專題35旋轉(zhuǎn)綜合題中的角度問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022.新疆.烏魯木齊市第四十四中學(xué)九年級期末）如圖將AABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'3'C,點(diǎn)8

恰好落在A的上，若/B'BA=140。,則旋轉(zhuǎn)角為（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

2.（2023?江西?九年級專題練習(xí)）如圖，將邊長為6的正方形繞點(diǎn)2逆時針旋轉(zhuǎn)30。，那么圖中陰影部分的

A.3B.6C.3-拒D.1+石

3.（2022?福建?閩清天儒中學(xué)九年級期中）如圖，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度a得到VTWE,點(diǎn)8的

對應(yīng)點(diǎn)。恰好落在BC邊上，且A,B,E三點(diǎn)在同一條直線上，若NC=36。，則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是（）

A.82°B.83°C.84°D.85°

4.（2022.全國.九年級專題練習(xí)）如圖,P是—A03平分線上一點(diǎn)，OP=10,4408=120。，在繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)

的過程中始終保持=60。不變，其兩邊和OA,分別相交于M,N,下列結(jié)論：①“WN是等邊三

角形；②MN的值不變；③OM+ON=10；④四邊形PMON面積不變.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

5.（2021.江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）將等邊AABC與等邊△瓦龍的頂點(diǎn)8重合，如圖1放置，使

D、E分別在A3、BC上,將等邊從圖1位置開始繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一周，如圖2,直線AD、CE相

交于點(diǎn)P.若：AB=4,BD=2也.給出如下結(jié)論：在等邊△3DE旋轉(zhuǎn)的過程中，①始終有AO=CE；②

當(dāng)點(diǎn)D落在AABC內(nèi)部時，四邊形BECD的面積為定值;③當(dāng)點(diǎn)2到直線AD的距離最大時，尸C=2忘土百；

④當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時，CE=M土垃.上述結(jié)論中正確的個數(shù)有（）

圖1圖2E

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

6.（2022.福建.廈門市華僑中學(xué)九年級期中）如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)110。，得到VADE,若點(diǎn)。

落在線段2C的延長線上，則大小為.

7.（2022?江蘇泰興市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)一模）如圖，在△ABC中，ZCAB=40°,將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A逆

時針旋轉(zhuǎn)到AAB'C的位置，使CC〃AB,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為.

2

8.（2022?江蘇無錫?九年級階段練習(xí)）將一副三角尺（在RdABC中，/ACB=90。，/8=60。；在R3DEF

中，ZEDF=90°,ZE=45°）如圖①擺放，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)、P,經(jīng)過點(diǎn)C.將△DEF

PM

繞點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)角a（0。＜6（＜60。），DE交AC于點(diǎn)M,DF交BC于點(diǎn)N,則=7=.

9.（2022?河北?衡水市第六中學(xué)九年級期中）如圖，RtaACB中，ZACB=90°,ZABC=25°,。為AB中

點(diǎn)，將。4繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)夕（0＜夕＜180。）至OP,（1）當(dāng)，=30。時，NCBP=；（2）當(dāng)ABCP

恰為軸對稱圖形時，e的值為.

10.（2022?四川?成都市棕北中學(xué)二模）如圖，在正方形ABC。中，AB=4,點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，以BG為邊在

BC右側(cè)作正方形3EFG,直線AG,CE交于點(diǎn)P.現(xiàn)將正方形8EPG繞點(diǎn)2順時針旋轉(zhuǎn).

（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)30。時，CE=；

（2）當(dāng)正方形2EPG繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)一周時，點(diǎn)尸經(jīng)過的路徑長為.

3

11.（2022?內(nèi)蒙古?呼和浩特市教育教學(xué)研究中心一模）如圖所示，在RJABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,

點(diǎn)。、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)2逆時針旋轉(zhuǎn)，使。、￡旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)DC、E與點(diǎn)

A三點(diǎn)共線，則以下判斷，其中正確結(jié)論的序號為.

①線段AZ7=4,?ZCBD'=ZABE',③MBD'.

三、解答題

12.（2022.天津?yàn)I海新.九年級期中）如圖，將矩形ABCD繞著點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF,使點(diǎn)C恰好

落到線段AD上的E點(diǎn)處，連接CE,連接CG交BE于點(diǎn)

⑴求證：CE平分NBED；

（2）取BC的中點(diǎn)連接求證：MH//BG-,

⑶若BC=2AB=4,求CG的長.

13.（2022?湖南長沙?九年級期中）已知：正方形A3CD,以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)AQ至AP,連接3只DP.

4

（2）若將AD順時針旋轉(zhuǎn)1度（0。＜。＜90°）至AP,求/BPD的度數(shù)？

⑶若將AD逆時針旋轉(zhuǎn)夕度（0°＜。＜180。）至轉(zhuǎn)，請分別求出0。＜0＜90。、?=90°＞90。＜a＜180。三種情況

下的的度數(shù)（圖2、圖3、圖4）.

14.（2021?新疆?烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級期中）在AA8C與&EDC中，ZACB=ZECD=60°,

/ABC=NEDC,△EDC可以繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接AE,BD

圖1圖2

⑴如圖1

①若BC=3DC,直接寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系；

②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數(shù)；

（2）如圖2,BC=AC=3,當(dāng)四邊形ADCE是平行四邊形時，直接寫出線段DE的長

15.（2022?黑龍江齊齊哈爾?九年級階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐

如圖1所示，將一個長為6寬為4的長方形4BEF,裁成一個邊長為4的正方形ABCO和一個長為4、寬為

2的長方形CE尸。如圖2.現(xiàn)將小長方形CEED繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至CE戶77,旋轉(zhuǎn)角為a.

E'

圖1圖2圖3

5

(1)當(dāng)點(diǎn)。'恰好落在E尸邊上時，求旋轉(zhuǎn)角a(00<a<90)的值；

(2)如圖3,G為BC中點(diǎn)，且(T<a<90。，求證：GD'=E'D-,

(3)小軍是一個愛動手研究數(shù)學(xué)問題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，

△DCD與△CBZX存在兩次全等，請你幫助小軍直接寫出當(dāng)△DCD與△CBD'全等時，旋轉(zhuǎn)角a的值.

16.(2022?天津市第五十五中學(xué)九年級期中)如圖1,在正方形ABCD中，AO=4,點(diǎn)E是AQ的中點(diǎn)，以DE

為邊作正方形DEEG,連接AG、CE.將正方形。跳G繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為研0。<。<90。).

圖1

(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷△AGD與是否全等，并說明理由;

圖2

(2)如圖3,延長CE交直線AG于點(diǎn)P.

圖3

①求證：AG1CP；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

17.(2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖1,正方形A2CD與正方形AEPG的邊長分別為5和2,點(diǎn)￡、G分

別在邊和邊上，連接BG、DE,尸為BG的中點(diǎn)，將正方形AEFG繞著點(diǎn)A從圖1位置順時針旋轉(zhuǎn)a

度(0<?<360).

6

(1)當(dāng)A、G、B三點(diǎn)不共線時，%改；(填“>”、"=”或“<”)

s

(2)如圖2,當(dāng)90<。<270時，求產(chǎn)正的值；

(3)在正方形AEFG轉(zhuǎn)動一周的過程中，

①求點(diǎn)尸運(yùn)動的路徑長；

②當(dāng)SAA。=平時，請直接寫出滿足條件的"的值?

18.(2022?河南商丘?九年級期末)(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,PA=3,PB=4,PC=5,求NAPfi的度數(shù).

針對此問題，數(shù)學(xué)王老師給出了下面的思路:如圖2,將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△APT?,連結(jié)PP',

得到等邊三角形在AB尸產(chǎn)中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系以及勾股定理……請根據(jù)王老師的思路提示，完

成本題的解答；

(2)類比延伸

如圖3,在正方形ABC。內(nèi)部有一點(diǎn)P,若4PD=135。，試判斷線段朋、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

19.(2022?廣東?豐順縣大同中學(xué)九年級階段練習(xí))有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點(diǎn)A順

7

時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形尸（如圖1）,連接BDMF,此時他測得BD=8cm,ZADB=30°.

（1）在圖1中，請你判斷直線月0和3。是否垂直？并證明你的結(jié)論；

（2）小紅同學(xué)用剪刀將△3CD與AMEb剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得

“用R,AQ交尸M于點(diǎn)K（如圖2）,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為￡（0°<￡<90。），當(dāng)△AFK為等腰三角形時，請直接寫

出旋轉(zhuǎn)角夕的度數(shù)；

（3）若將八?沿A3方向平移得到△48^2（如圖3）,工用2與AD交于點(diǎn)尸，4M2與3。交于點(diǎn)N,當(dāng)

NP〃AB時，求平移的距離是多少.

20.（2022?廣東?廣州市第一一三中學(xué)九年級期中）如圖，AABC是等邊三角形，點(diǎn)。是3c邊的中點(diǎn)，以。

為頂點(diǎn)作一個120。的角，角的兩邊分別交直線AB、AC于M、N兩點(diǎn)，以點(diǎn)。為中心旋轉(zhuǎn)NMDV（ZMDN

的度數(shù)不變）

（1）如圖①，若求證：BM+CN=BD-

（2）如圖②，若AM與不垂直，且點(diǎn)M在邊A2上，點(diǎn)N在邊AC上時，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明

理由；

（3）如圖③，若DM與AB不垂直，且點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊AC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？

若不成立，寫出現(xiàn)公CN、9之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

21.（2022?湖北省水果湖第一中學(xué)九年級期中）如圖1,AABC中，AB=AC,ZBAC=a,點(diǎn)。、E分別在

AB.AC上，AD=AE.將VADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)"度（0〈分<360）,使得8、D、E三點(diǎn)共線.

8

A

A

A

(1)直接寫出：/ADB=(用a表示)；

(2)若e=60。，當(dāng)180</<360時，作AF1OE于足在圖2中畫出符合要求的圖形，并探究BE、CE、AF之

間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(3)如圖3,若c=90。，AC=8五，當(dāng)0<￡<180時，直接寫出S四邊形ABCE的最大值_________.

22.(2022?黑龍江黑河?九年級期末)如圖1所示，將一個長為6寬為4的長方形裁成一個邊長為4

的正方形ABCD和一個長為4、寬為2的長方形CEFD如圖2.現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至

CE'F'D',旋轉(zhuǎn)角為a.

4

(1)當(dāng)點(diǎn)。，恰好落在斯邊上時，求旋轉(zhuǎn)角a的值；

(2)如圖3,G為BC中點(diǎn)，且0。<。<90。，求證：GD-ED;

(3)小軍是一個愛動手研究數(shù)學(xué)問題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長方形CEFD繞點(diǎn)、C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中,

△DCD'與△CBD存在兩次全等，請你幫助小軍直接寫出當(dāng)ADCD與△CBD全等時，旋轉(zhuǎn)角a的值.

23.(2022?江蘇宿遷?九年級期末)如圖①，AABC和VADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

ZBAC=ZDAE=90°，點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn).

9

⑴如圖②,將VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C、。、E在同一條直線上時，連接、BE,求證：BD=CE且BDLCE.

(2)若A3=8,AO=4,把VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，

①當(dāng)/E4c=90。時，求尸3的長；

②旋轉(zhuǎn)過程中線段長的最小值是.

24.(2022?山東棗莊三模)【問題背景】如圖1,點(diǎn)E、歹分別在正方形ABCD的邊BC、CO上，ZEAF=45°,

連接EF,我們可以通過把AABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。到△AZJG,容易證得：EF=BE+DF.

圖1圖2圖3

⑴【遷移應(yīng)用】如圖2,四邊形A3CO中，AB=AD,ZBAD=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD±,ZEAF=45°,

若NB、NO都不是直角，且/3+4)=180。，試探究￡F、BE、。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)【聯(lián)系拓展】如圖3,在AABC中，ZB4C=90°,AB=AC,點(diǎn)。、E均在邊BC上，且/ZM￡=45。.猜

想3D、DE、EC滿足的等量關(guān)系(直接寫出結(jié)論，不需要證明).

10

專題35旋轉(zhuǎn)綜合題中的角度問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022.新疆.烏魯木齊市第四十四中學(xué)九年級期末）如圖將"RC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到

△A'3'C,點(diǎn)8恰好落在A0上，若朋=140。，則旋轉(zhuǎn)角為（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】C

【分析】先求出/4'54=180。—140。=40。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性有=即可證明

ZBCB'-ZABA,即問題得解.

【詳解】解：：乙?’54=140。，

ZA'BA=180°-140°=40°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性有NCBK=ZCBA,

ZCB'A+NBCB'=ZCBA,NCBA'=NCBA+ZABA,

ZCB'A+NBCB'=ZCBA+ZABA1,

"：ZCB'A'=NCBA,

：.ZBCB'=ZABA=40°,

即旋轉(zhuǎn)角度為40。，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形的外角的定義的知識，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解

答本題的關(guān)鍵.

2.（2023?江西?九年級專題練習(xí)）如圖，將邊長為百的正方形繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)30。，那么

圖中陰影部分的面積為（）

C.3-73D.1+6

【答案】c

【分析】根據(jù)已知條件可證kaABMgRdC'BM,只需算出三角形ABM的面積，用正方

形面積減去2倍的的面積，即可算出陰影部分面積.

【詳解】解：如圖所示，連接由旋轉(zhuǎn)可知，

:四邊形ABCD為正方形，

：.AB=CB\ZBAM=ZBC'M=9Q°,

又,：BM=BM,

所以在RmABM與RmCBM中,

[BM=BM

[AB=CB

所以RtLABM^RtACBM（HL）,

VZABA'=/C‘2C=30。，

AZABM=ZCBM=30°,

AM=AB-tan30°=1,

,?S^ABM=1XGXQ=[，

四邊形ABC'M的面積為：乖,,且正方形ABC。面積為：6x囪=3,

陰影部分面積為：3-石，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查割補(bǔ)法求面積，全等三角形，以及三角函數(shù)的應(yīng)用，能夠熟練利用割補(bǔ)法

求面積是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2022.福建.閩清天儒中學(xué)九年級期中）如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度a得

到VADE,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)。恰好落在3C邊上，且A,B,E三點(diǎn)在同一條直線上，若NC=36。,

則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是（）

12

A.82°B.83°C.84°D.85°

【答案】C

【分析】根據(jù)AABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度a得到VADE,可得

1QAO_a

ZADB=/B=/ADE=---,在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得

/E+/8+/ADB+/4DE=180。，從而算出旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

【詳解】；"BC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)［得到VADE,點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)是。，

/.AABC^AADE,ZBAD=ZCAE=a,

/?AB=AD,ZADE=NB，NE=/C=36°,

^ADE=1S00~a

2

1/A,B,E三點(diǎn)在同一條直線上,

.?.在△ABD中，ZE+ZB+ZBDE=180°,

即ZE+ZB^-ZADB+ZADE=180°,

180°-Q

360+3-=180°

-2

解得a=84。.

旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是84。.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題

的關(guān)鍵.

4.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，P是—A0B平分線上一點(diǎn)，。尸=10,ZAOB=120°,

在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中始終保持/MPN=60。不變，其兩邊和OA,。2分別相交于M,N,

下列結(jié)論：①APMN是等邊三角形；②MN的值不變；③OM+ON=10；④四邊形PMON

面積不變.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】如圖作PE_L于E,PF_L。2于凡只要證明MAPOE^RtAP0F,4PEM出APFN,

13

即可一一判斷.

【詳解】如圖作PEJ_OA于E,PFA.OB^F.

'：ZPEO=ZPFO=90°,

：.AEPF+AAOB=\^°,

'：ZMPN+ZAOB=180°,

：.ZEPF^ZMPN,

：.ZEPM=ZFPN,

：0P平分/AOB,PE_LOA于E,PFLOB^F,

：.PE=PF,

在RtXPOE和RtLPOF中,

jOP=OP

[PE=PF'

:POE^RtLPOF(HL),

OE=OF,

在小「￡加和4PFN中,

2MPE=NNPF

<PE=PF,

ZPEM=ZPFN

：.APEMmAPFN(ASA),

：.EM=NF,PM=PN,SAPEM=SAPNF,

NMPN=64°

PAW是等邊三角形，故①正確；

"：SAPEM=SAPNF,

.，?S國邊形PMON=S酗形PEOF=定位,故④正確；

OM+ON=OE+ME+OF-NF=2QE=lO,故③正確；

'：M,N的位置變化，

???MN的長度是變化的，故②錯誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

5.(2021.江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模)將等邊AABC與等邊△3DE的頂點(diǎn)8重合,

14

如圖1放置，使。、￡分別在A3、BC上，將等邊△3DE從圖1位置開始繞點(diǎn)3順時針旋

轉(zhuǎn)一周，如圖2,直線AD、CE相交于點(diǎn)尸.若：AB=4,BD=2也.給出如下結(jié)論：在

等邊旋轉(zhuǎn)的過程中，①始終有AD=CE；②當(dāng)點(diǎn)。落在AABC內(nèi)部時，四邊形3ECD

的面積為定值；③當(dāng)點(diǎn)8到直線AD的距離最大時，PC=2A/2±V3;④當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共

線時，CE=M土日上述結(jié)論中正確的個數(shù)有（）

圖1圖2E

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

［分析KD利用等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△ADBg4CEB即可判斷;②由①結(jié)論可得：

四邊形BECD的面積=△ABC的面積-△ADC的面積，根據(jù)點(diǎn)。的軌跡判斷即可；③當(dāng)

BDLAD時，2點(diǎn)到直線的距離最大；。點(diǎn)在8點(diǎn)右側(cè)時，結(jié)合①結(jié)論利用勾股定理和

三角函數(shù)解直角三角形即可；同理可求。點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時；④點(diǎn)。在點(diǎn)4、E之間時，結(jié)

合①結(jié)論利用等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形即可；同理可求點(diǎn)E在點(diǎn)A、。之

間時.

【詳解】解：①如圖，

A

ZABC=ZDBE=60°,則ZABC-ZDBC=ZDBE-ZDBC,

：.ZABD=ZCBE,

AB=CB,DB=EB,

：.LADB安/\CEB,

：.AD=CE,即①正確；

②如圖，連接cr>,弧ns為。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)軌跡，

15

A

E

,:△ADB9ACEB,

，四邊形BECD的面積=△ABC的面積-△ADC的面積，

由D點(diǎn)軌跡可知：D點(diǎn)到線段AC的距離不是定值，

/.AAOC的面積不是定值，

，四邊形BECD的面積不是定值，即②錯誤；

③的長度是定值，，當(dāng)BZUAO時，B點(diǎn)到直線AO的距離最大,

。點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時，如圖，過P作尸F(xiàn)LOE于尸，

BDLAD,：.AD=y/AB2-BD2=J42-(20y=2亞,

'：△ADB/ACEB,

：.AD=CE,/ADB=/CEB=90°,

：.ZPEF=ZCEB-ZDEB=3Q°,

NPDE=ZPDB-ZEDB=3Q°,

：.PE=PD,

'CPFLDE,

：.EF=^DE=y[2,

?pp_V2_2^/6

cos3003

PC=CE-PE=2日—；

3

。點(diǎn)在8點(diǎn)左側(cè)時，如圖，過P作P工LOE于產(chǎn)，

16

PC=CE+PE=2V2+城，

3

:.PC=2應(yīng)土巫,即③錯誤；

3

④點(diǎn)。在點(diǎn)A、E之間時，如圖，過B點(diǎn)作8尸，AE于點(diǎn)尸,

△BCE是等邊三角形，BFLAE,貝UDF=g￡>E=&,

△ABF中，由勾股定理可得AF=]AB2_BF2=?

AD=AF-DF=V10-^2,

,?4ADB咨ACEB,

.'.AD=CE=710-A/2；

點(diǎn)E在點(diǎn)A、。之間時，如圖，過8點(diǎn)作BFLAE于點(diǎn)尸，

同理可得小ADB當(dāng)ACEB,CE=AD=AF+DF=回+血;

：.CE=y/10±y/2；即④正確；

綜上所述①④正確，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

17

特殊角的三角函數(shù)；根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形是解題關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2022?福建?廈門市華僑中學(xué)九年級期中）如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)110。，得到

NADE,若點(diǎn)。落在線段的延長線上，則大小為.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出=，54D=110。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出

一8的度數(shù)，此題得解.

【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：AB=AD,^BAD=1W°,

ZB=/ADB=|x(180°-110°)=35°.

故答案為：35°.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的

性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?江蘇?泰興市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)一模）如圖，在AABC中，ZC4B=40°,將AABC在平

面內(nèi)繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到A的位置，使CC//AB,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為.

A

【答案】100。##100度

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出/CC4=/C42=40。，AC=AC,求出/ACC

=ZC'CA=40°,根據(jù)三角形內(nèi)角和求出/CAC即可.

【詳解】解：?.?CC〃A2,ZCAB=40°,

：.ZC'CA=ZCAB=40°,

,：將AABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ABC的位置,

：.AC'=AC,

：.ZAC'C=ZCCA=40°,

：.ZCAC=180°-40°-40°=100°,

即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是100°,

18

故答案為：100。.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題

的關(guān)鍵.

8.（2022?江蘇無錫?九年級階段練習(xí)）將一副三角尺（在肋△ABC中，/ACB=90。，NB=

60°；在DEF中,ZEDF=90°,/E=45。）如圖①擺放，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，DE交AC

于點(diǎn)P,。尸經(jīng)過點(diǎn)C.將△。跖繞點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)角a（0。<</<60。），DE咬AC于點(diǎn)

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得根據(jù)等

邊對等角求出再求出/AOC=120。，再根據(jù)/AOC-/即尸計(jì)算得

30。，根據(jù)同角的余角相等求出/PDM=NCDV,再根據(jù)然后求出ABC。是等邊三角形，根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出/BCO=60。，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)

角的和求出NCPD=60。，從而得到/CPD=NBC。，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相

似判斷出小。刊1和4DCN相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得結(jié)論.

【詳解】解：,??NAC2=90。，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，

CD=AD=BD=^AB,

：.ZACD=ZA=30°,

：.ZA￡）C=180°-30°x2=120°,

ZADE=ZADC-ZEDF=nO°-90°=30°；

/EDF=90°,

：.ZPDM+ZE/DF=ZCDN+ZE'DF=9Q°,

：.ZPDM=ZCDN,

VZB=6Q°,BD=CD,

...△3cr（是等邊三角形，

：.ZBCD=60°,

,?ZCPD=ZA+ZADE=30°+30°=60°,

：.ZCPD=ZBCD,

19

:.叢DPMs叢DCN,

.PM_PD

??奇一五’

VZA0）=30°,ZCZ）P=90°,

PDR

----=tanXACD=tan30°=——,

CD--------------------------------3

.PM杷

'*GVV

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函

數(shù)，解題的關(guān)鍵是判斷出△MPDs^NCD.

9.（2022?河北彳置水市第六中學(xué)九年級期中）如圖，Rt^ACB中，ZACB=90°,ZABC=25°,

。為A3中點(diǎn)，將Q4繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)/（0<6<180。）至。尸，（1）當(dāng)。=30。時，NCBP=

;（2）當(dāng)ABCP恰為軸對稱圖形時，6的值為.

【答案】40°50。或65。或80。

【分析】（1）連接OC,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到OC=O3=OA,然后結(jié)合旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到03=0尸，然后根據(jù)外角的性質(zhì)得到/。&尸=；/，=15。，進(jìn)而求解即可；

（2）如圖1,連接AP,根據(jù)直角三角形的判定和性質(zhì)得到NAP3=90。，當(dāng)3c=3尸時，得

到NBCP=NBPC,推出AB垂直平分尸C,求得NA5P=NABC=25。，于是得到

6=2x25=50。，當(dāng)3C=PC時，如圖2,連接CO并延長交PB于根據(jù)線段垂直平分線

的性質(zhì)得到CH垂直平分PB,求得/CHB=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到6=2x40°=80°,

當(dāng)尸B=PC時，如圖3,連接尸。并延長交BC于G,連接OC,推出PG垂直平分8C,得

到NBGO=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到。=NBOG=65°.

【詳解】（1）連接OC,

20

B

erM

???Rt^AC3中，。為AB中點(diǎn)

，OC=OB=OA

???將Q4繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)，。（。<8<180。）至。2

:.OA=OP

：.OC=OB^OA=OP

???6=30。

???ZOBP=-Z0=15°

2

：.ZCBP=ZABC+ZOBP=40°；

（2）,「△BCP恰為軸對稱圖形，

???△3CP是等腰三角形，

如圖1,連接AP,

B

圖1

TO為斜邊中點(diǎn)，OP=OA,

：.BO=OP=OA,

：.NAT*90。，

當(dāng)=時，

:.NBCP=NBPC,

ZBCP+ZACP=ZBPC+ZAPC=90°,

ZACP=ZAPC,

：.AC=AP,

：.A3垂直平分PC,

：.ZABP=ZABC=25°,

???夕=2><25。=50。；

21

當(dāng)5C=尸。時，如圖2,連接CO并延長交融于H,

圖2

?.?BC=CP,BO=PO,

C”垂直平分尸5,

NCHB=90。,

?：OB=OC,

：.ZBCH=ZABC=25°,

：./CBH=65。,

ZOBH=40°f

???6=2x40。=80。；

當(dāng)依=PC時，如圖3,

圖3

連接P。并延長交BC于G,連接OC,

VZACB=90°,。為斜邊中點(diǎn)，

/.OB=OC,

：.PG垂直平分3C,

/.ZBGO=90°,

"?ZABC=25°,

：.9=NBOG=65。,

綜上所述：當(dāng)ABCP恰為軸對稱圖形時，6的值為50。或65。或80。，

故答案為：50。或65。或80。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識的綜合

運(yùn)用，熟練的運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)是解決問題

的關(guān)鍵.

22

10.（2022?四川?成都市棕北中學(xué)二模）如圖，在正方形ABCD中，48=4,點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，

以BG為邊在BC右側(cè)作正方形BEFG,直線AG,CE交于點(diǎn)P.現(xiàn)將正方形BEFG繞點(diǎn)8

順時針旋轉(zhuǎn).

（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)30。時，CE=；

（2）當(dāng)正方形8EPG繞點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)一周時，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為.

【答案】2幣警

【分析】（1）延長CB,過點(diǎn)E作根據(jù)正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出

NEBH=60。,得到班/=1,HE=石，運(yùn)用勾股定理求得CE的長；

（2）當(dāng)正方形匪FG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、F、E在一條直線上時，點(diǎn)尸到達(dá)最高點(diǎn)，連接OC、OF,

求出/COE；當(dāng)正方形8￡FG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、F、E在一條直線上時，點(diǎn)尸到達(dá)最低點(diǎn)；連接

（M,OF,求出NAO/，求得點(diǎn)尸運(yùn)動弧所對圓心角，利用弧長公式/=高求解;

lot）

【詳解】（1）解：如圖，延長C3過點(diǎn)￡作EH_LCB,

/.ZCBG=30°,ZGBE=90°,

「.NEB"=60。，

???A3=4,點(diǎn)G為3c中點(diǎn)，

BG=2,

：.BH=-BE=1,

2

：.CH=5,

23

HE=ylBE2-BH2=V22-l2=+，

在Rf/XCHE中,

CE=yJCH2+EH2=,+(可=728=2幣,

故答案為：2甘；

(2)?正方形ABCD,正方形BEFG,

BA=BC,ZABC=ZCBE,BG=BE,

AABG^ACBE,

/BCE=ZBAG,ZAGB=/BEC,

ZAGB=ZCGP,ZAGB+ZBAG=90°,

NCGP+NPCG=90°,

ZGPC=90°,

同理可證，正方形5EFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，存在NGPC=90。,所以點(diǎn)尸在以AC為直徑的

圓上運(yùn)動，，

???AB=4,

AC=45/2,

OA=OB=OC=-AC=2s/2,

2

如圖：

當(dāng)點(diǎn)A、F、E在同一直線上時，點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合,

QA8=4,8E=2,

『BE1

??sin/BAE=——,

AB2

ZBAE=30°,

ZOAF=ZBAE+ZOAB=75°,

ZOM=75°,

/.NAO尸=30。，

24

同理可得，當(dāng)點(diǎn)C、F、E在同一直線上時，NCO尸=30。,

所以點(diǎn)尸路徑對應(yīng)的圓心角是120。，

,」20〃?204岳.

--180-3

故答案為：出.

3

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定

及性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形,作輔助線構(gòu)造直角三角形,

結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解.解題時注意分類討論思想的運(yùn)用.

11.（2022?內(nèi)蒙古?呼和浩特市教育教學(xué)研究中心一模）如圖所示，在RtAABC中，NC=90。，

AC=2,BC=4,點(diǎn)、D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)，使

旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)￡與點(diǎn)A三點(diǎn)共線，則以下判斷，其中正確結(jié)論的序號為.

①線段5=4,②NCBD'=ZABE1,③ACBD'saABE.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)題意NACB=NA=3=90。，E是AB的中點(diǎn)，則AC。,3在以E為圓心AE的

半徑的圓上，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：依題意NACB=NA￡>'3=90。，E是AB的中點(diǎn)，則A,C,D,8在以E為圓心AE

的半徑的圓上，如圖，

AC=D'B,

ZABC=ZD'AB=NBD'C,

設(shè)=

AC21

貝（Jtana=-----

BC42

25

nr)ri

tanABAD'=——=-,

AD'2

?.?BD'=AC=2,

:.AD'=4,

故①成立

CD'=CD'>

:.ZCBIy=ZCAD',

ZCBD,=ZABD,-ZABC=(90°-cr)-?=90°-2a,

ZABE'=ZABD'-ZD'BE'=(90°-?)-cr=90o-2?,

ZCBD'=ZABE'

故②成立

又一.?NBCD=NBAE，=a

△CBD^Z\ABE'

故③正確

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，直角所對的弦是直徑，相似三角

形的性質(zhì)與判定，求一個角的正切，證明AC,￡>',8在以E為圓心AE的半徑的圓上是解題

的關(guān)鍵.

三、解答題

12.(2022.天津?yàn)I海新.九年級期中)如圖，將矩形ABCD繞著點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形GB￡F,

使點(diǎn)C恰好落到線段上的E點(diǎn)處，連接CE,連接CG交3E于點(diǎn)

⑴求證：CE平分NBED；

(2)取2C的中點(diǎn)連接求證：MH//BG；

(3)若BC=2AB=4,求CG的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)CG的長為

26

【分析】⑴通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZBEC=/BCE,再利用矩形的性質(zhì)證明ZBEC^ZDEC

即可.

(2)過點(diǎn)C作。于N,利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得到CD=OV,再

利用旋轉(zhuǎn)及矩形的性質(zhì)得到ABHGgANHC,得到點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)解題

即可.

(3)過點(diǎn)C作。VL3E于N,過G作GR,3c于R,利用含30。的直角三角形的性質(zhì)及勾

股定理計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：,??將矩形A3CD繞著點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF,使點(diǎn)C恰好落到

線段AD上的E點(diǎn)處，

:.BE=BC,

ZBEC=ZBCE,

AD||BC,

:./BCE=/DEC,

:.ZBEC=ZDEC,

:.CE平分ZBED；

(2)證明：過點(diǎn)C作。VLBE于N,如圖：

?.?CE平分ZB￡D,CDIDE,CNLBE,

:.CD=CN,

:.BG=AB=CD=CN,

?：ZBHG=NNHC,NGBH=NCNH=90。,BG=CN,

:.ABHGgAAWC(AAS),

:.GH=CH,即點(diǎn)H是CG中點(diǎn)，

???點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，

是ABCG的中位線，

.,.MH//BG-,

(3)解：過點(diǎn)C作。V，跖于N,過G作GR,3c于R,如圖:

27

?/BC=2AB=4,

.\BG=AB=CD=CN=2,

:.CN=-BC,

2

:.ZNBC=30°,

ZGBE=90°,

:"GBR=3,

:.BR=；BG=1,GR=6BR=6,

在WAGRC中，

CG=1GR2+CR2=｛（同+（1+4）2=2幣，

二CG的長為2J7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及到三角形全等的判定及性質(zhì)，矩形的的性質(zhì)，勾股

定理，能夠熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并結(jié)合其他幾何性質(zhì)添加輔助線和證明是解題關(guān)鍵.

13.（2022?湖南長沙?九年級期中）已知：正方形A3cD,以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)AD至AP,

連接3尸、DP.

（2）若將AD順時針旋轉(zhuǎn)a度（0。＜。＜90。）至釬，求/BPD的度數(shù)？

⑶若將AD逆時針旋轉(zhuǎn)a度（。°＜。＜180。）至小，請分別求出0。＜0＜90。、a=90。、

90。＜1＜180。三種情況下的—3PD的度數(shù)（圖2、圖3、圖4）.

［答案］⑴135。

28

(2)135°

(3)45°,45°,45°

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可知==再根據(jù)等邊對等角，即

可求出—3PZ）的度數(shù)；

（2）用和（1）一樣的方法即可進(jìn)行證明；

（3）分為三種情況，分別將NAPD、的度數(shù)表示出來，再根據(jù)角度之間的和差關(guān)系即

可進(jìn)行解答.

【詳解】（1）解：順時針旋轉(zhuǎn)30。至小，

,AD=AP,ZPAD=30°,

：.ZAPD=1（180°-30°）=75°,

???四邊形ABC。為正方形，

/.AB=AD=AP,ZBAD=90°,

：.ZfiAP=90°-30°=60°,

/.NBPA=g(180。-60。)=60°,

ZBPD=60°+75°=135°.

(2)；順時針旋轉(zhuǎn)a至”,

AD=AP,ZPAD=a,

：.ZAPD=1(180°-a)=90°-y,

???四邊形A3C￡>為正方形，

AB=AD=AP,ZBAD=90°,

，ZBAP=90°-a,

：.ZB7M=1[180o-(90-a)]=45°+y,

ZBPD=^90°--|^45o+1^=135°.

(3)①當(dāng)0°<a<90°時，

；AD逆時針旋轉(zhuǎn)a至"，

AAD=AP,ZPAD=a,

1zy

ZAPD=-(180°-a)=90°—

?.?四邊形ABC。為正方形,

：.AB=AD=AP,ZBA￡>=90°,

ZBAP=90°+a,

29

ia

：.ZBPA=-[180°-(90+a)]=45°-y,

/.ZBPD=190。一曰一145。一曰=45°.

②當(dāng)c=90°時，

：AD逆時針旋轉(zhuǎn)90。至AP,

/.AD=AP,ZPAD=90°,

???四邊形ABC。為正方形，

/.AB=AD=AP,ABAD=9Q°,

.,./54尸=90。+90。=180。，即點(diǎn)尸、4、B三點(diǎn)共線,

ZBPD=ZAPD=1(180°-90°)=45°

③當(dāng)90。<a<180。時,

:逆時針旋轉(zhuǎn)a至",

AAD=AP,ZPAD=a,

1zy

ZAPD=-(180°-a)=90°--

?..四邊形ABC。為正方形，

AB=AD=AP,ZBAD=90°,

NBAP=360°—90°+e=270°-a,

1fy

：.ZBPA=-[180°-（270o-a）]=y-45°,

/.ZBPD=（90。一曰+g-45。J=45。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)變化，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握正方形四邊都相等，四個角都是直角；旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等；等腰三角形等邊對

等角.

14.（2021.新疆.烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級期中）在AABC與&EDC中，

ZACB=ZECD=60°,ZA