第1講三角形的邊、角、三線專題探究

考點(diǎn)一三角形的邊角關(guān)系

【知識點(diǎn)睛】

邊：三角形任何兩邊的和大于第三邊，任何兩邊的差小于第三邊

?角：三角形三個內(nèi)角的和等于180°,三角形的一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和

應(yīng)用：

1.判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的方法：

①找出最長的線段，然后把最長的線段與較短的兩條線段之和作比較；

②若較短的兩條線段之和,最長線段，則能構(gòu)成三角形

若較短的兩條線段之和W最長線段，則不能構(gòu)成三角形

2.三角形求角度問題常和角平分線、高線等結(jié)合考察，另外，有折疊，

亦有角相等

如圖，有：

?飛鏢模型：

ZADC=ZA+ZB+ZC

【類題訓(xùn)練】

1.一個三角形的兩邊長分別為2和5,且第三邊長為整數(shù)，這樣的三角形的周長最大值是

()

A.10B.11C.12D.13

【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求得第三邊的取值范圍；再根據(jù)第三邊是整數(shù)，

從而求得周長最大時，對應(yīng)的第三邊的長.

【解答】解：設(shè)第三邊為

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：5-2<。<5+2,

即3<6Z<7,

?.Z為整數(shù)，

:.a的最大值為6,

則三角形的最大周長為6+2+5=13.

故選：D.

2.為了估計池塘兩岸A、8間的距離，小明在池塘的一側(cè)選取了一點(diǎn)P,測得B4=12機(jī)，

PB=13m,那么AB間的距離不可能是()

A.6mB.18mC.26mD.20m

【分析】由B4=12m,PB=13m,直接利用三角形的三邊關(guān)系求解即可求得AB的取值范

圍，繼而求得答案.

【解答】解：：PB=13m,

：.PA-PB<AB<PA+PB,

即加<AB<25〃z,

間的距離不可能是：26m.

故選：C.

3.已知一個三角形的兩邊長分別為3和4第三邊的長為整數(shù)，則該三角形的周長為（）

A.7B.8C.13D.14

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，任意兩邊之和大于第三邊以及任意兩邊之差小于第

三邊，即可得出第三邊的取值范圍.

【解答】解：???此三角形且兩邊為3和4,

第三邊的取值范圍是：1〈尤<7,

:第三邊為整數(shù)，

周長為13這個范圍內(nèi)，符合要求.

故選：C.

4.下列長度的三條線段能構(gòu)成三角形的是（）

A.1,2,3B.4,5,10

C.5,10,13D.2a,3a,6a（<?>0）

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算，判斷即可.

【解答】解：A.V1+2=3,

；?不能構(gòu)成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

B.V4+5<10,

；?不能構(gòu)成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

C.V13-5<10<5+13,

，長度為5,10,13的三條線段能構(gòu)成三角形，本選項(xiàng)符合題意;

D.2a+3a<6a（。>0）,

；?不能構(gòu)成三角形，本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

5.如圖，在△ABC中，ZBAC=60°,ZBCE=40°,平分/8AC,CE_LAB于點(diǎn)E,

則的度數(shù)為（）

A.100°B.90°C.80°D.50°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出與NBA。的度數(shù)即可求解.

【解答】解：

.\ZB￡C=90o,

VZBC￡=40°,

：.ZB=50°,

\"ZBAC=60°,A。平分/BAC,

ZBAD=izBAC=30°,

2

180°-ZB-ZBAD

=180°-50°-30°

=100°.

故選：A.

6.根據(jù)下列條件能判定△ABC是直角三角形的有（）

①/A+NB=NC,②4卷41/(?③NA：NB：NC=5：2：3,@ZA=2ZB

=3ZC.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計算求解即可.

【解答】解：；/A+N8=NC,ZA+ZB+ZC=180°,

AZC=90°,

...△ABC是直角三角形，

故①符合題意；

VZA=AZB=AZC,ZA+ZB+ZC=180°,

23

.?.NA=30°,NB=60°,ZC=90°,

.?.△ABC是直角三角形，

故②符合題意；

VZA：ZB：ZC=5：2：3,ZA+ZB+ZC=180°,

ZA=180°X―5—=90°,ZB=180°X_2_=36°,ZC=180°X―3—=

5+2+35+2+35+2+3

54°,

.?.△ABC是直角三角形，

故③符合題意；

VZA=2ZB=3ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

；工乙4=180°,

6

.?.4=1080°.

11

ZC=360^,

1111

...△ABC不是直角三角形，

故④不符合題意；

綜上，符合題意得有3個，

故選：C.

7.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，將△&￡>￡1沿。E折疊至位置,

點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為R若NA=15°,ZBDF=120°,則/CEF的度數(shù)為（）

【分析】由折疊性質(zhì)可得ZAED=ZFED,由鄰補(bǔ)角可求得/AD/=60°,

則NAZ）E=30°,由三角形的內(nèi)角和可求得/AED=135°,由三角形的外角求得NOEG

=45°,則可求NC跖的度數(shù).

【解答】解：由題意得：/ADE=NFDE,NAED=NFED,

VZBDF=120°,

/.ZADF=180°-ZBDF=60°,

???NADE=30°,

/.ZAE￡）=180°-ZA-ZADE=135°,

ZDEG=ZA+ZADE=45°,

：.ZDEF=135°,

：?/CEF=/DEF-NDEG=90°.

故選：A.

8.（2022春?秦淮區(qū)期中）如圖，在△Cb中，NE=80°,ZF=60°,AB//CF,AD

//CE,連接3C、CD,則NA的度數(shù)是40°.

【分析】先利用三角形的內(nèi)角和求出NRSE,再利用平行線的性質(zhì)說明NA與/FCE的

關(guān)系得結(jié)論.

【解答】解：延長尸。交A0于點(diǎn)G.

VZE=80°,ZF=60°,

：.ZFCE=180°-ZE-ZF

=180°-80°-60°

=40°.

U：AB//CF,AD//CE

：.ZA=ZFGDfZFCE=ZFGD.

：.ZA=ZFCE=40°.

故答案為：40.

B

A

一G

9.（2019?棗莊）將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，使含30°角的三角板的一條直

角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則Na的度數(shù)是（）

【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出/CGF=NDG2=45°,再利用/a=

可得答案.

【解答】解:如圖,

VZAC￡>=90°、ZF=45°,

：.ZCGF=ZDGB=45°,

則/a=NO+NDGB=30°+45°=75°,

故選：C.

10.（2020?吉林）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則/a的大小為（）

【分析】利用三角形外角的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：如圖所示，

A

a

Za=ZE+ZACB=300+45°=75°,

故選：B.

11.已知：如圖，在△ABC中，/A=55°,H是高B。、CE的交點(diǎn)，則度.

BC

【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，可求得NABD再根據(jù)三角形的一個外角等

于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，進(jìn)而求出NBHC.

【解答】解：在中，

VBDXAC,

AZABD=90°-/A=35°,

ZBHC=900+35°=125°.

12.（2020春?和平區(qū)校級期中）已知a,b,c是一個三角形的三邊長，化簡|a+c-b|-|b-

c+a\-\a-b-c|=a-3Z?+c.

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到b-c+tz>0,a-b-c<0f再去絕對值，

合并同類項(xiàng)即可求解.

【解答】解：b,C是一個三角形的三條邊長，

.\a+c-b>0,b-c+a>0,a-b-c<0,

|〃+c-b\-\b-c+〃|-\a-b-c\=a+c-b-b+c-a+a-b-c=a-3/?+<?,

故答案為：a-3b+c.

13.（2020春?東湖區(qū)期末）已知三角形的兩條邊長分別為3cm和2c相，如果這個三角形的

第三條邊長為奇數(shù)，則這個三角形的周長為8cm.

【分析】可先求出第三邊的取值范圍，找出其中為奇數(shù)的數(shù)，即為第三邊的長，從而求

得周長.

【解答】解：設(shè)第三邊長為X.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，則有3-2<x<2+3,

即1cx<5,

因?yàn)榈谌叺拈L為奇數(shù)，

所以尤=3,

所以周長=3+3+2=8.

故答案為：8；

14.三角形中一個內(nèi)角a是另一個內(nèi)角0的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其

中a稱為“特征角”，如果一個“特征三角形”的“特征角”為110°,那么這個“特征

三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為.

【分析】根據(jù)已知一個內(nèi)角a是另一個內(nèi)角P的兩倍得出P的度數(shù)，進(jìn)而求出最小內(nèi)角

即可.

【解答】解：由題意得：a=20,a=110°,則0=55°,

180°-110°-55°=15°,

故答案為：15°.

15.已知△ABC的三邊長分別為a,b,c.

(1)若a,b,c滿足(a-b)2+Cb-c)2=0,試判斷△ABC的形狀；

(2)若a=5,b=2,且c為整數(shù)，求△ABC的周長的最大值及最小值.

【分析】(1)直接根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得出c的取值范圍，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：(1);(a-6)2+(&-c)2=0,

??u-b=0,b-c==0,

??u—:b~—ci

/.△ABC是等邊三角形；

(2)'.'a—5,b=2,且c為整數(shù),

.*.5-2<c<5+2,即3Vc<7,

；.c=4,5,6,

...當(dāng)c=4時，/XABC周長的最小值=5+2+4=11；

當(dāng)c=6時，ZVIBC周長的最大值=5+2+6=13.

16.(2022春?建湖縣期中)如圖，C。是△ABC的角平分線，DE//BC,交AB于點(diǎn)E.

(1)若NA=42°,NBDC=75°,求NCED的度數(shù)；

(2)若NA-/ACD=17°,/EDB=95°,求NA的度數(shù).

【分析】(1)利用三角形內(nèi)角和定理求出/ACB,再求出NEC。，/EOC即可求解；

(2)設(shè),則NACD=x°-17°,根據(jù)/瓦啰=NA+/AED,構(gòu)建方程求解即

可.

【解答】解：(1)ZCDB^ZA+ZACD,

:./ACD=15°-42°=33°,

,:CD是AABC的角平分線，

：.ZDCB=ZACD=33°,

'：DE//BC,

:./EDC=NDCB=33°,

AZCE￡>=180°-33°-33°=114°；

(2)設(shè)乙4=x°,則/AC。*-17°,

,:CD是△ABC的角平分線，

/.ZACB=2(x°-17°),

'：DE//BC,

：.ZAED=ZACB=2(x°-17°),

?；ZEDB=ZA+ZAED,

：.95°=xa+2(x°-17°),

；.x=43°,

：.ZA=43°.

考點(diǎn)二三角形的“三線”及其作用

【知識點(diǎn)睛】

類型所在位置作用

三角形的中線線段△內(nèi)部1.△的中線能把原△分成面積相等的兩部分，同比三等分線可

以三等分原△的面積

2.△三條中線的交點(diǎn)叫重心，重心將中線分為2:1兩部分

△內(nèi)部、△中，有，時一求長度，想高線一有高線，想面積一有面積，想

三角形線段外部、邊等積法；有，時一求角度，想90°-△中，直角外的兩個小角

的高線上互余

三角形的角平分線線段△內(nèi)部△的角平分線出現(xiàn)時，可得角相等，亦可得N1=%N2類結(jié)論

三角形角平分線夾角模型:

BcABN「

空p、CD分別別平分NABC、NA

BD、CD分別別平分NABC、NA6B),、CD分別別平分ZEBC、NF

則ZBZX?=9(r」ZA貝!

則NBDC=9O°+-ZA2

22

?角的“8”字模型:

￡ZA+ZB=ZC-\-ZD

?△高線與角平分線夾角模型:

【類題訓(xùn)練】

1.下列判斷錯誤的是（）

A.三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)

B.三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

C.直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)

D.三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

【分析】根據(jù)三角形的角平分線，中線，高的定義一一判斷即可.

【解答】解：4銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)，故本選項(xiàng)說法錯誤，符合題意；

8、三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

C、直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

￡（、三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意.

故選：A.

2.如圖，已知。、E分別是△ABC的邊BC、AC的中點(diǎn)，AG是△ABE的中線，連接BE、

AD,GD,若AABC的面積為40,則陰影部分△AOG的面積為（）

A.10B.5C.8D.4

【分析】連接如圖，先判斷DG為△2CE的中位線，貝UDG〃AC,根據(jù)平行線之間

的距離和三角形面積公式得到SAADG=SAEDG,然后利用三角形的中線將三角形分成面積

相等的兩部分，貝!JSA8CE=」"&ABC=20,SABDE=-1SAEBC=10,S^EDG=-S^BDE=5.

222

【解答】解：連接。E,如圖，

為8c的中點(diǎn)，G為8E的中點(diǎn)，

.,.DG為△BCE的中位線，

C.DG//AC,

??S^ADG=S/\EDGf

???6點(diǎn)為AC的中點(diǎn),

SABCE=-S^ABC—工義40=20,

22

?.?。點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，

SABDE=—S^EBC=-1X20=10,

22

：G點(diǎn)為BE的中點(diǎn)，

5AEDG=-5ABDE=—X10=5.

22

故選：B.

3.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)。、E、尸分別是BC、AD.CE的中點(diǎn)，且S4ABC=10c”/,

則陰影部分的面積為acm2.

一2一

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答.

【解答】解：?.,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),

SAABE=—S^ABD,S^ACE=ASAADC,

22

.112

??5AABE+SAACE=—S/\ABC=—X10=5cm,

22

.19

:?SABCE=—S^ABC=5cm,

2

:點(diǎn)尸是CE的中點(diǎn)，

/.S&BEF=—S^BCE=AX5=AC/??2.

222

故答案為：A.

2

4.如圖，在△ABC中，平分/ABC,CM平分NAC2,若NM=117°,則NA為

)

M

BC

A.44°B.54°C.58°D.64°

【分析】先利用角平分線的性質(zhì)得到ZMCB=1ZACB,再根據(jù)三

22

角形內(nèi)角和定理得到NMBC+NMC8+NAf=180°,ZABC+ZACB+ZA=180°,則NAf

=90°+1ZA,然后把NM=117°代入可計算出NA的度數(shù).

2

【解答】解：平分/ABC,CM平分NACB,

AZMBC=1.ZABC,ZMCB=1.ZACB,

22

：.ZMBC+ZMCB=1CZABC+ZACB),

2

VZMBC+ZMCB+ZM^180°,ZABC+ZACB+ZA=180°,

AZM=180°-A(180°-ZA)=90°+AZA,

22

VZM=117°,

.?.90°+AZA=117°,

2

AZA=54°.

故選：B.

5.如圖，△ABC的中線A。、BE相交于點(diǎn)E下列結(jié)論正確的有()

@SAABD=SADCA；?S/\AEF=S/\BDF；③S四邊形石尸QC=2S/V4E尸；@S^ABC=3S^ABF

B

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)三角形面積公式，利用5￡>=CDAE=CE^^IJSZ^5O=5^ACO=」S"BC,

2

S^ABE=S^BCE=-S^ABCf所以弘45。=弘4超，則可對①進(jìn)行判斷；利用面積的和差得到

2

SAAEF=SABDF,則可對②進(jìn)行判斷；連接CR如圖，利用三角形面積公式得到5曠四=

SAFCD，SAFAE=SAFCE,貝I可對③進(jìn)行判斷；先判斷SMBF=S四邊形EFOC,再利用S四邊形EFDC

=2SAAEF,則可對④進(jìn)行判斷.

【解答】解：??.△ABC的中線A。、BE相交于點(diǎn)尸，

:,BD=CD,AE=CE,

S/\ABD=S/\ACD=-S/\ABCJS/\ABE~S/\BCE=—S/\ABCJ所以①正確;

22

???SAABD=SAABE,

AS^AEF=S^BDF；所以②正確；

連接。尸，如圖，

SAFBD=S^FCD,SAFAE=S^FCE,

而SAAEF=S/\BDF,

S四邊形EFDC=2SAAEF；所以③正確；

?**SAABE=S/\ADC=—S/\ABCJ

2

=

S/\ABFS四邊形EFDC,

而S四邊形

=

S/\ABF=S^AEF~^~S/\BDFS四邊形EFDC，

?'.S^ABC=3SMBF,所以④正確.

故選：D.

6.如圖，NAOB=60°,點(diǎn)M、N分別在。4、08上運(yùn)動（不與點(diǎn)。重合），ME平分/

AMN,ME的反向延長線與NMNO的平分線交于點(diǎn)足在M、N的運(yùn)動過程中，//的

B.變小C.等于45°D.等于30°

【分析】由/AMN是△OMN的外角，NEMN是△FMN的外角，得到NAMN=/O+/

ONM,NEMN=NF+NFNM,

再由角平分線，得到/AMN=2/EMMZONM=2ZFNM,從而得到//=工/。.

2

【解答】解：:NAMN是△OMV的外角,

???ZAMN=/O+/ONM,

,/ZEMN是△尸MN的外角，

ZEMN=ZF+ZFNM.

,:ME平分NAMN,FN平分NMNO,

：?/AMN=2/EMN,Z0NM=2ZFNMf

：.ZO=2ZF,

：.ZF=30°.

故選：D.

7.（2022春?碑林區(qū)校級期中）如圖，已知A"是△ABC的中線，點(diǎn)P是AC邊上一

動點(diǎn)，若△ABC的面積為10,AC=4,則MP的最小值為（）

A.5B.2.5C.1.4D.1.25

【分析】根據(jù)AM是△A5C的中線，求出三角形AMC的面積，根據(jù)垂線段最短

及三角形面積公式，求出的最小值.

【解答】解：是△A5C的中線,

.?.SAAMC=1SAABC=5,

當(dāng)MPJ_AC時，有最小值，

XMP=5

1XAC-

；.MP=2.5,

故選：B.

8.如圖，在△A8C中，AD,AE分別是△A8C的角平分線和高線.

（1）若NB=40°,ZC=60°,求NZME的度數(shù)；

（2）若/ZME=15°,求NC-NB的大小.

【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)先求出/BAD,

再利三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求出/A￡>E,最后利用三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求出/

DAE；

（2）在RtZXABE和Rt/XACE中表示出48、ZC,兩式相減得結(jié)論.

【解答】解：（1）VZB=40°,ZC=60°,

：.ZBAC=180°-ZB-ZC=80°.

'.'AD,AE分別是AABC的角平分線和高線,

AZBAD=^ZBAC=4Q°,ZAEC=90°.

2

VZADE=ZB+ZBAD=80°,ZAEC=ZADE+ZDAE,

：.ZDAE=90°-80°=10°.

(2)在RtAABE和RtAACE中，

"：ZB+ZBAE^90°,ZC+ZCAE=90°,

：.ZB=9O°-ABAE,/C=90°-ZCAE.

：.ZC-ZB=90°-ZCAE-(90°-NBAE)

=ZBAE-ZCAE

=ZBAD+ZDAE-CZCAD-NDAE)

=2/DAE

=30°.

9.我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形.例如，在圖1中，△AQB的內(nèi)

角NA02與△C。。的內(nèi)角NC。?；閷斀?，則△AOB與△C。。為對頂三角形，根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：ZA+ZB=ZC+Zr）.

（1）【性質(zhì)理解】

如圖2,在“對頂三角形”△AOB與△CO。中，ZEAO=ZC,ZD=2ZB,求證：Z

EAB=ZB；

（2）【性質(zhì)應(yīng)用】

如圖3,在△ABC中，點(diǎn)。、E■分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，ZBOD=ZA,若NEC。比/

DBE大20°,求的

度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)對頂三角形可得再根據(jù)角的和差即可得解;

（2）根據(jù)對頂三角形的性質(zhì)及四邊形內(nèi)角和求解即可.

【解答】（1）證明：由對頂三角形可得N0A2+N8=NC+ND

：.ZOAB-ZC=ZD-ZB,

"：ZEAO=ZC,ND=2NB,

：.ZOAB-/EAO=/B,

即NE43=N&

(2)解：由題意得，ZECD-ZDBE=20°,

由(1)得，ZDBE+ZBDO=ZECD+ZOEC,

ZBDO-ZOEC=ZECD-ZDBE=20°,

'：ZBOD=ZA,ZBOZ)+ZZ)OE=180o,

???NA+NOOE=180°,

ZADO+ZAEO=180°,

ZAEO+ZOEC=ZBDO+ZADO=180°,

???NBDO=ZAEO,

???N3QO+NOEC=180°,

?:/BDO-NOEC=20°,

AZBDO=100°.

10.在△ABC中，

(1)如圖(1),ZABC.NAC8的平分線相交于點(diǎn)P.

若NA=60°,求N5PC的度數(shù).

若NA=/,則N5尸C=.

(2)如圖(2),在AABC中的外角平分線相交于點(diǎn)。ZA=n°,求N5QC的度數(shù).

(3)如圖(3),/XABC的NA3C、NACB的平分線相交于點(diǎn)P,它們的外角平分線相交

A

于點(diǎn)。直接回答：二」

NBPC與ZBQC具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（4）如圖（4）,△ABC中的內(nèi)角平分線相交于

點(diǎn)P,外角平分線相交于點(diǎn)Q,延長線段BP、

圖⑴A圖（2夕E

QC交于點(diǎn)E,

△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2

倍，求NA的度數(shù).

Q

圖（3）圖（4）

【分析】（1）利用角平分線性質(zhì)和三角形內(nèi)角

和定理計算.

(2)利用三角形內(nèi)、外角和定理及角平分線性質(zhì)求解.

(3)利用(1)(2)題結(jié)論得出.

(4)利用(3)題結(jié)論列方程求解.

【解答】解：(1)VZA=60°/.ZABC+ZACB=120°

?//ABC、ZACB的平分線相交于點(diǎn)P

.?.ZI=AZABC,Z2=AZACB

22

.*.Z1+Z2=ACZABC+ZACB)=60°

2

：.ZBPC=1SQ°-(Z1+Z2)

=180°-A(180°-NA)

2

=90°+AZA

2

=120°.

故答案為：90°+ln°.

2

(2)'：ZDBC=ZA+ZACB,ZFCB^ZABC+ZA,ZA^n

：.ZDBC+ZFCB=ZA+ZACB+ZABC+ZA

=180°+ZA

=180°+n.

VAABC的外角平分線相交于點(diǎn)Q.

：.ZQBC=1-ZDBC,ZQCB=^.ZFCB.

22

：.ZQBC+ZQCB=1.(NDBC+/ECB)

(180°+n°)=90°+X?°.

22

：.ZBQC=18Q0-(ZQBC+ZQCB)

=180°-(90°+A?°)

2

=90°-Aw°.

2

(3)由(1)知，ZBPC=90°+工〃°,

2

由(2)知：ZBQC=90°+kn°,

2

：.ZBPC+ZBQC=180°.

（4）;BQ,BE分別是△ABC的外角平分線和內(nèi)角平分線，

：.ZEBQ=90°.

當(dāng)NE5Q=2NBQC時，90°=2X（90°-An°）.

2

?"=90.

/.ZA=90°.

當(dāng)N3QC=2NE時，

VZBQC+ZE=90°.

：.ZBQC=60°.

.*.90°-L°=60°.

2

?"=60.

AZA=60°.

當(dāng)NE5Q=2NE時，2NE=90°,

：.ZE=45°.

：.ZBQC=90°--1H°=45°

?"=90.

AZA=90°.

當(dāng)NE=2N3QC時，

VZE+ZB2C=90°.

/.ZBQC=30°.

.?.90°-AH°=30°.

2

."=120.

AZA=120°.

綜上：ZA=90°,60°,120°

11./MON=90°，點(diǎn)A,2