第1章平行線（壓軸題專練）

選擇題（共5小題）

1.（2022春?周村區(qū)期末）如圖，AB//CD,BE//DF,的平分線與NCD尸的平分線交于點G,當/

BGD=65°時，NBDC=（）

C.55°D.50°

2.（2023秋?綠園區(qū)期末）如圖，直線點。在直線EF上，下列結(jié)論正確的是（）

A^\^D

E--------五------F

A.Za+Zp-Zy=90°B.Za+Zy-Zp=180°

C.Zy+Zp-Za=180°D.Za+Zp+Zy=180°

3.（2023春?大冶市期末）如圖，AB//CD,尸為AB上一點，F(xiàn)D//EH,且FE平分NAFG,過點尸作尸G

于點G,且NABG=2ND則下列結(jié)論：①/。=30°；②2/D+NEHC=90°；③FD平分NHFB；

④FH平分/GFD.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.（2022秋?安化縣期末）如圖，E在線段A4的延長線上，ZEAD=ZD,ZB=ZD,EF//HC,連FH交

A。于G,NPG4的余角比NOG8大16°,K為線段BC上一點，連CG,使NCKG=NCGK,在NAGK

內(nèi)部有射線GM,GM平分/FGC,則下列結(jié)論：①AO〃8C；②GK平分/AGC；③/DGH=37°；④

NMGK的角度為定值且定值為16°,其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

E

A

A.4個B.3個C.2個D.1個

5.（2023?曲周縣一模）為了亮化某景點，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、。尸上分別放置A、

8兩盞激光燈，如圖所示.A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，8燈發(fā)出的光束自BP

逆時針旋轉(zhuǎn)至80便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動30°,2燈每秒轉(zhuǎn)動10°,2燈先轉(zhuǎn)動

2秒,4燈才開始轉(zhuǎn)動，當B燈光束第一次到達8。之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉(zhuǎn)的時間是（）

P'

A.1或6秒B.8.5秒C.1或8.5秒D.2或6秒

填空題（共3小題）

6.（2023春?社旗縣期末）如圖1是長方形紙帶，NDEF=15。，將紙帶沿跖折疊成圖2,再沿8尸折疊成

圖3,則圖3中NC尸2度數(shù)是

圖1圖2”圖3

7.（2022秋?城關區(qū)期末）如圖°,已知長方形紙帶ABC。，將紙帶沿跖折疊后，點C、。分別落在“、G

的位置，再沿8C折疊成圖6,若/DEF=12°,則/GMN=

—\D

I

I

I

I

"*C

8.（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，已知AB〃C。，點E是上方一點，點M、N分別在直線AB、CD

上，連結(jié)EM、EN,平分NAME,NG交MF的反向延長線于點G,若/ENG+/END=180°,且/

G+2Z￡=102°,則乙度數(shù)為

E

三.解答題（共20小題）

9.（2023秋?長春期末）如圖，ABIICD,點E、尸分別在直線A8、CQ上，點尸是A3、CD之間的一個動

點.

【感知】如圖①，當點尸在線段EF左側(cè)時，若NAEP=50°,NPFC=70°,求NEP尸的度數(shù).

分析：從圖形上看，由于沒有一條直線截AB與C￡>,所以無法直接運用平行線的性質(zhì)，這時需要構(gòu)造出

“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形，過點P作尸G〃AB,根據(jù)兩條直線都和第三條直線平行，

那么這兩條直線也互相平行，可知尸G〃CD,進而求出NEPF的度數(shù).

【探究】如圖②，當點尸在線段EF右側(cè)時，/AEP、NEPF、ZPFC之間的數(shù)量關系

10.（2023春?溫州月考）將一副直角三角板如圖1擺放在直線上（直角三角板A8C和直角三角板EDC,

ZEDC=90°,ZD￡C=60°,ZABC=90°,ZBAC=45°）,保持三角板E￡）C不動，將三角板ABC

繞點C以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為f秒，當AC與射線CN重合時停止旋轉(zhuǎn).

（1）如圖2,當AC為/DCE的角平分線時，f=.

（2）當f=18時，求N8CD的度數(shù)？

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當三角板ABC的AB邊平行于三角板即C的某一邊時（不包含重合的情形），求此

時/的值為.（直接寫出答案即可）

11.（2023秋?靖邊縣期末）如圖，直線MN與直線AB,。分別交于點E,F,NBEM與/DFN互為補角.

（1）請判斷直線A8與8的位置關系，并說明理由;

（2）如圖2,/BEF與/EFD的平分線EP與FP交于點P,延長EP交CD于點G,過點G作GH1EG,

垂足為G,求證：PF//GH；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接K是G”上一點，且/PHK=NHPK,P。是/EPK的平分

線.求/HP。的度數(shù).

12.（2023春?錦江區(qū)校級期中）已知AB〃CD,點P是直線AB,CD外一點.

（1）【問題初探】如圖1,點E,廠分別在直線AB,CD上，連接PE,PF.求證：

①N1+N2=/EPF；

②N3+NEPF+N4=360°.

證明：過點尸作尸?！?3,…，請將問題①，②的證明過程補充完整；

（2）【結(jié)論應用】如圖2,ZABP的角平分線交CD于點E,點/是射線ED上一動點且點尸不在直線

BP上,連接尸尸，作NPFE的角平分線與BE相交于點。，問：N2QF與/2/斤有怎樣的數(shù)量關系？說

明理由；

(3)【拓展延伸】如圖3,。是C。上一定點，NA20=a.在/A8。內(nèi)部作射線BE,使得NOBE=^/ABO，

3

BE與C。相交于點尺動點尸在射線BE上，點。在P尸上，連接。。，ZFOQ^nZPOQ,若在點P的

運動過程中，始終有4NFQO-3/叮。=50°,求小a的值.

13.(2023春?宣化區(qū)期中)某學習小組發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：已知直線?！?,若直線c〃a,則c〃瓦他們發(fā)現(xiàn)這

個結(jié)論運用很廣，請你利用這個結(jié)論解決以下問題：

已知直線AB〃CD點E在A3、。之間，點P、。分別在直線AB、C。上，連接PE、EQ.

(1)如圖1,運用上述結(jié)論，探究/尸￡。與NAPE+NCQE之間的數(shù)量關系.并說明理由；

(2)如圖2,PF平分/BPE,QF平分/EQD,當/尸EQ=130°時，求出/尸尸。的度數(shù)；

(3)如圖3,若點E在C。的下方，PF平分/BPE,QH平分/EQD,。反的反向延長線交尸尸于點R

當/PEQ=80°時，請直接寫出/尸尸。的度數(shù).

14.(2023春?西城區(qū)校級期中)如圖是一種躺椅及其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手A8與底座C。都平行于地面

EF,前支架?！昱c后支架。尸分別與C。交于點G和點。，與。M交于點N,ZAOE=ZBNM.

M

(1)求證：OEHDM；

(2)若OE平分NAORZ(?DC=30°,求扶手A3與靠背DM的夾角/ANM的度數(shù).

15.(2022秋?堯都區(qū)校級期末)如圖1,ABHCD,點E,尸分別是AB,CD上的點，點P是和C。之

間的一點，連接PE,PF.

(1)若/PFD=25°,/PEB=35°,求NP的度數(shù);

(2)若點尸位于A8上方(如圖2),/PEB=OL,NPFD=B，其他條件不變：(用含a和0的代數(shù)式表

示下列角度數(shù))

①求/尸的度數(shù)；

②若E。和尸。分別平分NPEB和NPFD(如圖3),求/Q的度數(shù).

圖1圖2圖3

16.(2023秋?二道區(qū)期末)【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，小明同學在做光的折射實驗時發(fā)現(xiàn)：平行于主光軸MN的

光線AB和CD經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線8￡、。下的反向延長線交于主光軸上一點P.

【提出問題】小明提出：NBPD、NA3尸和/CD尸三個角之間存在著什么樣的數(shù)量關系？

【分析問題】我們學習過平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)可以把NBPO分成兩部分進行研究.

【解決問題】請你幫小明解決這個問題，并說明理由.

【舉一反三】(1)如圖①，若N43E=150°,ZCDF=170°,則度.

(2)如圖②，已知AB〃C。，點、E、尸分別是A3、CO上的點，點尸位于上方，ZPEB=a,ZPFD

=p.用含a和0的代數(shù)式表示下列各角.

①/P的大小為.

②如圖③，在圖②的基礎上，若EQ和FQ分別平分/PE8和/尸ED,則N。的大小

圖②圖③

17.（2022秋?綠園區(qū)期末）【問題情景】如圖1,若AB〃C。，NAEP=45°,ZPF￡>=120°.過點尸作

PM//AB,則NEPF=；

【問題遷移】如圖2,A3〃C￡）,點P在A3的上方，點E,尸分別在AB,CD±,連接PE,PF,過P

點作PN〃A8,問/PEA,ZPFC,/EPF之間的數(shù)量關系是,請在下方說明理

由；

【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知NEPP=36°,的平分線和NPFC的平分線交

于點G,過點G作GH〃AB,則/EGF=.

18.（2022秋?東陽市期末）如圖，長方形紙片ABC。中，G、X分別是A3、C。邊上的動點，連GH,將長

方形紙片ABCD沿著GH翻折，使得點&C分別落在點E,F位置.

（1）若NBGH=110°,求NAGE的度數(shù).

（2）若/FHD=20。,求NCHG的度數(shù).

（3）已知NBGH和/CHG始終互補，若/BGH=oi,請直接寫出N"C的度數(shù)（含a的代數(shù)式）.

19.(2022秋?鯉城區(qū)校級期末)如圖①，已知AB〃C￡>,一條直線分別交A3、CD于點E、F,NEFB=N

B,FHLFB,點。在8尸上，連接QH.

圖1圖2

(1)已知/石尸。=70°,求的度數(shù)；

(2)求證：FH平分~/GFD.

(3)在(1)的條件下，若NFQH=30。，將△W。繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)，如圖②，若當邊FH轉(zhuǎn)至線

段EF上時停止轉(zhuǎn)動，記旋轉(zhuǎn)角為a,請求出當a為多少度時，?！芭c△EBP某一邊平行？

(4)在(3)的條件下，直接寫出/。下。與NGFH之間的關系.

(1)如圖2,現(xiàn)將三角板A8C繞點A以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設旋轉(zhuǎn)時間為t秒(0</<50),當

旋轉(zhuǎn)至[]BC〃EF時，t=；

(2)若三角板ABC不動，而三角板。EP繞點。以每秒1°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設旋轉(zhuǎn)時間為t秒(0

<7<150),求當旋轉(zhuǎn)到。E〃BC時，/的值是多少？

(3)若三角板ABC繞點A以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板。所繞點。以每秒5°的速度順

時針旋轉(zhuǎn)，設時間為/秒(0<?<60),若邊8c與三角板。EF的一條直角邊(.邊DE,DF)平行時，則

所有滿足條件的t的值為.

21.(2023秋?南崗區(qū)校級期中)己知：如圖，AB//CD,直線分別交AB,CZ)于點G,0點P為直線

E尸上的點，連接AP,CP.

E

\p

Q/AGB

(1)如圖1,點尸在線段G”上時，請你直接寫出NBAP,ZDCP,NAPC的數(shù)量關系；

(2)如圖2,點尸在HG的延長線上時，連接CP交A8于點。，連接H。，AC,若/ACP+/PHQ=/

CQH,求證：AC//EF；

(3)在(2)的條件下，如圖3,CK平分/ACP,GK平分/AGP,GK與CK交點K,連接AK,若/

PQH=4ZPCK+2ZPHQ,ZCKG=ZCHQ,/AKC+N必C=159°,求NBAC的大小.

22.(2023秋?南崗區(qū)校級期中)已知，過NECP內(nèi)一點A作AO〃/EC交CP于點。，作AB〃/C/交CE于

點B.

(1)如圖1,求證：ZABE=ZADF；

(2)如圖2,射線射線LW分別平分/A8E和NAOF,求證：BM//DN-,

(3)如圖3,在(2)的條件下，點G,。在線段。尸上，連接AG,AQ,AC,AQ與DN交于點H,反

向延長AQ交8M于點P,如果/GAC=/GCA,AQ平分/GA。，NQ4c=50°,求NMB4+/P。尸的

度數(shù).

NN

FFF

23.（2023秋?江城區(qū)期中）【問題情境工在綜合實踐課上，老師組織班上的同學開展了探究兩角之間數(shù)量

關系的數(shù)學活動，如圖，已知射線連接AB,點尸是射線AM上的一個動點（與點A不重合），

BC,8。分別平分NA8P和且分別交射線AM于點C,D.

【探索發(fā)現(xiàn)】：

（1）當NA=60°時，求證：ZCBD=ZA；

（2）“快樂小組”經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)：不斷改變NA的度數(shù)，NC8。與NA始終存在某種數(shù)量關系.

①當NA=40°時，/CBD=度；

②當/A=x°時，ZCBD=度（用含x的代數(shù)式表示）；

【操作探究】：

（3）“智慧小組”利用量角器量出/APB和NAZJ8的度數(shù)后，探究二者之間的數(shù)量關系.他們驚奇地發(fā)

現(xiàn)，當點尸在射線AM上運動時，無論點P在AM上的什么位置，NAPB與/AD8之間的數(shù)量關系都保

持不變.請寫出它們的關系，并說明理由.

NB

MDPCA

24.（2023春?義烏市校級期中）今年除夕夜長江兩岸的燈光秀璀璨奪目,照亮山城的山水橋梁城市樓閣,

人民歡欣鼓舞.觀看表演的小語同學發(fā)現(xiàn)兩岸的燈光運動是有規(guī)律的，如圖1所示，燈A射出的光線從

AQ開始順時針旋轉(zhuǎn)至AP便立即回轉(zhuǎn)，燈8射出的光線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至BN便立即回轉(zhuǎn)，兩燈

不停旋轉(zhuǎn).

假設長江兩岸是平行的，即尸?！∕N,點A在尸。上，B、C、。在MN上，連接AB.AC,AD,已知

4c平分/BAP,平分NC4P.

M'

Cl）如圖1,若NABD=40°,則NCAQ=

（2）如圖2,在PQ上另有一點E,連接CE交于點R點G在上，連接AG,若NCAG=2N

6

CAE,ZEFD+^-ZDAG=\?,Qo,試證明：EC//AB.

4

（3）如圖3,己知燈A射出的光線旋轉(zhuǎn)的速度是每秒10°,燈2射出的光線旋轉(zhuǎn)的速度是每秒30°,

若燈8射出的光線從出發(fā)先轉(zhuǎn)動2秒，燈A射出的光線才從AQ出發(fā)開始轉(zhuǎn)動，設燈A轉(zhuǎn)動的時間

為/秒，在轉(zhuǎn)動過程中，當0W/W12時，請直接寫出燈A射出的光線與燈B射出的光線相交且互相垂直

時的時間t的值.

25.（2023春?撫寧區(qū)期末）問題情境：如圖1,AB//CD,ZB4B=130°,NPCD=120°,求/APC度數(shù).

小明的思路是：過P作PE〃A3,通過平行線性質(zhì)來求/APC.

（1）按小明的思路，易求得NAPC的度數(shù)為度；（直接寫出答案）

（2）問題遷移：如圖2,AB//CD,點P在射線OAf上運動，記ZPCD=p,當點P在2、D

兩點之間運動時，問/APC與a,0之間有何數(shù)量關系？請說明理由;

（3）在（2）的條件下，如果點P在8、。兩點外側(cè)運動時（點P與點。、B、。三點不重合），請直接

寫出/APC與a,0之間的數(shù)量關系.

26.（2023春?正陽縣期末）對