陽泉市重點中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．32．已知拋物線C：，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．33．已知的面積是,,,則（）A．5 B．或1 C．5或1 D．4．在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個坐位的寬度()，每個座位寬度為，估計彎管的長度，下面的結(jié)果中最接近真實值的是（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)定義域為全體實數(shù)，令．有以下6個論斷：①是奇函數(shù)時，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤6．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．集合中含有的元素個數(shù)為（）A．4 B．6 C．8 D．128．已知向量，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．過點的直線與曲線交于兩點，若，則直線的斜率為()A． B．C．或 D．或10．已知.給出下列判斷：①若，且，則；②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱；③若在上恰有7個零點，則的取值范圍為；④若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.其中，判斷正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．411．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．812．已知函數(shù)在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是__________.14．根據(jù)如圖所示的偽代碼，若輸出的的值為，則輸入的的值為_______.15．函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.16．雙曲線的離心率為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）設(shè)直線與曲線交于，兩點，求；（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，求的取值范圍.19．（12分）如圖，直線y=2x-2與拋物線x2=2py(p>0)交于M1,M2兩點，直線y=p2與（1）求p的值；（2）設(shè)A是直線y=p2上一點，直線AM2交拋物線于另一點M3，直線M1M20．（12分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當(dāng)，且時，求的面積.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．22．（10分）如圖，三棱錐中，點，分別為，的中點，且平面平面．求證：平面；若，，求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.2．B【解析】

設(shè)直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，所以，.因為，所以，得，所以，即，，所以.故選:B.本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計算能力，屬于中檔題.3．B【解析】∵，,∴①若為鈍角，則，由余弦定理得，解得；②若為銳角，則，同理得.故選B.4．B【解析】

為彎管，為6個座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個座位的寬度，則設(shè)弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認為，即于是，長所以是最接近的，其中選項A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.7．B【解析】解：因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數(shù)，那么可得為1，2,3,4，6，,12故選B8．D【解析】

由兩向量垂直可得，整理后可知，將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：，，即，將和代入，得出，所以.故選:D.本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標(biāo)運算.對于向量問題，若已知垂直，通常可得到兩個向量的數(shù)量積為0，繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.9．A【解析】

利用切割線定理求得，利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結(jié)合，求得直線的傾斜角為，進而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設(shè)與曲線相切于點，則所以到弦的距離為，，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10．B【解析】

對函數(shù)化簡可得，進而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性及平移變換，對四個命題逐個分析，可選出答案.【詳解】因為，所以周期.對于①，因為，所以，即，故①錯誤；對于②，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為，其圖象關(guān)于軸對稱，則，解得，故對任意整數(shù)，，所以②錯誤；對于③，令，可得，則，因為，所以在上第1個零點，且，所以第7個零點，若存在第8個零點，則，所以，即，解得，故③正確；對于④，因為，且，所以，解得，又，所以，故④正確.故選：B.本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性，考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力，屬于中檔題.11．A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．12．C【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，對a分類討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點處的函數(shù)值進行判斷求解.【詳解】∵，.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，也不合題意.當(dāng)時，則時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，又，所以在上有兩個零點，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.故選C.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)雙曲線方程，設(shè)及，將代入雙曲線方程并化簡可得，由題意的最小值為，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算化簡，即可求得的值，進而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點，，則，即，∵，，，當(dāng)時，等號成立，∴，∴，∴.故答案為：.本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用，由平面向量數(shù)量積的最值求離心率，屬于中檔題.14．【解析】

算法的功能是求的值，根據(jù)輸出的值，分別求出當(dāng)時和當(dāng)時的值即可得解．【詳解】解：由程序語句知：算法的功能是求的值，當(dāng)時，，可得：，或（舍去）；當(dāng)時，，可得：（舍去）．綜上的值為：．故答案為：．本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序語句，根據(jù)語句判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】

設(shè)，，設(shè)，函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)，解得答案.【詳解】，設(shè)，，則.原函數(shù)等價于函數(shù)，即有兩個解.設(shè)，則，函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調(diào)遞增，，，.當(dāng)時，易知不成立；當(dāng)時，根據(jù)對稱性，考慮時的情況，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故，即，根據(jù)對稱性知：.故答案為：.本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.16．2【解析】三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）化簡得到，分類解不等式得到答案.（2）的最大值，，利用均值不等式計算得到答案.【詳解】（1）因為，故或或解得或，故不等式的解集為.（2）畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知的最大值.因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值是3.本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.18．（Ⅰ）6（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）化簡得到直線的普通方程化為，，是以點為圓心，為半徑的圓，利用垂徑定理計算得到答案.（Ⅱ）設(shè)，則，得到范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意可知，直線的普通方程化為，曲線的極坐標(biāo)方程變形為，所以的普通方程分別為，是以點為圓心，為半徑的圓，設(shè)點到直線的距離為，則，所以.（Ⅱ）的標(biāo)準方程為，所以參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，，因為，所以，所以.本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19．（1）p=4；（2）OA?【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程y=2x-2x2=2py，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由于直線y=p2平分∠M1FM2，所以kM1F+kM2F=0，代入點的坐標(biāo)化簡得4-(2+p2)?x試題解析：（1）由y=2x-2x2=2py設(shè)M1(x1,因為直線y=p2平分∠M所以y1-p所以4-(2+p2)?x1+x（2）由（1）知拋物線方程為x2=8y，且x1+x設(shè)M3(x3,x328所以x2+x整理得：x2由B,M3,②式兩邊同乘x2得：x即：16x由①得：x2x3即：16(x2+所以O(shè)A?考點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.【方法點晴】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.閱讀題目后明顯發(fā)現(xiàn)，所有的點都是由直線和拋物線相交或者直線與直線相交所得.故第一步先聯(lián)立y=2x-2x2=2py，相當(dāng)于得到M1,M2的坐標(biāo)，但是設(shè)而不求.根據(jù)直線y=p220．（1）；（2）【解析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隱含條件.（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得出.【詳解】（1）由已知可得，所以，因為在銳角中，，所以（2）因為，所以，因為是銳角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以此類問題是高考的常考題型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識，同時考查了學(xué)生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變換的技能，屬于中檔題.21．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解；（2）分別設(shè)切點橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.【詳解】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立．令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則．因為，則在上恒成立等價于在上恒成立；又，所以，即．（2）設(shè)的切點橫坐標(biāo)為，則切線方程為……①設(shè)的切點橫坐標(biāo)為，則，切線方程為……②若存在，使①②成為同一條直線，則曲線與存在公切線，由