：

[b=-3“,快=-!

\o,,,n>解得：1,

[—3左+b=0[b=-3

團直線BC的解析式為y--％-3,

設點P(m,-m+3),則+2〃?-3),

回PQ=(-m—3)-^m2+2m-3^=—m2-3m=—,

39

團當力=一/時，尸。最大，最大值為];

(3)

解：存在，

根據題意得：PC=?BM=t,則尸3=30-萬，

如圖，當時，

ELB(-3,0),C(0,-3),

回。3=。。=3,

甌0。2=回。2。=45°,

延長NP交y軸于點。，

團點尸，M,B,N為頂點的四邊形是菱形,

EPNElx軸，BNSPM,即DV眇軸，

隨CZJP為等腰直角三角形，

0CZ)=PD=PCsinZOCB=V2zx—=r,

2

團團同尸8二團OBC=45°,

^\PMO=^PDO=^\MOD=90°,

回四邊形OWP。是矩形,

WM=PD=t,MPElx軸，

曲\慳軸，

骷M+OM=OB,

3

回什/=3,解得/=一，

2

如圖，當尸M=尸2時，作尸。也軸于。，連接尸N,

團點尸，M,B,N為頂點的四邊形是菱形,

SiPNWM,NE=PE,

@BM=2BE,

S3\OEP=S\DOE^ODP=90°,

回四邊形PDOE是矩形，

^OE^PD=t,

^BE-3-t,

Qt=2(3-e),解得：t=2,

ELP(-2,-1),

E2V(-2,1)；

如圖，當尸時，

3&.-叵t=t，解得：t=6-3立,

0PN=BP=BM=6-3近,

過點P作/Wc軸于點E,

^\PE^\PM,

^EON=^OEP=^\EPN=90°,

回四邊形OEPN為矩形，

0PN=OE,PN0y軸，

E0O5C=45°,

^\BE=PE=PB^nOBC=（6-3夜）？［3夜