第07講圓與正多邊形單元綜合檢測（重點）

一、單選題

1.一個正多邊形的中心角為60。，則該正多邊形的邊數為（）

A.6B.8C.10D.12

2.下列說法正確的是（）

A.垂直平分弦的半徑平分弧B.圓心角相等，對應弧相等

C.三角形的內心到三邊距離相等D.三角形的外心到三邊距離相等

3.已知點4在半徑為3的圓。上，如果點/到直線。的距離是6,那么圓O與直線。的位

置關系是（）

A.相交B.相離C.相切D,以上答案都不對

4.如圖，CD是。。的直徑，于點若4B=8,MC=2,則r長是（）

5.如圖，在。。中，點C是弧AB的中點，ZOAB=55°,則弧BC的度數為（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

6.如圖，在RtzX/BC中，ZC=90°,AC=4,BC=1,點。在邊上，CD=3,OA

的半徑長為3,與ON相交，且點8在0。外，那么。。的半徑長「可能是（）

試卷第1頁，共6頁

DB

A.r=1B.r=3C.r=5D.r=7

二、填空題

7.。。的半徑為5,若點。到P的距離為4,則點P在___（填“圓內”、“圓外”或“圓上”）

8.已知0a與。。2內切，的半徑為4,O,o2的長等于6,那么。。2的半徑等于.

9.正二十邊形中心角的正弦值為

10.水平放置的圓柱形油槽的圓形截面如圖2所示，如果該截面油的最大深度為2分米，油

面寬度為8分米，那么該圓柱形油槽的內半徑為一分米.

11.如果半徑分別為廠和2的兩個圓內含，圓心距d=3,那么r的取值范圍是.

12.如圖，在。。中，若彘=前=&）,則ZC與2CD的大小關系是：AC

2CD.（填“>”，或“=”）

13.已知一個正六邊形的邊心距為百，則它的半徑為.

14.已知半徑分別是2和6的兩圓的圓心距為6,那么這兩個圓有個公共點.

15.如圖，N8是的直徑，AD=BC,ZBOC=3Q°，則”的度數是.

試卷第2頁，共6頁

16.如圖，AB是。。的弦，C是的三等分點，連接OC并延長交。。于點。.若

OC=3,CD=2,則圓心。到弦N3的距離是.

.4/\_______

/C\\

J\I

O

\t

17.如圖，0a和。。2相交于N和8,過點/作。02的平行線交兩圓于c、D,設

Ofi2=a,則皮=（用含￡代數式表示）

18.如圖，在矩形4BCD中，AB=4,8c=6,點E是的中點，連接NE,點。是線

段/E上一點，的半徑為1,如果。。與矩形的各邊都沒有公共點，那么線段/。

長的取值范圍是

AD

BEC

三、解答題

19.如圖，。。中，弦48與CD相交于點E,AB=CD,連接AD,BC.求證：AD=BC-

試卷第3頁，共6頁

20.如圖，。是O。的弦2C的中點，A是劣弧前上一點，半徑與線段8c交于點E,

已知6M=7,3c=10.

(1)求線段。。的長；

⑵當OE:2E=5:4時，求NOED的余弦值.

21.如圖，AB、/C是。。的兩條弦，AAB=AC.

Q)若AB=4店BC=8,求半徑。1的長.

22.如圖，在RM/03中，ZAOB=90°,以點。為圓心，6M長為半徑的圓交2B于點C,

(1)判斷直線CD與。。的位置關系，并說明理由；

24

(2)^tanZODC=OB=32,求。。的半徑.

23.如圖，OQ和0。2相交于A、B兩點，。。2與AB交于點C,Q/的延長線交OQ于

點D,點E為AD的中點，AE=AC,連接。也.

(1)求證：OXE-OXC-

試卷第4頁，共6頁

(2)如果QQ=10,。乃=6,求OQ的半徑長.

24.如圖，在平面直角坐標系xQy中，拋物線＞=￡^2+&+4與無軸相交于點/(-1,0),5(3,0),

與y軸交于點C.將拋物線的對稱軸沿x軸的正方向平移，平移后交x軸于點。，交線段8C

于點E,交拋物線于點尸，過點下作直線2c的垂線，垂足為點G.

⑴求拋物線的表達式；

⑵以點G為圓心，2G為半徑畫。G；以點E為圓心，E尸為半徑畫。E.當。G與。E內切

時.①試證明￡尸與￡8的數量關系；②求點尸的坐標.

25.如圖，已知半圓。的直徑為點A在半徑而上，8為血的中點，點C在俞上,

以/8、3c為鄰邊作矩形/BCD,邊CD交MN于點、E.

試卷第5頁，共6頁

(1)如果MN=6,AM=2,求邊5c的長；

⑵連接CN,當ACEN是以CN為腰的等腰三角形時，求NA4N的余切值;

(3)連接。。并延長，交AB于點P,如果AP=24P,求空的值.

試卷第6頁，共6頁

1.A

【分析】本題考查的是正多邊形中心角.熟練掌握中心角的計算公式是解題的關鍵.

根據正n邊形的中心角的度數為3吧602°，進行計算即可得到答案.

n

【詳解】解：設正多邊形的邊數為小

解得n=6,

〃=6是所列方程的解，且符合題意，

該正多邊形的邊數為6.

故選：A.

2.C

【分析】本題主要考查垂徑定理，三角形的內心和外心及圓周角定理，掌握相應定理的內容

及應用條件是解題的關鍵.分別根據垂徑定理、三角形外心內心和圓周角定理逐項判斷即可.

【詳解】A、當直徑所平分的弦也是直徑時則這兩條直徑不一定垂直，故A不正確，不符合

題意；

B、只有在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧才相等，故B不正確，不符合題意；

C、三角形的內心是三個內角角平分線的交點，則到三邊的距離相等，故C正確，符合題意;

D、三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，則到三個頂點的距離相等，故D不正確，不符

合題意；

故選：C

3.D

【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，若d<r,則直線與圓相交；若"=，，則直線與

圓相切；若則直線與圓相離；根據圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系解答即

可；

【詳解】???/在半徑為3的圓。上，如果點/到直線。的距離是6,

???圓O與直線。的位置關系可能是相切或相離，

故選：D.

4.D

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理.由垂徑定理得到==設

答案第1頁，共21頁

OA=OC=r,貝|OM=OC-CM=r-2,由勾股定理可建立方程/=+42,解方程

即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接04,

是。。的直徑，ABVCD,

.-.AM=-AB=4,

2

i^OA=OC=r,貝|OA/=OC-CM=r-2,

在RtZUOM中，由勾股定理得Of=。河2+/加2,

...丫2=(—2)2+42,

?7=5,

/.OM=r-2=3,

故選：D.

5.A

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，等腰三角形的性質的應用，根據等腰三角

形性質和三角形內角和定理求出//陽，根據弧中點得出/BOC=；/AOB,代入求出即可.

【詳解】解：???/。45=55。，OA=OB,

???AOBA=ZOAB=55°,

：^AOB=\80°-55°-55°=70°,

,?,點C是弧力8的中點，

-AC=BC^

ABOC=AAOC,

/BOC=L/AOB=35。,

2

部的度數為35。，

故選：A.

答案第2頁，共21頁

6.B

【分析】本題考查了相交兩圓的性質，點與圓的位置關系，勾股定理等知識點，能熟記相交

兩圓的性質和點與圓的位置關系的內容是解題的關鍵

連接/。交。/于E,根據勾股定理求出的長，從而求出。E、D8的長，再根據相交兩

圓的位置關系得出廠的范圍即可.

【詳解】解：連接/。交。/于￡,如圖1,

在RtA/C。中，由勾股定理得：AD=Y1AC2+CD2=A/42+32=5-

則。E=/O-/E=5-3=2,

VBC=7,CZ>=3,

：.BD=1-3=4,

二。。與。/相交，且點B在。。外，必須2<r<4,

即只有選項8符合題意，

故選：B.

7.圓內

【分析】本題考查了點與圓的位置關系，根據點與圓的位置關系進行判斷，點與圓的位置關

系有3種，當d>r時，點在圓外，當d=7”時，點在圓上，當d<r時，點在圓內.

【詳解】：。。的半徑為r=5,尸到圓心。的距離為d=4,

即d<r,

點尸在圓內.

故答案為：圓內.

8.10

【分析】本題考查兩圓的位置關系.根據圓心距和兩圓半徑之間的關系：d=q-4（/>2）

即可得出.

答案第3頁，共21頁

【詳解】解：:oa與。Q內切，0a的半徑為%設。Q的半徑為。。。2的長等于6,

4<6,

???只可能是6=馬-4

的半徑為弓=4+6=10.

故答案為：10

1

9.-##0.5

2

【分析】本題考查正十二邊形性質，特殊角的三角函數值等知識，先由正十二邊形的性質得

到正二十邊形中心角，再由特殊角的三角函數值求解即可得到答案，熟記正多邊形的性質及

特殊角的三角函數值是解決問題的關鍵.

【詳解】解：正二十邊形中心角為m360=°3。。，

.?.正二十邊形中心角的正弦值為疝30。=；,

故答案為：y.

10.5

【分析】根據垂徑定理得到4。=4分米，再利用勾股定理即可解答.

【詳解】解：過點。作于點D,

?；NC=8分米，BD=2分米,

“0=4分米，

二設。1二X分米，

??.8=(x—2)分米，

???在Rt^OAD中，OA2=OD2+AD2,

.*.x2=(x-2)2+16,

x-5,

???該圓柱形油槽的內半徑為5分米，

故答案為5.

答案第4頁，共21頁

H

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵.

11.r>5

【分析】根據圓心距d與兩圓內含的性質得出d的取值范圍即可.本題考查了圓與圓的位置

關系，當+r時，兩圓外離；當d=A+r時，兩圓外切；當1<R+，,時，兩圓相交；當

d=時，兩圓內切；當時，兩圓內含；

【詳解】解：；半徑分別為〃和2的兩個圓內含，圓心距d=3,

：.d<r-2,

d=3,

:.3<r—2,

■,■r>5

”的取值范圍是廠>5,

故答案為：r>5.

12.<

【分析】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系，解題的關鍵是利用三角形三邊關系得到

AB+BC>AC.如圖，連接BC,根據題意知，AB=BC=CD,又由三角形三邊關

系得到48+8O/C得到：AC<2CD.

【詳解】解：如圖，連接48、BC,

在。。中，若彘=前二五,

AB=BC=CD,

答案第5頁，共21頁

在△/8C中，AB+BC>AC.

AC<2CD.

故答案為：<.

13.2

【分析】設正六邊形的中心是。，一邊是4B,過。作OG1.N8與G,在直角△02G中,

根據三角函數即可求得04.

【詳解】解：如圖，過。作OGJL4&與G,

ZAOB=60°,0A=0B,

6

ZAOG=-ZAOB=30°,

2

在RtaNOG中，OG=G，ZAOG=30°,

???6M=OG+cos30°=且也=2,

2

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查正多邊形的計算問題，常用的思路是轉化為直角三角形中邊和角的計

算，屬于常規題.

14.2

［分析］根據圓心距于兩個圓半徑間的關系即可判斷得解.

【詳解】解:???半徑分別是2和6的兩圓的圓心距為6,

:6—2<d<6+2

???兩圓相交，即是2個圓有兩個交點，

故答案為：2.

【點睛】此題主要考查了圓與圓的位置關系，當外切時，圓心距=兩圓半徑的和，當內切時,

圓心距=兩圓半徑的差，兩圓相交時，圓心距介于兩圓半徑的差與和之間時，圓有兩個交點.

15.120°##120度

答案第6頁，共21頁

【分析】本題主要考查同弧所對圓心角相等、直徑所對的圓心角知識，根據題意求得

ZAOC,結合同弧所對圓心角相等求得//OD,即可求得NCOD.

【詳解】解：：NBOC=30°,4B是。。的直徑，

-.ZAOC=150°,

■■AD=BC>

ZAOD=30°,

ZCOD=120°,

故答案為：120。.

16.V7

【分析】延長。。交圓于點E,作。尸，42于點尸，連接。2,根據相交線定理首先求得圓

的半徑，然后在Rt^OB廠中，利用勾股定理求得。尸的長.本題考查了垂徑定理和相交弦定

理，根據定理求得圓的半徑長是關鍵.

【詳解】解：延長。。交圓于點E,作。尸于點尸，連接08.

則OE=OC+C0=5,CE=8,

?/DCCE=ACBC,

:.2x8=AC-2AC,

解得：AC=26,

貝1J/3=3/C=6后,

OFVAB,

:.BF=-AB=3y/2,

2

在RtAOSF中，OF=VOS2-BF2=,25-18=V7-

故答案為：療.

17.—2a

答案第7頁，共21頁

【分析】本題考查了矩形的判定與性質，向量以及垂徑定理，先過點q和Q分別作OE，/c、

即可作

02FLAD,證明四邊形尸E是矩形，再運用垂徑定理得出ECAE,DF=AF,

答.

【詳解】解：如圖：過點Q和&分別作O.FVAD,

???過點A作。。2的平行線交兩圓于C、D,

OXEJ_002，

???Qi￡_LZC、02F1AD,

???四邊形/屯是矩形,

EF=OXO2,

vO.ELAC,02F1AD,

EC=AE,DF=AF,

：.CD=2OXO2,

,**0^02=a,

則DC=-2a-

故答案為：-2答

18.-<AO<—

34

【分析】根據題意，需要分。。分別與邊/反8E相切兩種情況下,計算出/。長度即可解

答.

【詳解】解：設。。與相切于點尸，連接。尸，OF=1,

答案第8頁，共21頁

AD

■■.AE=yjAB2+BE2=A/42+32=5，

△ABE中,

??.AB>BE,

???ABAE<ABEA

???AD〃BC,

???/DAE=NBEA,

???/BAE</DAE,

-ZAFO=ZABE=90°,/FAO=/BAE,

???/\AFOSAABE,

???/DAE>/BAE,

.??若。。與4D相切時，和一定相交；

若。。與48相切時，和40一定相離.

同理當。。與8C相切于點別■時，連接0河，0M=\,計算得￡。=以,

.?.當g</。<t時，QO與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，

故答案為：j<AO<.

【點睛】本題考查了切線的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質，解題關鍵是分兩種

答案第9頁，共21頁

情況計算.

19.證明見詳解

【分析】由/8=CZ)知/g=CZ),得到/￡)+/C=，即可得出ZZ)=5C.

【詳解】解：?.?45=0

'4B=CD'即N￡)+/C=3C+/C，

■■AD=BC.

【點睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關系，理解在同圓或等圓中，①圓心角相等，②

所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等是解題關

鍵.

20.(1)2A/6

(2)1

【分析】(1)連接02,先根據垂徑定理得出OD1BC,BD=；BC,在RMB。。中，根

據勾股定理即可得出結論；

(2)在中，設BE=x,則。￡=缶，ED=6-x,再根據勾股定理即可得出結

論.

【詳解】(1)解：連接。8,如圖所示：

在RMB。。中，OD2+BD2=BO2,

?：B0=A0=7,BD=5,即“2+52=72

0D=2-\/6：

(2)解：在RtAEOD中，OD2+ED2=EO2,

■■OE-.BE=5-A,

答案第10頁，共21頁

設BE=4x,貝!|0E=5x,ED^5-4x,

(2指『+(5-4X)2=(5X)2,即9X2+40X-49=0,則(9x+49)(x-l)=0,

解得x-(舍)，x=\,

:.ED=\,￡0=5.

ED1

在Rt/XEOD中，cos/DEO=——=-

OE5

【點睛】本題考查圓綜合，涉及垂徑定理、勾股定理、解一元二次方程及三角函數定義等知

識，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

21.(1)證明見解析

(2)OA=5

【分析】(1)連接。5、0C,由弧弦圓心角的關系可得，進而可得△/斯四△/OC(SAS),

得到=即可求證；

(2)延長/。交2c于點。，由三線合一可得BD=^BC=4,利用勾股定理可

得AD=jAB2-BD2=8,設。。的半徑為X，則。/=08=x，0D=S-x,在RM2。。中再

利用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：連接。8、0C,

■：AB=AC,

NAOB-ZAOC,

OB=0C,AO=AO,

AAOB^AAOC(SAS),

ZOAB=NOAC,

.,./O平分/R4C；

(2)解：延長/。交BC于點

■：AB=AC,40平分N5/C,

答案第11頁，共21頁

???ADIBC,

：./LADB=90°,BD=^BC=4,

■■AD=^AB2-BD2=J（4扃-42=8,

設。。的半徑為x,則。4=O8=x,OD=S-x,

在RaBOD中，BD2+OD2=OB2,

.,.42+（8-x）2=x2,

解得x=5,

OA=5.

【點睛】本題考查了弧弦圓心角的關系，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，勾

股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.

22.(1)直線CD與。。相切，理由見解析

⑵24

【分析】本題考查了切線的證明、正切的應用等知識點，掌握相關幾何結論是解題關鍵.

(1)連接。C,由O/=OC得NO4c=NOC4,結合CD=BD,即可求解；

7_________25

(2)設。。的半徑為人可得CO=AD=/廠，根據辰(0方可得//，即

可求解；

【詳解】(1)解：直線CD與。。相切，理由如下：

.-.ZOAC=ZOCA

答案第12頁，共21頁

???CD=BD

/DCB=NDBC

???ZDBC+ZOAC=90°

??.ZDCB+ZOCA=90°

??.NOCD=180°-(/DCB+/OCA)=90°

???OC為半徑，

???直線CD與OO相切

(2)解：設OO的半徑為,，

,八OCr24

tanZ.ODC===——,

CDCD7

7

：.CD=BD=—r,

24

??.OD=yj0C2+CD2=—r

24

??,OB=OD+BD=32

257c

/.——rd-----r=32,

2424

解得：r=24

23.（1）證明見解析；（2）5.

【分析】（1）連接利用垂徑定理，連心線與公共弦關系原理，證明△O/E三即

可；

（2）利用△。2EO|s△。2CA即可解答.

【詳解】（1）OQ和OQ相交于A、B兩點，

.??4。2是人8的垂直平分線，

??.zO1CA=90°,

???E為AD的中點，

???OxE1AD,

.?"EA=90。，

.?.NQCA=NOIEA,

答案第13頁，共21頁

如圖，連接。/

???AE=AC,QA=qA

??.△O/ESO/C,

??OE=qc.

(2)VOJEIAD,

.?2。氏。2=90。，

在RtaQEa中，NQEQ=90。，QO?=10,QE=6,

22

OtE+O2E=OQ；,

.-.O^2=102-62,

QE=8,

■■■Z-O^EO-,=ZO2CA=90°,X.O2—Z,O2,

.-.△□JEO^AOJCA,

ACAO2

op,,

■：OXO2=10,AC=AE=CE—。2A=8—A。?，QE=6,

8-40、AO,

610

AO2=5,

即。。2的半徑長為5.

答案第14頁，共21頁

故答案為5.

【點睛】本題考查圓，圓與圓的位置關系，三角形的相似，勾股定理，熟記圓垂徑定理，連

心線與公共弦的關系定理，三角形相似判定定理是解題的關鍵.

483

24.(l)y=--x~2+-X+4

(2)①EF=EB,證明見解析；②[

【分析】(1)將拋物線的解析式可以寫成y=”(x+l)(x-3)的形式，與了="2+加+4對比

即可求出0,6的值，進而求出拋物線的表達式；

(2)①畫出大致圖形，證明點8是。G與內切時的切點，即可得到所=班；②設點

F的坐標為]機,-3川+g加+4,用含m的代數式分別表示出所和EB,列等式即可求出m

的值.

【詳解】(1)解：???拋物線廣辦2+瓜+4與x軸相交于點”(TO),8(3,0),

???拋物線的解析式可以寫成y=a(x+l)(x-3)的形式,

即〉=ax2-2ax一3。,

???-3a=4,-2a=b,

_48

???〃=_]，b=],

4?

???拋物線的表達式為片-京+4.

(2)解：由題意作圖如下，

答案第15頁，共21頁

??.GE是。G與。E圓心的連線，

?.?兩圓相切時，圓心的連線經過切點，

.??當。G與。E內切時，GE經過切點，

???點3是線段G￡延長線上的點，且在。G上,

.??點2是。G與。E內切時的切點，

.?.點3在以點￡為圓心，斯為半徑的。￡上,

???EF=EB,

48

②在＞=_1/+y+4中，

令x=0得y=4,

???拋物線與y軸交于點C的坐標為（0,4）,

設直線BC的解析式為y=kx+b,

將C（0,4）和8（3,0）的坐標代入，

[4=b

得｛n2,人，

[0=3左+6

6=4

答案第16頁，共21頁

4

???設直線BC的解析式為y=-§x+4.

???點尸在拋物線上，

二設點F的坐標為（加,一1?/+|加+4

由題意即/加軸，

；.點E的坐標為■加+41，

???點尸在的上方，

4g(4、4

EFm2+m+42

--=\yF-yE\=yF-yE=--~-\加+4=--m+4m,

4Wa

???拋物線y=~x2+3元+4的對稱軸為直線：x=J、=1,

33Oxz__

m>1,

vC(0,4),5(3,0),

???。。=4,08=3,

'-BC=y!oC2+OB2=5,

.OC4

sin/OBC=-----=一,

BC5

???尸。/加軸，

???EDLOB,

./八”ED4

sin/OBC=-----=一,

EB5

sinZO5C4

???點￡在線段BC上,

%>°，

--m+4——m+5,

3，

EF=EB,

整理得，4m2-17m+15=0,

解得吟或3,

答案第17頁，共21頁

當加=3時，點區F,8重合，此時。石不存在,

故加=3不合題意，應舍去，

5

：.m=—,

4

當機時，力=_然償1+久僅〕+4=0,

43⑷3⑷4

521

二求點F的坐標為

45T

【點睛】本題考查求一次函數、二次函數的解析式，圓與圓的位置關系，二次函數圖象上點

的坐標的特征，三角函數解直角三角形等知識點，證明點2是。G與。E內切時的切點，進

而得到EF=EB是解題的關鍵.

25.

⑵41—1

⑶等

【分析】(1)連接08,過點。作。〃工8C,垂足為由圓周角定理可得NMO8=90。，

進而可得N8=W，再證明根據sin/480=sin/B0〃，可得空="，

ABBO

即可求解；

Of)°_zy

(2)連接OC,設ZCON=a,貝|NCNO=NNCO=----------,ZCOH=,

22

aary

求出/。。"=45。+上，得到/。。￡=45。-上，進而得到/ECN=45。，ZCEN=45°+-,

222

分CE=CH和CN=EN兩種情況解答即可求解；

(3)由48〃0〃〃CE可得里=三=1,進而得到/。=。￡,可證明△/OP三△E。。，

BHAO

得到QZ=Z)￡,AO=OE=x,AP=ED=y,則45=3歹，AE=2x,證明△4Q5

-AEDA,得到當，即可得到2尤2=3/,由勾股定理8C=/Z)=石即可求解.

EDAE

【詳解】(1)解：連接。8,過點。作0"13C,垂足為“，

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,??點5是前中點,

???/MOB=-ZNOM=lxl80°=90°,

22

-MN=6,

OM=ON=OB=-MN=3,

2

.'.OA=OM-AM=3-2=1,

??AB=yloA2+OB2=A/12+32=Vio，

?.?矩形/BCD,

???AB