浙江省北斗星盟2024-2025學年高二上學期12月階段性聯考數

學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若直線/的一個方向向量為(-1,石)，求直線的傾斜角()

7171

A.-B.-

36

_271571

C.—D.—

36

2.已知圓G：(X-4)2+8-4/=32,則以下選項中與圓。內切的圓的方程為()

A.(x-2)2+(y-2)2=4B.(x-3)2+(y-3)2=18

C.(x-l)2+(y-3)2=2D.(尤+l『+(y+l『=2

22

3.已知雙曲線的方程是點-1=1,它的兩個焦點分別是片與瑪,M是雙曲線上的一點，且

|孫|=7,則周的值為()

A.1B.13C.1或13D.4或10

4.已知S“是等差數列｛%｝的前〃項和，若%=9,凡=32,則為=()

A.2B.3C.4D.5

5.已知/(0,1,1),5(1,0,1),C(l,l,0),￡>(3,0,2),則點。到平面N8C的距離為()

A.3B.V3C.—D.—

113

6.在四棱臺NBCO-44GA中，44]_L平面48cD,AB1BC,AD//BC,益=2而，

^.AAl=AB=BC=2AD=2,動點尸滿足羽=X麗口e[0,1]),則直線CP與平面所

成角正弦值的最大值為()

A.2B.正C.也D.正

33217

f2

7.設橢圓C:二+%v=1(。>6>0)的左，右焦點分別為片，F”點、M,N在C上，且點”，

N關于原點。對稱，當2|崢|=|叫|時，/耳〃工=120。，當點W在橢圓C上運動時，四邊

試卷第1頁，共4頁

形町”面積的最大值是2m，則橢圓C的焦距為（）

A.V?B.6c.2V2D.277

8.記圓錐CG的側面是曲面a,且曲面an平面/?=/,其中/是圓錐CC］的一條母線，則稱

平面戶是“n平面”，“n平面”上不與/平行且不與/重合的直線稱為“圓錐的斜切直線”.已知

直線“是圓錐CG的“斜切直線”，且直線。經過圓錐CG某條母線的中點，若圓錐CG的體

積是246兀，底面面積是36兀，且圓錐底面中心C到直線。的距離是JI3,則直線。與圓錐

底面夾角的正弦值為（）

AA/3nV2「A/5八V6

3256

二、多選題

9.已知圓C:無2+/-2x-4y+1=0,直線/：2無一y+2=0與圓C交于A,3兩點，則以下

四個選項中正確的是（）

A.圓C的圓心坐標是（1,2）B.|/同=?

4

C.CA1CBD.V48c的面積是二

10.如圖，把正方形紙片48CD沿著/E（E是線段8C的中點）翻折成平面,。是原

正方形的中心，則在翻折過程中，以下說法正確的是（）

A.BB'1AE

B./夕與8。所成角的最大值是￡

2

C.若尸是CD的中點，則"尸與平面N8C。所成角的正弦值的最大值是獨3

13

D.過3做/E的垂線與/E交于點H,^BHB>ABAB

11.已知曲線「/+/="國+"帆（〃>0）,直線/經過點N（a,0）,則以下說法正確的是（）

A.記曲線「圍成的面積是S,則5=（2+兀）1

試卷第2頁，共4頁

B.若。=0,直線/與曲線r交于不同的兩點8,C,忸C|的最小值是2"

C.當時，有2條不同的直線/,直線/與曲線r有3個不同的交點

D.若。=3,設點B是曲線「上的任意一點，則|48區亞〃+3

三、填空題

12.已知等比數列｛6｝滿足4%%=8，則的=.

13.在棱長為6的正方體CU3C43G中，E,尸分別是線段。4。。上的動點，直線。。1

和平面尸所成的角為自，則點5到直線所的最大距離為__________.

6

22

14.已知橢圓+?=左、右焦點分別為片，F2.在直線X=4上有一動點尸(4,切)，

過點尸作兩條直線4，4,其中4與橢圓「相切于點D,，2經過點片與橢圓交于點3,C當

■時，機=.

四、解答題

15.已知數列｛%｝("eN*)是公比不為1的等比數列，前”項和為S”，且滿足2邑=7出.

(1)求數列｛%｝的公比；

⑵若｛??｝是遞增數列且％=1,求數列｛2〃?電”｝的前〃項和配

16.已知橢圓C:、+《=l(a>b>0)經過點-2后,*,點尸是橢圓上的動點，左右焦

abI2J

點分別是片與耳，過月的直線交橢圓于4,5兩點，4片/8的周長為16.

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)若橢圓上有且只有3個點到直線/：3x-4y+加=0,(加>0)的距離為1,求機.

17.如圖，三角形尸48和菱形4BCD所在平面垂直，且P/=/B=2,AABC=60°.線段8c

的中點為￡.

試卷第3頁，共4頁

,D

BEC

(1)當DP=2/時，證明：直線平面48CD;

⑵當。尸=3時，求平面PAB和平面PDE夾角的正弦值.

18.已知平面上的動點P到點F(0,1)的距離與直線了=-1的距離相等.

(1)求點尸的軌跡方程；

⑵己知圓C方程是/+5一2)2=4,過點p的兩條直線分別與圓。相切于點A,B.

(i)記四邊形E4c5的面積是S,若SW8.求點尸縱坐標的取值范圍；

(ii)設直線尸N,PB的斜率是左，k2,若ZAPBW(求心-周的取值范圍.

19.取整函數被廣泛的應用于數論，函數繪圖和計算機領域，其定義如下：設xeR,不超

過x的最大整數稱為x的整數部分，記作國，函數y=因稱為取整函數.另外也稱國是x的

整數部分.已知數列｛%｝("€N*)的前〃項和為S“，且2S“=/一〃

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵若之［曰］=34,其中左eN*,求左的值；

1=1L

m2+2m_

⑶求證：E［/i+工工口+S,“為8的倍數，其中meN*.(參考公式：

Z=1

y.2_M〃+D(2"+l))

試卷第4頁，共4頁

《浙江省北斗星盟2024-2025學年高二上學期12月階段性聯考數學試題》參考答案

題號12345678910

答案CBBDBADDABABD

題號11

答案ABD

1.C

【分析】求出直線斜率，進而求出直線傾斜角即得.

【詳解】直線/的一個方向向量為（-1,6）,則直線/斜率為-百，

所以直線/的傾斜角為市.

故選：C

2.B

【分析】明確圓的圓心和半徑，計算圓心距，根據兩圓內切時，圓心距等于兩圓半徑之差的

絕對值來判斷兩圓是否內切.

【詳解】圓A的圓心為G（4,4）,半徑外=任=4后.

對A選項：圓心。2（2,2）,半徑弓=2,因為圓心距

|C?=J（4-2『+（4-2y=&=30力4拒-2,所以兩圓不內切，故A選項不滿足條件；

對B選項：圓心G（3,3）,半徑分=屈=3收，因為圓心距

|CC|=J（4-3『+（4一3）2=行=4&一38,所以兩圓內切，故B選項滿足條件；

對C選項：圓心C/1,3）,半徑々=也，因為圓心距

22

|qC41=^（4-1）+（4-3）=V10*472-V2,所以兩圓不內切，故C選項不滿足條件；

對D選項：圓心。5（-1，-1），半徑4=血，因為圓心距

|GG|=J（4+1『+（4+以=5收片4a-",所以兩圓不內切，故D選項不滿足條件.

故選：B

3.B

【分析】根據題意，由條件可得M是雙曲線左支上的點，再由雙曲線的定義，代入計算，

即可得到結果.

答案第1頁，共19頁

a2=91a=3

22

【詳解】由雙曲線的標準方程土-匕=1可得/=16,則6=4,

916_0

c2=25c=5

貝l]a+c=8<|孫|=7,所以點”是雙曲線左支上的點，

由雙曲線的定義可得|摩|-|班卜2.=6,所以|四卜13.

故選：B

4.D

【分析】根據等差數列的定義和性質，結合等差數列的通項公式可求解.

【詳解】因為邑=+。2+。3+。4=2(2+%)=32,

所以的+%=16,又見=9,所以。2=7,所以4=4-%=9-7=2,

所以％=g-d=7-2=5.

故選：D

5.B

【分析】求出平面/3C的一個法向量，然后由點到平面距離的向量求法求解.

【詳解】AB=(1,-1,O),^C=(1,0,-1),AD=(3,-1,1),

設』=(x),z)為平面4BC的一個法向量，

則由一得'八，令x=l,貝仃=l,z=l,亢=1,1,1,

AC-n=0[x-z=0

則點D到平面ABC的距離為d=J廠?=6.

同V3

故選：B.

6.A

【分析】建立空間直角坐標系，由向量法表示線面角的正弦值，根據X的范圍求解即可.

【詳解】

答案第2頁，共19頁

如圖建立空間直角坐標系，

所以4（0,0,2）,耳（1,0,2）,C（2,2,0）,

福=（1,0,0）,哥=（一2,-2,2）,直=（0,0,2）,

CP=CA1+A~P^CAX+^2+A-2,2）,

因為，平面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為五《=（0,0,2）,

設直線C尸與平面ABCD所成角為6,

I―?——-ICP^4A4

所以sin<9=cosCP,AAA==?,

11c2?一2），8

因為4e[0,l],所以當2=1時，正弦值最大，且最大值為

故選：A.

7.D

【分析】根據題意，由條件可得四邊形町N工為平行四邊形，在△孫丹中由余弦定理以

3

及橢圓的定義可得。=力。，再由當"運動到橢圓的上下頂點位置時，四邊形的面積最大,

即可得到結果.

【詳解】

因為點M,N在C上，且點M,N關于原點。對稱,

則四邊形MF\NF]為平行四邊形,

答案第3頁，共19頁

又當2|班|=|叫|時，/耳”=120。，貝L|=|M^=2|町

設=則|出|=2加，寓閶=2C,

在△町巴中’由余弦定理可得由2。。=隨客」

即二=.+4病一4c2,化簡可得機

22m-2mA/7

24

所以|崢|=五C，MFJ=蘇＜:,

63

由橢圓的定義可得|孫|+|好卜2a,即/c=2a,即a=酢c

又四邊形町N工面積的最大值是2舊,

其中SMRNF?=2s"F'F?，當點M運動到橢圓的上下頂點位置時，S△孫尸2最大，

此時SMF[NFz=2s4鳴-2=2x—x2cxb=2yj\A，化間可得be=VM，

由a=；c可得02=202,即〃+C2=2C2,所以6=

V7777

所以巫c-c=JiW,解得c=右，則橢圓C的焦距為2c=2近.

7

故選：D

8.D

【分析】先求出圓錐的底面半徑和高，建立空間直角坐標系，求出n平面的法向量，取直

線。上的一點M(x),z),使得|刀?/1,此時I，痂，從而得到方程組，換元求出

加=卜,-血,/),根據圓錐底面中心C到直線。的距離得到方程，求出，=骼，結合圓錐

底面的法向量，利用線面角的夾角正弦公式求出答案.

【詳解】設圓錐底面圓半徑為『，圓錐的高為力，則兀/=36兀，解得，，=6,

JX36TI-A=247371,解得人=26,

答案第4頁，共19頁

z

A

y

如圖，其中直線。經過GB的中點A,CRC8在底面圓上，且互相垂直，

以C為坐標原點，CP,C8,C。所在直線分別為X,y,z軸，建立空間直角坐標系,

則5（0,6,0）,G（0,0,26）,則/（0,3,6）,

口平面與圓錐的側面交于08,

故在平面BCG內與c#垂直的直線即為n平面的法向量所在直線，

其中南=（0,0,2若）一（0,6,0）=（0,-6,26）,

設ri平面的法向量為“1=（尤）,Z）,顯然x=0,則〃|=（O,y,z）,

由nA-BCX=（0,y,z）-（0,—6,26）=-6y+26=0,

令y=i,則z=VL故1=（0,1,6）,

取直線0上的一點M（x,y,z）,使得以Af|=l,此時*_L）而，

其中AM=1,y-3,z-6）,

nx-AM=y—3+V3(z-=0(2)

可令t=z-6,貝Uy-3=-"，將其代入①得/+4/=1,

故AM=1，-,

此時底面中心C到直線”的距離

答案第5頁，共19頁

即'3①+后|=@，解得卜|=中，

又/+4/=1,止匕時/=；,故，=’滿足要求,

而圓錐底面的法向量為［=（0,0,1），

設直線。與圓錐底面夾角為巴

^AM-H||^X,—V3f,?j-（0,0,l）|

2V6

則sin。=\cos（AM,n2

西1.同16

故選：D

【點睛】新定義問題的方法和技巧：

（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理

解；

（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解

的較為透徹；

（3）發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；

（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么

情況下可以使用書上的概念.

9.AB

【分析】對于A,利用配方法整理圓的方程，根據圓的標準方程，可得答案；

對于B,利用點到直線的距離公式求得弦心距，根據弦長公式，可得答案；

對于C,根據垂徑定理的相關性質，結合正弦函數的二倍角公式以及銳角三角函數定義，可

得答案；

對于D,根據三角形的面積公式，可得答案.

【詳解】由題意，過C作CD，/,垂足為。，作圖如下：

答案第6頁，共19頁

對于A,由方程一+/-2》-4>+1=0,整理可得(x—I)?+(y-2)2=4,貝幗心CQ,2),故A

正確;

|2-2+2|_2

對于B,圓心(1,2)到直線2x-y+2=0的距離是|CD|=

V4+T一垂)，

則|/a=2廣；=苧，故B正確;

對于C選項,sm〃C2=sm2N/8=2smN/8cosNNCD=2-忑忑-故C錯誤;

對于D選項，S=-\CA^CB\smAACB=--2-1--=-,故D錯誤.

一21"1255

故選：AB.

10.ABD

【分析】過點3作/￡的垂線，交AE于點、H,連接8月，利用線面垂直的判定定理及性質

定理可判斷A；連接8。，過點A作3。的平行線交CS于點K,直線4S'與NK的夾角就是

4

直線與直線Z夕的夾角，設/￡/B=e,sin2e=w，當5'在平面43C。時，

7TIT

ZKAB'^-+29>-,即可判斷B；"的軌跡是圓G,當B戶與圓G相切時，

42

則與平面/BCD所成角的正弦值的最大，設正方形的邊長是2,求出正弦值即可判斷C；

△57/3與都是等腰三角形，B'H<BA,繼而可判斷D.

【詳解】對于A：過點3作/￡的垂線，交/￡于點H,連接2月，

則8〃，么￡,3月，/￡,又BHCBH=B,u平面&HB,

則/E_L平面87仍，又BB'u平面B，HB,所以故A正確；

答案第7頁，共19頁

對于B：連接3D,過點A作8。的平行線交C3于點K,則

直線AD與直線2夕的夾角，就是直線42'與ZK的夾角，

124

設6,sin26=2sin6cos6=2?—^=—,

7T7T

當"在平面/BCD時，ZKAB'=-+23>-,

42

jr

因此直線與直線的夾角最大值是巴.故B正確；

2

對于C選項，如圖所示，"的軌跡是圓G,當BN與圓G相切時，

則3戶與平面ABCD所成角的正弦值的最大，

設正方形的邊長是2,sin8=*=：,故C錯誤.

對于D：△57/5與V8N6都是等腰三角形，B'H<BA,

因此ZBHB'>ZBAB'-故D正確.

故選：ABD.

11.ABD

【分析】由題意分別作圖，根據選項的描述，結合圖象，利用反例，可得答案.

【詳解】對于A選項，該曲線的圖象如圖所示：

因此該封閉圖形的面積由一個正方形和四個半圓組成，計算可得正方形的面積是2/,

半圓的半徑是《-〃，四個半圓的面積是兀/,因此S=(2+7i)〃2,故A正確；

對于B選項，由。=0,貝！］/過原點，以原點為圓心，以〃為半徑作圓，如下圖：

答案第8頁，共19頁

由圖可知當直線/的斜率為0或不存在時，交點剛好在圓上，所截弦長為2”,

而其他直線與曲線的交點都在圓外，因此2〃是最小值，故B正確；

若直線/與曲線「有3個不同的交點,

因此這樣的直線/有4條，故C錯誤;

對于D選項，無論點(3,0)在曲線內還是曲線外,

(3,0)到曲線上點的最大值可以轉化成點(3,0)到如圖所示的四個圓上的點的最大值,

由對稱性可知，點(3,0)到四個圓上的點的最大值在左上圓或者左下圓取到,

則最大值是[g]+*力=步+3”+9當代亞n+3,故D正確.

故選：ABD.

12.2

【分析】根據等比數列的等比中項的性質，可得答案.

【詳解】由等比數列｛%｝滿足。嗎%=8,則。；=8,解得。3=2.

答案第9頁，共19頁

故答案為：2.

13.6夜-26

【分析】以。為原點，而，反，的為尤,％z軸正方向，建立空間直角坐標系，設￡伍,0,0）,

尸（0,4o）,?,&G[O,6],由條件利用向量方法求直線。&和平面a跖所成的角的正弦，列

方程可得見6關系，再在平面0/8C上，建立平面直角坐標系，利用點到直線距離公式求點

8到直線環的距離，結合關系，根據基本不等式求最值.

以。為原點，刀,不?，的為x/,z軸正方向，建立空間直角坐標系,

則。（0,0,0）,01（0,0,6）,￡（a,0,0）,尸（0,6,0）,a,6e（0,6）,

OXE=（a,0,—6^,01F=（0,6,—6）,

設平面QE尸的一個法向量為行=（x,y,z）,

ii<0}F=0\ax—6z=0

則，，故八An，

n-OtE=0[by-6z=0

取z=i,貝！]x=9,y-T>

ab

故萬=[6n為平面a族的一個法向量，

\ab）

又西=（0,0,6）,直線。Q和平面QE廠所成的角為g

所以/+手

答案第10頁，共19頁

在平面0/8C上，以CM,OC方向為x',y'的正方向，建立平面直角坐標系,

則方（。,0）,尸（0,6）,8（6,6）,a,be（0,6）,

直線EF的方程為bx+ay-ab=Q,

\6a+6b—ab\

點3到直線環的距離為d=

Va2+b2

H^12（iz2+Z>2）=a2Z>2,

所以〃=26皿"二回=266?業-1,

abab

由基本不等式可得看IN［一］2,當且僅當。=6時等號成立，

所以6（。+6）2W12（/+/）=a2b2,當且僅當a=6=2新時等號成立,

所以0〈巴史《逅，當且僅當°=2"時等號成立，

ab6

所以-1<6?斗-IV痛-1,當且僅當a=6=2指時等號成立，

ab

所以d=—l<2A/3（V6-1）=6V2-2A/3,

當且僅當a=b=2而時等號成立，

所以點3到直線EF的最大距離為6夜-2行.

故答案為：672-273.

14.0

【分析】設。（尤0,%）,表示出過。點的切線方程，與直線x=4聯立，表示出P點坐標，表

示出加，根據直線期與2月是同一條直線，可推出8,。兩點坐標之間的關系，再根據

F2DF2B=0,可得。點橫坐標，進而可確定尸點坐標.

答案第11頁，共19頁

【詳解】如圖:

易知%(—1,0),F2(l,0).

2222

設切點D（x。,比）,因為。在橢圓,+?=1上，所以a+?=1.

設切線4：V-%=K（x-Xo）.

y-y0=ki(x-x0)

由<-X2y2，消去y得：(3+4懺卜2+8%(%-5)x+4(%-a)2-12=0.

----1--—二1

[43

由A=0得：64后（%—丘。）2=4（3+4肝）［4（%—/丫一12］,

整理得：（4-君）將+2%%匕+3-吊=0

因為△=4工浜-4（4一引（3_/）=4（3君+4就_12）=0,

所以尢=一看"

4%

-%）,整理得：苧+號=1.

所以直線4：y-y0=-

/XI比歹二1（3伉-1））,所以加=_3（無。-1）①

由，43得尸4,一一U—』

%=4%)

設點8（占,乂），直線8月的斜率為心.

而上2=%；=左期=>?=$7，所以機二二^②

5項+1再+1

將①式和②式聯立可得，4=_3小1）,化簡得%為=一：&-1）（再+1）③

玉+1%5

又因為=即月。，鳥3,而麗=硬

所以月萬?可=0=（%-1）（國-1）+乃為=0,將③式代入化簡，可得

3

（%o-1）（再—1）—］（*0—1）（再+1）=。，解得%=1或玉=4（舍去）

答案第12頁，共19頁

所以。B_Lx軸，即點尸此時為直線x=4和無軸的交點，故加=0.

故答案為：0

【點睛】結論點睛：若點PG。，%）為二次曲線上的點，則過P點的切線方程可用

如下方法獲得：

用X肝代替Y，用JV代替用牛代替x,用"上代替兒

15.⑴味2或

【分析】（1）利用等比數列的通項公式得到關于4的方程，解之即可得解;

（2）利用（1）中結論，結合錯位相減法即可得解.

【詳解】（1）因為數列｛七｝（"eN*）是公比不為1的等比數列，

所以由2s3=7g，得2（%+%+%）=72,

貝I」2（二+g+=7a2，易知出片。，故21—l~l+q]=7,

化簡得2q2-5q+2=0,解得4=2或《=；.

（2）因為｛%｝是遞增數列且％=1,

所以q=2,%=2"_,貝?出”=2〃，21=〃-4'，

貝1]q=1.4+2?42+…+〃-4",

所以47；=14+…+（〃-1>4"+〃-4。』,

兩式相減，得_3外=4+42+…+4"_〃,4".=4（；_：）_〃.4"“,

3n-14

所以北=中.4用+土

22

16.（1）土+匕=1

169

⑵12夜-5

【分析】（1）根據題意，由橢圓定義可得4a=16,再將點的坐標代入計算，即可得到從,

從而得到結果；

答案第13頁，共19頁

(2)根據題意，由兩平行直線的距離公式可得％=機-5或%=小+5,然后聯立直線與橢圓

方程，由直線與橢圓相交，相切列出方程，代入計算，即可得到結果.

由橢圓的定義可得人片/月的周長為4a=16,即。=4,

3后222

再將點-2后,代入橢圓C：A+4=1可得82一解得6=9,

2?bITU

22

所以橢圓C的標準方程為土+匕=1.

169

(2)由題意可得，到直線/的距離為1的點的軌跡是與/平行的兩條直線,

可設為3x-4y+〃=0,則其與直線/的距離為1,

m—n

即河石T=1，化簡可得4=加-5或%=加+5,

又因為勿>0,所以橢圓與/|：3x—4y+>i=0相交且與與:3x-4y+%=0相切,

3x-4y+〃=0

聯立方程x2y2，消去V可得18—+6〃x+〃2-144=0,

U69

由橢圓與4：3x-4y+〃1=0相交可得A=36/—4xl8x(〃2-144)=36(288—>0,

解得-12也</<12后，所以％=加-5<12行，

由橢圓與4：3x-4y+%=°相切，

可得A=36/一4xl8x(丁一144)=36(288-/)=0,解得%=±120,

且%>0,即％=12亞=加+5,所以洸=12痣一5.

17.(1)證明見解析

s、8屈

63

【分析】(1)先利用勾股定理的逆定理證得4尸，ND,其次用面面垂直的性質定理證得

答案第14頁，共19頁

AP±AF,最后用線面垂直的判定定理證得/尸上平面4BCD.

（2）以A為原點，建立空間直角坐標系，先根據條件確定點尸的坐標，再利用空間向量求

二面角的三角函數值.

【詳解】（1）如圖：

故為等腰直角三角形，AP1AD

取CD中點尸，連4F.

因為四邊形/BCD為菱形，ZABC=60°,

所以N3//C。,/尸_LCD,/￡_LBC

所以“尸工工氏/石！./。

因為平面尸N3_L平面/BCD,且交線為

所以平面尸又APu平面P48,所以N尸_L/P

又AFC4D=A,，F,ADU平面ABCD,所以/尸1平面ABCD.

（ah、

（2）如圖建系8（2系,0）,C（l,百,0）,。（一1,6,0）,石-,^-,0

\22J]

"D

X

因為平面PAB1平面ABCD,可設。（為。/）

尸=21Jf+z：

=2f1V15

所以=>,________

PD\=3["*+1）2+3----,可取x=—z=-----,

+i=322

所以心0,由

答案第15頁，共19頁

又平面PAB的法向量4=(0,1,0),設平面PDE的法向量叫=(x,y,z)

一「5百）

則DE=|-,-^,0,EP=

7

DE-n,=QL,令了=1,所以x=B,z=運

所以—J，化簡得

DE?%=0+巫z=0525

2

故%=

記平面PAB和平面PDE夾角為6,

1

所以C°SJk()s"i，〃2

H49--3A/21

——+1+——

25125

所以sm°=嚕

18.⑴/=4y

⑵⑴0</44；(ii)[1,黨衛]

【分析】(1)由題意，結合拋物線的定義與標準方程，可得答案；

(2)(i)由圓外一點作切線的性質，將面積轉化為邊長，利用兩點距離公式可得答案；

(ii)由直角三角形與銳角三角函數，可得動點坐標的取值范圍，根據切線性質建立方程,

可得答案.

【詳解】(1)設點P(“)，由于動點尸到點尸(o,i)的距離與直線尸-1的距離相等則點尸

的軌跡是拋物線，拋物線的方程是無2=4+

(2)(i)由題意作圖如下：

由尸4網與圓c分別相切于42,則尸PBLCB,

答案第16頁，共19頁

所以S=|4。?|尸/|=|/C卜^|PC|2-|^C|2=2^|PC|2-4，

若S48,可以轉化為|PC區2下,設點POo，y（）），

則戶。=*+（九一2『=JV+4V20,貝lJ0V%W4,

命+0-2）2=4

聯立圓方程與橢圓方程2:'，解得y=o,

則拋物線與圓只相交于（0,0）,而過（0,0）只能做圓C的一條切線，

因此為H0,所以0<%W4

（ii）由P4PB與圓C分別相切于4B,則//尸。=工/2尸8,

2

由乙4尸84烏，則在RtZvlPC中，0</APC4烏，\PC\=,可得忸。24,

3611smZAPC

設尸（2//）,可得「226,

設P4的方程是>一?=E>一2。，化簡可得=0,

由相切可得晨匕」=2,整理可得（4-4/伙2+（4/翼沙+4?—4=0,

由題意可知心質為上述方程的根，

2t-t34r-〃

左]+左2=———,kk=

{24—4”

所以見_周€121；12

19.(1)??=H-1(HGN*)

(2)左=16

(3)證明見解析

【分析】（1）由已知根據。〃與S”的關系求解即可;

（2）根據取整函數的定義分情況討論即可;

m+2m廠__________m+2m_

（3）由題意可知Z[“■+1+Jq+i+i1=Z[6+,令〃=r+左（左e[0,2〃且左eZ）,

i=li=l

分左e[OJ-1]和左e[t,2t]兩種情況求解即可.

答案第17頁，共19頁

【詳解】(1)當〃=1時，25；=12-1=0,所以卬=0,

當“22時，2s“="2—〃，2s“_］=(〃_,

兩式相減得2a,=2〃-2,所以

又％=0滿足上式，所以數列｛%