專題01圖形的初步（1）（分層訓練）

分層訓練

【基礎訓練】

一、單選題

1.（2022上?河南鄭州?七年級校考期中）金水河是鄭州最古老的河流.2500年來，金水河像一條飄帶，由

西向東，流淌在鄭州市民身邊，和鄭州這座城市結下了不解之緣.近年來，市政府在金水河治理過程中，

有時會將彎曲的河道改直，這一做法的主要依據是（）

A.兩點之間，射線最短B.兩點確定一條直線

C.兩點之間，直線最短D.兩點之間，線段最短

【答案】D

【分析】根據線段的基本事實一一兩點之間，線段最短，即可求解.

【詳解】解：根據題意得：這一做法的主要依據是兩點之間，線段最短.

故選：D

【點睛】本題主要考查了線段的基本事實，熟練掌握兩點之間，線段最短是解題的關鍵.

2.（2022?陜西西安?二模）如圖，在第24屆北京冬奧會的口號"一起向未來”五個字及會徽被分開印刷在一個

正方體的六個面上，其平面展開圖如圖所示，那么在該正方體中與北京冬奧會會徽相對的面上的字是（）

A.-B.起C.向D.未

【答案】C

【分析】根據正方體的表面展開圖找相對面的方法，"Z"字兩端是對面，即可判斷.

【詳解】解：在該正方體中與北京冬奧會會徽相對的字是：向，

故選：C

【點睛】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，熟練掌握根據正方體的表面展開圖找相對面的方法是解

題的關鍵.

3.（2022上?陜西西安?七年級西安市鐵一中學校考階段練習）正方體的六個面上分別寫有“重慶南開中學”這

六個字，將正方體按三種不同的方式擺放，如圖為從前米看到的三個不同的圖形，則可以確定"南"字對面的

字是（）

A.重B.慶C.開D.中

【答案】A

【分析】先確定與"南"字相鄰的字，再求解.

【詳解】解：如圖，與"南"相鄰的字為"開"、"中"、"學慶"，

在原正方體中與"南"字對面的字是"重

故選：A.

【點睛】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，從相鄰面入手分析是解題的關鍵.

4.（2023?湖北武漢?統考模擬預測）七巧板是中國古代勞動人民發明的一種傳統智力玩具，如圖1,它有五

塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形，共七塊板，可組成一個面積是1的大正方形.圖2是

一個用七巧板拼成的裝飾圖，將其放入矩形A3C。內，則矩形內空白處的面積是（）

A.V2-iB.-+-C.1--D.1

2284

【答案】A

【分析】設①的直角邊為y,則各邊長度如圖所示，表示矩形4BCD的兩邊分別為：4y,（2&+l）y,再

利用割補法求解空白部分的面積即可.

【詳解】解：設①的直角邊為y,則各邊長度如圖所示，

圖2

由題意可得：（2V2y）2=1,0y2=

而矩形4BCD的兩邊分別為：y+y+2y=4y,y+2V2y=（272+l）y,

回矩形內空白處的面積是

4y（2&+l）y-1==魚-%

故選A

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，正方形，矩形的性質，等腰直角三角形的性質，利用割補法求解

圖形的面積，理解題意，選擇合適的解題方法是關鍵.

5.（2022?寧夏銀川?校考二模）圖①是邊長為1的六個小正方形組成的圖形，它可以圍成圖②的正方體，

則圖①中正方形頂點A,2在圍成的正方體上的距離是（）

B

①②

A.2V2B.V2C.V5D.1

【答案】B

【分析】將圖1折成正方體，然后判斷出4、B在正方體中的位置關系，從而可得到之間的距離.

【詳解】解：將圖1折成正方體后點4和點B為同一個面的正方形的對角線兩個端點，

故48=Vl2+I2=V2.

故選：B.

【點睛】本題主要考查的是勾股定理，解題的關鍵是掌握展開圖折成幾何體，判斷出點a和點B在幾何體中

的位置關系.

6.（2023上?福建福州?八年級福建省福州格致中學校考期中）如圖，在A4BC中，=3,AC=4,AB1AC,

垂直平分BC,點P為直線所上一動點，則A4BP周長的最小值是（）

C.8D.128

【答案】B

【分析】根據題意知點B關于直線EF的對稱點為點C,故當點P與點E重合時，4P+BP的最小值，求出4C長

度即可得到結論.

【詳解】解：設4c交EF于點E,連接CP,

:.B、C關于EF對稱,

0CP=BP,

EICP+4P>AC

0BP+AP>AC,

.?.當P和E重合時，AP+BP的值最小，最小值等于4C的長，

A4BP周長的最小值是AC+4B=4+3=7.

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應用，線段垂直平分線的性質，解此題的關鍵是找

出P的位置.

7.（2023上?山東淄博?六年級統考期中）如圖所示是一個正方體包裝盒的表面展開圖，如在其中的三個正方

形4B,C內分別填上適當的數，使得這個表面展開圖折成正方體后，相對面上的數相加和為6,則填在4

B,C內的三個數依次是（）.

3,4,5C.4,3,5D.5,4,3

【答案】A

【分析】本題考查了正方體展開圖的知識，根據題意，首先是要找到與1、2、3分別相對的面，這就要根據

正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，進而可知4與1相對，B與3相對，C與2相對，再

根據相對面上的兩數之和為6,即可求出答案，解題的關鍵是掌握正方體相對兩個面，在展開圖中一定相隔

一個面.

【詳解】解：回正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形,

04與1相對，B與3相對，C與2相對,

團相對面上的兩數之和為6,

24=5,8=3,c-4,

故選：A.

8.（2022?山東濟南?濟南育英中學校考模擬預測）如圖，直線y=x+8分別與x軸、y軸交于點A和點3,點

點尸的坐標為（）

【答案】C

【分析】由軸對稱性質可知：作。點關于x軸的對稱點0',連接CD,交x軸于P,此時PC+PD值最小,

再求出直線CD'的解析式，即可求得尸點坐標.

【詳解】解：如圖所示：作。點關于x軸的對稱點），連接CO，，交x軸于尸，此時PC+PD值最小，且最

小值為C。',

回直線y=x+8分別與x軸、y軸交于點A和點B,

回令尤=0,則y=8,則B(0,8),

令產0,則m-8,則4(—8,0),

團點C,。分別為線段48,的中點，

C(-4,4),D(0,4),

???。點關于x軸的對稱點為。，

設直線CD'解析式為y=kx+b,

將C(-4,4),加(0,-4)代入得:{-空+匕：4,

解得：{￡=一;,

lb=-4

團直線解析式為y=-2x-4,

ap為直線CD'與x軸交點，

回令y=0,則x=-2,

???P(-2,0).

故選C.

【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數與坐標軸交點，中點坐標，軸對稱中的最短

路徑問題，熟練掌握軸對稱中的最短路徑問題和求一次函數解析式是解題的關鍵.

9.(2023?廣東廣州?統考一模)下列說法正確的是()

A.直線BA與直線AB是同一條直線B.延長直線AB

C.射線BA與射線AB是同一條射線D.直線AB的長為2cm

【答案】A

【詳解】解：A選項中，因為"直線AB和直線BA是同一直線”的說法是正確的，所以可以選A；

B選項中，因為"延長直線AB"的說法是錯誤的，所以不能選B；

C選項中，因為"射線BA和射線AB是同一射線〃的說法是錯誤的，所以不能選C；

D選項中，因為"直線AB的長為2cm”的說法是錯誤的，所以不能選D.

故選A.

10.（2023,黑龍江佳木斯?校考二模）AABC中，AC=BC=4/4CB=90。刀是BC邊上的中點，E是AB上的一

個動點，則EC+ED的最小值為（）

A.4B.2V5C.4V2D.2岳2

【答案】B

【分析】首先確定DC=DE+EC=DE+CE的值最小，然后根據勾股定理計算.

【詳解】解：

如圖：過點C作CO0AB于。，延長CO至!]C',使OC'=OC,連接DC',交AB于E,連接C'B,此時DE+CE=DE+EC'=DC

的值最小.

連接BU,由對稱性可知回（2口￡=%3￡=45。，

00CBC'=9O°,BC0BC,EIBCC'=EIBC'C=45°,

EIBC=BC'=4,

0D是BC邊的中點，

EIBD=2,

根據勾股定理可得：DC=y/BC'2+BD2=V42+22=2>/5,

EIEC+ED的最小值是2^VV5.

故選B.

【點睛】本題考查了軸對稱求最短路線的問題，確定動點E何位置時，使EC+ED的值最小是關鍵.

11.（2023?河北滄州?統考一模）如圖，是某幾何體的展開圖，AD=1671,則？=（）

r.

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】根據圓柱展開圖底面圓的周長等于側面矩形的長直接計算即可

【詳解】解：由題意可知：2仃=16%，

解得r=8

故選：C

【點睛】本題考查圓柱平面展開圖，熟知圓柱展開圖底面圓的周長等于側面矩形的長是關鍵

12.（2023上?廣東佛山?七年級統考期末）對于如圖所示的幾何體，說法正確的是（）

A.幾何體是三棱錐B.幾何體有6條側棱

C.幾何體的側面是三角形D.幾何體的底面是三角形

【答案】D

【分析】根據三棱柱的特征，逐一判斷選項，即可.

【詳解】解：回該幾何體是三棱柱，

回底面是三角形，側面是四邊形，有3條側棱，

EID說法正確，A、B、C說法錯誤，

故選D.

【點睛】本題考查了認識立體圖形，熟練掌握三棱柱的特征是解題的關鍵.

13.（2023?北京平谷?統考一模）展開圖可能是如圖的幾何體是（）

圓柱C.四棱柱D.圓錐

【答案】A

【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題.

【詳解】解：三個長方形和兩個等腰三角形折疊后，能圍成的幾何體是三棱柱.

故選A.

【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，熟記常見幾何體的平面展開圖的特征，是解決此類問題

的關鍵.

14.（2023上?內蒙古赤峰?七年級統考期末）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種展開圖，

那么在原正方體中，與"赤"字所在面相對的面上的漢字是（）

建設美

麗赤峰

A.建B.設C.美D.麗

【答案】B

【分析】根據正方體展開圖的特征判斷相對面即可.

【詳解】解：由正方體的展開圖可知：：美和建是相對面，赤和設是相對面，峰和麗是相對面，

故與"赤"字所在面相對的面上的漢字是"設"

故選B.

【點睛】此題考查的是根據正方體的展開圖，判斷一個面的相對面，掌握正方體相對面的判斷方法是解決

此題的關鍵.

15.（2023?河南南陽?統考二模）下列四個圖形中，不能作為正方體的展開圖的是（）

D.

【答案】B

【分析】利用不能出現同一行有多于4個正方形的情況，不能出現田字形、凹字形的情況進行判斷，也可

對展開圖進行還原成正方體進行判斷.

【詳解】解：A.可以作為一個正方體的展開圖，不符合題意；

B.不可以作為一個正方體的展開圖，符合題意；

C.可以作為一個正方體的展開圖，不符合題意；

D.可以作為一個正方體的展開圖，不符合題意；

故選：B

【點睛】本題考查正方體的展開圖，熟記展開圖的"種形式是解題的關鍵，利用不是正方體展開圖的"一線

不過四、田凹應棄之”（即不能出現同一行有多于4個正方形的情況，不能出現田字形、凹字形的情況）判

斷也可.

二、填空題

16.（2023上?遼寧沈陽,七年級沈陽市第一二六中學校考期末）如圖，=10,點M是線段AC的中點，

點N是線段的中點，點C是線段A3上一動點，則MN=.

AMCNB

【答案】5

【分析】由于點M是AC中點，所以MCgAC,由于點N是BC中點，則CNgBC,而MN=MC+CN=：（AC+BC）

=jAB,從而可以求出MN的長度.

【詳解】解：EIM是AC的中點，N是CB的中點，

團MC^AC,CN*B,

1111

0MN=MC+CN.-AC+-CB=-（AC+CB）.-xl0=5.

【點睛】本題考查了兩點間的距離.不管點C在哪個位置，MC始終等于AC的一半，CN始終等于BC的一

半，而MN等于MC加上（或減去）CN等于AB的一半，所以不管C點在哪個位置MN始終等于AB的一半.

17.（2023上?福建泉州,七年級統考期末）把邊長為2的正方形紙片ABCD分割成如圖的四塊，其中點E,F

分別是AB,AD的中點，OB=OC=EF,OF=EB,用這四塊紙片拼成一個與正方形ABCD不重合的長方

形MNPQ（要求這四塊紙片不重疊無縫隙），則長方形MNPQ的周長是.

【答案】10

【分析】根據題意，將三角形BOC和四邊形。CDF移動位置，即可得到長方形MNPQ；再根據正方形紙片ABCD

邊長為2,通過計算即可得到長方形MNPQ的邊長，從而完成求解.

【詳解】回點E,F分別是AB,AD的中點，08=0C=EF,OF=EB

團如下圖，將三角形BOC和四邊形。CM移動位置，即可得到長方形MNPQ；

團正方形紙片ABCD邊長為2

結合題意，得NP=MQ=AF=FD=|71B=1,BN=CD=AB=MB=2

EIMN=MB+BN=4

團長方形MNPQ的周長=2X4+1X2=10

故答案為：10.

【點睛】本題考查了平面圖形的知識；解題的關鍵是熟練掌握平面圖形的性質，從而完成求解.

18.（2023上?江蘇常州?七年級常州市蘭陵中學校考階段練習）如圖，一個表面涂滿顏色的正方體，現將棱

三等分，再把它切開變成若干個小正方體，兩面都涂色的有一一個；各面都沒有涂色的有個.

【答案】121

【分析】根據題意可知一共分成了27個小正方體，兩面都涂色是中間那層，邊上的部分共有12個，各面

都沒有涂色的只有最中間那個，所以只有一個.

【詳解】兩面都涂色是中間那層，邊上的部分共有12個，各面都沒有涂色的只有最中間那個，所以只有一

個.

故答案為：12；1.

【點睛】本題主要考查正方體表面的涂色問題，掌握兩面涂色的正方體是原正方體各條棱上中間的小正方

體，是解題的關鍵.

19.（2022?江蘇蘇州?統考一模）如圖，在RtAABC中，^ACB=90°,^ABC=30°,AC=2,點P是邊力B上

的一動點.AAECWAABC,將A/l'B'C繞點C按逆時針方向旋轉，點E是邊4c的中點，貝UPE長度的最小值

為

A'

【答案】V3-1

【分析】過C作CO0AB于。，根據30。直角三角形性質求出AB,利用勾股定理求BC,然后利用面積橋求

出CD根據點E為A'C中點求出CE,當點P運動到點￡＞時，C、E、。三點共線時EP最短即可求解.

【詳解】解：過C作于。，

0ZXCB=90°,^ABC=30°,AC=2,

EIAB=2AC=4,BC^AB2-AC2=V42-22=2u，

^CD-AB=-AC-BC,

22

配。=絲些=且=我，

AB4

回點E是A'C的中點，A'C=AC=2,

團CE=*C=1,

當點尸運動到點。時，C、E、。三點共線時EP最短,

EP最樂CD-CE=6—1.

故答案為：V3—1-

【點睛】本題考查旋轉性質，30。直角三角形性質，勾股定理，點的直線的距離最短，掌握旋轉性質，30。

直角三角形性質，勾股定理，點的直線的距離最短是解題關鍵.

20.（2023上?云南曲靖?七年級階段練習）如圖，請你在有序號的方格中選出兩個畫出陰影，使它們與圖中

四個有陰影的正方形一起可以構成正方體表面的展開圖，你選擇的兩個正方形是（填序號，任填

一組即可）.

⑤④③②

⑥①

⑦

【答案】④⑤或④⑥或⑤⑥或③⑥

【分析】觀察所給圖形結合正方體的平面展開圖的特點進行填涂即可.

【詳解】根據正方體的展開圖的特點，按如下方式進行填涂后可以構成正方體表面的展開圖:

⑤④③②⑤④③②

⑥①⑥CD

⑦⑦

⑤④③②⑤④③②

⑥①⑥①

⑦⑦

故答案為：④⑤或④⑥或⑤⑥或③⑥.

【點睛】本題主要考查正方體展開圖的2-3；型和2-2-2-型，掌握正方體的展開圖是解題關鍵.

2L(2023?湖南永州?中考真題)乙40B在平面直角坐標系中的位置如圖所示，且乙4OB=60。，在乙4OB內有

一點P(4,3),M,N分別是04OB邊上的動點，連接PM,PN,MN,則APMN周長的最小值是.

【答案】5V3

【分析】分別作出點P關于0A和0B的對稱點B和22,連接％P2,分別與0A和0B交于點M和N,此時,

P1「2的長即為APMN周長的最小值.

【詳解】解：分別作出點P關于0A和0B的對稱點心和P2，則P2(4,-3),連接RP2,分別與0A和0B

交于點M和N,此時，P]P2的長即為APMN周長的最小值.

由乙4。8=60。可得直線0A的表達式為y=由PP^OA,可設直線RP的解析式為y=+6,然

后把點P代入得：3=-梟4+匕，解得：b=3+竽，

???直線P】P的解析式為y=—日久+3+第，

聯立直線OA和BP的解析式可求P】P的中點坐標，即:

y=V3x

（3V3+4

x=------

解得：9+溫,

（丫二=

設點Pi（%y）由中點坐標公式可得：%=雙步x2-4=a|Y,y=*等x2-3=

4242

P*符），

由兩點距離公式可得：

22

（理-4）+（三+3）=5同

即4PMN周長的最小值5g.

故答案為5b.

【點睛】本題考查了軸對稱變換中的最短路徑問題及一次函數，解題關鍵在于找出兩個對稱點，利用方程

求出點B的坐標.

22.（2023?陜西?陜西師大附中校考模擬預測）如圖所示，在0ABe中，42=4。=64，BD、CE為MBC的

兩條中線，且加fflCE于點N,M為線段BO上的動點，則AM+EM+8C的最小值為

A

E,D

BC

【答案】3V13+6V2

【分析】連接DE.首先證明aBCN是等腰直角三角形，再求出BC.作點A關于直線3。的對稱點連接

EH交BD于M,連接AM,此時AM+EM的值最小，最小值=線段EH的長，過點H作H70AB于T,延長

BD交AH于J,利用面積法求出即，TE,E”即可解決問題.

【詳解】解：連接DE

0EL4BC=0ACB,

EIBE=UB,DC=-AC,

22

國BE=CD,

團BC=CB,

mEBC^DCB(SAS),

釀ECB=^DBC,EC=BD,

?BN=CN,

出EN=DN,

^BD^EC,

釀EDM,回3CN都是等腰直角三角形,

^\AE=EBfAD=DC,

QDE//BC,DE=^BC,

心—，

NCBC2

?CN=2EN,

RBN=2EN,

朋E=3E=3倔

團EN=3,BN=6,

國BN=CN=6,

0BC=eV2,

作點A關于直線3。的對稱點H,連接E”交80于M,連接AM,此時AM+EM的值最小，最小值=線段

E8的長，過點〃作于T,延長2。交于J.

^AJ//EN,AE=EB,

@BN=NJ=6,

M=JH=2EN=6,

SSAABH=-?AB?HT=-?AH?BJ,

22

亞?=等="

6V55

^AT=y/AH2-HT2=J122-=胃，

S\ET=AE-AT=3A/5-爭=言，

0EH=7ET2+HT2=J（言）2+（號）2=3g,

SAM+EM+BC的最小值為3V13+6V2.

故答案為3V13+6V2.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形中位線定理，軸對稱最短問題，勾股定理等知識，解題的

關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考填空題中的壓軸題。

23.（2022上嚀夏銀川?八年級校考階段練習）如圖，直線/是一條河，A,B兩地到珀勺距離2C和BD分別長為

5km,7km,且CD=5km,欲在Z上的某點M處修建一個水泵站，向A,B兩地供水，其中鋪設最短的管道

長是?

B

A

CD

【答案】13km

【分析】作點A關于直線1的對稱點E,連接BE,延長BD,作EFIICD,交8。的延長線于F,利用對稱的性質

以及勾股定理解答即可.

【詳解】解：如圖，作點A關于直線Z的對稱點E,連接BE,延長BD,作EFIICD,交BD的延長線于F,則線

段BE的長度計算所求.

~1

D

EF

由題意可知，EF=CD=5km,BF=BD+DF=BD+AC=7+5=12(km),

0BE=y/EF2+BF2=V52+122=13(km),

故鋪設最短的管道長是13km.

故答案為：13km.

【點睛】本題考查了最短問題以及勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

24.(2023下?廣東河源?八年級統考期末)如圖，等邊EA2C的邊長為6,是BC邊上的中線，M是上

的動點，E是AC邊的中點，則EM+CM的最小值為.

A

【答案】3V3

【分析】先連接BM,再根據MB=MC,將EM+CM轉化為EM+BM,最后根據兩點之間線段最短，求得BE

的長，即為EM+CM的最小值.

【詳解】解：連接BM,

?.?等邊44BC中，力D是BC邊上的中線，

.?.4。是8C邊上的高線，即4D垂直平分BC,

???MB=MC,

當B、"、E三點共線時，EM+CM=EM+BM=BE,

???等邊ZL4BC中，E是4c邊的中點，

.??直角三角形ABE中，BE=<AB2-AE2=V62-32=35/3,

EM+CM的最小值為3日，

故答案為：38.

【點睛】本題考查了等邊三角形的軸對稱性質和勾股定理的應用等知識，解題的關鍵是熟練掌握和運用等

邊三角形的性質以及軸對稱的性質.解題時注意，最小值問題一般需要考慮兩點之間線段最短或垂線段最

短等結論.

25.（2022?廣東?校聯考模擬預測）如圖，在A4BC中，點D、E分別為邊力B、4C的中點，N4BC的平分線交

線段DE于點F,若AB=6,BC=9,則線段EF的長為

【答案】I

【分析】由于EF=OE-DF,可先證得DE是△力BC的中位線，求得DE的長度，再利用平行線的性質和角平

分線的定義證得。尸=BD=3,即可求解.

【詳解】解：回點。、E分別為邊力B、AC的中點，AB=6,

1

團4。=BD=-AB=3,AE=CE,

2

即E是A4BC的中位線，

19

即=DE\\BCf

團乙DFB=乙FBC,

團乙4BC的平分線交線段DE于點F,

^ABF=乙FBC,

回乙ABF=Z.DFB,

也DF=BD=3,

0EF=DE—。尸==9-3=3=

22

故答案為：|

【點睛】本題考查了中位線的性質定理及平行線的性質和角平分線的定義，根據圖形得到EF=DE-0尸是

解題的關鍵.

三、解答題

26.（2023上?江西撫州?八年級江西省臨川第三中學校考階段練習）如圖，已知正方體紙盒的表面積為12cm2；

（1）求正方體的棱長;

(2)剪去蓋子后，插入一根長為5cm的細木棒，則細木棒露在外面的最短長度是多少？

(3)一只螞蟻在紙盒的表面由A爬到B,求螞蟻行走的最短路線.

【答案】(1)方cm；(2)(5—V6)cm；(3)V10cm.

【分析】(1)根據表面積，由算術平方根的求法可得正方體的棱長；

(2)長方體內體對角線是最長的，當木條在盒子里對角放置的時候露在外面的長度最小，根據勾股定理求

出長方體紙箱的對角線長度，再用細木棒的長度減去長方體紙箱的對角線長度即可；

(3)由正方體的側面展開，然后求出其對角線的長度，即可求得最短路程.

【詳解】解：(1)正方體有六個表面，表面積為12cm2.

??.每個表面的面積為2czn2；

設棱長為為無(x>0),即/=2,

=V2,

即棱長為

(2)如圖1所示：

由題意知：插入細木棒后，看不見的部分恰好是正方體的對角線CE,

0C￡>=y/CG2+GD2

CD=J(V2)2+(V2)2=2(cm)；

又EICE=yJCD2+DE2,

???CE=J22+(V2)2=V6(cm),

則細木棒露在外面的最短長度為(5-V6)cm.

(3)如圖2所示：

aEp

,、、、

GDB

圖2

在R/EIAGB中，AG=GD=DB=五,AB=y/AG2+GB2,

螞蟻爬行的路徑=J(V2+V2)2+(V2)2=VlO(cm),

.??螞蟻爬行的最短距離是同cm.

【點睛】本題重點考查了正方體的性質、正方形的性質、空間想象能力及勾股定理的應用.解題的關鍵是

熟悉勾股定理并兩次應用勾股定理.

27.(2022?河北邢臺?統考一模)己知數軸上點A,B,C所表示的數分別是4,-6,尤.

⑴求線段的長；

(2)若點A與點C關于點8對稱，求x的值.

【答案】⑴10;

(2)-16.

【分析】(1)由數軸上兩點間距離公式直接可得答案；

(2)根據中點定義，列出方程，即可解得答案.

【詳解】(1)回數軸上點A,2所表示的數分別是4,-6,

團線段A8的長為|4-(-6)|=10；

(2)回點A與點C關于點B對稱，

回點B是線段AC的中點，

0AB=BC,

04-(-6)--6-x,

解得x=-16,

答：x的值是-16.

【點睛】本題考查數軸上兩點間距離，解題的關鍵是掌握兩點間距離公式.

28.(2023?江蘇泰州,高港實驗學校校考二模)如圖，在正方形ABC。中，尸為BC為邊上的定點，E、G分

別是A8、CQ邊上的動點，AF和EG交于點H且A廂EG.

（1）求證：AF=EG：

（2）若A8=6,BF=2.

①若BE=3,求AG的長；

②連結AG、EF,求AG+EF的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）?V37:②4西

【分析】（1）過點G作GMM。交A3于點則可得AD二MG,然后證明團GME睡L43尸即可；

（2）①過點G作GMMO交A5于點連接AG,由（1）可得EM=BF=2,從而可求得AM,在R煙AMG

中由勾股定理即可求得AG的長；

②過點尸作尸用EG,FP=EG,連接AP,則易得GP=￡尸，當A、G、尸三點共線時，AG+EF最小，在R煙AF尸

中由勾股定理即可求得AP的長即可.

【詳解】（1）過點G作GMMO交A5于點M

團四邊形A8CO是正方形

WBAD=^\B=90°,A施CO,AD=AB

^\EMG=^BAD=^\B=9Q°

（MB國CD,GM^\AD

團四邊形AMGD是平行四邊形

釀唾。二90°

團四邊形AMGO是矩形

BMG=AD

國MG=AB

BAF^EG

^\AEH+^EAH=90°

回團EAH+回A尸3=90°

^\AEH^\AFB

在團GME和胤中

'乙EMG=乙B

乙AEH=^AFB

、MG=AB

^\GME^ABF（AAS）

財產二EG

D

BFC

(2)①過點G作GM她。交A5于點M,連接AG,如圖

由(1)知，^GME^ABF

?EM=BF=2

[?L4B=6,BE=3

^AE=AB~BE=3

^\AM=AE~EM=1

在RZEIAMG中，GM=AO=6,由勾股定理得：AG=y/AM2+GM2=Vl2+62=V37

②過點尸作尸P0EG,FP=EG,連接AP,如圖

則四邊形EFPG是平行四邊形

SGP=EF

^AG+GP>GP

回當A、G、尸三點共線時，4G+EF=AG+GP最小,最小值為線段A尸的長

BAF^EG,FPSEG

^\FP3\AF

在RtBABF中，由勾股定理得4F=y/AB2+BF2=<62+22=2^10

SAF=EG,EG=FP

BFP=AF=2V10

在R1SAFP中,由勾股定理得/P=AMF2+FP2=4V5

所以AG+EF的最小值為4曲.

【點睛】本題考查了正方形的性質，平行四邊形的判定與性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與

性質，勾股定理，兩點間線段最短等知識，靈活運用這些知識是解決的關鍵，確定AG+EF最小值是線段AP

的長是難點.

29.(2023?陜西西安?統考三模)問題提出

(1)如圖1,點A,8在直線/的同側，在直線/上作一點P,使得AP+BP的值最小.

問題探究

(2)如圖2,正方形力BCD的邊長為6,點M在DC上，且DM=2,N是4C上的一動點，貝UDN+MN的最

小值是.

問題解決

(3)現在各大景區都在流行"真人CS〃娛樂項目，其中有一個"快速搶點"游戲，游戲規則如圖3,在用繩子

圍成的一個邊長為12m的正方形48CD場地中，游戲者從48邊上的點￡處出發，分別先后趕往邊BC,

上插小旗子，最后回到點E.求游戲者所跑的最少路程.

圖1圖2圖3

【答案】(1)見解析；(2)2V13；(3)24V2m

【分析】(1)作點A關于直線/的對稱點4,連接4B交直線/與一點，該點即為所求P點；

(2)根據點8關于AC是對稱點為點連接交AC與點N,則此時DN+MN的值最小，則有￡W+MN=

BN+MN=BM,根據勾股定理求解BM即可；

(3)作點G關于點C的對稱點G',貝澳G=FG',作。'41CD'.D'A'=DA,作點H關于點C的對稱點H',

則G'H'=GH,作4夕作點E關于點C的對稱點E",WE"=HE,作點E"關于點4的對稱點0,

則=由兩點之間線段最短可知，當E,凡G1在一條直線上時，路程最小，利用勾股定理求

解即可.

【詳解】解：(1)如圖1,作點A關于直線/的對稱點4,連接4B交直線/與點尸，該點即為所求.

(2)回四邊形ABCD是正方形，

國點B關于AC是對稱點為點D,

如圖，連接3M交AC與點N,則此時ON+MN的值最小,

◎DN+MN=BN+MN=BM,

BCD=BC=6fDM=2,

團加。=4,

EIBM=V42+62=2V13；

(3)如圖2,延長DC到D',使CD=CD',

作點G關于點C的對稱點/，貝爐G=FG1

^D'A1LCD',D'A'=DA,作點H關于點C的對稱點H',則G'H'=GH,

作4夕1作點E關于點C的對稱點E",則=HE,

作點E"關于點A的對稱點E，，則"E"=H'E',

WE'=HE.A'E'=AE,

過點。作E'KIAK,交4B的延長線于點K,則EK=24B,

容易看出，當昆尸,6',彳,可在一條直線上時，路程最小，

最小路程為EE，=>JEK2+E'K2=V(2XB)2+(2BC)2=24&(m).

答：游戲者所跑的最少路程是24&(m).

【點睛】本題考查正方形的性質以及最短路程問題，解題的關鍵是正確畫出圖形，根據兩點之間線段最短

的道理求解.

30.(2023上?陜西西安?七年級西安市鐵一中學校考期末)如圖所示，已知C、D是線段上的兩個點，M、

N分別為4C、BD的中點.

(1)若48=10cm,CD=4cm,求4C+BD的長及M、N的距離.

⑵如果力B=a,CD=b,用含a、b的式子表示MN的長.

IIIIII

AMCDNB

【答案】⑴6cm,7cm；(2)MN=1(a+/?)

【分析】⑴根據/C+80=ZB-CO列式進行計算即可求解，根據中點定義求出ZM+BN的長度，再根據

MN=AB-CAM+BN)代入數據進行數據計算即可求解；

(2)根據⑴的求解,把48、CD的長度換成a、b即可.

【詳解】解：⑴r4B=10cm,CD=4cm,

???AC+BD=AB-CD=10—4=6cm,

???M.N分別為4C、BD的中點，

AM+BN=-AC+-BD=-(AC+BD)=3cm,

???MN=AB-(AM+BN)=10-3=7cm；

⑵根據⑴的結論，

AM+BN=^AC+^BD=+BD)="a-b),

???MN=AB-(AM+B/V)=a-|(a-b)=|(a+Z?).

【點睛】本題考查了兩點間的距離，中點的定義，結合圖形找準線段之間的關系是解決的關鍵.

31.(2023上?山西太原?七年級成成中學校考階段練習)4、8兩點之間的距離表示為4B,點4、8在數軸上

分別表示有理數a,b,在數軸上4B兩點之間的距離AB=

AB

請用上面的知識解答下列問題：

(1)數軸上表示2和6的兩個點之間的距離是,數軸上表示-1和-3的兩點之間的距離是

,數軸上表示2和-3的兩點之間的距離是.

(2)數軸上表示久和-2的兩點C和D之間的距離是；如果|CD|=3,那么x為.

(3)求+1|+|x-2|的最小值.

【答案】(1)4；2；5；(2)\x+2\；1或一5(3)3

【分析】(1)直接利用數軸上兩點之間的距離公式：力8=|a-b|計算即可；

(2)先利用數軸上兩點之間的距離公式：4B=|a-b|計算C和D之間的距離，再解絕對值方程即可；

(3)由|x+l|+|x—2|表示x到-1的距離加上x到2的距離和，再畫出圖形，利用兩點之間，線段最短可

得答案.

【詳解】解：(1)數軸上表示2和6的兩個點之間的距離是：6-2=4；

數軸上表示—1和—3的兩點之間的距離是：—1-(-3)=2；

數軸上表示2和-3的兩點之間的距離是：2-(-3)=5；

故答案為：4；2；5

(2)數軸上表示x和一2的兩點C和。之間的距離是：|x—(—2)|=忱+2|；

當|CD|=3,即|x+2|=3,

x+2—3或%+2——3,

-?■x=1或x=—5.

C對應的數可能是1或-5

(3)|x+1|+|x-2|表示x到-1的距離加上X到2的距離和，

如圖，

k+UXT

??zl?回?|c???,

-3-2-1ox12345

當-1W比W2時原式有最小值為4B+BC=2-(-1)=3.

【點睛】本題考查的是數軸上兩點之間的距離，掌握利用數形結合的方法解題是解題的關鍵.

32.(2023下?山東濟南?七年級統考期末)如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位,

A4BC的三個頂點都在格點上.

⑴在網格中畫出△48C關于直線爪對稱的AaiBiG；

(2)在直線m上畫一點P,使得AACP的周長值最小，周長最小值為.(簡要敘述點P的畫法)

【答案】⑴見解析

(2)見解析，5+V17

【分析】(1)根據軸對稱變換的性質找出對應點，順次連接即可；

(2)連接C4］交直線小于點P,則點P即為所求，連接2P,此時AACP的周長值最小，再根據軸對稱的性質,

得出AACP的周長最小值為4C+a4,再根據勾股定理結合網格即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，AABiCi即為所求；

(2)解：如圖，連接C公交直線小于點P,則點P即為所求，連接AP,此時AACP的周長值最小,

點4與點兒關于直線m對稱，點P在直線山上,

AP=ArP9

[3△4cp的周長最小值=ac+cp+力p=ac+cp+4P=A'c+a4,

團每個小正方形的邊長均為1個單位，

0i4zC=V32+42=5,CA="2+42=i/17,

EIAACP的周長最小值為：A'C+CA=5+V17,

故答案為：5+V17.

【點睛】本題考查了作軸對稱圖形、軸對稱變換的性質、勾股定理，熟練掌握軸對稱變換的性質是解題的

關鍵.

33.(2023?河北石家莊?校考三模)已知A,8是數軸上兩點，點A在原點左側且距原點20個單位，點B在

原點右側且距原點100個單位.

--------1-----1--------------1------->

AOB

(1)點A表示的數是：；點8表示的數是：.

(2)A,8兩點間的距離是一個單位，線段A8中點表示的數是.

(3)現有一只電子螞蟻尸從點B出發以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻。恰好從點A

出發以4個單位/秒的速度向右運動.設兩只電子螞蟻在數軸上的點C處相遇，求點C表示的數.

【答案】(1)-20,100.(2)120,40；(3)28.

【分析】(1)根據點的位置確定符號和值即可；

(2)用兩個點表示的數相減即可，求出中點到A的距離，再求中點表示的數；

(3)求出相遇的時間，再求出C點與A的距離，即可求出C點表示的數.

【詳解】解：(1)回點A在原點左側且距原點20個單位，點2在原點右側且距原點100個單位，

回點A表示的數是：-20；點8表示的數是：100.

故答案為：-20,100.

(2)A,B兩點間的距離是100-(-20)=120；

線段中點到A的距離是120+2=60,

線段A2中點表示的數為-20+60=40；

故答案為：120,40；

(3)兩只電子螞蟻在數軸上相遇的時間為120+(4+6)=12(秒)

點C距A的距離為12x4=48,

點C表示的數為-20+48=28.

【點睛】本題考查了數軸上的動點問題，解題關鍵是理解數軸上點表示的數的意義，會求兩點間的距離.

34.（2023上,七年級課時練習）在桌面上放了一個正方體盒子，如圖，一只螞蟻在頂點A處，它要爬到頂

點8處找食物，你能幫助螞蟻設計一條最短的爬行路線嗎？要是爬到頂點C呢？

【答案】能，圖見解析

【分析】先展開正方形的側面，根據兩點之間線段最短即可得.

【詳解】解：下圖是正方體的側面展開圖（側面展開圖不唯一），螞蟻爬到頂點8處的最短路線為線段AB；

爬到頂點C處的最短路線為線段AC（路線AC不唯一）.

【點睛】本題考查了最短路徑問題，解題的關鍵是掌握兩點之間線段最短.

【能力提升】

35.（2022上?河南周口?七年級校考階段練習）（1）如圖，已知點C在線段4B上，且AC=6cm,BC=4cm,

點M、N分別是AC、8C的中點，求線段MN的長度；

（2）若點C是直線AB上任意一點，且4C=a,BC=b,WM、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長

度；（用。、b的代數式表示）

IIIII

4MCNB

【答案】（l）5cm；（2）當點C在2點的右邊時，MN=g（a_b）,當點C在A點的左邊時，MN=/b-a）,

點C在線段AB上時，MN=^（a+b）.

【分析】（1）由線段中點的定義可知：MC=1AC,NC=^BC,從而可求得MN的長；

（2）由線段中點的定義分三種情況：當點C在B點的右邊時，當點C在A點的左邊時，點C在線段AB上

時，進而解答即可.

【詳解】解：（1）回點M、N分別是AC、BC的中點，且力C=6cm,BC=4cm,

11

團MC=-AC=3,NC=-BC=2.

22

EIMN=MC+NC=3+2=5(cm).

(2)①當點C在8點的右邊時，AC=a,BC=b,點、M、N分別是AC、BC的中點，如圖，

AMBNC

得MC=L4C=^a,NC=-BC=-b.

2222

由線段的和差，得MN=MC-NC=1-鈔=g(a-b)；

②當點C在A點的左邊時，AC=a,BC=b,j^、M、N分別是力C、BC的中點，如圖，

CMANB

得MC=