第6講等腰三角形專題復習

考點一等腰三角形的邊與角

【知識點睛】

?定義：有兩條邊長相等的三角形是等腰三角形

等腰三角形的定義方面，常和△的三邊關系、△的周長、邊的奇偶性等考點一起出題，

做題時注意考慮全面

?邊與角：等邊對等角

等腰三角形的兩底角相等，常和△內角和、△外角定理、平行線等考點一起出題，做

題時謹遵一條一一題目中出現什么概念，就立刻想其對應的性質。

?知二得一模型

①角平分線、②平行線、③等腰三角形

以上三個條件，已知任意兩個，就可以推出剩余一個。

?等邊三角形

等邊三角形的三條邊相等，三個角都等于60°

【類題訓練】

1.若等腰三角形的兩邊長分別是3cH7和5。相，則這個等腰三角形的周長是（）

A.8cmB.13cmC.8cmBK13cmD.llaw或13cv〃

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3c機和5cm而沒有明確腰、底分別是多少，

所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.

【解答】解：當3c機是腰長時，3,3,5能組成三角形，

當5c加是腰長時，5,5,3能夠組成三角形.

則三角形的周長為llaw或13cm.

故選：D.

2.等腰三角形的周長是10,其中一邊長為2,則這個等腰三角形底邊的長度為（）

A.2B.6C.2或8D.2或6

【分析】分為兩種情況：2是等腰三角形的腰或2是等腰三角形的底邊，然后進一步根據

三角形的三邊關系進行分析能否構成三角形.

【解答】解:若2為等腰三角形的腰長，則底邊長為10-2-2=6,2+2<6,故不符合

三角形的三邊關系；

若2為等腰三角形的底邊，則腰長為（10-2）+2=4,此時三角形的三邊長分別為4,4,

2,符合三角形的三邊關系；

???等腰三角形的底邊長為2,

故選：A.

3.已知實數x,y滿足JU+(y-8)2=0,則以無，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長

是()

A.20或16B.20

C.16D.以上答案均不對

【分析】先根據非負數的性質列式求出x、y的值，再分4是腰長與底邊兩種情況討論求

解.

【解答】解：根據題意得，x-4=0,y-8=0,

解得x=4,y=8,

①4是腰長時，三角形的三邊分別為4、4、8,

V4+4=8,

不能組成三角形；

②4是底邊時，三角形的三邊分別為4、8、8,

能組成三角形，周長=4+8+8=20.

所以，三角形的周長為20.

故選：B.

4.如果等腰三角形的周長是35cm,一腰上中線把三角形分成兩個三角形，其周長之差是

4cm,則這個等腰三角形的底邊長是9cm^—cm.

3

【分析】根據題意畫出圖形，設等腰三角形的腰長為xcm,則底邊長為(19-2x)cm,

再根據兩個三角形的周長差是4cm求出x的值即可.

【解答】解：如圖所示，等腰△ABC中，AB=AC,點。為AC的中點，設AB=AC=xaw,

:點。為AC的中點，

：.AD^CD=2L,BC=25-(AB+AC)=35-2尤，

2

當AABD的周長大于△BC。的周長時，

AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=4,即x+3-(35-2%)-工=4,解得x=13,

22

底邊長為35-13X2=9(cm)；

當△BCD的周長大于的周長時，

則BC+CD+BD-CAB+AD+BD}=4,即35-2x+3-（x+工）=4,解得尤=11,

223

底邊長為35-1LX2=絲（cm）.

33

綜上所述，這個等腰三角形的底邊長為9c機或轂。小

3

故答案為：或更?”!.

5.定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等

腰△ABC是“倍長三角形"，底邊BC的長為3,則腰48的長為6.

【分析】由等腰△ABC是''倍長三角形“，可知AB=28C或8c=248,若AB=2BC=6,

可得AB的長為6；若BC=3=2AB,因1.5+1.5=3,故此時不能構成三角形，這種情況

不存在；即可得答案.

【解答】解：：等腰△ABC是“倍長三角形”，

：.AB=2BC^BC=2AB,

若AB=2BC=6,則△ABC三邊分別是6,6,3,符合題意，

...腰43的長為6；

若BC=3=2AB,則AB=1.5,△ABC三邊分別是1.5,1.5,3,

V1.5+1.5=3,

...此時不能構成三角形，這種情況不存在；

綜上所述，腰A8的長是6,

故答案為：6.

6.等腰三角形頂角度數比一個底角度數的2倍多20°,則這個底角的度數是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】設底角的度數是X。，則頂角的度數為（2尤+20）°,根據三角形內角和是180°

列出方程，解方程即可得出答案.

【解答】解：設底角的度數是x°,則頂角的度數為（2x+20）°,

根據題意得：x+x+2x+20=180,

解得：x=40,

故選：B.

7.如圖，AB//CD,ZGFD=32°,EG=EF,則NEFG的度數等于（）

A.64°B.32°C.62°D.96°

【分析】由平行線的性質可得/片6尸=/6/。=32°,再由等腰三角形的性質可得到N

EFG=NEGF,即得解.

【解答】解：-AB//CD,ZGFD=32°,

：.ZEGF=ZGFD=32°,

°：EG=EF,

：?NEFG=/EGF=32°.

故選：B.

8.如圖，在△ABC中，AB=AC,直線。E,FG分別經過點5,C,DE//FG.若NDBC=

45°,ZACG=10°,則NA8E的度數為（）

A.100°B.105°C.110°D.115°

【分析】根據平行線的性質可得N8CG的度數，再根據NACG=10°,可得NAC3的度

數，根據等腰三角形的性質可得NAC5=35°,進一步即可求出NA3E的度數.

【解答】解：???。石〃尸G,

：.ZBCG=ZDBC=45°,

VZACG=10°,

ZACB=45°-10°=35°,

\UAB=AC,

：.ZABC=ZACB=35

又?.?NEBC=180°-45°=135°，

：.ZABE=135°-35°=100°,

故選：A.

9.如圖，BE//AD,AC=BCf若NCBE=108°,則NA的大小是（）

A.36°B.38°C.46°D.72°

【分析】根據平行線的性質可得NBCO的度數，再根據等腰三角形的性質即可求出NA

的度數.

【解答】解：-BE//AD,

：.ZCBE+ZBCD=1SO°,

VZCBE=108°,

：.ZBCD=180°-108°=72°,

?：AC=BC,

/.ZA=ZCBA=72°4-2=36°,

故選：A.

10.如圖，在△ABC中，A5=AC,BD為AABC的角平分線，NC=70°,則N5OC=()

A.30°B.40°C.70°D.75°

【分析】首先根據等腰三角形的性質求出NA5C的度數，再根據角平分線的性質求出N

03c的度數，最后根據三角形內角和定理求出NBOC的度數.

【解答】解：???A3=AC,

AZABC=ZC=70°,

?：BD是NA3C的角平分線,

AZABD=ZDBC=35°,

：.ZBDC=180°-ZDBC-ZC=180°-35°-70°=75°,

故選：D.

11.如圖，ZCAD=20°,AD^BD^AC,則NB的度數為40°.

【分析】根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質即可得到結論.

【解答】解：：AO=AC,

ZADC=ZC,

ZDAC=2Q°,

：.ZADC=ZC=^x(180°-20°)=80°,

2

\'AD=BD,

：.ZB=ZBAD,

'：ZADC=ZB+ZBAD=2ZB,

A/BAX80°=40。，

2

故答案為：40.

12.已知AABC是等腰三角形.若/A=40°,則AABC的頂角度數是40°或100°.

【分析】分NA是頂角和底角兩種情況討論，即可解答.

【解答】解：當/A是頂角時，△ABC的頂角度數是40°；

當NA是底角時，則△ABC的頂角度數為180°-2X40°=100°；

綜上，AABC的頂角度數是40°或100°.

故答案為：40°或100°.

13.在等腰三角形中，已知頂角與底角的度數比為1：2,則頂角的度數是36。.

【分析】設等腰三角形的各角為x,2尤，2x,根據三角形的內角和公式列方程，從而可求

得頂角的度數.

【解答】解：設等腰三角形的各角為x,2x,2x,則

Vx+2x+2x=180°,

.'.x=36°,

故頂角的度數是36°.

故答案為：36°.

14.等腰三角形中有一個內角是70°,則另外兩個內角的度數分別為55。，55°或70°,

40°.

【分析】已知給出了一個內角是70°,沒有明確是頂角還是底角，所以要進行分類討論.

【解答】解：分情況討論：

(1)若等腰三角形的頂角為70°時，另外兩個內角=(180°-70°)+2=55°；

(2)若等腰三角形的底角為70°時，它的另外一個底角為70°,頂角為180°-70°-

70°=40°.

故答案為：55°,55°或70°,40°.

15.如圖，8E是△ABC的角平分線，點。在A8上，MDB=DE.

(1)求證：DE//BC-,

(2)若乙4=60°，ZAED=50°，求/C8E的大小.

【分析】(1)根據角平分線的定義可得從而求出再利

用內錯角相等，兩直線平行證明即可；

(2)由(1)中。E〃3C可得到NC=45°,再根據三角形的內角和等于180°

求出NABC,最后用角平分線求出即可得解.

【解答】(1)證明：??.BE是△ABC的角平分線，

：.ZDBE=ZEBC,

,:DB=DE,

：.NDEB=ZDBE,

：.ZDEB=ZEBC,

：.DE//BC；

(2)解：\'DE//BC,

：.ZC=ZAED=50°,

在△ABC中，ZA+ZABC+ZC=180°,

AZABC=180°-ZA-ZC=180°-60°-50°=70°,

BE是ZiABC的角平分線，

AZ￡）BE=ZEBC=AZABC=35°.

2

16.已知一個等腰三角形的腰長為無，底邊長為y,周長為11.

（1）寫出y與x的關系式為y=-2x+ll；

（2）若yW3,請求出符合條件的整數x的值.

【分析】（1）根據三角形的周長可得2x+y=ll,變形即可求出y與無關系式；

（2）根據yW3可得-2x+llW3,再根據>>0,可得-2x+ll>0,分別解不等式求出x

取值范圍，進一步取整即可.

【解答】解：（1）根據題意，得2x+y=ll,

?'?y=-2%+n,

故答案為：y=-2x+ll；

（2）當yW3時，-2x+llW3,

解得x》4,

:-2x+ll>0,

：.x<5.5,

尤的取值范圍是：4—<5.5,

；.尤取整數4或5.

17.在△ABC中，AB^AC,AC邊上的中線2。把△ABC的周長分成15和6兩部分，求這

個三角形的腰長及底邊長.

【分析】已知腰上的中線8。將這個等腰三角形的周長分成15和6兩部分，而沒有說明

哪部分是15,哪部分是6；所以應該分兩種情況進行討論：第一種48+40=15,第二種

AB+AD=6；分別求出其腰長及底邊長，然后根據三角形三邊關系定理將不合題意的解舍

去.

【解答】解：如圖，

A

B

解：設AD=x,

是△ABC的中線，

CD—AD=—AC—x,

2

5L'：AB=AC,

'.AB—AC—lx,

又：中線BD把AABC的周長分成15和6兩部分，

①當40+48=15時，有2x+x=15,得尤=5,即42=10,

：.BC+CD=6,即5+BC=6,得8c=1,

等腰△ABC的腰為10,底邊為1；

②當AD+A8=6時，有2x+x=6,得x=2,即AB=4,

：.BC+CD=15,即BC+2=15,得BC=13,

又：4+4<13,

此種情況不能構成三角形.

???綜上所述：等腰AABC的腰為10,底邊為1.

考點二等腰三角形的“三線合一”

【知識點睛】

?等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合，簡稱等腰“三線

合—

三線合一相關結論：

①等腰三角形的軸對稱性：對稱軸為底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高線）所

在的直線；

②等腰三角形的三線合一在用于求角度時，多注意角平分線與垂直所得90°的關系，

同步應用三角形內角和與外角定理

?特別注意：

①等邊三角形三邊均存在“三線合一”，對稱軸有3條，分別是“三線”所在的直線

②等腰三角形的對稱軸有1條或3條

【類題訓練】

1.如圖，在△ABC中，AB^AC,AO_LBC于點。，若BC=6,則CD=3.

【分析】根據等腰三角形的性質可知。是BC的中點，即可求出C。的長.

【解答】解：'：AB=AC,AD±BC,

：.CD=BD,

\"BC=6,

:.CD=3,

故答案為：3.

2.如圖所示，在等邊三角形ABC中，AD±BC,E為4。上一點，/CED=50°,則/ABE

等于（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【分析】先根據等腰三角形的性質可知是BC的垂直平分線，得出NABC=NACZ）,

/ABE=ZACE.可求出ZABE的值.

【解答】解：：在等邊三角形ABC中，AD±BC,

：.AD是BC的線段垂直平分線，

是上一點，

:.EB=EC,

：.ZEBD=ZECD,

?：ZCED=50°,

Z￡C￡>=40°,

又?.?/ABC=60°,NECD=40°,

：.ZABE=60°-40°=20°,

故選：C.

3.如圖，在△ABC中，AB=AC.AD是8c邊上的中線，點E在邊AB上，MBD=BE.若

NA4C=100°,則的大小為20度.

【分析】根據三角形內角和定理和等腰三角形的性質求出/以同理求出N8AE,求出/

ADB,再求出答案即可.

【解答】解：：A2=AC,Nft4c=100°,

.\ZB=ZC=A(180°-NBAC)=40°,

2

,:BD=BE,

：.ZBDE=ZBED=1.(180°-ZB)=70°,

2

\'AB^AC,A。是BC邊上的中線，

：.AD±BC,

：.ZADB=90°,

：.ZADE=ZADB-ZBDE=9Q°-70°=20°,

故答案為：20.

4.如圖，ZsABC中，AB=AC,AO_LBC于。，BE_LAC于E,下列結論不成立的是()

A.N1=N2B./EBC=/2C./BAC=/AFED.NAFE=NC

【分析】由AB=AC,A￡>_LBC可得AO平分/BAC,判斷出/l=/2,再根據ADJ_BC

于。，BELACE,可知/ADC=N3EC=90°,可判斷出2與。正確.

【解答】解：:△ABC中，AB=AC,ADLBC,

.?.AD平分/2AC,

.?.Z1=Z2,

故A正確，不符合題意；

于。，BELAC,

：./ADC=NBEC,

：/C=/C,

：.ZEBC=Z2,

故B正確，不符合題意；

ZAFE是AABF的外角，

Z.ZAFE=Z1+ZABF,

無法得到NAB廣=N2,

無法得到ZBAC=ZAFE,

故C錯誤，符合題意；

在RtZSAEF中，ZAFE=90°-Z2,

在RtZVIOC中，ZC=90°-Z2,

ZAFE=ZC,

故。正確，不符合題意；

故選：C.

5.如圖：AABC+,AB=AC,。為BC邊的中點，DE1AB.

(1)求證：/BAC=2/EDB；

(2)若AC=6,DE=2,求△ABC的面積.

【分析】(1)根據等腰三角形三線合一的性質以及余角的性質即可求解;

(2)根據三角形面積公式，以及中點的性質即可求解.

【解答】解：(1)'：AB=AC,。為BC邊的中點

???AD工BC,ZBAD=ZCAD-|ZBAC

：.ZB+ZBAD^9Q°

:DELAB

；./B+/EDB=90°

?'?ZEDB=ZBAD-1-ZBAC

即/54C=2/E￡)B

(2)；AB=AC=6,DE=2

.1

2X5=6

為BC邊的中點

??S^\ADC=S/\ADB=6

S/\ABC=12

6.如圖，AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線，若AB=AC,ZBAC=40°,則/CH￡)

的度數是()

A.25°B.35°C.45°D.55°

【分析】依據三角形內角和定理，即可得到NAC2的度數，再根據角平分線的定義和三

角形外角的性質，即可得到結論.

【解答】解:-：AB^AC,

：.ZB=ZACB,

VZBAC=40°,

AZACB=-lx(180°-40°)=70°,

2

：AZ)是△ABC的中線，

：.AD是AABC的角平分線，

ZCA￡>=AZBAC=20°,

2

,:CE是AABC的角平分線，

AZACE=^ZACB=35°,

2

ZCHD=ZCAD+ZACE=55°.

故選：D.

7.如圖，△ABC中，AB=AC,BC=3,點石為中線AO上一點，已知AAB石和△COE的

面積分別為1.5和2,則AD的長度為邑

BAD

【分析】首先根據等腰三角形的三線合一的性質得到AD是底邊上的高，然后求得三角

形的面積，從而根據底邊的長求得底邊上的高.

【解答】解：點E為中線上一點,

C.ADLBC,

:AABE和△COE的面積分別為1.5和2,

SAABC=—BC*AD=2(SAABE+SACDE)=2(1.5+2)=7,

2

\'BC=3,

：.AD=1^,

3

故答案為：11.

3

8.如圖，在△ABC中，ZABC=70°,AB=AC=16,。為BC中點，點N在線段AD上,

NM〃AC交AB于點、M,BN=6.

(1)求NCA。度數；

(2)求的周長.

【分析】(1)由等腰三角形性質和三角形內角和定理可求出NCAD度數；

(2)由平行線的性質及等腰三角形性質可得到AM=NM,則求的周長可轉化成

求線段AB和線段BN的和，由題中給出的條件即可求出結果.

【解答】解：(1)'：AB=AC,

...△ABC是等腰三角形，

又：/ABC=70°,

.?.NR4c=180°-70°義2=40°,

又?.?〃為BC的中點，

：.AD平分/BAC,

AZCAD^ZBAD^IZBAC=I-x40°=20°,

22

故/。。度數為20°；

(2)'.,NM//AC,

：.ZANM=Z.CAD,

又,.,/CAZXNRW,

/ANM=ABAD,

:.AM=NM,

：.叢BMN的周長=MB+BN+NM=AB+BN,

'：AB=16,BN=6,

：.dBMN的周長=16+6=22.

故△BMN的周長為22.

9.如圖，在△ABC中，AB=AC.

(1)如圖1,如果NBAD=30°,是8C上的高，AD^AE,則NE￡)C=15°；

(2)如圖2,如果N8AO=40°,4。是8c上的高，AD=AE,則NEDC=20。；

(3)思考：通過以上兩題，你發現NR4。與NEDC之間有什么關系？請用式子表示；

(4)如圖3,如果AD不是BC上的高，AD=AE,是否仍有上述關系？如有，請你寫出

來，并說明理

【分析】(1)根據等腰三角形的性質得到ZBAD=ZCAD,根據三角形內角和定理計算,

得到答案；

(2)仿照(1)的作法解答；

(3)根據(1)(2)的結論總結規律，得到答案；

(4)根據等腰三角形的性質得到根據三角形的外角性質計算即可.

【解答】解：(1):在△ABC中，AB=AC,AO是3c上的高，

：.ZBAD=ZCAD,

t：ZBAD=30°,

：.ZCAD=ZBAD=30°,

*：AD=AE,

：.ZADE=ZAED=75°,

：.ZEDC=15°,

故答案為：15°；

(2):在△ABC中，AB=AC,A。是5C上的高，

：.ZBAD=ZCAD,

VZBAD=40°,

：.ZCAD=ZBAD=40°,

9：AD=AE,

：.ZADE=ZAEZ)=70°,

：.ZEDC=20°,

故答案為：20°；

(3)ZBAD=2ZEDC；

(4)仍有上述關系，

理由如下，*：AD=AE,

：.ZADE=NAED,

ZBAD+ZB=NADE+NEDC,ZAED=NEDC+NC,

：.ZBAD+NB=ZEDC+ZC+ZEDC=2NEDC+ZC

*：AB=AC,

:,/B=/C,

：.ZBAD=2ZEDC.

考點三等腰三角形的判定

【知識點睛】

等腰三角形的判定

1.定義法：如果一個三角形的兩條邊相等，那么這個三角形是等腰三角形

2.等角對等邊

等邊三角形的判定：

1.三條邊（或三個角）都相等的三角形是等邊三角形

2.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形

3.有兩個角是60°的三角形是等邊三角形

【類題訓練】

1.如圖，每個小方格的邊長為1,A,2兩點都在小方格的頂點上，點C也是圖中小方格的

頂點，并且AABC是等腰三角形，那么點C的個數為（）

A.1B.2C.3

【分析】根據“兩圓一線”畫圖找點即可.

【解答】解：如圖，C點與尸、。、R重合時，均滿足AABC

是等腰三角形，

故選：C.

2.在△ABC中，已知/B4C=90°,AB^AC,若用無刻度的直尺和圓規在BC上找一點D,

使△AC。是等腰三角形，則下列作法中，正確的有（）

【分析】根據作圖痕跡可知，圖①作的是NBAC的平分線，圖②作的是C4=C。，圖③

作的是AC的垂直平分線，然后逐一判斷即可解答.

【解答】解：圖①：由題意得：平分NBAC,

：.ZBAD=ZCAD=^ZBAC=45°,

2

,：ZBAC=9Q°,AB^AC,

.?./BW/CW45。，

：.ZC^ZCAD,

.?.△AC。不是等腰三角形，

故①錯誤；

圖②：由題意得：

CA=CD,

...△AC。是等腰三角形，

故②正確；

圖③：由題意得：

點。在AC的垂直平分線上，

：.DA=DC,

...△AC。是等腰三角形，

故③正確，

所以，上列作法中，正確的有：②③，

故選：A.

3.在△ABC中，/A=40°,當NB=40°、70°或100°時,/XABC是等腰三角形.

【分析】分為兩種情況：(1)當NA是底角，①AB=BC,根據等腰三角形的性質求出/

A=NC=40°,根據三角形的內角和定理即可求出N&?AC=BC,根據等腰三角形的

性質得到/A=NB=40°；(2)當/A是頂角時，AB=AC,根據等腰三角形的性質和三

角形的內角和定理即可求出/用

【解答】解：(1)當NA是底角，①AB=BC,

；.NA=/C=40°,

：.ZB=1800-ZA-ZC=100°；

?AC=BC,

：.ZA=ZB=40°；

(2)當NA是頂角時，AB^AC,

.,.ZB=ZC=A(180°-NA)=70°.

2

故答案為：40°或70°或100°.

4.求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角

形.

己知：如圖，NCAE是△ABC的外角，/1=N2,AD//BC.求證AB=AC.

以下是排亂的證明過程：

①又N1=N2,②：./B=NC,@'：AD//BC,=Z2=ZC,

?：.AB=AC.證明步驟正確的順序是（）

A.③一②一①一④一⑤B.③f④一①一②一⑤

C.①一②一④一③一⑤D.①一④一③一②一⑤

【分析】先由平行線的性質得=N2=/C,等量代換得到/B=NC,然后由等

角對等邊即可得出結論.

【解答】解：：③AO〃8C,

：.@Z1=ZB,Z2=ZC,

:①/1=/2,

.?.②NB=NC,

：.@AB=AC,

故證明步驟正確的順序是③一④一①一②一⑤，

故選：B.

5.用一根長18c機的細繩圍成一個其中一邊長為4c機的等腰三角形，則腰長是7cm.

【分析】分兩種情況：4c機為腰長和底邊長計算可求解.

【解答】解：當4cm為腰長時，腰長為4CTH,

?.*18-4-4=10,4+4<10,

...三角形不存在；

當4°冽為底邊長時，腰長為.18-4.=75,

2

：4+7>7,

三角形存在.

等腰三角形的腰長為1cm，

故答案為：7.

6.如圖，下列3個三角形中，均有A8=AC,則經過三角形的一個頂點的一條直線不能夠

將這個三角形分成兩個小等腰三角形的是②（填序號）.

【分析】頂角為：36。，90°的3種等腰三角形都可以用一條直線把這3個等腰三角形

每個都分割成兩個小的等腰三角形，再用一條直線分其中一個等腰三角形變成兩個更小

的等腰三角形.

【解答】解：由題意知，要求“被一條直線分成兩個小等腰三角形”，

①中分成的兩個等腰三角形的角的度數分別為：36°,36°,108°和36°,72°,72。，

能；

②不能；

③顯然原等腰直角三角形的斜邊上的高把它還分為了兩個小等腰直角三角形，能；

故答案為：②.

7.如圖，在△ABC中，AB=AC,NA4c=108°,AC的中垂線交于點。，交AC于點

E,連接AD,則圖中等腰三角形有3個.

【分析】由AB^AC可判定△ABC是等腰三角形，有/B=/C=36°,再由中垂線得

AD=CD,則△AOC是等腰三角形，ZDAC=ZC=36°,從而可求得/8AO=72°,Z

ADB=72。，則可判定△BAD是等腰三角形.

【解答】解：：AB=AC,ZBAC=108°,

.?.△ABC是等腰三角形，NB=/C=(180°-NBAC)+2=36°,

：AC的中垂線交3c于點。，交AC于點E,

：.AD=CD,

.?.△ADC是等腰三角形，ZDAC=ZC=36°,

：.ZBAD=ZBAC-ZDAC^12°,ZADB=ZDAC+ZC=72°,

NBAD=ZADB,

...△84。是等腰三角形.

故圖中等腰三角形有3個.

故答案為：3.

8.如圖，在△ABC中，AB=AC=2,ZB=ZC=40°，點。在線段8C上運動(點。不

與點2、C重合)，連接4。，作NAOE=40°,DE交線段AC于點E.

(1)點。從8向C的運動過程中，/8ZM逐漸變小(填“大”或“小”)；

(2)在點。的運動過程中，當NBD4的度數是110°或80°時,△AOE是等腰三

【分析】(1)結合圖形分析即可解答；

(2)分三種情況，當AD=AE時，當D4=￡?E時，當E4=E。時，然后利用等腰三角

形的性質進行計算即可解答.

【解答】解：(1)點。從8向C的運動過程中，/BD4逐漸變小，

故答案為：小;

(2)分三種情況：

當A￡)=AE時，

AZA￡)￡=ZA￡￡>=40°,

ZAED是△DEC的外角,

Z.ZAED>ZC,

此種情況不存在，

當D4=DE時，

VZADE^4Q°,

：.ZDAE=ZDEA=70°,

,：ZC=40°,

AZBDA=ZDA￡+ZC=110°,

當EA=￡D時，

：.ZEAD=ZADE=4Q°,

VZC=40°,

：.ZBDA=ZEAD+ZC=S0°,

綜上所述：/BDA的度數是110°或80°,

故答案為：110°或80°.

9.如圖，等邊△ABC的邊長為12c?i,M,N兩點分別從點A,B同時出發，沿△ABC的邊

順時針運動，點/的速度為lcm/s,點N的速度為2c"/s,當點N第一次到達8點時，

M,N兩點同時停止運動，則當M,N運動時間/=4或16s時,△AMN為等腰三角

形.

【分析】分兩種情況求解：如圖1,由可得AN=4W,可列方程求解；如圖2,首先假設

△AMN是等腰三角形，可證出△ACM■絲△ABN,可得CM=BN,設出運動時間，表示出

CM,NB,的長，列出方程，可解出未知數的值.

【解答】解：如圖1,設點M、N運動x秒后，AN=AM,

由運動知，AN—12-lx,AM—x,

??12-2x=x,

解得：x=4,

???點M、N運動4秒后，△AMN是等腰三角形;

c

如圖，假設△AMN是等腰三角形，

：.AN=AM,

：./AMN=/ANM,

：.ZAMC=NANB,

?:△ACB是等邊三角形，

：.ZC=ZB,

在△ACM和aABN中，

NC=NB,ZAMC=ZANB,AC=AB.

???△ACM妾LABN(AAS),

???CM=BN,

設當點A/、N在3C邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AA/N是等腰三角形,

CM=y-12,NB=36-2y,

■:CM=NB,

.\y-12=36-2y,

解得：y=16.故假設成立.

...點M、N運動時間為4秒或16秒時，△AMV為等腰三角形.

故答案為：4或16.

圖1

10.如圖，已知/MOM在邊ON上順次取點Pi,尸3,P5…,在邊0M上順次取點尸2,

尸4,P6…，使得OP1=P1P2=P2P3=P3P4=尸4P5…，得到等腰△0P1P2,ZkPlP2P3,2P3P4,

△P3P4P5…

(1)若/MON=30°,可以得到的最后一個等腰三角形是△PiP2P3；

(2)若按照上述方式操作，得到的最后一個等腰三角形是△尸3P4P5,則NMON的度數

a的取值范圍是1是Wa<22.5°.

【分析】(1)利用等腰三角形的性質求出/0尸2尸3即可判斷.

(2)由題意要使得得到的最后一個等腰三角形是△尸3P4尸5,需要滿足：/尸4尸3P5=4a<

90°且NMP4尸5=5aN90°,解不等式即可解決問題.

【解答】解：⑴：OP1=P1P2=P2P3,

...NOP2尸1=NO=30°,

ZP2P1P3—ZP2P3P1—600,

；./OP2P3=90°,

.?.△尸2尸3尸4不存在，

???得到的最后一個等腰三角形是aPlP2P3.

故答案為△PP2P3.

(2)由題意要使得到的最后一個等腰三角形是△尸3尸4P5,

需要滿足：/P4尸3P5=4a<90°且NMP4尸5=5a290°,

.?.18°Wa<22.5°,

故答案為18°Wa<22.5°.

11.在△ABC中，20是角平分線，求：

22

(1)NA的度數？

(2)求證：△D8C是等腰三角形.

A

【分析】（1）由三角形內角和定理可求解；

（2）由角平分線的性質可求/BOC=NC=72°,可證可得結論.

【解答】（1）解：VZA=AZC=1ZABC,NA+N2+/C=180°,

22

/.ZA=36°,NABC=NC=12°；

（2）證明：：臺/）是角平分線，

AZABD=ZCBD=1-ZABC=36°,

2

：.ZBDC=12°,

：.ZBDC=ZC=12°,

：.BD=BC,

:ABDC是等腰三角形.

12.如圖，在△ABC中，AB=AC,M、N分別是AB,AC邊上的點，并且MN〃BC.

（1）求證：△AMN是等腰三角形；

（2）點P是MN上的一點，并且8尸平分NABC,求證：△BPM是等腰三角形.

【分析】（1）先利用等腰三角形的性質得到ZABC=ZC,再根據平行線的性質得到ZAMN

=ZABC,ZANM=ZC,則然后可判斷△AMN是等腰三角形；

（2）先根據3尸平分NABC得到再根據平行線的性質得到NMPB=N

CBP,于是得到然后可判斷△8PM是等腰三角形.

【解答】證明：（1）'：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

■:MN//BC,

：.ZAMN=ZABC,/ANM=/C,

：./AMN=/ANM,

:.AM=AN9

???△AMN是等腰三角形；

(2),.,3尸平分NABC,

，/MBP=/CBP,

?:MN〃BC,

:./MPB=/CBP,

：.ZMBP=ZMPB,

:?MB=MP,

???△8PM是等腰三角形.

13.如圖，在△ABE中，NEAC=NB,點C在BE上，平分NA4C,交8C于點。，EF

±AD,NAM與NOE尸相等嗎？請說明理由.

【分析】利用角平分線的定義及三角形外角性