專題05遇到角平分線如何添加輔助線模型

目錄導(dǎo)航］

目錄

例題講模型］

........................................................................................................................................................1

模型1.運(yùn)用角平分線定理模型.................................................................1

模型2.構(gòu)造等腰三角形模型...................................................................7

模型3.構(gòu)造軸對稱圖形模型..................................................................17

習(xí)題練模型］

?.......................................................................................................................................................24

例題講模型］

模型1.運(yùn)用角平分線定理模型

模型解讀

條件：如圖，P是/WON的平分線上一點(diǎn)，已知垂足為A

輔助線作法:過點(diǎn)P作PBLON于點(diǎn)B.

結(jié)論:出=PA

0BN

模型運(yùn)用

例1.如圖，在VABC中，ZC=90°,50是VABC的角平分線.若CD=3cm,則點(diǎn)。到AB的距離為（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，熟知角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等是解答的關(guān)鍵.過。

作DE1AB于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=CD即可.

【詳解】解：如圖，過。作DESAB于E,

B

CDA

團(tuán)在VABC中，ZC=90°,BO是VASC的角平分線，DEJ.AB,

團(tuán)DE=CD,

團(tuán)CD—3cm,

SDE=3cm,即點(diǎn)。到AB的距離為3cm,

故選:B.

例2.如圖，射線OC是/AO3的角平分線，。是射線OC上一點(diǎn)，DPLQ4于點(diǎn)尸，DP=5,若點(diǎn)。是射

線02上一點(diǎn)，02=4,則。。。的面積是

【答案】10

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理

【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.作

于點(diǎn)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OH=DP=5,根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式，即可得到答案.

【詳解】解：作DHLOB于點(diǎn)H,

.射線OC是一AO3的角平分線，

DP±OA,DHLOB,

:.DH=DP=5,

10.

例3.如圖，AD為VABC的角平分線.

⑴如圖1,若于點(diǎn)孔交A3于點(diǎn)E,AB=7,AC=5.則BE=

(2)如圖2,若AB=7,AC=5,ACD的面積是10,求VABC的面積;

(3)如圖3,若NC=2N3,AB=m,=〃，請直接寫出8。的長(用含機(jī)，〃的式子表示).

【答案】⑴2

(2)24

加2

(3)BD=——m

n

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)定理、全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合(ASA或者

A4S)、全等的性質(zhì)和SAS綜合(SAS)

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的面積等知識,

(1)利用ASA證明△AEF四△ACF,得AE=AC=5,得出答案;

(2)過。作DE1工AC于E,DFLAB于F,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論;

(3)在上取4V=AC,可得CD=D/V=M-w,根據(jù)△ABD和ACD的高相等，面積比等于底之比可求

出的長.

【詳解】(1)解：A￡＞是VABC的平分線,

:.ZBAD=ZCAD,

CE1AD,

.\ZCFA=ZEFAf

在戶和△ACF中,

ZEAF=ZCAF

<AF=AF,

ZAFE=ZAFC

團(tuán)一AEF=ACF(ASA),

/.AE=AC=5,

，BE=AB—AC=7—5=2,

故答案為：2；

(2)解：過。作DE2AC于E,￡＞「_LAB于尸,

AD為VABC的角平分線,

:.DF=DE,

AC—5,ACD的面積是10,

0-ACxDE=lO,

2

:.DE=4,

:.DF=4,

.■.S=-AB-DF=-x-7x4=14,

-ABRDn22

0VABC的面積=SABD+SACD=24；

(3)解：在AB上取4V=AC,過。作。E2AC于E,DF_LAB于F,

4。是VABC的平分線,

:.ZNAD=ZCAD,

在△ADN與AWC中,

AN=AC

</NAD=ACAD,

AD=AD

團(tuán)ADN咨ADC(SAS),

:,ZAND=ZC,DN=CD,

ZC=2ZB,

:.ZAND=2/B,

:.NB=NBDN,

BN=DN=AB-AC=m-n,

/.CD=DN=m—幾,

AO為VABC的角平分線，

:.DF=DE,

on—ABxDF

BD_2

BDm

m-nn

例4.如圖，點(diǎn)尸在-405的平分線上，點(diǎn)E,尸分別在。4,05上，且NOFP=NOEP.

⑴求證：PF=PE；

(2)延長EP,EP,分別交03于點(diǎn)C,D,連接C。，若DP平分NCDB,回答下列問題.

①試說明CP平分NACD；

②若CD=2,SPCD=2,求點(diǎn)P到射線Q4的距離.

【答案】(D見解析

⑵①見解析；②點(diǎn)P到射線0A的距離為2.

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的判定、全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合(ASA或者A4S)

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，

正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

(1)利用AAS證明運(yùn)△OEP,即可證明尸尸=。￡；

(2)①過點(diǎn)尸作。4,OB,8的垂線，垂足分別為1,G,H,利用角平分線的性質(zhì)求得尸”=打，即可

證明CP平分NACD；

②先證明。尸是線段CD的垂直平分線，利用三角形的面積公式求得PH=2,據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)證明：回點(diǎn)P在—AO3的平分線上，

團(tuán)NEOP=NFOP,

0NOFP=NOEP,OP=OP,

0OFPqOEP(AAS),

SPF=PE；

(2)解：①過點(diǎn)尸作。4,OB,CD的垂線，垂足分別為1,G,H,

回尸G=77,

0DP平分/CDB,

SPG=PH,

田PH=PI,

團(tuán)CP平分NACO：

②由(1)得△<?尸尸四△OEP,

BOF=OE,

?/OFC=NOED,ZFOC=ZEOD,

團(tuán)FOC空EOD（ASA）,

BOD=oc,DE=CF,

⑦PF=PE,

田PD=PC,

團(tuán)OP是線段CD的垂直平分線，

回點(diǎn)H恰好是。尸與CO的交點(diǎn)，

0CE>=2,SPCD=2,

S-xCDxPH=2,

2

團(tuán)PH=2,

SPH=PI=2,

即點(diǎn)P到射線。4的距離為2.

模型2.構(gòu)造等腰三角形模型

模型解讀

1.條件:如圖1,點(diǎn)P是NAOB平分線0c上一點(diǎn).

輔助線作法:過點(diǎn)P作PQ//OB,交OA于點(diǎn)Q.結(jié)論：△POQ是等腰三角形.

圖1圖2圖3

2.條件:如圖2,OC是/AO8的平分線，點(diǎn)。是。4上一點(diǎn).

輔助線作法：過點(diǎn)。作。E〃OC,交3。的延長線于點(diǎn)E.

結(jié)論：△。。￡是等腰三角形.

3.條件：如圖3,P是NM0N平分線上一點(diǎn)，己知AP_LOP.

輔助線作法：延長AP,交0N于點(diǎn)B.

結(jié)論:△A08是等腰三角形，。尸垂直平分48

模型運(yùn)用

例1.如圖所示，3。是VABC的角平分線，過點(diǎn)。作交8C于點(diǎn)E,若CE=4,DE=3,則邊3C

的長為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【知識點(diǎn)】根據(jù)等角對等邊證明邊相等、兩直線平行內(nèi)錯角相等、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，先根據(jù)角平分線的定義和平行線

的性質(zhì)得到=再根據(jù)等角對等邊得到DE=BE,進(jìn)而可求解.

【詳解】解：回比）是VABC的角平分線,

^ZABD=ZEBD,

^DE//AB,

團(tuán)NABD=NEDB,

RNEBD=NEDB,

RDE=BE,

0CE=4,DE=3,

SBC=BE+CE=DE+CE=3+4=1,

故選：B.

例2.如圖，VABC中，8。平分—ABC,4），3。于點(diǎn)。，5ABC?=45,SAADC=20,貝|S人“碩

【答案】25

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、全等的性質(zhì)和ASA（A4S）綜合G4SA或者A4S）

【分析】延長AD交BC于點(diǎn)E,利用角平分線的性質(zhì)，垂直易得到△ABD絲△￡?￡>,進(jìn)而得到=

SABD=SEBD，結(jié)合圖形可知△ADC和DEC是分別以AD和。E為底邊，高相等的兩個三角形，進(jìn)而得到

SVDEC=SvADC=20,然后利用SVEBD=^NBDC~^NDEC來求解.

【詳解】解：延長AD交3c于點(diǎn)E,如圖

50平分/ABC,ADLBD,

ZADB=ZEDB=90°,ZABD=ZDBE.

在△AB。和△￡&)中

ZADB=ZEDB

BD=BD

/ABD=ZEBD

ABD竺EBD(ASA),

:.AD=DE,

―SiXABD=S^EBD■

AADC和4DEC是分別以AD和DE為底邊，高相等的兩個三角形,

…SvDEC=SvADC=20，

-S'EBD=S'BDC-SVDEC=45-20=25,

一S7AB口=25.

故答案為：25.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形面積，作出輔助線，構(gòu)建三

角形全等是解答關(guān)鍵.

例3.(1)如圖1,VABC中，AB^AC,NABC,—ACS的平分線交于。點(diǎn)，過。點(diǎn)作砂〃BC交,

AC于點(diǎn)E,F.圖中有一個等腰三角形.猜想：EF與BE,CP之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,若AB=AC,其他條件不變，圖中有一個等腰三角形；EF與BE,CF間的關(guān)系是二

(3)如圖3,ABwAC,若/ABC的角平分線與VABC外角NACZ)的角平分線交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作OE〃8C

交AB于￡,交AC于?圖中有一個等腰三角形.EF與BE,C/間的數(shù)量關(guān)系是一.

【答案】（1）2,EF=BE+CF,理由見解析.（2）5,EF=BE+CF（3）2,BE=EF+CF

【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)和判定

【分析】（1）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行

線性質(zhì)得到角相等，再進(jìn)行等量代換得到NEBO=/EO3,ZFCO=ZFOC,再利用等角對等邊，得到

BE=OE,CF=OF,即可解題.

（2）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì),

再進(jìn)行等量代換得到=ZAEF=ZAFE,NEBO=NEOB、ZFCO=ZFOC,再利用等角對

等邊，得到對應(yīng)線段相等，即可解題.

（3）本題解法與（1）類似.

【詳解】（1）解：EF=BE+CF,理由如下：

ZABC,ZACB的平分線交于O點(diǎn),

:.ZEBO=ZCBO,ZFCO=ZBCO,

EF//BC,

:.ZEOB=ZCBO,NFOC=/BCO,

:.ZEBO=ZEOB,ZFCO=ZFOC,

:.BE=OE,CF=OF,

OEB和△OFC為等腰三角形，即圖中有2個等腰三角形.

EF=OE+OF=BE+CF.

故答案為：2.

（2）解：AB=AC,即V"C為等腰三角形，

NABC=ZACB,

■ZABC,NACB的平分線交于O點(diǎn)，

ZEBO=ZCBO=ZFCO=NBCO,

:.OB=OC,即為等腰三角形，

EF//BC,

:.NEOB=/CBO,NFOC=NBCO,ZAEF=ZABC=ZACB=ZAFE,

.-.ZEBO=ZEOB,/FCO=/FOC,AE=AF,即尸為等腰三角形，

BE=OE,CF=OF,

O￡B和△3'C為等腰三角形,

.-.EF=OE+OF=BE+CF.

綜上所述，共有5個等腰三角形，

故答案為：5,EF=BE+CF.

(3)解：NABC的角平分線與VA3C外角ZAC。的角平分線交于點(diǎn)O,

:.NEBO=NCBO,/FCO=NDCO,

EF//BC,

:.NEOB=NCBO,/FOC=/DCO,

:.ZEBO=ZEOB,NFCO=NFOC,

:.BE=OE,CF=OF,

OEB和△OFC為等腰三角形，即圖中有2個等腰三角形.

BE=OE=EF+OF=EF+CF.

故答案為：2,BE=EF+CF.

例4.(1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1,OP平分點(diǎn)A為。M

上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作ACLOP,垂足為C,延長AC交ON于點(diǎn)3,求證：LAOC沿ABOC.

(2)【問題探究】如圖2,在(1)的條件下，過點(diǎn)A作ADLON,垂足為交O尸于點(diǎn)E.若=

試探究AC和0E的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)【拓展延伸】如圖3,VABC中，的=4。,484。=90。，點(diǎn)0在線段2(7上，且/8。￡=144。8,8￡_￡。￡

2

于E,DE交AB于F,試探究班和3b之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖1圖2圖3

【答案】(1)見解析；(2)OE=2AC,見解析；(3)BE^DF-見解析

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形綜合問題

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，

(1)根據(jù)"ASA"證明AAOC^ABOC即可得出結(jié)論；

(2)先證=再證△OOE四△IMS得出OE=AB,進(jìn)而即可得解；

(3)如圖：過點(diǎn)D作。G〃AC,交BE的延長線于點(diǎn)G,與AF相交于打，證出，3(汨絲,由/和

BDE沿GDE,然后進(jìn)行線段的等量代換即可得解；

解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

【詳解】(1)在ZVIOC和8OC中，

/AOC=/BOC

<oc=oc,

ZOCA=ZOCB=90°

/.△AOC^ABOC(ASA)；

(2)OE=2AC,理由如下:

由(1)得，AAOC^ABOC,

AC=BC,即AB=2AC,

ZBCO=ZADB=90°,

ZBOC+ZOBC=/DAB+ZOBC=90°,

:.ZBOC=ZDAB,

在.OOE和一DIB中，

/DOE=/DAB

<OD=AD,

ZODE=ZADB=9Q0

「.△DOE△DAB(ASA),

OE=AB,

,\OE=2AC；

(3)BE=-DF.理由如下：

2

如圖：過點(diǎn)。作OG〃AC,交BE的延長線于點(diǎn)G,與AF相交于

G公

DGAC,

F

BDC

ZGDB=ZC,/BHD=ZA=90°,

ZBDE=-ZACB9

2

ZEDB=ZEDG=-ZACB,

2

BE工ED,

:./BED=90°,

:.ZBED=ZBHD,

ZEFB=ZHFD,

:.ZEBF=ZHDF,

AB=AC,ABAC=90°,

:.ZC=ZABC=45°,

DG\ACf

.?.NGDB=NC=45。,

ZGDB=ZABC=45°f

:.BH=DH,

在V/G”和二。廠H中，

ZHBG=ZHDF

<BH=DH,

ZBHG=ZDHF=90°

:.BG=DF,

在Va)石和△GDE中，

ZBDE=ZGDE

<DE=DE

/BED=AGED=90°

:.Z\BDE%Z\GDE(ASA),

:.BE=EG,即=

:.BE=-BG=-DF.

22

14.【閱讀材料】〃截長法〃是幾何題中一種輔助線的添加方法，是指在長線段中截取一段等于已知線段，常

用于解答線段間的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)題目中有等腰三角形，角平分線等條件，可用"截長法”構(gòu)造全等三角形來進(jìn)

行解題.

(1)如圖①，在VA3C中，ZACB=2ZB=90°,AZ)為23AC的角平分線，在AB上截取AE=AC,連接DE.請

直接寫出線段AB，AC,C。之間的數(shù)量關(guān)系；

【拓展應(yīng)用】

(2)如圖②，在VABC中，ZACB=2ZB^90°,AD為N3AC的鄰補(bǔ)角的角平分線.請判斷線段AB,AC,

CO之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【探究延伸】

(3)如圖③，在VA2C中，ABAC=90°,ZACB=2ZB=60°,AB=2。AC=2,A?為ZB4c的角平

分線，42是上BAC的鄰補(bǔ)角的角平分線時，請直接寫出△AC2和AC?的面積.

【答案】（1）AB^AC+CD；（2）CD=AB+AC,理由見解析；（3）3-m,3+73

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合(SAS)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、二次根式的混合運(yùn)算、三角形的外

角的定義及性質(zhì)

【分析】(1)在AB上截取AE=AC,連接可證明△剛/運(yùn)△C4D,得ED=CD,ZAED=ZC=90°,

則/fiED=90°,由ZACB=2ZB=90。，求得N3=45。，則/EDF==45°,所以EB=CD,即可證明

AB=AC+CD；

(2)在R4的延長線上取一點(diǎn)G,使AG=AC,連接DG,可證明。G4D空GW,得G￡>=8,NAGD=NACO,

可推導(dǎo)出？GD31B,貝l]GD=GB=AB+AG=AB+AC,所以CD=AB+AC；

(3)在邊CD?上截取CN=AC=2,連接⑷V,過點(diǎn)C作CG,4V于G,過點(diǎn)A作AH，3c于X,,根據(jù)等

腰三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的定義及勾股定理分別計(jì)算A",CD,,CD?的長，根據(jù)三角形的面積公

式即可解答.

【詳解】解：(1)AB^AC+CD,理由如下:

在A5上截取AE=AC,連接。￡,如圖1,

團(tuán)為一HAC的角平分線，

AE=AC

在人￡4。和C4D中，＜ZCAD=ZEAD,

AD=AD

0.皿心.G4D(SAS),

國ED=CD,ZAED=ZC=90°,

⑦/BED=90。,

ZACB=2ZB=90°f

團(tuán)4=45。，

^ZEDB=ZB=45°f

^\ED=EB，

0EB=CD,

^AB=AE+EB=AC+CD；

(2)CD=AB+AC,理由如下：

如圖2,在54的延長線上取一點(diǎn)G,使AG=AC,連接DG,

圖2

團(tuán)4。是NC4G的平分線,

&ZGAD=ZCAD,

團(tuán)GAD^C4Z)(SAS),

^\GD=CD,ZAGD=ZACDf

a/ACB=NDGM,

由NACB=2NB,NDGM=NB+NBDG,

⑦2ZB=ZB+NBDG,

國？GDBIB,

團(tuán)BG=DG,

⑦BG=AB+AG,

^GD=AB+AC9

^1CD=AB+AC；

(3)如圖3,在邊C2上截取CV=AC=2,連接4V,過點(diǎn)。作CG,4V于G,過點(diǎn)A作AHLBC于H,

圖3

^ZCAN=ZANC,ZCGN=90°,

^ZACB=ZCAN+ZANC=60°,

^ZCAN=ZANC=30°,

團(tuán)CG=；CN=1,GN=yj22-^=V3=AG^

團(tuán)AN=2。

⑦NBAC=900,

團(tuán)NC4M=90。，

團(tuán)A2為NBA。的角平分線，AO?是NC4M的角平分線,

】

團(tuán)/BAR=/CAD=ZCAD2=ZMAD2=45°,

團(tuán)NNA3=45。—30。=15。，

團(tuán)ZANC=ZNAD2+AAD2N=30°,

0ZD2=15°=ND]AN,

0AN=D?N=26

0AADXC=30°+45°=75°=AD,AN,

?D、N=AN=2芯,

EIRC=2百-2,

0ZA7fC=9O°,ZANH=30°,

SAH=-AN=y/3,

2

回”《鼻的面積==96*倒6-2)=3-君，

AC2的面積=g.CD「AH=；(2+2有卜方=3+石.

【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，重點(diǎn)考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角

三角形的性質(zhì)和判定等知識，運(yùn)用類比的方法正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

模型3.構(gòu)造軸對稱圖形模型

模型解讀

1.截長法

條件:如圖1,在△ABC中，點(diǎn)。在BC上，且平分/BAC.

輔助線作法：在AB上截取AF=AC,連接DF.結(jié)論:AACD^AAFD.

2.補(bǔ)短法

條件:如圖2,在△ABC中，點(diǎn)。在2c上，ZACB=2ZB,S.AD平分/A4c.

輔助線作法:延長AC至點(diǎn)E,使AE=AB,連接DE.

結(jié)論：△AE。烏△AB。

模型運(yùn)用

例1.如圖，在VABC中，ZACB=2ZB.

A

A

BDC

圖1圖3

⑴如圖1,當(dāng)NC=90°,AD為—A4c的角平分線時，求證：AB=AC+CD；

(2)如圖2,當(dāng)NC#90°,AD為ZB4c的角平分線時，線段A5,AC,CD的數(shù)量關(guān)系為

(3)如圖3,當(dāng)AD為VABC的外角平分線時，線段AB,AC,C。的數(shù)量關(guān)系為

【答案】⑴詳見解析

(2)AB=AC+CD,詳見解析

{3}AC+AB^CD,詳見解析

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合(SAS)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的外角的定義及性質(zhì)、角平

分線的性質(zhì)定理

【分析】⑴首先在4B上截取AE=AC,連接DE,易證，ADEaADC(SAS),則可得ZAED=NC,ED=CD,

又由—AED=—ACB,NAC8=2N3,得/AED=2/B,ZB=ZBDE,易證DE=CD,則可求得

AB^AC+CD-,

(2)由⑴得出AB=AC+C。即可；

(3)首先在班的延長線上截取AE=AC,連接EO,易證空△OLD,可得即=CD,ZAED^ZACD,

又由NACB=2N3,易證DE=EB,則可求得AC+AB=CD.

【詳解】(1)證明：如圖1,在力B上截取AE=AC,連接DE,

AD為ZBAC的角平分線時,

AD=AD,

團(tuán)在VAD石與八4￡）。中

AE=AC

<ZBAD=ZCAD,

AD=AD

，一AZ)EWADC(SAS),

NAED=ZC,ED=CDt

ZACB=2ZBf

:.ZAED=2ZB,

ZB=ZEDB,

EB=ED，

EB=CD,

:.AB=AE+BE=AE-vDE=AC+CD^

(2)解：如圖2,在上截取AE=AC,連接。E,

A

AD為ZBAC的角平分線時,

“Dc

圖2

:.ZBAD=ZCADf

AD=ADf

團(tuán)在VAD石與△ADC中

AE=AC

</BAD=ZCAD,

AD=AD

:.^ADE^AZ)C(SAS),

/.NAED=NC,ED=CD

ZACB=2ZB,

:.ZAED=2ZB,

ZB=NEDB,

:.EB=ED,

EB=CD,

:.AB=AE+BE=AE^-DE=AC+CD,

故答案為：AB=AC^CD；

(3)解：在84的延長線上截取AE=AC，連接ED,如圖3,

圖3

:.ZEAD=ZCAD,

在LE4￡）與一CW中，

AE=AC

<NEAD=ZCAD,

AD=AD

:.EAD^CAD（SAS）f

ED=CD,ZAED=ZACD,

又同ZACB=2/B,

團(tuán)NACD=180。—2ZB=NAED,

^ZEDB=1800-ZB-ZBED=180°-ZB-（180°-2ZB）=ZBf

國EB=ED,

:.EA+AB=EB=ED=CD,

AC+AB=CD,

故答案為：AC+AB^CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的定義，三角形的外角

的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

例2.綜合與實(shí)踐

【問題情境】

在學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)后，興趣小組通過查閱資料得到以下知識：

定義：有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形，

如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,/8+/。=180。，這種四邊形被稱為等補(bǔ)四邊形.

圖1圖2

【探究實(shí)踐】

經(jīng)過交流討論，李明、王紅向同學(xué)們分享了自己的發(fā)現(xiàn).

(1)如圖2,李明發(fā)現(xiàn)，連接C4,則C4為/BCD的角平分線，請你判斷他的結(jié)論是否正確，并說明理由；

(2)如圖3,王紅發(fā)現(xiàn)，在等補(bǔ)四邊形ABC。中，當(dāng)AB_L3C,ADLCD,ZE4尸=時，BE,EF馬

ED之間存在某種數(shù)量關(guān)系，請寫出該關(guān)系并說明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖4,已知/次牛=；44。3,04=05,ZA+NB=180。，若AE=6,族=9,則砂的長度是.

【答案】(1)正確，理由見解析；(2)EF=BE+FD,理由見解析；(3)15

【知識點(diǎn)】角平分線的判定定理、全等三角形綜合問題

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì).正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)作交CB延長線于點(diǎn)E,作A/7CD于點(diǎn)F,利用"角角邊"證明得出AE=AF,

再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等反推出6為ZBCD的角平分線.

(2)延長￡8至少使8尸'=￡＞產(chǎn)，連接AF',利用"邊角邊"證明ADF^,ABF',得到AF=AF',N1=N2,

再通過角的等量代換得到NE4F'=ZE4F,再利用“邊角邊"證明空"F',得到=最后通過

角的等量代換即可得到結(jié)論.

(3)延長FB至E',使BE'=AE,連接OE',利用"邊角邊"證明AAOE^ABOE',得到0E=OE',Z7=Z8,

再通過角的等量代換得到4'。尸=NEO尸，再利用"邊角邊"證明EF=E'F,最后通過角

的等量代換即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）正確，理由如下：

作AEL5c交CB延長線于點(diǎn)E,作AFLCD于點(diǎn)廠，

:.ZDFA=ZAEB=90°

已知ZD+N1=18O°,Zl+Z2=180°,

:.ZD=N2.

在△皿;'和,A3E中，

'NDFA=NAEB

?ZD=Z2,

AD=AB

ADF^tABE(AAS),

:.AE=AF,

又1AELEC,AFLCF,

；.C4為/BCD的角平分線.

(2)EF=BE+FD,理由如下：

延長EB至F'使BF'=DF,連接AF',

ADVCD,AB±BC,

圖2

在AADF和，ABF'中,

FD=BF'

<ND=ZABF',

AD=AB

ADF^ASF(SAS),

AF=AF',N1=N2,

又］ZEAF=-ZBAD,

2

Z1+Z4=-ZBA￡),

2

Z2+Z4=ZEAF'=-ZBAD=ZEAF,

2

在尸和『中，

'AE=AE

，ZEAF=ZEAF',

AF=AF'

EAF^EAF'(SAS),

EF=EF',

又\EF'=BE+BF'=BE+FD

EF=BE+FD.

(3)延長用至^BE'^AE,連接OE',

ZA+Z5=180°,Z5+Z6180°,

圖3

ZA=Z6.

在ZXAOE和4BOEC中,

OA=OB

<ZA=Z6,

AE=BE'

：.AOE^BOE'(SAS),

OE=OE',Z7=Z8.

又：ZEOF=-ZAOB,

2

Z7+Z10=-ZAOB,

2

Z8+Z10=ZE'OF=-ZAOB,

2

ZE'OF=ZEOF,

在，EO尸和△EO尸中，

OF=OF

<ZE'OF=ZEOF,

OE=OE'

EOF-EOF(SAS),

EF=E'F,

EF=BE'+BF=AE+BF,

EF=AE+BF=6+9=15.

故答案為：15.

習(xí)題練模型

一、單選題

1.如圖，MC是的角平分線，尸為MC上任意一點(diǎn)，PD±MA,垂足為點(diǎn)D,且尸。=3,則點(diǎn)P到

射線MB的距離是（）

【答案】C

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理

【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì).根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)尸作PNLMB于點(diǎn)N,

又?MC是N/WB的角平分線，PDYMA,PD=3,

:.PD=PN=3,

即點(diǎn)尸到射線MB的距離是3,

故選：C.

2.如圖，在a42c中，a42c的角平分線30和0ACB相鄰的外角平分線交于點(diǎn)￡),過點(diǎn)。作。石〃3C交

AB于E,交AC于G,若EG=2,且GC=6,則BE長為()

A.8B.7C.10D.9

【答案】A

【知識點(diǎn)】根據(jù)等角對等邊證明邊相等、兩直線平行內(nèi)錯角相等、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】先證明0ACO=EIE￡)C得到GO=GC=6,然后證明得到BE=OE=EG+OG.

【詳解】解：團(tuán)CD平分0AC產(chǎn)，

00ACD=0FCZ),

回DE〃BF,

0EFCD=0EDC,

EBACZ)=EIEQC,

B1GD=GC=6,

S1BD平分0ABC,

^BABD=BFBD,

團(tuán)DE〃BF,

^\FBD=SEDB,

^ABD=^EDB,

^BE=DE=EG+DG=2+6=S,故A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義：角的平分線把角分成相等的兩部分，證明是解決問題的關(guān)

鍵.

3.如圖，在等腰RtaABC,ABAC=90°,AB=AC,BD為VABC的角平分線，過點(diǎn)C作CEJ_BD交8。的

延長線與點(diǎn)E,若CE=2,則8。的長為（）

【答案】B

【知識點(diǎn)】三線合一、全等的性質(zhì)和ASA（AA5）綜合（ASA或者A4S）、直角三角形的兩個銳角互余

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，延長CE交助的延長線于

點(diǎn)、F,證明BAD^C4F（ASA）,得BD=CF,再證/SFC=N8CF,得BC=BF,然后由等腰三角形的

性質(zhì)得EE=CE=2,即可得出結(jié)論.掌握等腰三角形三線合一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，延長CE交54的延長線于點(diǎn)產(chǎn)，

S1ZBAC=90°,CELBD,

0ZC4F=ABAC=ZDEC=90°,

^ZADB^ACDE,

SZABD=90°-ZADB^90°-ZCDE^ZACF,

在’54。和VC4F中，

/BAD=ZCAF

<AB=AC,

NABD=ZACF

團(tuán)BAD^C4F（ASA）,

國BD=CF,

^CEIDB,

ZBEF=ZBEC=90°,

aBD平分/ABC,CE=2,

⑦/FBE=NCBE,

回Z.BFC=90°-ZFBE=90°-ZCBE=ZBCF,

團(tuán)BC-BF,

田FE=CE=2,

國BD=CF=2CE=4,

團(tuán)50的長為4.

故選：B.

4.如圖，AD為NC4F的角平分線，BD=CD,過。作。E1AC于E,QF_LAB交54的延長線于R，則

下列結(jié)論：

△BDF=AB+AE；③NBDC=NBAC.其中正確結(jié)論的序號有（

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、全等的性質(zhì)和乩綜合（兒）、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并

準(zhǔn)確識圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于需要二次證明三角形全等.根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到

角的兩邊距離相等可得。E=DF,再利用"HL"證明RtACDE和RtABDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可

得CE=AF,利用"證明RtAADE和RtAADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AF,然后求出

CE=AB+AE-,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得/加尸=NDCE,利用"8字型"證明/BDC=/BAC.

【詳解】解：

AD平分/CAP,DE±AC,DF±AB,

B匕--------------------

:.DE=DF,

在RtACDE和RtABDF中，

[BD^CD

[DE^DF'

.-,RtACDE^RtABDF(HL),故①正確；

:.CE=AF,

在RtAADE和RtAADF中,

[AD=AD

[DE=DF'

RtAADE冬RtAADF(HL),

:.AE=AF,

:.CE=AB+AF^AB+AE,故②正確；

RtACDE烏RtABDF,

:.ZDBF=ZDCE,

設(shè)AC交于0,

ZAOB=ZCOD,

:.ZBDC=ZBAC,故③正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③共3個.

故選：D.

二、填空題

5.如圖，在VA2C中，30是ZABC的角平分線，DE//BC,若AB=13,OE=8,則AE的長為.

A

【知識點(diǎn)】兩直線平行內(nèi)錯角相等、根據(jù)等角對等邊證明邊相等

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，先由角平分線的定義得=再由平行線

的性質(zhì)得=進(jìn)而得NEDB=NEBD,再由等角對等邊得匹=。E，再由AE=即可得

解.

【詳解】解：回8。是一ABC的角平分線，

B1ZCBD=ZABD,

I3DE//BC,

B1ZEDB=ZCBD,

回NEDB=NEBD,

0BE=DE,

SAB=13,DE=8,

EIBE=8,A￡=AB—3E=13—8=5.

故答案為：5.

6.如圖，射線0C是/A03的角平分線，點(diǎn)。為射線0C上一點(diǎn)，。尸，。4于點(diǎn)P,PD=4,若點(diǎn)。是射

線。8上一點(diǎn)，02=5,貝的面積為.

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)。作小，05于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE,再根

據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作于E,

A

C

OQEB

團(tuán)射線OC是—AOB的角平分線，DPYOA,DEVOB,

:.DE=PD=4,

SNODQ=gOQ-DE=gx5x4=10,

故答案為：10.

7.如圖，BD是/ABC的角平分線，AD±BD,垂足為。，ZDAC=20°,ZC=40°,則/4B￡>=

【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合G4SA或者A4S）、三角形的外角的

定義及性質(zhì)

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)；延長AD交于

點(diǎn)E,證明ABO注E3D（ASA）進(jìn)而得出54=砥，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得

ABAD=ABED=ZDAC+ZC=60°,證明“WE是等邊三角形，則NABE=60。，進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義

即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長AO交BC于點(diǎn)E,

回NBDA=NBDE=90°,

回皿是ZA5c的角平分線,

aZABD=NEBD

又0BD=BD,

0ABD^EBD(ASA)

SZBAD=ZBED,BA=BE

0ZZMC=2O°,"=40。，

0ZBAD=/BED=ADAC+ZC=60°

團(tuán)_ABE是等邊三角形，則/ABE=60。

0ZABD=NEBD=-ZABC=30°

2

故答案為：30

8.如圖，雙驕制衣廠在廠房。的周圍租了三幢樓A、B、C作為職工宿舍，每幢宿舍樓之間均有筆直的公

路相連，并且廠房。與每幢宿舍樓之間也有筆直公路相連，^.BC>AC>AB.已知廠房。到每條公路的距

離相等.

（1）則點(diǎn)。為AABC三條,的交點(diǎn)（填寫：角平分線或中線或高線）；

（2）如圖設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,OA=x,OB=y,OC=z,現(xiàn)要用汽車每天接送職工上下班后，

返回廠房停放，那么最短路線長是.

【答案】角平分線y+c+b+z

【知識點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、角平分線的性質(zhì)定理

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的三邊關(guān)系定理：兩邊之和大于第三邊；以及在同一

個三角形內(nèi)大角對大邊.

（1）利用角平分線的性質(zhì)定理判斷即可；

（2）首先得出。為AABC的內(nèi)心，進(jìn)而得出AABOMAEBO（SAS）,在AECO中，推出&<。，

同理4-4<。，&-4<0,d3—d5<0,d3—d6<0,即可得出答案.

【詳解】解：（1）.點(diǎn)。到每條公路的距離相等，

.?.點(diǎn)。是AABC的角平分線的交點(diǎn).

故答案為：角平分線；

(2)共有6條線路：dx=x+c+a+z,d2=x+b+a+y,d2)=y+c+b+z,d4=y+a+b+x,d5=z-\-b+c+y,

d6=z+a+c+x,

在CB上截取C￡=C4,連接。￡,

在AACO和AECO中,

CA=AE

NACE=NECO,

CO=CO

.\AACO=AECO(SAS),

OA=OE,

在莊BO中，

y—xva-Z7推出/-di<0,

[nj理&-d，2<o,4—4<o,4—4<o,4—4<o,

一.4；^短9

故答案為：y+c+b+z.

CaEB

三、解答題

9.如圖，AO是，ABC的角平分線，點(diǎn)E在CB的延長線上，且OE=CD,跖〃AC交AB的延長線于點(diǎn)尸,

求證：AF+EF=AC.

【答案】見詳解

【知識點(diǎn)】根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、全等的性質(zhì)和ASA(AAS)

綜合(ASA或者A4S)

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，熟練掌握三角

形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

延長相交于點(diǎn)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NC==NC4D,然后利用“角角邊〃證

明AC。和△Q全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC=EH,根據(jù)角平分線的定義可得

ABAD=ACAD,然后求出根據(jù)等角對等邊可得AF=9，再根據(jù)+=等量代換

即可得證.

【詳解】解：如圖，延長E尸,4。相交于點(diǎn)

0ZC=ZE,ZH=ZCAD,

在，ACD和△HED中，

NC=NE

■ZH=ACAD,

DE=CD

0ACD^,HED(AAS),

QAC^EH,

團(tuán)AD是VABC的角平分線,

^ZBAD=ZCAD,

SZBAD=ZH,

^AF=FH,

0FH+EF=EH,

0AF+￡F=AC.

10.課本再現(xiàn)

如圖1,任意作一個角2AO3,作出—AO3的平分線OC,在OC上任取一點(diǎn)尸，過點(diǎn)P畫出08的

重線，分別記垂足為。，E,測量尸D,PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個點(diǎn)試一試.

通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？

猜想證明

(1)角的平分線有以下性質(zhì):

(2)證明你的猜想.

知識應(yīng)用

(3)如圖2,在四邊形。砂。中，O尸平分NQOE,ZE=90°,OE=2PE=2OQ=4.求四邊形OE尸。的

面積；

(4)如圖3,在VABC中，4D是它的角平分線.證明：*=黑.

AC

【答案】(1)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；(2)證明見詳解；(3)6；(4)見詳解

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、全等的性質(zhì)和ASA(A4S)綜合G4SA或者A4S)

【分析】該題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線

的性質(zhì)并正確做出輔助線.

解：根據(jù)角的平分線的性質(zhì)即可解答.

(2)證明刈。蛇△EOP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明。尸=￡?.

(3)如圖，過點(diǎn)尸作尸”，。。交的延長線于點(diǎn)H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出P〃=PE=2,再證明

OPH^OPE,得出SopE=S”E，OH=OE=4,QH=2,根據(jù)四邊形。EPQ的面積=+S-S。打

即可求解.

(4)設(shè)VABC中BC邊上的高為h,則SABD^BDh,SACD^CDh.過點(diǎn)。分別作

于點(diǎn)E,DF±AC于點(diǎn)F.根據(jù)角的平分線的性質(zhì)得出。石=。9，結(jié)合

SABD=；ABDE,SACD=^AC-DF,求兩個三角形面積比即可證明?

【詳解】(1)解：角的平分線有以下性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.

故答案為：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.

(2)證明：I3OC是-403的平分線，

^ZDOP=ZEOP,

^DP±OA,PE±OB,

^ZODP=ZOEP=90°,

00P=0P,

0DOP^_EOP(AAS),

(3)解：如圖，過點(diǎn)P作PH，。。交。。的延長線于點(diǎn)4

回