專題07銳角三角函數(shù)

考點類型

考點1：銳角三角函數(shù)定義

模塊四圖形的性質(zhì)

07講銳角三角函數(shù)

考點11：解直角三角形應(yīng)用——實踐建模

考點6：同角三角函數(shù)關(guān)系

匚，^知識一遍過

(-)銳角三角函數(shù)

在RtZiABC中，ZC=90°o則/A的三角函數(shù)為

定義表達式取值范圍關(guān)系

.4NA的對邊.Aa

正弦sinA=-------------smA=—0<sinA<lsin/二cosB

斜邊c

cos/=sin8

.NA的鄰邊.bsin2A+cos2A=l

余弦cosA=----7--：-----cosA=—0<cosA<l

斜邊c

f.NA的對邊Aa,sinA

正切tanA=------人、1tanA=—tanX>0tanA=------

NA的鄰邊bcosA

(二)特殊角三角函數(shù)

三角函數(shù)30°45°60°

j_亞與

sin。

2T~T

cosaV34i

~T~T2

旦

tan。1V3

3

（三）直角三角形邊角關(guān)系

設(shè)在RtZXABC中，ZC=90°,NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c,則有:

①三邊之間的關(guān)系：1+式=/（勾股定理）.

②銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°.

邊角之間的關(guān)系：

..?a..?b.a?b

sinA=cos￡?=—,cosA=sine=—tanA=—,tan/j=—

ccba

S^ABC=gab=：ch,h為斜邊上的高.

（四）解直角三角形常見類型及解法

已知條件解法步驟

,a

由tanA二一，求NA；

b

兩直角邊（a,b）ZB=90°-ZA；

c=Va2+b2

兩

邊

由sinA二一，求NA；

c

斜邊，一直角邊（如c,a）ZB=90°—NA；

b=Vc2-a2

BZB=90°-ZA,

a銳角、鄰邊b

a=b-tanAc-

（如/A,b）cosA

Cb八一直角邊

RtAABC

邊和一銳角

NB=900-ZA,

銳角、對邊

aia

（如NA,a）c=------，b=-------

角sinAtanA

ZB=90°-ZA,

斜邊、銳角（如c,ZA）

a=c-sinA,b=cco&4

（五）解直角三角形的應(yīng)用舉例

（1）坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母a表示.

h

坡度（坡比）：坡面的鉛直高度h和水平距離/的比叫做坡度，用字母，表示，貝收=—=tana,如圖,

坡度通常寫成，="：/的形式.

IT

（2）仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，

如圖.

/視線

眼睛^----水平線

、視線

（3）方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA,

PB,PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

北|北

①②

（4）方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標

方向線OA,OB,0C,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60°.特別如：

東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是

北偏西45°

亳7考點一遍過

考點1:銳角三角函數(shù)定義

典例1：（2024上?湖南婁底?九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，ZC=90°,a、b、c分別為Nd、NB、NC的對邊,

下列各式成立的是（）

A.sinS=-B.cosB--C.tanB=2D.tanB=-

ccba

【變式1】（2024上?河北唐山?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在A/IBC中，^ACB=90°,CDVAB,下列用線段

比表示cos力的值，埼送的是（）

AA.—ADD嚏

ACc*

【變式2］（2022上?上海浦東新?九年級校考階段練習(xí)）在Rt△4BC中，乙B=90°,BC=a,那么43等于（）

A.a-tan?!B.a-cotAC.馬Dr.--a-

sm4cosA

【變式3］（2024上?福建泉州?九年級統(tǒng)考期末）在ABC中，"=90。，那么下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.BC=—B.BC=AB?sinA

tanA

C.AB=—D.AC=BC-tanB

C0Si4

【變式4］（2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考模擬預(yù)測）在△ABC中，乙4=35°,乙B=55°,BC=5,

則邊的長是（）

A-募B.5cos550C.5tan55°D.5sin55°

【變式5］（2023下?山東濟南?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在△ABC中，NC=90。，設(shè)乙4、Z.B,NC所對的邊分別

為a,b,c,則下列各項正確的是（）

B.a—btanAC.b=csinAD.b=ctanA

考點2：特殊角三角函數(shù)值

典例2：（2024上?河南商丘?九年級校聯(lián)考期末）已知實數(shù)。=tan30。，b=cos60°,c=sin45°,則下列判

斷正確的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

【變式1］（2023?湖南婁底?統(tǒng)考一模）定義一種運算:cos（a+￡）=cosacosS-sinasinS，cos（a—/?）=

cosacosy?+sinasin，.例如：當a=60。，/?=45。時，cos(60。-45。)=[xj+Jx曰=史?^,則cos75。的

值為（）

A連+企V6-V2C展短D連+企

D.-------------

?44.2?2

【變式21（2019上?廣東梅州?九年級廣東梅縣東山中學(xué)校考期末）在AaBC中,N4NB都是銳角，且sinA=當

cosB貝"△ABC是().

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

【變式3］（2023上?遼寧盤錦?九年級校考期末）在△ABC中，乙4、NB均為銳角，且|tanB-遮|+

2

（2cos71-V3）=0,貝必43（7是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【變式4］（2024上?湖南張家界?九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，若回8=90。，sinA=之則NC的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【變式5］（2023上?河南洛陽?九年級統(tǒng)考期末）下列計算錯誤的個數(shù)是（）

（l）sin60o—sin30°=sin30°；②sin245°+cos245°=1；（3）（tan600）2=|；④tan30°=

A.1個B.2個C.3個D.4個

考點3:銳角三角函數(shù)增減性

典例3：（2023?上海靜安?校考一模）如果0。<n4<60。，那么sin力與cosd的差（）.

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

【變式1】（2023上?福建泉州?九年級校考期中）三角函數(shù)sin40。、cosl6°,tan50。之間的大小關(guān)系是（）

A.tan50°>cosl6°>sin40°B.cosl6°>sin40°>tan50°

C.cosl6°>tan50°>sin40°D.tan50°>sin40°>cosl6°

【變式2］（2023?甘肅張掖?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若0。<a<90°,則下列說法不正確的是（）

A.sina隨a的增大而增大B.cosa隨a的減小而減小C.tana隨a的增大而增大

D.0<sina<l

【變式31（2023上?黑龍江大慶?九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）已知：<cosa<sin80。,則銳角a的取值范圍是（）

A.30°<a<80°B.10°<a<80°C.60°<a<80°D.10°<a<60°

考點4:解直角三角形一一直接法

典例4：（2023上,山東煙臺?九年級統(tǒng)考期中）在以△ABC中，NC=90。，a,hc分別是乙4,NB,NC的對邊.若

a=?b=后,試解這個直角三角形.

【變式1］（2023上?江蘇徐州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，"=90°,點。在4C上，乙BDC=

45°,BD=10V2,AB=20.求sinA的值.

【變式2］（2023上?山東青島?八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知在RtAABC中，ZC=90°,sin/ABC=3點

。在邊BC上，BD=6,連接A￡),tan皿1C=|.

⑴求邊力C的長;

(2)求tan/BAD的值.

【變式31（2023上?安徽滁州?九年級校考階段練習(xí)）在4ABC中，乙4,和“所對的邊長分別為a,b,c/C=

90°.若N4—48=30。,（1+匕=4+4值，解這個直角三角形.

考點5：解直角三角形一一化斜為直

典例5：（2023上?安徽六安?九年級校考階段練習(xí)）如圖，在AABC中，乙4=30。28=45。,8c=3&.

c

⑴求力c的值.

⑵求△ABC的面積（結(jié)果保留根號）

【變式1］（2023上?安徽六安?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△力BC中，ZB=30°,sinC=AC=10.

⑴求4B的長；

（2）求△ABC的面積（結(jié)果保留根號）.

【變式2］（2023上?重慶,九年級重慶實驗外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，在RtAABC中，^ABC=90°,

點。為BC的中點，DE12C于點E,連接BE.已知DE=2.

(1)若tanC=5求4B的長度;

(2)若NC=30°,求sin/BEA.

【變式3］（2023?河南許昌?校考一模）如圖，AD是EIABC的高，cosB=亨,sinC=|,"=10,求0A2C的

周長.

A

考點6：同角三角函數(shù)關(guān)系

典例6：（2023上?河南鶴壁?九年級校考期中）已知tana=*a是銳角，貝!Jsina的值是（）

A13-12-5r12

A.—B.—C.—D.—

513135

【變式1］（2023上?全國?九年級專題練習(xí)）已知4為銳角，tanA=；,則sinA的值為（）

4

3-4-4-5

AA.-B.-C."D.—

5533

【變式2］（2023上?浙江寧波?九年級校考期中）在RtAABC中，ZC=90。，CD是4B邊上的高，如果4。=m,

ZX=a,那么BC的長為（）

“.cmcosa

A.m-tancr-cosaB.---------

tana

.m-tana~mtana

C.--------D.---------

cosasina

【變式3］（2023上?四川廣元?九年級校考階段練習(xí)）在RtUBC中，ZC=90°,若cosA=*貝UtanA的值

為（）

212

A

B--

313

考點7：互余兩角三角函數(shù)關(guān)系

典例7：（2022?福建南平?統(tǒng)考二模）如圖，將矩形ABC。放置在一組等距的平行線中，恰好四個頂點都在平

行線上，已知相鄰平行線間的距離為1,若乙DCE=6,則矩形A2C。的周長可表示為（）

【變式11（2022上?河南南陽?九年級南陽市第十三中學(xué)校校考期末）在448c中，ZC=90°,如果sinA=|,

那么cosB的值等于（）

【變式2］（2019上?山東威海?九年級統(tǒng)考期中）如圖，sina=|,則cos/?等于（）

【變式3］（2019?安徽宿州?統(tǒng)考一模）在RtAABC中，ZC=90°,若tcmA=三，貝UcosB=（）.

4

34

A.B.c.D.

455

考點8：解直角三角形應(yīng)用一一仰角俯角

典例8：（2023上?吉林長春?九年級統(tǒng)考期末）榕榕在"測量教學(xué)樓高度”的活動中，設(shè)計并實施了以下方案:

課題測量教學(xué)樓高度

A

*

rVi

r1TLi

rVn

rVi

圖示rVi

r1TL

rVi

舛

DB

測得數(shù)據(jù)CD=6.9m,AACG=22°,乙BCG=13°

sin22°q0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40,

參考數(shù)據(jù)

sinl3°?0.22,cosl3°?0.97,tanl3°?0.23.

請你依據(jù)此方案，求教學(xué)樓的高度（結(jié)果保留整數(shù)）.

【變式1］（2024上?安徽合肥,九年級統(tǒng)考期末）"時代之舞，夢想領(lǐng)航"，合肥駱崗中央公園全向信標臺成為

合肥新地標.小麗同學(xué)想要通過測量及計算了解信標臺CD的大致高度，如圖1,當他步行至點A處，測得

此時臺頂C的仰角為45。，再步行20米至點B處，測得此時臺頂C的仰角為56。（點A,B,￡＞在同七、一

條直線上），請幫小麗計算信標臺CD的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin56。?0.83,cos56°?0.55,tan56°?1.50,

結(jié)果保留整數(shù)）

圖1

【變式2］（2024上?安徽亳州,九年級統(tǒng)考期末）如圖，無人機在A點測得大樓CD的頂端。的仰角為63.4。,

在8點測得底端C的俯角為53.1。，還測得BC兩點間的距離為20米，已知ZBIICD,=12米，求大樓高

度CD.參考數(shù)據(jù)：sin53.1°-0.80,cos53.1°~0.60,tan53.1°?1.33,sin63.4°-0.89,cos63.4°?0.84,

tan63.4°?2.00.

D

軍過3.1。

A

；63.4

L______。_'、、

c

【變式3］（2023上?陜西寶雞?九年級統(tǒng)考期末）如圖，某商場大廳階梯式扶梯48的傾斜角為30。，48的長

為10m,商場為方便消費者購物，準備將原來的階梯式扶梯改造成斜坡式扶梯，改造后的斜坡式扶梯的坡

角N4DB=14°,求改造后的斜坡式扶梯水平距離增加的長度BD.（結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù)：sinl4°~0.24,

cosl4°?0.97,tanl4°-0.25,V3-1.73)

DR

考點9：解直角三角形應(yīng)用一一方位角

典例9：（2023上?廣西來賓?九年級統(tǒng)考期末）由我國完全自主設(shè)計，自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5

月成功完成首次海上試驗任務(wù).如圖，航母由西向東航行，到達B處時，測得小島A在北偏東60。方向上,

航行20海里到達C點，這時測得小島A在北偏東30。方向.

（1）求線段4C的長度；

（2）若小島A周圍10海里內(nèi)有暗礁，如果航母不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁危險？請說明理由.

【變式1］（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）如圖，一艘輪船以每小時30海里的速度自東向西航行，在4處測得小

島P位于其西北方向（北偏西45。方向），2小時后輪船到達B處，在B處測得小島P位于其北偏東60。方向.求

此時船與小島P的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,V3?1.732）.

【變式2］（2024上?重慶北倍?九年級西南大學(xué)附中校考期末）金秋十一月，陽光大草坪4BCD正處于草坪養(yǎng)

護階段，如圖為草坪的平面示意圖.經(jīng)勘測，入口8在入口A的正西方向，入口C在入口8的正北方向，

入口D在入口C的北偏東60。方向400m處，入口D在入口A的北偏西45。方向1000m處.（參考數(shù)據(jù)企?

1.41,V3?1.73)

北

⑴求4B的長度；（結(jié)果精確到1米）

⑵小明從入口。處進入前往M處賞花，點〃在4B上，距離入口8的500m處.小明可以選擇鵝卵石步道

@D-C-B-M,步行速度為50m/min,也可以選擇人工步道②。—4-M,步行速度為60m/min,請

計算說明他選擇哪一條步道時間更快？（結(jié)果精確到O.lmin）

【變式3］（2024上?遼寧阜新?九年級統(tǒng)考期末）如圖，某漁船沿正東方向以30海里/小時的速度前行，在A

處測得島C在東北方向，20分鐘后漁船航行到8處，測得島C在北偏東30。方向，已知該島C周圍25海里

內(nèi)有暗礁，（參考數(shù)據(jù)：V3~1.732,V2~1.414,sin75°?0.966,cos75°~0.259.）

⑴如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？請說明理由.

（2）如果漁船在B處改為向東偏南15。方向航行，有無觸礁危險？說明理由.

考點10：解直角三角形應(yīng)用一一坡比

典例10：（2024上?安徽六安?九年級統(tǒng)考期末）如圖，某人在山坡坡腳4處測得電視塔尖點C的仰角為60。,

沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為45。，已知。4=100米，山坡坡度（豎直高度與水平寬度的比）i=

1:2,且。、4、B在同一條直線上，求此人所在位置點P的鉛直高度PB.（測傾器高度不計，結(jié)果保留根號

形式）

圖1圖2

【變式1］（2024上?廣東茂名?九年級統(tǒng)考期末）某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量建筑物CD的高度，先在斜坡4B

的底部4測得建筑物頂點C的仰角為31。，再沿斜坡4B走了39m到達斜坡頂點8處，然后在點B測得建筑物頂

點C的仰角為53。，已知斜坡4B的坡度”1:2.4.（參考數(shù)據(jù)：tan53°~$tan31°~|）

⑴求點B到地面的高度;

（2）求建筑物CD的高度.

【變式2］（2023上?山東棗莊?九年級滕州育才中學(xué)校考階段練習(xí)）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)

用的知識后，嘗試利用所學(xué)知識測量河對岸人樹力B的高度，他在點C處測得大樹頂端力的仰角為45。，再從C

點出發(fā)沿斜坡走4VIU米到達斜坡上。點，在點。處測得樹頂端4的仰角為30。，若斜坡CF的坡比為，=1:3（點

E、C、B住同一水平線上）.

⑴求王剛同學(xué)從點C到點。的過程中上升的高度;

（2）求大樹48的高度（結(jié)果保留根號）.

【變式31（2024上?上海崇明?九年級統(tǒng)考期末）如圖，某校九年級興趣小組在學(xué)習(xí)了解直角三角形知識后，

開展了測量山坡上某棵大樹高度的活動.已知小山的斜坡的坡度i=1:百，在坡面。處有一棵樹4D（假

設(shè)樹2。垂直水平線BN）,在坡底B處測得樹梢A的仰角為45。，沿坡面BM方向前行30米到達C處，測得

樹梢A的仰角N4CQ為60。.（點8、C、。在一直線上）

⑴求A、C兩點的距離；

（2）求樹2D的高度（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：75=1.732）

考點11:解直角三角形應(yīng)用一一實物建模

典例11：（2024上?湖南常德?九年級統(tǒng)考期末）常德市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖

①是某品牌共享單車放在水平地面上的實物圖，圖②是其示意圖，其中力B、CD都與地面2平行，車輪半徑

為32cm/BCD=64。，BC=60cm,坐墊E與點B的距離B