第3章實數全章復習與測試

d【知識梳理】

一、平方根和立方根

類型

平方根立方根

項目

被開方數非負數任意實數

符號表示±4a\[a

一個正數有兩個平方根，且互為一個正數有一個正的立方根；

相反數；一個負數有一個負的立方根；

性質

零的平方根為零；零的立方根是零；

負數沒有平方根；

(右)2=a(a>0)(V/=a

重要結論行=14=上叫—a

[-a(a<0)\l-a=-\!~a

二、實數

有理數和無理數統稱為實數.

i.實數的分類

'正有理數-

有理數0有限小數或無限循環小數

實數［負有理數

無理嘴蠢卻無限不循環小數

要點詮釋：(1)所有的實數分成三類：有限小數，無限循環小數，無限不循環小數.其中有限小數和無限

循環小數統稱有理數，無限不循環小數叫做無理數.

(2)無理數分成三類：①開方開不盡的數，如百，次等；

②有特殊意義的數，如五；

③有特定結構的數，如0.1010010001…

(3)凡能寫成無限不循環小數的數都是無理數，并且無理數不能寫成分數形式.

2.實數與數軸上的點--對應.

數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應.

3.實數的三個非負性及性質：

在實數范圍內，正數和零統稱為非負數.我們已經學習過的非負數有如下三種形式：

(1)任何一個實數。的絕對值是非負數，即|a|20；

(2)任何一個實數。的平方是非負數，即

(3)任何非負數的算術平方根是非負數，即&20(?>0).

非負數具有以下性質：

(1)非負數有最小值零；

(2)有限個非負數之和仍是非負數；

(3)幾個非負數之和等于0,則每個非負數都等于0.

4.實數的運算：

數。的相反數是一a；一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值

是0.

有理數的運算法則和運算律在實數范圍內仍然成立.實數混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，

最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.

5.實數的大小的比較：

有理數大小的比較法則在實數范圍內仍然成立.

法則L實數和數軸上的點一一對應，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；

法則2.正數大于0,0大于負數，正數大于一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反而小；

法則3.兩個數比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數法，估算法，平方法.

三、近似數及有效數字

1.近似數：完全符合實際地表示一個量多少的數叫做準確數；與準確數達到一定接近程度的數叫做近似

數.

2.精確度：近似數與準確數的接近程度即近似程度.對近似程度的要求叫做精確度.

要點詮釋：精確度有兩種形式：①精確到哪一位.②保留幾個有效數字.

3.有效數字：從一個數的左邊第一個不為零的數字起，往右到末位數字為止的所有的數字都是這個數的

有效數字，如0.208的有效數字有三個：2,0,8.

【考點剖析】

一.平方根（共2小題）

1.（2022秋?西湖區校級期中）用字母。表示一個實數，則⑷，/一定是非負數，也就是它們的值為正數或

0,所以⑷的最小值為0,而-同一定是非正數，即它的值為負數或0,所以-⑷有最大值0,根據這個結

論完成下列問題：

⑴間+3有最小（填“大”或“小”）值3；

（2）5有最大（填，，大”或“小，，）值5.

（3）若正整數a,6滿足|a+l|=5-（67）2,求力的平方根.

【分析】（1）根據間20,可得|a|+3有最小值，最小值為3；

（2）根據可得-/wo,進而可得5-/W5得出答案；

（3）根據正整數以及方程的解的定義，得出°、6的值，再代入計算后，求其平方根即可.

【解答】解：⑴：|a|20,

，|a|+3有最小值，最小值為3,

故答案為：小，3；

（2）

-/wo,

.*.5-/W5,

即5-/有最大值，最大值為5,

故答案為：大，5；

（3）:,正整數a,6滿足|a+l|=5-（67）2,

正整數。、6可能為：a=3,b=2或a=4,6=1,

當。=3,b=2時，5=3?=9,所以小的平方根為士',歷=±3；

當a=4,b=l時，ab—4l—4,所以a”的平方根為土，1=±2;

答：龍的平方根為±2或±3.

【點評】本題考查平方根，偶次方，絕對值的非負性，理解平方根的定義以及偶次方、絕對值的非負性

是解決問題的前提.

2.（2021秋?西湖區期中）一個正數尤的兩個不同的平方根分別是2a-1和-a+2.

（1）求a和x的值；

(2)求3x+2a的平方根.

【分析】(1)根據正數的平方根有兩個，他們互為相反數可得出2a-1+(-?+2)=0即可求出a的值,

然后求出x的值即可；

(2)將(1)中的x,a的值代入3x+2a中求出平方根即可.

【解答】解：(1):一個正數尤的兩個不同的平方根分別是2a-1和-a+2,

；.2a-1+(-a+2)=0,

解得：a=-1,

.*.x=(2a-1)2=9；

(2)將x=9,a=-1代入3x+2a中得，

3x+2a=3X9-2=25,

V25的平方根為±5,

3x+2a的平方根為±5.

【點評】本題主要考查了平方根的性質，掌握平方根的性質是解題的關鍵.

二.算術平方根(共2小題)

3.(2022秋?蒼南縣期末)已知一個正數6的兩個平方根分別是。和(a-4),則(b-a)的算術平方根為

近

【分析】根據一個正數的平方根互為相反數求得a值，再求出(b-a)的算術平方根即可.

【解答】解：???一個正數b的兩個平方根分別是a和

-4=0,

??。=2,

.*.Z?=4,

??b~a=2,

?*.(b-a)的算術平方根為J5，

故答案為：近.

【點評】本題考查平方根和算術平方根，熟知一個正數的平方根有兩個且互為相反數，算術平方根是正

的平方根是解答的關鍵.

4.(2022秋?金華期末)某數的一個平方根為、歷，則它的另一個平方根是.

【分析】根據平方根的定義即可求解.

【解答】解：：(士料)2=2,

，2的平方根一個是近，另一個是

故答案為：-近.

【點評】本題主要考查了平方根的定義，掌握平方根的定義是解題的關鍵.

三.非負數的性質：算術平方根(共2小題)

5.(2022秋?拱墅區期末)已知一個正數根的平方根為2〃+1和4-3”.

(1)求加的值；

(2)\a-l|+^/b+(c-n)2=0,a+6+c的平方根是多少？

【分析】(1)由正數的平方根互為相反數，可得2/1+4-3”=0,可求〃=5,即可求加

(2)由已知可得a=3,b=0,c=n=5,則可求解.

【解答】解：(1)???正數加的平方根為2〃+1和4-3〃，正數機的平方根互為相反數，

2n+l+4-3〃=0,

??〃=5，

??,2幾+1=11,

:?m=121；

(2)'：\a-l|+Vb+(c-n)2=0,

「?q-1=0,b=0,c-n=0,

?*.a=l,b=0,c=n=5,

a+b+c=1+0+5=6,

a+b+c的平方根是土

【點評】本題考查平方根的性質.熟練掌握正數的平方根的特點，絕對值和偶次方根數的性質是解題的

關鍵.

6.(2022秋?蕭山區期中)(1)已知某正數的平方根為。+3和2〃-15,求這個數是多少？

(2)已知“，〃是實數，且V2in+1+|3n-2I=0.求根?+層的平方根.

【分析】(1)根據一個正數的平方根互為相反數，可得答案；

(2)根據算術平方根與絕對值的和為0可得算術平方根與絕對值同時為0,可得答案.

【解答】解：(1):一個正數的平方根是4+3與2a-15,

(a+3)+(2A-15)=0,

解得a=4,

/.〃+3=7,

???這個數是49；

(2)由題意得：

2機+1=0,3〃-2=0,

..?"2_=--1,n_—2—，

23

...m2+/的平方根是±5.

6

【點評】本題考查了平方根，一個正數的平方根互為相反數，算術平方根與平方的和為0,算術平方根與

平方同時為o,開平方的被開方數互為相反數，被開方數為o.

四.立方根（共4小題）

7.（2022秋?拱墅區期末）下列說法正確的是（）

A.4的平方根是2B.8的立方根是±2

C.）（-3）2=-3D.-6沒有平方根

【分析】根據平方根、算術平方根、立方根的定義逐項進行判斷即可.

【解答】解：A4的平方根是±2,因此選項A不符合題意；

8.8的立方根是2,因此選項B不符合題意；

W（-3）2=3,因此選項C不符合題意；

D.-6沒有平方根，因此選項。符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查平方根、算術平方根、立方根，理解平方根、算術平方根、立方根的定義是正確解答

的前提.

8.（2022秋?青田縣期末）要做一個體積為8cMi3的立方體模型（如圖），它的棱長為2cm.

【分析】根據立方體的體積公式求解即可.

【解答】解：：立方體的體積為8c2,

它的棱長為病=2cnr

故答案為：2.

【點評】此題考查了立方根的實際應用，解題的關鍵是根據題意正確列出算式.

9.（2022秋?邦州區校級期中）若實數a,b滿足、份+如=_2，請按要求解答下列問題：

（1）若a,6都是整數，請寫出一對符合條件的a,%的值；

（2）若a,6都是分數，請寫出一對符合條件的a,6的值.

【分析】（1）根據已知等式，利用算術平方根及立方根的定義找出滿足題意a與b的值即可；

（2）根據已知等式，利用算術平方根及立方根的定義找出滿足題意。與b的值即可.

【解答】解：⑴滿足題意的值為：a=l,b=-21（答案不唯一）；

（2）滿足題意的值為：?=X6=-盤（答案不唯一）.

48

【點評】此題考查了立方根，算術平方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

10.（2022秋?邦州區校級月考）已知一個正方體的體積是16c2,另一個正方體的體積是這個正方體體積

的4倍，求另一個正方體的棱長和表面積.

【分析】根據題意知大正方體的體積為64c/,則其棱長為體積的立方根，可求得表面積.

【解答】解：根據題意大正方體的體積為16X4=64cm3,

則大正方體的棱長為：洞=4cm,

故大正方體的表面積為：6X4X4=960/.

【點評】本題主要考查立方根，根據題意求出體積是前提，熟知棱長是正方體體積的立方根是關鍵.

五.無理數（共4小題）

11.（2022秋?南沼區期末）下列幾個實數中，無理數的是（）

A.0.3B.-^9C.0D.&

【分析】根據無理數是無限不循環小數判斷即可.

【解答】解：A、0.3是小數，屬于有理數，故該選項不符合題意；

B、-百=-3是整數，屬于有理數，故該選項不符合題意；

C、0是整數，屬于有理數，故該選項不符合題意；

D、詢是無理數，故該選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了無理數，算術平方根，掌握無理數的定義：無限不循環小數是解題的關鍵.

12.（2022秋?金華期末）衛,-TT,3.14,近,6.1717717771…（自左而右每兩個“1”之間依次多一個“7”）

6

中，無理數的個數有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】無理數就是無限不循環小數.理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整

數與分數的統稱.即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數.

【解答】解：紅，3.14是有理數；

6

-TT,6.1717717771-（自左而右每兩個“1”之間依次多一個“7”）是無理數，

無理數一共有3個.

故選：B.

【點評】本題考查了無理數的識別，無限不循環小數叫無理數，初中范圍內常見的無理數有三類:①TT類，

如2n,二等;②開方開不盡的數，如相等;③雖有規律但卻是無限不循環的小數，如0.1010010001…

3

（兩個1之間依次增加1個0）,0.2121121112…（兩個2之間依次增加1個1）等.

13.（2022秋?蕭山區期中）課堂上，老師讓同學們從下列數中找一個無理數：

一|J_|,0,Z_,-Vie.其中，甲同學說乙同學說“F”，丙同學說“三”.

72373

（1）甲、乙、丙三位同學中，說錯的是甲.

（2）請將老師所給的數字按要求填入橫線內：

整數：0、-'壓；

負分數：-4,

7~

【分析】（1）根據無理數的定義解答即可；

（2）根據有理數的分類解答即可.

【解答】解：（1）因為“-4”是負分數，屬于有理數；是無理數，“工”是無理數.

73

所以甲、乙、丙三個人中，說錯的是甲；

故答案為：甲；

（2）-、了=-4,I-』=」，

22

整數有：0,-V16；

負分數有：-匹.

7

故答案為：o,-V16；*—?

7

【點評】本題主要考查了實數的分類，解題的關鍵是掌握實數的分類，實數分為有理數與無理數，有理

數又分為整數與分數.

14.（2021秋?溫州期中）數學課堂上，老師讓同學們從下列數中找出一個無理數：-J7，-旦，|-2|,0,

75

m-0.6,-V25.其中，甲說“一斤'，乙說“-2”，丙說

7

（1）甲、乙、丙三個人中，說錯的是乙.

（2）請將老師所給的數字按要求填入相應的區域內.

/-----------------\/------------------\

整數負分數

\_________________/X__________________/

【分析】（1）無理數就是無限不循環小數.理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數

是整數與分數的統稱.即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數；

（2）根據有理數的定義與分類解答即可.

【解答】解：（1）-V7是無理數；

_2,|-2|=2,是分數，屬于有理數；

755

0,-V25=-5＞是整數，屬于有理數；

0.6是有限小數，屬于有理數；

n是無理數；

所以甲、乙、丙三個人中，說錯的是乙，

故答案為：乙；

（2）整數有0,-V25；

負分數有：上，-0.6.

7

故答案為：0,-V25；

【點評】本題考查了無理數以及有理數的分類，掌握相關定義是解答本題的關鍵.

六.實數（共2小題）

15.（2022秋?婺城區期末）實數-2.3,0,我7，o.化，-IT中，有理數的個數為。，無理數的個

數為b,貝Ua-b的值是（）

A.1B.3C.2D.5

【分析】有理數是整數與分數的統稱，找出其中的有理數，即可確定。的值；無理數是無限不循環小數，

TT及含有TT的數，開方開不盡的數都是無理數，對于帶根號的數，首先要看是否是最簡形式，再判斷，

據此確定出無理數的個數，即可得到b的值；接下來將4、b的值代入待求式進行計算，即可使問題解答.

【解答】解：-2.3,0,^27=3,0.缶是有理數，有4個，即a=4,

-兀是無理數，有2個，即。=2,

則a-b—4-2—2.

故選：C.

【點評】本題考查的是有理數與無理數的概念，重點在對所給的數進行區別，防止因為根號而影響判斷.

16.（2022秋?衢州期中）把下列各數填在相應的橫線上：

0,2■,-2,-3.14,+9,TT,1.212212221.......（兩個1之間依次多1個2）.

7

整數：0,-2,V25,+9；

負分數：2,-3.14；

一7

無理數：m1.212212221.......（兩個1之間依次多1個2）.

【分析】根據整數、負分數和無理數的定義即可判斷.

【解答】解：整數：0,-2,國,+9；

負分數：2,-3.14；

7

無理數：1.212212221.......（兩個1之間依次多1個2）.

故答案為：0,-2,每，+9；一空，-3.14；it,1.212212221……（兩個1之間依次多1個2）.

7

【點評】本題考查了實數的分類，有理數是有限小數或無限循環小數，無理數是無限不循環小數.

七.實數的性質（共2小題）

17.（2022秋?武義縣期末）下列各組數中，互為相反數的是（）

A.八歷與強B.副兩與-泥C.|-&|與&D.我與牛兩

【分析】利用相反數的定義判斷.

【解答】解：4、西=-3,軻7=3,

；?一向與病互為相反數，&選項符合題意；

V-8=-2，-^/g=-2,

當司=-我，B選項不符合題意；

I-V2I=V2-c選項不符合題意；

???言=-2,

與V區不是互為相反數，。不符合題意.

故選：A.

【點評】本題考查了相反數，解題的關鍵是掌握相反數的定義.

18.(2021秋?奉化區期中)已知°、6互為相反數，c、1互為倒數，依|=2,且機＜0；

⑴求2a-(cd)20叫26-3m的值.

(2)若3y=m，c=H，求6-4d+?i的值.

【分析】(1)根據。、6互為相反數，c、d互為倒數，依|=2,先確定a+氏cd及機的值，再求代數式的

值即可；

(2)根據3y=m，c=F可求出0,b,c,d的值，然后代入所求的代數式即可.

【解答】(1)解：b互為相反數，

.??“+/?=0,

yc、d互為倒數，

??cd=19

V\m\=2且用＜0,

??TH~~-2,

：.2a-(cd)2018+2人3加

=2Q+b)-(cd)2018-3m

=-1+6

=5；

(2),:3y

'.a—rr?=-8,

vc=x/4=2，

:?b-4d+m

=8-4X、+（-2）

=8-2-2

=4.

【點評】本題考查了有理數的運算，掌握“互為相反數的兩數和為0”、“互為倒數的兩數積為1”是解決

本題的關鍵.

八.實數與數軸（共5小題）

19.（2022秋?濱江區校級期中）如圖，面積為3的正方形ABCD的頂點A在數軸上，且表示的數為-1,若

AD=AE,則數軸上點E所表示的數為（）

A.V3-1B.V3+1C.-V3+1D.M

【分析】先求出張方形的邊長A。，再根據向右動就用加法計算求解.

【解答】解：正方形A8C。的邊長為：如,

.?.點E所表示的數為：-1+JE，

故選：A.

【點評】本題考查了實數與數軸，正方形是面積公式是解題的關鍵.

20.（2022秋?慈溪市期末）如圖，數軸上點A,8分別表示數a,b,且a,6互為相反數，2a+9是27的立

方根.

（1）求a,6的值及線段A8的長.

（2）點P在射線84上，它在數軸上對應的數為x.

①請用含x的代數式表示線段BP的長.

②當無取何值時，BP=2AP?

AB

——?------------------1---------------------1-----------------------?

a0b

【分析】(1)利用立方根的含義求解a,6的值，再求解的長度即可；

(2)①由數軸上兩點之間的距離公式可得答案；②分兩種情況討論：當點尸在點A右側時，當點尸在

點A左側時，再利用8尸=24尸，建立方程即可.

【解答】解：⑴：2a+9是27的立方根，

?，-23+9=^27=3)

則a=-3.

「a,b互為相反數，

:.b=-a—3.

：.AB=3-(-3)=6.

(2)①：點P在射線A4上，它在數軸上對應的數為x.

二線段8尸=3-元

②當點尸在點A右側時，

,:BP=2AP,

.*.3-x—2(尤+3),

解得x=-1.

當點尸在點A左側時，

?：BP=2AP,

?*.3-x=2(-3-x),

解得x=-9.

綜上，當x=-1或-9時，BP=2AP.

【點評】本題考查的是立方根的含義，數軸上兩點之間的距離，相反數的含義，理解題意，建立方程求

解是解本題的關鍵.

21.(2021秋?拱墅區月考)閱讀材料，回答問題.

下框中是小馬同學的作業，老師看了后，找來小馬.

問道：“小馬同學，你標在數軸上的兩個點對應題中兩個無理數，是嗎？”

小馬點點頭.

老師又說：“你這兩個無理數對應的點找得非常準確，遺憾的是沒有完成全部解答."

請把實數|-」|，-it,-4,冊,2表示在數軸上，并比較它們的大小（用〈號連接）.

2

解：-一1—1—――1-I—1-1-

請你幫小馬同學將上面的作業做完.

【分析】根據-it和我確定原點，根據數軸上的點左邊小于右邊的排序.

【解答】解：把實數|-工-it,-4,五,2表示在數軸上如圖所示，

2

-4-Jrl-ol2^8

?…

-4<-n<|--|<2<V8.

2

【點評】本題考查實數與數軸，實數的大小比較.數軸上右邊的點表示的數大于左邊的點表示的數.

22.（2022春?平邑縣期中）如圖①是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為8.

（1）求出這個魔方的棱長；

（2）圖①中陰影部分是一個正方形A8CD求出陰影部分的面積及其邊長.

（3）把正方形ABC。放到數軸上，如圖②，使得點A與-1重合，那么點D在數軸上表示的數為

二加一.

<2^71cl——

\\1I“?.4II?1?>

-5-4-3-2-1012345

圖①圖②

【分析】（1）根據立方體的體積公式，直接求棱長即可；

（2）根據棱長，求出每個小正方體的棱長，進而可得小正方形的對角線,即陰影部分圖形的邊長，即可

得解；

（3）用點A表示的數減去邊長即可得解.

【解答】解：（1）設魔方的棱長為X,

則工3=8,解得：x=2；

（2）?.?棱長為2,

每個小立方體的邊長都是1,

正方形ABCD的邊長為：712+12=72）

二?S正方形ABC。=呵2=2；

(3)?.?正方形ABCD的邊長為J，，點A與-1重合，

.?.點。在數軸上表示的數為：-1-&,

故答案為：-1-^2-

【點評】本題主要考查實數與數軸、立方根的綜合應用，解決此題的關鍵是能求出每個小正方形的邊長.

23.(2022秋?北侖區期中)如圖，一只螞蟻從A點沿數軸向右直爬2個單位長度到達點B,點、A表示-如,

設點B所表示的數為m,

(1)求相的值.

(2)求|加-3I+O/+2的值.

-2-1012

【分析】(1)根據數軸上的點運動規律：右加左減的規律可求出機的值；

(2)主要將機的值代入到代數式中即可，只要注意運算的順序和絕對值的計算方法即可.

【解答】解：(1):螞蟻從點A沿數軸向右直爬2個單位到達點8,

.?.點B所表示的數比點A表示的數大2,

?點A表示f歷，點8所表示的數為相，

.".m—--y2+2;

(2)\m-3|+m+2

=1-V2+2-3I-V2+2+2

=1-V2~V2+4

=5.

【點評】此題主要考查了實數運算以及實數與數軸，根據已知得出力的值是解題關鍵.

九.實數大小比較(共3小題)

24.(2022秋?杭州期末)比較大小：<2.5；歷〈3.(填或者"=”)

【分析】直接利用立方根以及二次根式的性質分別比較得出答案.

【解答】解：V2.53=15.625>9,

加〈2.5；

..(_U)2_12127_108

?T

??.V27<-y.

故答案為：v；<.

【點評】此題主要考查了實數比較大小，正確掌握實數比較大小的方法是解題關鍵.

25.（2022秋?海曙區校級期中）對于實數〃、b,定義加就{〃，/?}的含義為：當時，min{a,b}=a；當

時，min{a,b]=b,例如：min{1,-2}=-2.已知min（30，a]=a,min{yj30>b}=730,且

4和b為兩個連續正整數，則2〃-b的值為4.

【分析】根據。，b的范圍，然后再代入求出2。的值即可

【解答】解：；加〃{疝i,a}=a,min{y/3Q,Z?）=V30.

:.a<730,b>yj30-

'：a,b是兩個連續的正整數.

??〃=5,Z?-6.

：.2a-b=2X5-6=4.

故答案為：4.

【點評】本題主要考查用新定義解決數學問題及實數的運算，正確理解新定義是求解本題的關鍵.

26.（2022秋?瑞安市期中）在數軸上表示下列有理數：后,V豆，（-2）2,2.5,并用將它們連接

起來.

一5一4—3—2—101234567

【分析】先計算需，牛/，（4）2,再把各數表示在數軸上，最后用連接各數.

【解答】解：：白=/，為司=-2,（-2）2=4.

.?.在數軸上表示為：

3gJ42.5（-2f

-I---?!----L-i-J-----------2

-3-2-101234

氏<2.5<（-2）2.

【點評】本題主要考查了實數和數軸，掌握”在數軸上表示的數，右邊的總大于左邊的”是解決本題的

關鍵.

一十.估算無理數的大小（共5小題）

27.（2022秋?新昌縣期末）已知一個邊長為。米的正方形，面積是37平方米，則。的取值范圍是（）

A.4<6Z<5B.5<a<6C.6<a<lD.7<a<8

【分析】先求出。的值，再求出其取值范圍即可.

【解答】解：???個邊長為。米的正方形，面積是37平方米，

.'.a—yf37.

V36<37<49,

.\6<V37<7,即6<a<7.

故選：C.

【點評】本題考查的是估算無理數的大小，估算無理數大小要用逼近法.

28.（2022秋?寧波期末）估計4+2的范圍是（）

A.3到4之間B.4到5之間C.5到6之間D.6到7之間

【分析】根據平方數進行計算即可解答.

【解答】解：：4<7<9,

.*.2<V7<3,

.\4<V7+2<5,

有+2在4和5之間，

故選：B.

【點評】本題考查了估算無理數的大小，熟練掌握平方數是解題的關鍵.

29.（2021秋?溫州期中）如圖，數軸上的A,B,C,。四點與表示數的點最接近的是（）

ABCD

-----?-------i-------i11i>>

-3-2-1----0------1-------2

A.點AB.點BC.點CD.點。

【分析】估算出一網的范圍，從而可以得出答案.

【解答】解：V4<8<9,

.,.2<V8<3,

?*.-3<--2,

:我更接近3,

.我更接近-3,

故選：A.

【點評】本題考查了無理數的估算，無理數的估算常用夾逼法，用有理數夾逼無理數是解題的關鍵.

30.（2022秋?永康市期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小

數，因此&的小數部分我們不可能全部寫出來，2V（V2）2<22,.,.1<V2<2.于是可以用&-

1來表示血的小數部分，又例如：V22<（V7）2<32,即2〈近<3,的整數部分是2,小數部

分是J7-2.請解答下列問題：

（1）舊的整數部分是4,小數部分是,歷-4.

（2）已知。是3+收的整數部分，b是其小數部分，求a-6的值.

【分析】（1）估算得到所求整數部分與小數部分即可；

（2）根據題意確定出。與b,代入原式計算即可得到結果.

【解答】解：（1）V4<V17<5,

的整數部分是4,小數部分是舊-4；

故答案為：4,V17-4；

（2）V2<V5<3,

.*.5<3+V5<6,

；.3+、石的整數部分a=5,小數部分6=3+-n-5=遙-2,

.,.a-b=5-（^5-2）=7--

【點評】此題考查了估算無理數的大小，以及實數的性質，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

31.（2022秋?濱江區校級期中）（1）已知丁7+7的小數部分是a,7-的小數部分是6,求a+6的值；

（2）設5+?的整數部分用a表示，小數部分用b表示，3的整數部分用c表示，小數部分用d表

示，求次?-cd的值.

【分析】（1）由4<7<9,得出2<小<3,確定五+7的小數部分，可得。的值，然后確定用7-

的小數部分，可得b的值，把服6值代入代數式a+b中計算即可；

（2）同理估算的大小，確定a,b,c,d的值，代入所求式計算即可.

【解答】解:（1）V4<7<9,

.*.2<V7<3,

.,.9<V7+7<10,4<7-W<5,

?,.V7+7的整數部分是9,小數部分a=V7+7-9=^7-2,7-的小數部分是7-近-4=3-J7，

:.a=、R-2,b=3-V7，

-2+3-\/7=1；

(2)Vl<3<4,

；.6<5+V^<7,1<3-/3<2,

***tz=6,b=5+ij?-6=V^-1,c—1,d—3-A/3-1—2-'\[3>

：.ab-cd=6（V3-I）-IX（2-向）=6F-6-2+百=7遮-8.

【點評】本題考查的是估算無理數的大小，應從估算無理數或F的范圍入手.

一十一.實數的運算（共2小題）

32.（2022秋?溫州期末）按如圖所示的程序計算，若輸入的。=3,6=4,則輸出的結果為5

【分析】把a、b的值代入計算即可求出值.

【解答】解：當a=3,b=4時，

Va2+b2=V32+42=V25=5>

所以輸出的結果為5.

故答案為：5.

【點評】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

2

33.（2022秋?婺城區期末）計算：_2-|-3|-84-（-2）-iV16-

【分析】根據平方，算術平方根的概念、絕對值的性質計算.

【解答】解：原式=-4-3+4+4=1.

【點評】本題考查的是實數的運算，掌握算術平方根、絕對值的性質是解題的關鍵.

―【過關檢測】

選擇題（共10小題）

1.如圖，數軸上點P表示的數可能是（）

---1------1---L^_l1

-2-1012245

A.VIQB.V5C.V3D.V2

【分析】先根據數軸估算出P點所表示的數，再根據選項中的數值進行選擇即可.

【解答］解：V9<10<16,32<V10<4,故本選項錯誤；

B,V4<5<9,.,.2<V5<3,故本選項正確；

C.Vl<3<4,.\1<V3<2,故本選項錯誤；

D、Vl<2<4,.,.1<V2<2,故本選項錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查的是估算無理數的大小，先根據題意得出各無理數的取值范圍是解答此題的關鍵.

2.9的平方根是（）

A.3B.±3C.-3D.9

【分析】根據（±3）2=9,即可得出答案.

【解答】解：：（±3）2=9,

，9的平方根為：±3.

故選:B.

【點評】本題考查了平方根的知識，掌握平方根的定義是關鍵，注意一個正數的平方根有兩個且互為相

反數.

3.有理數-8的立方根為（）

A.-2B.2C.±2D.±4

【分析】利用立方根定義計算即可得到結果.

【解答】解：有理數-8的立方根為知兩=_2-

故選:A.

【點評】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關鍵.

4.面積為4的正方形的邊長是（）

A.4的平方根B.4的算術平方根

C.4開平方的結果D.4的立方根

【分析】已知正方形面積求邊長就是求面積的算術平方根；

【解答】解：面積為4的正方形的邊長是即為4的算術平方根；

故選：B.

【點評】本題考查算術平方根；熟練掌握正方形面積與邊長的關系，算術平方根的意義是解題的關鍵.

5.H+Vsi+H-731=（）

A.1B.5/3C.2D.2^3

【分析】根據絕對值的性質，可得答案.

【解答】解：原式1+V3+V3-1=2如,

故選：D.

【點評】本題考查了實數的性質，利用差的絕對值是大數減小數是解題關鍵.

6.己知尤，y為實數，且yWx2-9Rg-x2+4,貝（）

A.-1B.-7C.-1或-7D.1或-7

【分析】直接利用二次根式的性質得出x,y的值，然后討論進而得出答案.

【解答】解：丫*乂2-q-49-x2+小

/.X2=9,y=4,

；.x=±3,

當x=3,y=4時，尤-y=3-4=-l；

當x=-3,y=4時，x-y=-3-4=-7；

.,.x-y=-1或-7.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x的值是解題關鍵.

7.下列各數：-2,0,與0.020020002-,n,牛耳，其中無理數的個數是（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】根據無理數的概念判斷即可.

【解答】解:0.020020002-,n是無理數，

故選：C.

【點評】本題考查的是無理數的概念，無限不循環小數叫做無理數.

8.下列四個實數中，最小的是（）

A.-A/2B.-5C.1D.4

【分析】正實數都大于0,負實數都小于0,正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而小，據

此判斷即可.

【解答】解：根據實數大小比較的方法，可得

-5<-衣<1<4,

所以四個實數中，最小的數是-5.

故選：B.

【點評】此題主要考查了實數大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：正實數>0>負

實數，兩個負實數絕對值大的反而小.

9.下列計算正確的是（）

A.V<=-1B,V（-3）2=-3C.V4=±2D.舊=4

【分析】根據立方根和算術平方根的定義解答即可.

【解答】解：A、11沒有意義，原計算錯誤，故此選項不符合題意；

B、^（-3）2=79=3,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

C、F=2,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

D、-1,原計算正確，故此選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了立方根，算術平方根的定義，解題的關鍵是熟練掌握相關的定義正確進行計算.

10.規定用符號同表示一個實數m的整數部分,例如:［馬=0,［3.14］=3.按此規定［-的值為（）

3

A.-4B.-3C.-2D.1

【分析】先計算的大小，然后求得一0i+1的范圍，從而可求得［-的值.

【解答】解：???3〈百5<4,

-4<-V10<-3,

-3<-V10+l<-2，

???［-技+1］的值為-3,

故選：B.

【點評】本題主要考查的是估算無理數的大小，估算百3的范圍是解題的關鍵.

二.填空題（共8小題）

11.己知4^=4-則尤的值為+4.

【分析】由已知可得了=16,再求x=±4即可.

【解答】解：：療=4，

'.x=±4

故答案為±4.

【點評】本題考查二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質和化簡，并能準確計算是解題的關鍵.

12.36的平方根是±6,81的算術平方根是9.

【分析】利用平方根和算術平方根的定義求解即可.

【解答】解：36的平方根是±6,81的算術平方根是9,

故答案為：±6；9

【點評】此題主要考查了算術平方根、平方根的定義.解題時注意正數的平方根有2個，算術平方根有

1個.

13.計算V25-（-1）2=4.

【分析】先分別根據數的開方法則、有理數乘方的法則求出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算

即可.

【解答】解：原式=5-1=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查的是實數的運算，熟知實數混合運算的法則是解答此題的關鍵.

14.計算力行的結果是3.

【分析】利用立方根的定義計算即可得到結果.

【解答】解：V27=V?=3-

故答案為：3

【點評】此題考查了立方根，平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵.

15.比較大小：斯〉氏.（選填

【分析】把2百化成。無，再比較即可.

【解答】解：2?=疝，

即2如＞國,

故答案為：＞.

【點評】本題考查了實數的大小比較和二次根式性質的應用，題目比較好，難度不大.

16.若一個偶數的立方根比2大，平方根比4小，則這個數一定是10,12,2.

【分析】首先根據立方根平方根的定義分別求出2的立方，4的平方，然后就可以解決問題.

【解答】解：..Z的立方是8,4的平方是16,

所以符合題意的偶數是10,12,14.

故填：10,12,14.

【點評】此題主要考查了立方根的定義和性質，注意本題答案不唯一.求一個數的立方根，應先找出所

要求的這個數是哪一個數的立方.由開立方和立方是互逆運算，用立方的方法求這個數的立方根.注意

一個數的立方根與原數的性質符號相同.

17.一個數的立方根是4,這個數的平方根是±8.

【分析】根據立方根的定義可知，這個數為64,故這個數的平方根為±8.

【解答】解：設這個數為x,則根據題意可知/=4,解之得尤=64；

即64的平方根為±8.

故答案為±8.

【點評】本題綜合考查的是平方根和立方根的計算，要求學生能夠熟練掌握和應用.

18.若丁7江+|6-5|=0,則a+b=2.

【分析】根據非負數的性質列出方程求出6的值，代入所求代數