專題06相似三角形

考點1：比例的性質

模塊四圖形的性質

06講相似三角形

’知識一遍過

（一）圖形相似的性質

⑴相似多邊形對應邊的比叫做相似比.

（2）全等多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形.

（3）相似多邊形的性質為:

①對應角相等;

②對應邊的比相等.

（4）如果兩個多邊形的對應角相笠，對應邊的比相等,則這兩個多邊形是相似多邊形

（二）平行線平分線段成比例

（1）比例線段在四條線段a,b,c,d中，如果a與b的比等于c與d的比，即m那么這四條線段a,

b,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線段.

（2）比例的基本性質

①基本性質：-=-<^>ad=bc；（b>d#0）

bd

②合比性質：三=5=竽=岑；（b、*0）

bdbd

③等比性質：-==k（b+d+...+nr0）o”且二i"=k.（b>d、...、nrO）

bdnb+d+--+n-

（3）平行線分線段成比例定理及推論

①兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.

即如圖所示，若l3〃l4〃h，則”

②平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.

即如圖所示，若AB〃CD,則空=

③平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似.

如圖所示，若DE〃BC,貝lUADEs/XABC.

（4）黃金分割點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果芯==t—=0.618,那么線段AB被點C黃金

ADZ

分割.其中點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.

?--------------------------1------------------1

ACB

（三）相似三角形的判定

??

.x\小

相似三角形的判定

."T山

如圖

判定1:兩個三角形對應邊成比例，則這兩個三角形

相似?.?絲=江=空；.?.AABCSAA，"

A'B'A!CB'C

判定2：兩個三角形有兩個角對應相等，則這兩個三如圖

角形相似：ZA=ZA'ZB=ZB'；AABCsM'B'C

如圖

判定3：兩個三角形有兩邊成比例，及其夾角相等，

AHAT

則這兩個三角形相似???——=——；ZA=ZA'；???AA5csAA'5'C

A'B'A'C

（四）相似三角形的性質

如圖：兩個三角形相似，則有對應邊成比例

..L

?_AC_BC_

AABCsAWC'；R

/\'AB'~A'C~B'C'~

如圖；兩個三角形相似，則有對應角相等

,ZAABCsAA，8C.

ZA=NA'ZB=ZB'ZC=ZC

如圖：兩個三角形相似，則有對應邊上中線的比等于

相似比

―一―，八…AMABAC,

4小；；

??AABCsAA\BC?------=------=-------=k

A'M'A'B'A'C

BMC6，C,

A如圖：兩個三角形相似，則有對應邊上高線的比等于

/

相似比

\AAABCsM^B'C；Z,飛兇==k

HHC*/rH*<**AH'AB'A'C

如圖：兩個三角形相似，則有對應角的角平分線的比

等于相似比

,AOABAC

■DCJJ*TVf

"AD'~~A'B'~~AC'~~"

如圖：兩個三角形相似，則兩個三角形周長的比等于

相似比

A:AABCsAA，B，C.

\/J\

.C.BC__—C_卜

"CZMVI,DR,cr,A'D'~A'B'~A!C'~

如圖：兩個三角形相似，則兩個三角形面積的比等于

相似比

.-\J.3

\/\???AABC^AAB'C；

\._A.

@-AHxBC

",?.,n2

?-?-AA3C—_________—_VJx.

SAA，B，C‘-A'H'XB'C

2

（五）常見的相似模型

模型一：A字模型

A4A

E1X?11

2ZZ\Ezxi

BCBCBc

△ABCs“DE△ABCS^ACD

△ABCs/\4DE

ADAB=AEACAC2=ADAB

模型二：8字模型

模型三：子母模型（射影定理）

模型四：一線三等角模型

模型五：手拉手模型（旋轉模型）

旋轉相似，成對出現

△ABCsLADEo下=—'NBAD=NCAE=AABD^AACE

(六)相似三角形的應用舉例

(1)測量物體的高度.①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似

三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等"的原理解決.②測量方法：在同一時刻測量出

參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度.

(2)測量物體寬度(測量距離).①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造"A"型或"X"

型相似圖，三點應在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角三角形.②測

A.1B.±1C.1或一2D.2

【答案】C

【分析】本題考查了比例的性質，熟悉等比性質是解題的關鍵.分兩種情況進行討論：①當a+b+c#0時,

根據等比性質計算得出結果；②當a+6+c=0時，則a+b=-c,代入k=W計算得出結果.

【詳解】解：分兩種情況:

①當a+b+c力0時，得k==1；

②當a+b+c=0時，

貝!Ja+b=—c,k==—2；

綜上所述，%的值為1或-2.

故選：C.

【變式1]（2024上,北京石景山?九年級統考期末）若3久=4y（y豐0）,貝拉的值是（）

3477

----

A.4B.34D.3

【答案】B

【分析】此題考查了比例的性質，根據比例性質即可求解，解題的關鍵是正確理解比例的性質.

【詳解】ffl3x=4y（y豐0）,

回設x=4k,y=3k（k力0）,

膻=竺=±,

y3k3

故選：B.

【變式2]（2023上,甘肅酒泉?九年級統考期中）如果:那么牛等于（）.

b3b

A.3:2B.2:5C.5:3D.3:5

【答案】C

【分析】由藍=|可得a=|b，然后再代入誓計算即可；掌握比和除法的關系以及分式的約分是解題的關鍵.

【詳解】解:哼=|,

2

團a=一b,7

3

故選C.

【變式31（2023上?江西撫州?九年級江西省撫州市第一中學校考期中）已知正數且三=—==

b+cc+aa+b

k,則下列四個點中在正比例函數丫=依圖象上的點的坐標是（）

A.（1,0B.（1,2）C.D.（1,-1）

【答案】A

【分析】本題考查比例的性質，正比例函數的性質等知識，解題的關鍵是求出k的，學會利用待定系數法,

解決問題.

根據公=高=缶=匕可得a+b=*b+c=*a+c=*相加可得2(a+b+c)=*a+6+c),由

此可求出k的值，將k代入函數丫=依可確定此函數解析式，將選項中的坐標一一代入函數解析式中進行驗

證即可.

【詳解】解：0-^--=。、b、C為正數，

b+cc+aa+b

團a+b=-,b+c=—,a+c=一,

kkk

上式連加得2(a+b+c)=[(a+b+c),

解得k=I，

將k=|代入y=kx有y=|x,

A、把x=1代入y=(x中可得y=|xl=1,所以點(1彳)在正比例函數y=質圖象上，故此選項符合題意；

B、把x=1代入y=1%中可得y=|xl=|^2,所以點(1,2)不在正比例函數y=kx圖象上，故此選項不符

合題意；

C、把x=1代入y=(x中可得y=：x1=(#所以點(1,一習不在正比例函數丫=kx圖象上，故此選項

不符合題意；

D、把x=1代入y=1x中可得y=]x1=/H-1,所以點(1,-1)不在正比例函數y=kx圖象上，故此選項

不符合題意；

故選：A.

考點2：線段的比

典例2：(2023上,浙江紹興?九年級統考期末)已知點P是線段4B的黃金分割點，AP>PB,貝ij4P:PB的值為

()

A.—B.—C.0.618D.V5-1

22

【答案】B

【分析】根據黃金分割比求出AP,PB計算即可；

【詳解】四點P是線段2B的黃金分割點，AP>PB,

那=旦，

AB2

令AB=x,

“PV5-1Vs+l

回一=F=---

PB3-V52

故答案選B.

【點睛】本題主要考查了黃金分割的知識點，準確計算是解題的關鍵.

【變式1](2023上?四川?九年級校考階段練習)△ABC中，F是AC的中點，D、E三等分BC、BF與AD、AE分

別交于P、Q,貝!)BP:PQ:QF=().

A.5:3:2B.3:2:1C.4:3:1D.4:3:2

【答案】A

【分析】過尸作FN〃BC,交4E于M,AD于N,利用F為AC中點，得到FM是△4EC中位線，由中位線性質有

MF=-CE,CE=2FM,從輔助線FM//BC看出△PMQElZk86、得絲=也，由中位線FN//BC看△FNPI3A

2BQBE

BDP,的詈=篝，通過計算BP=(BF,FQ=|SF,PQ=PF-QF=.三者作比即可.

【詳解】過F作FN〃BC,交1于M,AD于N,

回產為4C中點，13尸M是A4EC中位線,

I3MF=-CE,CE=2FM,

2

團=DE=CE,

ME=2CE=4FM,

0FM“BC,

[?]△FMQ^BEQ,

「FQFM1

(E~-==~f

BQBE4

EIFN是AaDC的中位線，

B1FN-CD=CE=BE

2

0FNI]BC,

I3AF/VPSABDP,

「BPBDy

0—=—=1,

PFFN

國BP=PF,

春,，

BQ4

型二，

BF5

MQ=^1BF,

0BP=|BF,FQ=^BF,

團PQ=PF-QF=：1BF-1：BF3==BF,

國BP:PQ:QF=QBF):(^BF):QBF)=5:3:2.

故選擇：A.

【點睛】本題考查一直線上三條線段的比值問題，掌握比例線段的性質，利用平行線輔助線構成相似三角

形作媒介找到三條線段之間的關系是解決問題的關鍵.

【變式2］（2023?河北唐山?統考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中,E為CD上一點，DEI3EC=2I33,連接

AE、BD,且AE、BD交于點F,則DFEIBF等于（）

DE「

AB

A.2團5B.2團3C.3回5D.3團2

【答案】A

【分析】利用平行四邊形的性質可得出ABE1CD且AB=CD,結合DEI3EC=2I33可得出案=|,由ABEICD可得

出小DEF八BAF,再利用相似三角形的性質即可求出DFI3BF的值.

【詳解】解：回四邊形ABCD為平行四邊形，

0ABECD,且AB=CD.

0DE0EC=2［33,

「回D一E=--D-E--=_2=——DE.

DCDE+EC5BA

團AB回CD,

0ADEFBAF,

^DFDE2

F?U--=——=_

BFBA5,

故選：A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質，利用平行四邊形的性質結合DE：EC=2：

3找出DE：BA的值是解題的關鍵.

【變式3］（2023上?九年級校考單元測試）把一個矩形剪去一個盡可能大的正方形，若剩下的矩形與原矩形

相似，那么原矩形的長與寬（寬<長<2寬）的比為（）

A.（1+V5）:2B.（1+V3）:2C.（1+V2）:2D.（1+巡）:2

【答案】A

【分析】根據相似多邊形對應邊的比等于相似比，設出黃金矩形的長和寬，就可得到關于長寬的方程，從

而可以解得.

【詳解】設原矩形的長為x,寬為y（y<%<2y）,由題意，得三=上,整理,得/一町一y2=0,解得乂=亨y,

yxy,

因為x>0,

所以刀=萼>，即］=萼.

故選A.

【點睛】此題考查黃金分割，解題關鍵在于根據相似比列出方程.

考點3：成比例線段

典例3：（2023上?吉林長春?九年級校考階段練習）下列四組線段中，是成比例線段的一組是（）

A.a=l,b=2,c=4,d=6B.a=4,b=6,c=6,d=8

C.a=5,b=6,c=7,d=10D.a=1,b=V2,c=V3,d=V6

【答案】D

【分析】根據成比例線段的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：A、由;力士可知這一組線段不成比例，所以A不符合題意；

26

B、由J73可知這一組線段不成比例.所以B不符合題意；

86

C、由;可知這一組線段不成比例.所以C不符合題意；

610

D、專=母=得=手由，可知這一組線段成比例.所以D符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了成比例線段的判斷，理解定義是解題的關鍵，即如果四條線段a,b,c,d滿足1=J,

bd

那么這四條線段稱為比例線段.

【變式1](2023上?廣東佛山?九年級校考階段練習)下列各組中的四條線段a,b,c,d是成比例線段的是

()

A.a=1,b=1,c=1,d=5B.a=1,b=V2,c=2V2,d=8

C.a=2,b=V5,c=2V3,d=D.a=y[2,b=3,c=2,d=8

【答案】C

【分析】根據成比例線段的定義進行計算，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：晤=；=1，7=P

b1d5

卑吟，故A不符合題意；

同a1V2c2V2V2

叱=五=3,石===7'

卑行，故B不符合題意；

a_2_2V5c_2V3_2V5

叱=西=可，1=屋=可，

卑=5,故C符合題意；

膻=也，￡=』，

b3d84

卑地，故D不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了比例線段，熟練掌握成比例線段的定義是解題的關鍵.

【變式2］（2022上?九年級單元測試）下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,6cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.lcm,2cm,3cm,4cmD.3cm,4cm,6cm,9cm

【答案】A

【分析】根據四條線段成比例的定義逐項判斷即可.若四條線段a,b,c,d成比例，貝（或a：b=c：d或

bd

ad=bc）,是有順序的，位置不能隨意顛倒.

【詳解】解：A>2X6=3X4,

???四條線段成比例，故符合題意；

B、2X54X3,

???四條線段不成比例，故不符合題意；

C、T1x4大2x3,

???四條線段不成比例，故不符合題意；

D、3X974x6,

???四條線段不成比例，故不符合題意.

故選：A.

【點睛】此題考查了比例線段，驗證第一條線段與第四條線段的長度乘積是否等于中間兩條線段的長度乘

積是解題的關鍵.特別注意，成比例線段是有順序關系的.

【變式3］（2023上?四川成都?九年級四川省成都列五中學校考階段練習）下面四條線段成比例的是（）

A.a=1,b=2,c=3,d=4B.a=3,b=6,c=9,d=18

C.a—1,b=V3,c=2,d=V6D.a=1,b—2,c=4,d—6

【答案】B

【分析】根據四條線段成比例的特點可知外項之積等于內項之積，從而可以解答本題.

【詳解】A：回1x422x3,回四條線段不成比例；

B、03x18=6x9,回四條線段成比例；

C、01XV6*V3X2,回四條線段不成比例；

D01x6*2x4,回四條線段不成比例；

故選：B.

【點睛】本題考查比例線段，解題的關鍵是明確成比例線段的特點.

考點4：平行線平分線段成比例

典例4：（2023上?江蘇南通?九年級校考階段練習）如圖，3|引％若45=3,BC=2,則等于（）

Er

N

c

A-1

【答案】B

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

是解題的關鍵.

直接利用平行線分線段成比例定理列出比例式即可解答.

【詳解】解：叫I。%，

喘若，

BAB=3,BC=2,

故選B.

【變式1］（2023上?山西長治?九年級統考期中）如圖，AB||CD||EF,直線"，"與這三條平行線分別交于

點A,C,尸和點B,D,E.若黑=|，則與的值為（）

【答案】D

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關鍵.根據平行

線分線段成比例定理可得受=第=；,由此即可得.

CFDE3

【詳解】解："AB||CD||EF,ff=|,

DE3

AC_BD_2

CF~DE~3

AC_2

AF~5

故選：D.

【變式2】（2023?全國?九年級專題練習）如圖，直線/這/2團樂直線AC,。尸分別交"，物〃于點A，B,C

和點。，E,F,連接AR作2G0AE若絲=1BG=9,則AB的長為（）

EF3

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【詳解】回直線網2礫，嚙=篝=|,喘=平=（

EIBG0AF,肆竺=①，即竺=三，0AF=

BGCB93

【變式3］（2023上?河北邯鄲?九年級校聯考期中）如圖，珍珍在橫格作業紙（橫線等距）上畫了個〃X〃，與

橫格線交于4B,C,D,。五點，若線段=4cm,則線段CD=（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】C

【分析】本題考查平行線分線段成比例，過點。作0E14B于點E,延長EO交CD于點F,根據平行線分線段

成比例可得罷=當，代入計算即可解答.掌握平行線分線段所得線段對應成比例是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過點。作。E12B于點E,延長E。交CD于點尸,

0Z4EO=90°,

團作業紙中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等,

ONDF。=AAEO=90°,

EIOF1CD,

ABOEnr-t42

01—=—,即一=-

CDOFCD3

解得：CD=6,

經檢驗，CD=6是原方程的解且符合題意,

0C￡)=6(cm)

考點5：相似三角形的判定一一證明題

典例5：（2022上,全國?九年級專題練習）已知：如圖，在AABC中，AB=6,AC=8,。、E分另（J在AB、AC

上，BD=2,CE=5.求證：△ZEDSAABC.

【分析】本題考查相似三角形的判定，理解并熟練運用相似三角形的判定方法是解題關鍵.根據題意可求

出祭=笫且其夾角相等即可證明△4ED-4BC.

【詳解】EL4B=6,BD=2,

^AD=4,

團4c=8,CE=5,

24E=3,

0"—E=3-=1a—o=4-=1-

AB62AC82

團NEzW=Z.BAC,

0AAEDABC.

【變式1】（2024上?陜西西安?九年級統考期末）如圖，在四邊形力BCD中，NBA。=90。，對角線AC1BC,

過點。作DE14C于點E.

⑴求證：△ABCsADAE；

(2)若tan/B力C=|,AC=4,DE=3,求CD的長.

【答案】⑴見解析

⑵當

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質

是解題的關鍵.

(1)根余角的性質得NB2C=/.ADE,再由乙4cB=Z.AED=90°,即可得出結論；

(2)先根據等角的正切值相等求出4E,進而求出CE,然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：回4比4。=90°,DE1AC,

^BAC+^DAE=90°,^ADE+^DAE=90°,

^\Z-BAC=Z.ADE,

又乙4cB=^AED=90°,

[HAABC?匕DAE；

(2)解：[EtanZ^C=I，ABAC=AADE,

回tanZJlOE=tanZ-BAC=

2

t-fAE1口口_AE1

DE232

^\AE=

2

固4c=4,

田CE=AC-AE=~,

2

0C￡>=yJCE2+DE2=

2

【變式2](2023上?江蘇南京?九年級南京外國語學校仙林分校校考期末)如圖，在△ABC中，點。、E分別

在力B、AC上，且NBCE+NBDE=180°.

⑴求證：AADEMACB；

(2)連接BE、CD,求證：AAEBfADC.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，牢記性質及判定是解題關鍵，

(1)根據NBCE+乙BDE=180°,Z.ADE+Z.BDE=180°,可得NBCE=/.ADE,進一步可證△ADE-AXCB；

(2)根據MAEsA4CB,Pi^AD-.AE=AC-.AB,根據NE4B=N/MC即可得證;

【詳解】(1)證明：SZ.BCE+/.BDE=180°,/.ADE+^BDE180°,

團乙BCE=Z.ADE,

^1Z.DAE=Z.CAB,

ISAADEACB；

(2)證明：[?]△ADE~XACB,

^AD\AE=AC:AB,

又團乙￡\48=Z.DAC,

[?]△AEB-LADC.

【變式3](2023上?廣東深圳?九年級深圳市南山區華僑城中學校考階段練習)如圖，四邊形2BCD是菱形,

點G是BC延長線上一點，連接2G,分別交BD、CD于點E、F,連接CE.

⑴求證：/-DAE=乙DCE；

（2）求證：4ECF-4EGC.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（]）根據菱形的性質可得=DC,^ADE=乙CDE,然后證明△4DE三△CDE（SAS）即可得出結論；

（2）根據平行線的性質可得4DAE=4G,結合（1）中結論可得NDCE=NG,然后根據相似三角形的判定

定理得出結論.

【詳解】（1）證明：國四邊形4BCD是菱形，

國DA=DC,Z,ADE=乙CDE,

又即E=DE,

0AADE=△COE（SAS）,

^DAE=Z.DCE；

（2）團四邊形ZBCO是菱形，

^ADWBC,

國乙DAE=Z.G,

由（1）得上DAE=乙DCE,

^\Z-DCE=zG,

又回ZFEC=Z.CEG,

[HAECFs△EGC.

【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，相似三角形的判定，熟練掌

握相關判定定理和性質定理是解題的關鍵.

考點6：相似三角形的判定一一添加條件

典例6：（2023上?全國?九年級專題練習）如圖，已知41=42,那么添加一個條件后，仍不能判定AABC與

△2DE相似的是（）

B

AA.NCc=〃EDB.ZB=ZDCC,A-B=-BCD,-AB=-AC

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據相似三角形的判定方法：①如果兩個三角形的三組對應邊的

比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三

角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似；逐一判斷即可求解，掌握相似

三角形的判定方法是解題的關鍵.

【詳解】解：團乙1=42,

^\Z-DAE=Z.BAC,

A、當=根據“如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似"，能判定4人⑶0與4

ADE相似，故該選項不合題意；

B、當乙B=￡D,根據“如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似”，能判定AaBC與AADE

相似，故該選項不合題意；

C、當哼=裝，不能判定AABC與AADE相似，故該選項符合題意；

ADDE

D、當*=笠，根據"如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似"，能判

ADAE

定AABC與A4DE相似，故該選項不合題意；

故選：C.

【變式1］（2023上?江蘇徐州?九年級校考階段練習）如圖，下列條件中不能判定AACDsAABC的是（）

【答案】A

【分析】根據相似三角形的判定方法依次判斷即可.

本題主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有："兩角對應相等，兩三角形相似"，"兩邊對

應成比例且夾角相等，兩三角形相似"，"三邊對應成比例，兩三角形相似"，熟練掌握相似三角形的判定方

法是解題的關鍵.

【詳解】A、由圖知Aac。和AABC中，乙4=乙4,要使兩三角形相似應該滿足*=故A選項不能判定

ACAD

^ACD-AABC,符合題意；

B、由圖知△4CD和AABC中，乙4=乙4,若乙4DC=4ACB,根據“兩角對應相等，兩三角形相似"可得△ACD“

△4BC,故B選項能判定△4CDSAABC,不符合題意；

C、由圖知△〃￡）和△力BC中，/,A=/.A,若乙4CD=N8,根據“兩角對應相等，兩三角形相似"可得△4C0?

△ABC,故C選項能判定AACDsAABC,不符合題意；

D、由圖知和AABC中，”=乙4,^AC2=AD-AB,則若=竿，根據"兩邊對應成比例且夾角相

ACAD

等，兩三角形相似"可得Aac。sAaBC,故D選項能判定△4C￡>SA4BC,不符合題意.

故選：A

【變式2］（2023上?北京延慶?九年級統考期中）如圖，點E是ATIBC的邊4B上一點，要使得AACE與A4BC

相似，添加一個條件，不正確的是（

A.Z.ACE=乙BB.Z.AEC=Z.ACB

AC_AErACCE

D.—=—

"AB-ACABBC

【答案】D

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解.

【詳解】解：若NACE=NB,乙4=乙4,則△ACEsAABC,故選項A不合題意;

若乙4EC=N4CB,乙4=乙4,則△aCE-AABC,故選項B不合題意；

若有=條乙4=乙4,貝必/CEsdBC,故選項C不合題意;

若有=黑，不能證明△/3一△ZBC,故選項D符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，證明三角形相似是解題的關鍵.

【變式31（2022上,湖南株洲?九年級校考期中）如圖，已知Nl=42,添加下列條件后，仍無法判定△ABC-A

ADE的是()

ABAD「ABBC

AA.——=—B.乙B=乙DC.Z.C=Z-AEDD.—=—

ACAEADDE

【答案】D

【分析】根據相似三角形的判定方法：兩角分別對應相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩

個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似，逐一判斷即可.

【詳解】解回41=42,

EINDAE=Z-BAC,

若祭=寮乙DAE=LBAC,對應邊成比例，夾角相等,

EIAABC-AADE,故A不符合題意;

若=Z.BAC,乙B=Z.D,

0AABCs&ADE,故B不符合題意;

若z_C=Z.AED,Z.DAE=Z.BAC,

^ABC-LADE,故C不符合題意;

/.DAE=/.BAC,對應邊成比例，不是對應邊的夾角,

0—AD=—DE,

團無法判斷△ABC與△ADE相似，故D符合題意;

故選：D.

【點睛】本題考查相似三角形的判定方法，熟記知識點是解題關鍵.

考點7：相似三角形的性質一一求解

典例7：（2023上?天津和平?九年級統考期末）如圖，在A/IBC中，DE\\BC,EF\\AB,若四邊形BDEF

DB2

的面積為16,則△>!￡>《的面積是（）

BF

A.4B.—C.2D.—

75

【答案】A

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，根據相似三角形的判定與性質即可得答案，解題的關鍵是熟

練掌握三角形的面積比等于相似比的平方，

【詳解】喘=；,

UD2.

0"—0=-1,—BD=2

AB3AB3

WEWBC.EFWAB,

ADESRABC,△CEFCAB,四邊形BDEF為平行四邊形，

團BD=EF,

蕾"DE=，"丫=71X2=1S^EFC==/￡￡\2=/2\2=4

S：；；c\3/9,SxABC\i4B7\3/9’

設S—DE=k,則S^EFC=4k,SAABC=9k,

團四邊形BDEF的面積為軌=16,解得：k=4,

團SfDE=4,

故選：A.

【變式11（2023上?四川成都?九年級成都七中校考階段練習）如圖，在團4BCD中，點E在DC邊上，連接AE交

BD于點F,若DE:EC=2:1,則△的面積與△DEF的面積之比為（）

A.1:4B.4:9C.9:4D.2:3

【答案】C

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，三角形相似的判定和性質，利用平行線判定乩結合

48:DE=3:2計算選擇即可.

【詳解［00XBCD,

團4B=CD,AB||CD,

0AABFEDF,

0^兇變=伴Y，

S^EDF\DEJ

嘮=2,

2_2

1+2-3

9

4，

【變式2］（2023上?安徽安慶,九年級統考期中）將一張三角形彩紙ABC按如圖所示的方式折疊，使點B落

在邊4C上，記為點F,折痕為已知4B=AC=6,BC=8,若以點C,D,尸為頂點的三角形與△力8C相

似，貝UBD的長是（）

【答案】D

【分析】本題考查了折疊的性質和相似三角形的性質等知識點，先根據折疊性質得到BD=DF,設8D=x,

則CO=8-x,兩個三角形相似，分三種情況，根據相似三角形對應邊成比例的性質可得到BO的長，找到

邊長之間的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：回AABC沿DE折疊，B和尸重疊，

WD=DF,

設BD=DF=x,

0BC=8,

EICZ）=8—久，

當AFDC5A4BC時，

FD_DC

AB-BC'

國4B=AC=6,

解得：￡=

即BD=—；

7

當ADCF-AABC,

DC_DF

AB~AC'

團48=AC=6,

解得：%=4,

即BO=4；

當△CFO?△ZBC時，同理可得=4,

故BD=m或4，

故選：D.

【變式3］（2023上,福建泉州?九年級統考期中）如圖，在△ABC中，D,E分另U是ZB,AC的中點，BE,CD相

交于點。，則下列四個結論中，錯誤的是（）

cOE1

B.—=一

OB2

△4QE的周長_1△4QE的面積_1

△4BC的周長-2四邊形BCED的面積—4

【答案】D

【分析】本題考查了三角形相似的判定與性質，根據相似三角形的性質，相似三角形周長比等于相似比,

面積比為相似比的平方，逐一判斷即可.

【詳解】解：：D,E分別是AB,4C的中點,

11

DEWBC,AD=BD=^AB,AE=CE=-AC,

ADE^△ABC,△ODE^AOCB,

?1D_/IE_DE_1

AB~AC~BC~2

...吟=等=器=工，故選項A、B正確，不符合題意;

OCOBBC2

???絲空陪故選項c正確，不符合題意；

△ABC的周長2

DE1

???△/WE?△ABC,S—=—--=一,

BC2

.SAADE_1

,,~——~,

ShABC4

???四邊形BCED的面積為S“BC-SMDE，

設SAADE=k,貝！JS-BC=4k,

四邊形BCED的面積為S-BC-SAADE=3k,

贏鬻樂/故選項D錯誤，符合題意;

???△4DE的周長為：AD+DE+AE,△4BC的周長為：AB^-BC+AC,

△4DE的周長_1(4B+BC+4C)

I，故選項C正確，不符合題意;

△/BC的周長—AB+BC+AC

故選：D.

考點8：相似三角形的性質一一坐標

典例8：(2022上?河南三門峽?九年級統考期末)如圖，在直角坐標系xOy中，4(-4,0),B(0,2),連接AB

并延長到點C,連接C。，若4COB"CAO,則點C的坐標為.

【答案】G，|)

【分析】先利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=(x+2,從而可設點C的坐標為C(aJa+2),過點C

作CD1x軸于點D,從而可得。D=a,CD=|?+2,再根據正切的定義可得tan/OZB=%然后根據相似三

角形的性質可得NBOC=N04C,=ZO71C,最后在RtACOD中，利用正切三角函數建立方

程，解方程求出a的值，由此即可得出答案.

【詳解】解：設直線2B的解析式為y=kx+b,

將點4(—4,0),B(0,2)代入得：廠氣+b；0,解得卜=|,

則直線4B的解析式為y=|x+2,

設點C的坐標為C(a*a+2),

如圖，過點C作CD，支軸于點。，

則。￡>=a,CD=]a+2,CD||OB,

???Z.BOC=Z-OCD,

???4(—4,0),B(0,2),

OA=4,OB=2,

???tanZ.OAB

OA2

??,△COBCAO,

???Z.BOC=Z-OAC,

Z.OCD=Z.OAC9

i

???tanZ.OC￡)=tanZ-OAC=一，

2

在RtAC。。中，tanzOCD=%=J-=工,

CD1+22

解得a=p

經檢驗，a=(是所列分式方程的解，

貝嚀a+2="：+2=g,

所以點C的坐標為儀需），

故答案為：?［）.

【點睛】本題考查了一次函數、相似三角形的性質、正切等知識點，熟練掌握相似三角形的性質和待定系

數法是解題關鍵.

【變式1］（2023?黑龍江大慶?統考一模）如圖，已知矩形045。與矩形尸瓦）0是位似圖形，尸是位似中心,

若點A的坐標為（0,6）,點E的坐標為（2,3）,則點8的坐標為.

【答案】（—4,6）

【分析】根據位似圖形的概念得到。&/0P,OD//BC,AB//0P,根據相似三角形性質求出3C,進而求出

點B的坐標.

【詳解】解：回點A的坐標為（0,6）,點石的坐標為（2,3）,

0O￡）=3,AD=3fDE=2,

團矩形O48C與矩形是位似圖形，尸是位似中心，

團OE//0尸，OD//BC,AB//OP,

她ZXDO,

^\OP=AB=OC,

中DEIIOP,

配L4￡>￡0她OH

胖="，即三=工,

OPAOOP2

解得，。尸二%

⑦OD//BC,

團回尸0。回團尸C5,

PO31

團有。一。=——,即Rn——=-

BCPCBC2

解得，BC=6,

團點B的坐標為（一4,6）,

故答案為：(—4,6).

【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質、相似三角形的性質，掌握位似的兩個圖形必須是相似形、

對應邊平行仰角相似三角形的性質是解題的關鍵.

【變式2](2023?江蘇蘇州?統考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，點4B的坐標分別為(-4,0)、(0,4),

點C(3,n)在第一象限內，連接AC、BC.已知=2NC4。，則n=.

【分析】過點C作C￡0y軸，交y軸于點D,則