專題07銳角三角函數

考點類型

考點1：銳角三角函數定義

模塊四圖形的性質

07講銳角三角函數

考點11：解直角三角形應用——實踐建模

考點6：同角三角函數關系

匚，^知識一遍過

(-)銳角三角函數

在RtZiABC中，ZC=90°o則/A的三角函數為

定義表達式取值范圍關系

.4NA的對邊.Aa

正弦sinA=-------------smA=—0<sinA<lsin/二cosB

斜邊c

cos/=sin8

.NA的鄰邊.bsin2A+cos2A=l

余弦cosA=----7--：-----cosA=—0<cosA<l

斜邊c

f.NA的對邊Aa,sinA

正切tanA=------人、1tanA=—tanX>0tanA=------

NA的鄰邊bcosA

(二)特殊角三角函數

三角函數30°45°60°

j_亞與

sin。

2T~T

cosaV34i

~T~T2

旦

tan。1V3

3

（三）直角三角形邊角關系

設在RtZXABC中，ZC=90°,NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c,則有:

①三邊之間的關系：1+式=/（勾股定理）.

②銳角之間的關系：ZA+ZB=90°.

邊角之間的關系：

..?a..?b.a?b

sinA=cos￡?=—,cosA=sine=—tanA=—,tan/j=—

ccba

S^ABC=gab=：ch,h為斜邊上的高.

（四）解直角三角形常見類型及解法

已知條件解法步驟

,a

由tanA二一，求NA；

b

兩直角邊（a,b）ZB=90°-ZA；

c=Va2+b2

兩

邊

由sinA二一，求NA；

c

斜邊，一直角邊（如c,a）ZB=90°—NA；

b=Vc2-a2

BZB=90°-ZA,

a銳角、鄰邊b

a=b-tanAc-

（如/A,b）cosA

Cb八一直角邊

RtAABC

邊和一銳角

NB=900-ZA,

銳角、對邊

aia

（如NA,a）c=------，b=-------

角sinAtanA

ZB=90°-ZA,

斜邊、銳角（如c,ZA）

a=c-sinA,b=cco&4

（五）解直角三角形的應用舉例

（1）坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母a表示.

h

坡度（坡比）：坡面的鉛直高度h和水平距離/的比叫做坡度，用字母，表示，貝收=—=tana,如圖,

坡度通常寫成，="：/的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角,

如圖.

⑶方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA,

PB,PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標

方向線OA,OB,0C,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60°.特別如：

東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是

北偏西45°

考點一遍過

考點1:銳角三角函數定義

典例1：(2024上?湖南婁底?九年級統考期末)在△ABC中，ZC=90°,a、b、c分別為Nd、NB、NC的對邊，

下列各式成立的是()

A.sinS=-B.cosB--C.tanF=-D.tanB=-

ccba

【答案】D

【分析】本題考查三角函數的知識，熟記正弦、余弦和正切的定義是解題的關鍵.正弦是對邊比斜邊，余

弦是鄰邊比斜邊，正切是對邊比鄰邊，據此可判斷.

【詳解】解：如下圖，

B

A.sinB=p故該選項不成立，不符合題意；

B.cosB=，故該選項不成立，不符合題意；

c.tanB=故該選項不成立，不符合題意；

a

D.tan^=故該選項成立，符合題意.

a

故選：D.

【變式1】（2024上?河北唐山?九年級統考期末）如圖，在△ABC中，Z.ACB=90°,CDLAB,下列用線段

比表示cos/的值，母送的是（）

AD?ACCD「CD

AA.—B.—C.—D.—

ACABCBAC

【答案】D

【分析】本題考查了銳角三角函數關系，正確把握銳角三角函數定義是解題關鍵.根據銳角三角函數關系

的定義分析得出答案.

【詳解】解：團在中，乙4CB=90。，CDLAB,

回乙A+Z-ACD=90°,乙ACD+乙BCD=90°,

團乙/=乙BCD,

「.ADACCD

團COS/=—=——=—.

ACABCB

團A,B,C正確，不符合題意，D錯誤，符合題意，

故選：D.

【變式21（2022上?上海浦東新?九年級校考階段練習）在內△ABC中，乙B=90。，BC=a,那么48等于（）

A.CL,tanAB.CL,cotAC.---D.---

smAC0Si4

【答案】B

【分析】畫出圖形，根據銳角三角函數的定義求出即可.

【詳解】解：如圖，

AB人

——=coM，

BC

??.AB=cot4?BC=a-cotA,

故選：B.

【點睛】本題考查了解直角三角形，掌握銳角三角函數的定義是關鍵.

【變式3]（2024上?福建泉州?九年級統考期末）在Rt2kABC中，Z.C=90°,那么下列結論中錯誤的是（）

AC

A.BC=—B.BC=AB-sinyl

tanA

AC

C.AB=—D.AC=BC-tanF

COSTI

【答案】A

【分析】此題考查銳角三角函數的定義（銳角為自變量，以比值為函數值的函數），根據直角三角形中三角

函數的求法得出答案.

【詳解】解：如圖：

A、tanA=―,貝=4C?tan4,故此選項結論錯誤，符合題意；

B、sin4=―,貝!]BC=4B?sin4故此選項結論正確，不符合題意；

AB

C、cosa=M貝必8=與，故此選項結論正確，不符合題意；

ABcos4

D、tanB=貝!J/C=8C?tanB,故此選項結論正確，不符合題意.

故選：A.

【變式4*2022,黑龍江哈爾濱?哈爾濱市蕭紅中學校考模擬預測）在△ABC中，乙4=35°,乙B=55。，BC=5,

則48邊的長是（）

A.短B.5cos55。C.5tan55°D.5sin550

【答案】A

【分析】根據三角形內角和定理可得，NC=90。，再根據三角函數的定義，求解即可.

【詳解】解：由題意可得：4C=180。一乙4一=90。，

團為直角三角形，如下圖：

B

由三角函數的定義可得，sin/=cosB=—,即sin35。=cos55°=—

可得=55

cos55°sin35°

A選項符合題意，B、C、D選項不符合題意,

故選：A

【點睛】此題考查了三角形內角和定理，三角函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義.

【變式5】（2023下?山東濟南?九年級統考階段練習）在△ABC中，ZC=90°,設乙4、乙B,NC所對的邊分別

為a,b,c,則下列各項正確的是（）

B.a=btanXC.b=csinZD.b=ctanX

【答案】B

【分析】根據正切和正弦的定義進行求解即可.

【詳解】解：團在AABC中，ZC=90°,乙4、NB,NC所對的邊分別為a,b,c,

0c=—,a—btanA,b—csinB=—,

sinFtanA

團四個選項中只有B選項符合題意;

故選B.

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數，熟知正切和正弦的定義是解題的關鍵.

考點2:特殊角三角函數值

典例2：（2024上?河南商丘,九年級校聯考期末）已知實數a=tan30°,b=cos60°,c=sin45°,則下列判

斷正確的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】分別求出各三角函數值，然后比較他們的大小即可.

本題主要考查了特殊角的三角函數值，解答本題的關鍵是熟練掌握所有特殊角的三角函數值，實數比較大

小.

【詳解】回。=tan30°=彳，b=sin45°=y,c=cos60°--

^\b>a>c.

故選:：A.

【變式1]（2023?湖南婁底?統考一模）定義一種運算：cos（a+，）=coscrcos/?—sinasin/?,cos（a—，）=

cosacos/?+sinasin/?,例如：當a=60。，￡=45。時，cos（60。-45。）=]x弓+fx弓=立寧^,則cos75。的

值為（）

V6+V20V6—A/2「V6—V2C46+42

AA.----------D.------------C.-----------L）.-------

4422

【答案】B

【分析】根據cos（a+/?）=cosacos^—sinasin/?,可以計算出cos75。的值.

【詳解】解：由題意可得，

cos75°

=cos（30°+45°）

=cos30°cos45°—sin30°sin45°

V2_iV2

=y2xx

2222

_V6_V2

44

故選：B.

【點睛】本題考查解直角三角形、二次根式的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用新定

義解答.

【變式2](2019上?廣東梅州?九年級廣東梅縣東山中學校考期末)在44BC中,N4NB都是銳角,且sinA=

cosB=|,貝！]△ABC是().

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

【答案】B

【分析】根據特殊角的三角函數值求出乙4=60。，48=60。，然后利用三角形內角和定理求出NC的度數,

即可解答.

【詳解】解：Elsiivl=',cosB-

團N/=60°,Z-B=60°,

回4c=180°一一乙8=60°,

0A是等邊三角形，

故選：B.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，熟練掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵.

【變式3】(2023上?遼寧盤錦?九年級校考期末)在△ABC中，乙4、NB均為銳角，且|tanB-何+

(2COST1-V3)=0,貝!]△人⑶0是()

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】先根據非負數的性質求出tanB與cosA的值，再根據特殊角的三角函數值求出乙4、N8的值即可.

2

【詳解】解：|tanB—V3|+(2cosA—V3)=0,

???|tanB—V3|=0,(2cos4—V3)=0,

??.tanB=V3?2coSi4—V3=0,

???AB=60°,cosX=—,NA=30°,

2

在AABC中，zC=180°-60°-30°=90°,且NA片NB,

.?.△ABC是直角三角形.

故選：C.

【點睛】本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解題的關鍵是熟記特殊角的三

角函數值，并充分利用非負數的性質.

【變式4］（2024上?湖南張家界?九年級統考期末）在△ABC中，若回8=90。，sinA=3則NC的度數是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】根據特殊角的函數值sin30°=（可得乙4度數，進一步利用兩個銳角互余求得NC度數.

此題主要考查了特殊角的函數值，以及直角三角形兩個銳角互余，熟練掌握特殊角函數值是解題的關鍵.

【詳解】HsinX=sin30°=

EBA=30",

EIZC=90°一乙4=60°

故選：C.

【變式5］（2023上?河南洛陽?九年級統考期末）下列計算錯誤的個數是（）

sin30°

①sin60。-sin30°=sin30°；②sin245°+cos245°=1(3)(tan600)2=|；(4)tan30°=

cos30°

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據特殊角的三角函數值進行運算，即可一一判定.

【詳解】解：sin60°—sin30°=fsin30°=

22

???sin60°—sin30°Wsin30°,故①錯誤;

22

sin245°+COS245°=+(y)=1，故②正確;

(tan60°)2=(V3)2=3H}故③錯誤;

4V3sm30°2我

tan3on0o°=——,-------==一

3cos30°v33

2

??530。=需故④正確;

綜上分析可知，錯誤的有2個，故B正確.

故選:B.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值的相關運算，熟記特殊角的三角函數值是解決本題的關鍵.

考點3：銳角三角函數增減性

典例3（2023?上海靜安?校考一模）如果0。<乙4<60。,那么sinA與cosZ的差（）.

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

【答案】D

【分析】利用銳角三角函數的增減性分類討論，即可得到答案.

【詳解】解：當0。<乙4<45。時，45°<90°-ZX<90°,

???sin4<sin（90°-/.A）,

sinA<cosA,

???sinA—cos>l<0；

當乙4=45。時，90。一乙4=45。，

sinZ=sin（90°—Z.A）,

sinX=cos/,

???sinA—COST4=0；

當45。<Z.A<60°,30°<90°-Z.A<45°,

???sinA>sin（90°—乙4）,

???sinA>cosA,

???sinA—cosA>0,

綜上所述，sin/與cosA的差不能確定，

故選：D.

【點睛】本題考查了銳角三角函數的增減性，解題關鍵是掌握在0。?90。之間（不包括0。和90。），角度變大，

正弦值、正切值也隨之變大，余弦值隨之變小.注意分類討論.

【變式1］（2023上?福建泉州?九年級校考期中）三角函數sin40。、cosl6。、tan50。之間的大小關系是（）

A.tan50°>cosl6°>sin40°B.cosl6°>sin40°>tan50°

C.cosl6°>tan50°>sin40°D.tan50°>sin40°>cosl6°

【答案】A

【分析】首先把sin40。、8s16。轉換成相同的銳角三角函數；再根據正弦值是隨著角的增大而增大，進行分

析，可以知道I>sin74o>sin40。，又根據正切值隨著角度增大而增大，因止匕tan5（）o>tan45。=1,即可得出

正確選項.

【詳解】解：Esina=cos(90°—cr)(0<a<90°),

0cosl60=sin(90°—16°)=sin74°,sin90°=1

01>sin740>sin4O0,

0tan5O0>tan45°=1,

0tan5O0>sin74°>sin40°,

0tan5O0>cosl60>sin40°,

故選：A.

【點睛】本題考查三角函數值的大小比較，掌握正余弦的轉換方法：一個角的正弦值等于它的余角的余弦

值；以及正余弦值、正切值的變化規律是本題的關鍵.

【變式2](2023?甘肅張掖?統考模擬預測)若0。<a<90°,則下列說法不正確的是()

A.sina隨a的增大而增大B.cosa隨a的減小而減小C.tana隨a的增大而增大

D.0<sina<l

【答案】B

【分析】如圖，作半徑為1的O。,。。CD,EF均為直徑，BH1OC.AG10C,4,8都在。。上，利用

銳角三角函數的定義分析可得答案.

【詳解】解：如圖，作半徑為1的O0,CD1EF,CD,EF均為直徑，BH1OC,AG10C,

4B都在0。上，

0A=OB=1,

由sinNB。"=—=BH,sinzAOG=—=AG,

OBOA

顯然，4B0H(乙AOG,而BHC4G,

所以當0。<a<90。時，sina隨a的增大而增大，故A正確;

同理可得：

當0。<仇<90。時，cosa隨Q的減小而增大，故B錯誤；

當0。<仇<90。時，tana隨a的增大而增大，故C正確；

當a=z_/0G,當點/逐漸向F移動，邊/G逐漸接近。4,

???sincr=sin乙40G=絲逐漸接近1.

0A

當0。<戊<90。時，0<sina<l,故D正確；

故選B.

【點睛】本題考查的是銳角的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函數的增減性是

解題的關鍵.

【變式3X2023上?黑龍江大慶?九年級校聯考開學考試）已知］<cosa<sin80。,則銳角a的取值范圍是（）

A.30°<a<80°B.10°<a<80°C.60°<a<80°D.10°<a<60°

【答案】D

【分析】根據特殊角的三角函數值，|=cos60°,sin80。=coslO。，再由余弦函數值在銳角范圍內，隨角度

增大而減小即可得到答案

【詳解】解："|=cos60°,sin80°=cosl0°,

.,.由1<cosa<sin80°可得cos60°<cosa<cosl0°,

???在銳角范圍內，余弦函數值隨著角度的增大而減小，

?-?10°<a<60°,

故選：D.

【點睛】本題考查利用特殊角的三角函數值及余弦函數的性質比較角度大小，熟練掌握特殊角的三角函數

值性質是解決問題的關鍵.

考點4：解直角三角形一一直接法

典例4：（2023上?山東煙臺?九年級統考期中）在Rt△力BC中，ZC=90°,a,hc分別是乙4,乙8NC的對邊.若

a=V5,b=V15,試解這個直角三角形.

【答案】c=2V5,Z4=30°,ZS=6O°

【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數，解題關鍵是熟記特殊角的三角函數值.由勾

股定理可得c=2遍，由乙4的正切值即可求解.

【詳解】解：在ABC中，

???a2+b2=c2,a-V5,b=V15

...c=J（V5）2+（V15）2=2V5

aV5V3

???tan/=—=—==——

6底3

4=30°,

???NB=90°-"=90°-30°=60°.

【變式11（2023上?江蘇徐州?九年級校聯考階段練習）如圖，在△ABC中，NC=90。，點。在AC上，上BDC=

45°,BD=10V2,AB=20.求sinA的值.

【答案】|

【分析】本題主要考查了解直角三角形，先解RtABCD得到BC=10,再解RtAABC可得sin4=箓=也

【詳解】解：RtABCD中，ZC=90°,ZFDC=45°,BD=10V2,

0BC=BD-sinzBDC=10>/2X—=10,

2

在RtzkZBC中，ZC=90°,AB=20,BC=10,

BC

團m?41

sin4=A——B=2

【變式2］（2023上?山東青島?八年級校聯考期中）如圖，已知在RtAABC中，Z.C=90。，sin/ABC=|,點

。在邊BC上，BD=6,連接A。，tan^DAC=|.

A

⑴求邊ac的長；

(2)求tanNBAD的值.

【答案】⑴9

【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，理解三角函數的定義和作出輔助線是解題關鍵.

(1)設力C=3x,根據sinN力=可求出4B長度，再根據勾股定理可求出BC長度，即可得到CD長，最

后由tanN04C=|,可解出尤的值.即得到4C長.

(2)作DE_L力B于點E,由sinN4BC=|,可求出DE長，再由勾股定理可求出BE,繼而得到4E長，即可求

出tanM/O.

【詳解】(1)解：設AC=3x,

在Rt△力BC中，sinz/lBC=—=即三=三，

AB5AB5

24B=5x.

回"=90°,

團=y/AB2—AC2=J(5%/一(3%—=4%,

BCD=BC—BD=軌-6,

在Rt^ADC,tan^DAC即心=匕

AC33x3

解得％=3,

經檢驗％=3,是該分式方程的解.

團4c=3x3=9.

(2)解：如圖所示，過點。作于點石,

A

在RtADEB中，sinB="=三，

BD5

^DE=-BD=—,

55

0BF=VBD2-DE2=J62-（當了=F，

由（1）知力B=5x=15.

24m

團4E=AB-BE=15--=—,

55

18

EltanzBTlD=空=善=旦

AE—17

5

【變式3］（2023上?安徽滁州?九年級校考階段練習）在^ABC中，乙4,N8和NC所對的邊長分別為a,b,c,zC=

90°.若Nd—NB=30。,。+6=4+4舊，解這個直角三角形.

【答案】a=4V6=4,c=8.

【分析】本題主要考查了解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握三角形內角和定理，三角函數的定義.先

根據三角形內角和定理求出乙4=60。,48=30。，根據直角三角形性質得出c=2b,根據三角函數定義得出

a=y/3b,最后根據a+b=4+4次求出三邊長即可.

【詳解】解：在AABC中，NC=90。，

NA+NB=90°.

又zA-z5=30°,

???乙4=60°,NB=30°,

???c=2b,

.a

vtanZ=一，

b

???a—tanA?b-tan60°?b=yj3b.

a+b=4+4V3,即+b=4+4A/3,

解得b=4,

則。=4V3,

???c=2b=2x4=8.

考點5：解直角三角形一一化斜為直

典例5：(2023上?安徽六安?九年級校考階段練習)如圖，在AABC中，乙4=30。/8=45。,8。=3或.

⑴求4c的值.

(2)求△2BC的面積(結果保留根號)

【答案】(1MC=6

(2)AABC的面積為里|三

【分析】本題考查了解三角形，解題關鍵是構造出直角三角形.

(1)過點。作。。14B于點D,構造出兩個直角三角形，再根據所給條件直接求解即可;

(2)利用勾股定理及三角形面積求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，過點C作CO1B于點D.

在RtABCD中，NB=45。，BC=3近,

■■■BD=BC?cos45°=3^/2xJ=3,

???CD=BD=3,

在Rt△4C0中，

???乙4=30°,

AC=6；

(2)解：由(1)知：在RtAZCO中，AC=6,CD=3,

AD=V62-32=3V3,

???ABAD+BD3V3+3

C1AC9A/3+9

S^ABC=5xABxCD=---.

【變式1](2023上?安徽六安?九年級統考階段練習)如圖，在△ABC中，NB=30。，sinC=熹AC=10.

⑴求4B的長；

⑵求△ABC的面積(結果保留根號).

【答案】⑴48=12

(2)24+18V3

【分析】本題考查了解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

(1)過點A作力D1BC,垂足為Q,在RtAACD中，利用銳角三角函數的定義求出4D的長，從而求出4B的

長；

(2)利用銳角三角函數的定義和勾股定理分別求出BD和CO的長，從而求出BC的長，然后利用三角形的面

積公式即可求出答案.

【詳解】([)解：過點4作4。，于。.

在Rt△4(?￡)中，

ADQ

vsinC=—=AC=10,

AC5

???AD=6,

團在Rt/X/BD中，=30°,

??.AB=2AD=12；

(2)團在RtAABD中，cos30°=

：.8。=12x孚=6V3,

在Rt△ACD中，根據勾股定理CD=V102-62=8,

BC=8+6-^3,

48c的面積=|x6x(8+6V3)=24+18V3.

【變式2](2023上?重慶?九年級重慶實驗外國語學校校考開學考試)如圖，在RtAABC中，N4BC=90。,

點。為8c的中點，。￡114。于點￡,連接8E.已知。E=2.

(1)若tanC=2，求2B的長度;

(2)若NC=30°,求sin/BEA.

【答案】⑴歷

【分析】(1)根據tanC=(,得到ACDE中各邊長的比值關系，計算出C。的長度，根據中點的性質得到BC的

長度，最后再用tanC=與十算出即可.

(2)過點B作BHLAC于點H,根據4c=30。，DE=2,算出CD的長度，根據中點的性質得到BC的長度,

就可以算出和CH的長度，得到HE的長度，勾股定理算出8E,即可得到結論.

【詳解】(1)DEA.AC,

???4DEC=90°,

tanC=DE=2,

2

tDE_1

,?CE-2’

BCE=2DE=4,

??.CD=2A/5,

???點。為BC的中點，

BC=2CD=4V5.

在RtZk/BC中，tanC=1,

AB_1

Jt.=一,

BC2

AB—2A/5.

(2)過點B作14C于點H,

???ZC=30°,DE=2,

???CD=4,CE=2V3,

???點。為BC的中點，

BC=2CD=8,

在RtABHC,ZC=30°,

BH=4,CH=4V3,

???EH=CH-CE=2V3.

由勾股定理得：BE=2V7,

.,..BH42由

???smZ.DBCEA=—=—p———,

BE2V77

【點睛】本題考查了解直角三角形，主要利用銳角三角函數值，勾股定理進行長度計算，理解銳角三角函

數的含義，并能運用到題目中是解題關鍵.

【變式3］（2023?河南許昌?校考一模）如圖，是EIABC的高，cosB=今sinC=|,"=10,求EIABC的

周長.

【分析】根據sinC=|,求出40=6,根據cosB=苧，求出BD=AD=6,AB=6VL再根據勾股定理求

出C。=8即可求周長.

【詳解】解：在RtAACD中，sinC=￡

3

團sinC=AC=10,

_340e/

^r1-=_,AylD=6,

團在RtAABD中，COSB=￥

團4B=45°,即=Z.B=45°,

也BD=AD=6,

EL4B=y/BD2+AD2=6近,CD=y/AC2-AD2=8,

EBA8C的周長為A8+AC+8r>+Cn=6&+10+6+8=24+6位.

【點睛】本題考查了解直角三角形，解題關鍵是熟練運用三角函數知識解直角三角形.

考點6：同角三角函數關系

典例6：（2023上?河南鶴壁?九年級校考期中）已知tana=裔，a是銳角，貝Usina的值是（

A13C

A-T-卷D請

【答案】C

【分析】利用銳角三角函數的定義和勾股定理，求出各條邊的長，再求出答案.

【詳解】解：如圖，在RA1BC中，EC=90°,EL4=a,

由于tana=器=*因此設BC=5k,則AC=12k,

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=7(12fc)2+(5fc)2=13fc,

「.BC5k5

團sina=——=——=——

AB13k13

故選C.

【點睛】本題考查銳角三角函數的定義，利用勾股定理求出各條邊的長是解決問題的關鍵.

【變式1】（2。23上?全國?九年級專題練習）己知4為銳角，tana/則sinA的值為（）

A-1C-1D-1

【答案】A

【分析】首先根據題意設RtAABC中NC=90。，乙4、乙B、NC對應邊分別為a、b、c,然后根據條件求解

a、b、c,再結合正弦函數的定義求解即可.

【詳解】解：設RtAABC中NC=90。，乙4、NB、NC對應邊分別為a、b、c,

貝！JsinA=ptan4=（和a?+b2=c2,

3

0tanX=

4

膻=三，

b4

設a=3%,貝肪=4x,

由。2+人2=02,得c=5%,

團sin4=-=

c5

故選：A.

【點睛】本題考查同角三角函數之間的關系，理解基本三角函數的定義，熟練轉換是解題關鍵.

【變式2］（2023上?浙江寧波?九年級校考期中）在RtAABC中，乙C=90。，CD是4B邊上的高，如果4D=m,

ZX=a,那么BC的長為（）

“cmcosa

A.m-tana-cosaB.-----

tana

_m-tana~mtana

C.-----D.———

cosasina

【答案】c

【分析】本題考查了解直角三角形，根據條件可得CD=m-tana,ABCD=a,再根據cos/BCD=鄉=巴磬

BCBC

即可求解.

【詳解】解：團在中，ZC=90°,是邊上的高，AD=m,=a,

CDCD

團tana=—=—，

ADm

團CO=m?tana,

^ACB=乙4+=90°,Z.BDC=ZB+乙BCD=90°,LA=a,

^1Z.BCD=a,

riccnCDTTitana

國cos乙BCD=—=-----

BCBC

口口?ntana

即cosa=-----

BC

mtana

wc=cosa

故選：c.

【變式3］（2023上?四川廣元?九年級校考階段練習）在RtAABC中，ZC=90°,若cosA=5，貝！Jtan力的值

為。

A.—B.—C.-D.—

125313

【答案】B

【分析】根據cos4=*設4C=5K,4B=13/，根據正切的定義，即可得答案.

【詳解】解:由題意，得cos4=*

故設/C=5x,AB=13%,

則=7AB2-BC?=12%,

BC12%12

tan/=――=——=-

AC5x5

故選：B.

【點睛】本題考查三角函數的定義以及勾股定理，設/C=5xfAB=13、是解題關鍵.

考點7：互余兩角三角函數關系

典例7：（2022?福建南平?統考二模）如圖，將矩形ABCO放置在一組等距的平行線中，恰好四個頂點都在平

行線上，已知相鄰平行線間的距離為1,若乙DCE=0,則矩形ABC。的周長可表示為（）

三cE

A-2島+矗）B.2扁+品

C-2島+高）D.2島+品

【答案】B

【分析】構造直角三角形，運用三角函數的定義求得線段BC和。的表達式,進而求得矩形的周長.

【詳解】解：如圖，過。作。地CE于點尸，過3作3面CE于點G,

A

GCFE

^ADFC=90°,乙DCE=B，DF=2,

~sin--sin.'

團矩形ABCDf

^BCD=90°,

團NBCG+乙DCF=90°,

回乙BGC=90°,

團乙GBC+4BCG=90°,

團匕BCG+乙DCF=90°,

⑦匕DCF=乙GBC=S，

^Z.BGC=90°,乙GBC=B，BG=5,

⑦BC=黑=三，

cospcosp

團DC=黑=M，

sm/3sin/?

團矩形ABCD的周長為2（BC+DC）=2（癮+品）

故選：B.

【點睛】本題考查了三角函數的定義，構造直角三角形，運用三角函數的定義求相應線段的表達式是解題

關鍵.

【變式1】（2022上?河南南陽，九年級南陽市第十三中學校校考期末）在A/IBC中，NC=90°,如果sinA=|,

那么cosB的值等于（）

【答案】A

【分析】根據乙4+=90。得出cosB=sinA,代入即可.

【詳解】解：如下圖,

0ZC=90。,sin/=

又團乙4+=90°,

0cosB=sinA—一.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了互余兩角三角函數的關系，解題關鍵是掌握互余兩角三角函數的關系，即已知乙4+

Z-B=90°,能推出sin/=cosB,cosA=sinB,tanA=cotB,coM=tanB.

【變式2］（2019上?山東威海?九年級統考期中）如圖，sina=|,則cos￡等于（）

【答案】A

【分析】根據sina=|可以知道筮再根據AC=OB,即可求出cos0.

【詳解】

如圖，作CA取軸，BCEly軸，所以sina="嚷，，因為cos￡=*,OB=AC（均是點C縱坐標），所以

3/?=器=祭=|,故答案選擇A.

【點睛】本題考查的是銳角三角函數和坐標軸的結合，能夠根據sina=|得知器，是解題的關鍵.

【變式3］（2019?安徽宿州?統考一模）在RtAABC中，ZC=90°,若tar/=之，貝ijcosB=（）.

4

A5c5〃3r4

A.—B.—C.—D.—

3455

【答案】C

【分析】根據三角函數的性質，結合題意，可得器=；，通過假設BC=3x并利用勾股定理計算得AB,最后

AB4

根據三角函數定義，即可完成求解.

【詳解】EIZC=90°且tarM=-

4

脛二

AB4

假設BC=3%,則4B=4x

EL4B=y/AC2+BC2=7（3%）2+（4x）2=5%

LcBC3%3

團COSB=——=——=-

AB5%5

故選：C.

【點睛】本題考查了直角三角形中三角函數和勾股定理的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角函數的性質，

從而完成求解.

考點8：解直角三角形應用一一仰角俯角

典例8：（2023上?吉林長春?九年級統考期末）榕榕在"測量教學樓高度”的活動中，設計并實施了以下方案:

課題測量教學樓高度

測得數據CD=6.9m,AACG=22°,4BCG=13°

sin22°x0.37,cos22°x0.93,tan22°?0.40,

參考數據

sinl3°?0.22,cosl3°x0.97,tanl3°q0.23.

請你依據此方案，求教學樓的高度（結果保留整數）.

【答案】19m,詳見解析.

【分析】本題考查解直角三角形的應用，根據題意得四邊形BDCE是矩形，則可得CG=BD,CD=BG=6.9m,

然后分別在RtABCG與RtAHCG中，利用三角函數的知識，求得CG與4G的長，進而可得4B,注意能借助

仰角與俯角構造直角三角形并解直角三角形是關鍵.

【詳解】根據題意得：四邊形8DCE是矩形，

0CG=BD,CD=BG=6.9m,

在RtABCG中，N8CG=13。，

EIBG=CG-tanl3°,

06.9aCGx0.23,

BCG=30m,

在RtAACG中，N4CG=22°,

EL4G=CG-tan22°?30x0.40=12（m）,

EL4B=AG+BG=12+6,9?19（m）,

答：教學樓的高度約為19m.

【變式1］（2024上?安徽合肥?九年級統考期末）"時代之舞，夢想領航"，合肥駱崗中央公園全向信標臺成為

合肥新地標.小麗同學想要通過測量及計算了解信標臺CD的大致高度，如圖1,當他步行至點A處，測得

此時臺頂C的仰角為45。，再步行20米至點8處，測得此時臺頂C的仰角為56。（點A,B,D在同七、一

條直線上），請幫小麗計算信標臺CD的高度.（參考數據：sin56°?0.83,cos56°?0.55,tan56°?1.50,

結果保留整數）

【答案】信標臺CD的高約為60米

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題,解決本題的關鍵是掌握仰角俯角定義.在Rt△ACD

中，由銳角三角函數定義可得4D,再在RtABCD中，由銳角三角函數定義可得BD,進而可得CD的高度.

【詳解】解：設CD=萬米，

在RtAACD