專題42二次函數(shù)中的特殊三角形問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2021?四川成都?一模）如圖，二次函數(shù)y=+桁+c（4*0）圖象的頂點為。，其圖像與

無軸的交點A、8的橫坐標(biāo)分別為-1,3,與y軸負半軸交于點C.在下面四個結(jié)論中：

_1

@a=--c；

③只有當(dāng)a=g時，△ABD是等腰直角三角形；

④使AACB為等腰三角形的。值可以有兩個.其中正確的結(jié)論有

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】先根據(jù)圖象與x軸的交點48的橫坐標(biāo)分別為-1,3確定出AB的長及對稱軸，

再由拋物線的開口方向判斷。與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷。與。的關(guān)系，然后

根據(jù)對稱軸及拋物線與無軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.

【詳解】解：①由拋物線的開口方向向上可推出。>0,

:圖像與無軸的交點A、2的橫坐標(biāo)分別為-1,3,

對稱軸x=l,

???當(dāng)x=l時，y<0,

a+b+cVO；

故①正確；

②???點A的坐標(biāo)為（-1,0）,

??（X~。+c0,

又,：b=-2m

.,.6/-(-2a)+c=0,

??c~~~3a,

._1

??a=—c

3

...結(jié)論②正確.

③如圖1,連接A￡>,BD,作軸于點E,

要使△ABD是等腰直角三角形，

則ZADB=9Q°,

：OE_L無軸，

...點E是AB的中點，

：.DE=BE,

即產(chǎn)c-%=lzUl=2,

4〃2

又■:b=-2a,c--3〃，

，|4。*(-34)(-24)a>o,

4〃

解得〃=g,

???只有當(dāng)時，△48。是等腰直角三角形,

結(jié)論③正確

④要使△ACB為等腰三角形，

則4B=BC=4,AB=AC=4,或AC=8C,

I、當(dāng)AB=BC=4時，

在RtAOBC中，

V0B=3,BC=4,

OC2=BC2-0序=42-32=16-9=7,

即"7,

1/拋物線與y軸負半軸交于點C,

.*.c<0,c=S,

II、當(dāng)AB=AC=4時，

在RtAOAC中，

VOA=1,AC=4,

OC2=AC2-OA2=42-12=16-1=15,

即C2=15,

???拋物線與y軸負半軸交于點C,

.*.c<0,c--y/15,

.Cy/15

??Cl==---.

33

IIL當(dāng)AC=BC時，

丁OC.LAB.

???點。是A3的中點，

：.AO=BO,

這與AO=1,5。=3矛盾，

???AC=5C不成立.

...使AACB為等腰三角形的。值可以有兩個：立、巫.

33

結(jié)論④正確.

故答案選：D

【點睛】二次函數(shù)y=0+6x+c系數(shù)符號的確定：（1）。由拋物線開口方向確定：開口方向

h

向上，則。>0；否則。<0；（2）b由對稱軸和。的符號確定：由對稱軸公式x=-丁判斷符，

（3）c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c>0；否則c<0；（4）b2-4ac

由拋物線與x軸交點的個數(shù)確定：①2個交點，b2-4ac>0；②1個交點，b2-4ac=0；③沒

有交點，b2-4ac<0.

2.（2022?浙江?九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線y=V-2彳-3與>軸交于點C,點。的坐標(biāo)

為（0,-1）,在第四象限拋物線上有一點P,若△PCD是以C。為底邊的等腰三角形，則點

P的橫坐標(biāo)為（）

A.1+y/2B.1—y/2

C.V2-1D.1—g或1+夜

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線解析式求出點C的坐標(biāo)，再求出CO中點的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰三角

形三線合一的性質(zhì)可得點尸的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線求解即可.

【詳解】令尸。，則y=-3,

所以，點C的坐標(biāo)為（0,-3）,

?.?點D的坐標(biāo)為（0,-1）,

線段CD中點的縱坐標(biāo)為二9=-2,

「△PC。是以CQ為底邊的等腰三角形，

...點P的縱坐標(biāo)為-2,

.".X2-2X-3=-2,

解得，X2=1-，

?.?點P在第四象限，

???點P的橫坐標(biāo)為1+后.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)

并確定出點P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過點川-1,0）,4（4,0）,與y軸交于

點C（0,2）,P為AC上的一個動點，則有以下結(jié)論：①拋物線的對稱軸為直線x=］；②拋

物線的最大值為苫；③NACB=90。；④。尸的最小值為逑.則正確的結(jié)論為（）

85

【分析】①由拋物線經(jīng)過點3(-1,0),A(4,0)可得對稱軸；②用待定系數(shù)法求出拋物線的函

數(shù)關(guān)系式，再求其最大值即可；③由拋物線求得4B、C的坐標(biāo)，再求出BC,AC和AB,

由勾股逆定理即可得到NAC3是直角；④當(dāng)。尸，AC時，OP取最小值，根據(jù)等面積求得

。尸即可.

【詳解】解：..?拋物線經(jīng)過點3(-1,0),4(4,0),

3

?1?拋物線的對稱軸為直線%=

故①正確；

設(shè)拋物線關(guān)系式為：y=a(x+l)(x-4),

\?拋物線經(jīng)過點C(0,2),

-4a=2,解得：a=——,

ii3

???拋物線關(guān)系式為：y———(x+l)(x—4)=+―-^+2,

313325

，當(dāng)％=彳時，y有最大值=--x(―+1)x(~-4)=,

2222X

故②錯誤；

???點3坐標(biāo)為(-1,0),點A坐標(biāo)為(4,0),

：.AB=5.

當(dāng)x=0時，y=2,

???點C坐標(biāo)為(0,2),

JBC=J(-l-O1+(0—2)2二遙,人。:0)2+(0—2)2:,

?.?BC2+AC2=(后2+(2后)=25=6,

???△A3C是直角三角形，且NAC5=90。,

故③正確；

當(dāng)。尸_LAC時，O尸取最小值，

此時根據(jù)三角形的面積可得（。4-0C=1AC-0P,

22

-X2X4=-X2A/5XOP,

22

解得0P=迪，

5

，。產(chǎn)的最小值為逑.

5

故④正確；

故正確的有：①③④，

故選：D.

【點睛】此題主要考查了求拋物線與坐標(biāo)軸的交點，兩點距離公式，等面積求高，解決此題

的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積得。尸的長.

4.（2022?浙江?溫州繡山中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線與x軸交于點A,B,與>軸交于

點G,正方形COE產(chǎn)的邊CD在x軸上，E,尸在拋物線上，連結(jié)G4,GB,AABG是正三

角形，AB=2,則陰影部分的面積為（）

【答案】D

【分析】設(shè)血交8G于點H,根據(jù)正方形與拋物線的對稱性，可得陰影部分面積為2s梯形Go.,

先求得拋物線的解析式為y=-瓜2+若，待定系數(shù)法求得直線BG的解析式為

>=-氐+百，根據(jù)對稱性設(shè)后（根,2根），進而求得點E的坐標(biāo)，點H的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)ED交BG于點、H,

AO=BO=1,OG=，松-協(xié)=6

.1.G（O,V3）,A（-1,O）,B（1,O）

設(shè)過A,B,G的拋物線解析式為y=ax2+后,

將點A代入，得0=＜7+3

a=—A/3

，拋物線解析式為y=-氐2+V3,

..?四邊形CDE尸是正方形，且關(guān)于y軸對稱,

/.OC=OD^-DE

2

設(shè)石（加,2M（祖＞0）,

,/f（m,2m）y=-y/3x2+A/3±,

?*-2m=—5/3^22+A/3,

解得叫==-6（舍去）

VG（0,^）,B（l,0）,

設(shè)直線BG的解析式為y=kx+b,

k+b=0

Jb=6

k=-#）

??.]b=^

/.直線BG的解析式為y=-氐+73

?/H在DE上，

..?a的橫坐標(biāo)為"

3

代入y=-邪＞x+M

得y=-1+百

???陰影部分面積為2s梯形^=2義；（退一1+6卜#=2—日

故選D

【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性

質(zhì)，勾股定理，求得點//的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

5.（2020?山東德州?二模）二次函數(shù)y=d的函數(shù)圖象如圖，點4位于坐標(biāo)原點，點

4,4,&,4…在y軸的正半軸上，點瓦，％%%??在二次函數(shù)y=v位于第一象限的圖象

上，A4修A，AA與a，A483A3,AA3B4A4…都是直角頂點在拋物線上的等腰直角三角形，

則AA樞A的斜邊長為（）

A.20B.200C.22D.22V2

【答案】C

【分析】由于必修4,0鳥4,刈&&都是等腰直角三角形，因此可得出直線A4：

y=x,求出與，a的坐標(biāo)，得出4A的長；

利用A的坐標(biāo)，得直線4%：y=x+2,求出&坐標(biāo)，得出A&的長；用同樣的的

方法可求得44，…的邊長，然后根據(jù)各邊長的的特點得出一般化規(guī)律，求得A。％的長.

【詳解】解：：等腰直角三角形凹44，4為原點；.??直線44：y=x

...y=x,y=x2,4的坐標(biāo)為（1,1）,則4為（0,2）

44=2

A為（0,2）,二直線4與：y=x+2

B2（2,4）,AAA,=4,貝I"（0,6）

A（0,6）,.,.直線4B3：y=x+6

B3（3,9）,AA=6,

由上面AoAi=2,AIA2=4,A2A3=6,可以看出這些直角頂點在拋物線上的等腰直角三角形的

斜邊長依次加2

.,.△Al0BnAn的斜邊長為2+10x2=22,

綜上，由此可以推出A%=22.

故選C.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題時，利用了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，

函數(shù)的交點，等腰直角三角形性質(zhì)等知識點，解答此題的難點是推知ATA,的長.

6.（2022?浙江?杭州東方中學(xué)九年級階段練習(xí)）小明發(fā)現(xiàn)，將二次函數(shù)、=以2一6依的圖象

在x軸及其上方的部分向右平移得到C2,這兩部分組成的圖案酷似某快餐品牌的logo.經(jīng)

測量，該圖案兩個頂點間的距離B片與底部跨度。4的比值為2:5,點P是與C?的交點，

若APBBI恰好為等腰直角三角形，則。的值為（）

A.—0.5B.—1C.—2D.—2.5

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式得到點A坐標(biāo)，對稱軸,根據(jù)平移的性質(zhì)得到BBX=OOi=AA],

設(shè)8耳=2x,求出x值，得到平移距離，可得C2的解析式，令％=%求出點P坐標(biāo)，根據(jù)

等腰直角三角形的性質(zhì)得到2"=；刖：=4+16/,求出。值，根據(jù)開口方向得到結(jié)果.

【詳解】解：***y=a^-6ax=cix^x-6）,

：.A（6,0）,對稱軸為直線x=3,貝ijy=9〃-18〃=—9a,

BBX=OOX-AAj,

設(shè)BB[=2x,貝ijOAl=5x,

?.?OOX=BB]=M，

OOX=2x=AAX,

*/0A=5x,

=

??O[Axf

OA=3x=6,

x=2,

移動距離為2x=4,

2

C2:j=^(x-4)-6^(x-4),

22

y2=<7(X-4)-6?(X-4)=加-14ax+40〃,必=ax-6ax,

令％=%,貝Uox2—6ax=ax2—14ax+40a,

Sax=40a,

..尤=5,

:.尸(5,-5。),

BP2=(5—3)+[—5a—(―9a)]=4+16",

/.BP2=；BB；=^x42=4+16a2,

9.?Cl2_-J_,

4

?.?開口朝下，

**.a<09a=—=—0.5.

2

故選A.

八y

5(3,?9a)81(7,-9。)

O2xOi^A2xA\X

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是注意結(jié)合圖像，求出平移距離.

7.(2022?浙江?九年級專題練習(xí))如圖，已知點A(6,2),3(0,1),射線AB繞點A逆時針

旋轉(zhuǎn)30。，與x軸交于點C,則過A,B,C三點的二次函數(shù)>=G2+以+1中。，6的值分

5in?]2

A.〃=2,b=—A/3B.a=—,b=------C.a=3,b=—V3D.a=—,b=—V3

326333

【答案】A

【分析】先求出直線AB的函數(shù)解析式y(tǒng)=gx+l,再求出點C1-6,0),再根據(jù)三角函數(shù)

求NAGN=30。，則射線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30。，后NC2AN=30。，利用解直角三角形

求出C2,利用待定系數(shù)法即可求出答案4

【詳解】解：如圖所示，直線交x軸于點C,過點A作ANLx軸交x軸于點N,射線A3

8(0,1),代入，得:

k一2

解得：.3

b=l

”旦+1

-3

.?.點Gf,o)

又?.?4(62)

?AN243

??tan=-----=-產(chǎn)產(chǎn)=—

C1N73+733

NAC]N=30/[]NGAN=90°-30°=60°

???射線A3繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30。，交無軸于點C?,則NGAG=30。

ZC2AN=ZQAN-ZQAQ=60°-30°=30°

C2?/=tan30°A^=^^

OC2=ON-C2N=^-

VA(V3,2),3(0,1),C2,0代入>=以2+法+]

a=2

解得:b=N'

+1

故選：A.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、解直角三角形的綜合題目，能構(gòu)造直角三角形是

解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題

8.(2022?全國?九年級課時練習(xí))如圖，拋物線y=-Y-6x-5交x軸于A、B兩點，交，軸

于點C,點。(加機+1)是拋物線上的點，則點。關(guān)于直線AC的對稱點的坐標(biāo)為.

【答案】(—5,—4)或(0,1)

【分析】先求出A、B、C、。的坐標(biāo)，再將點。代入拋物線的解析式，得出7〃的值，確定D

的坐標(biāo)，再根據(jù)點。的坐標(biāo)分情況畫圖求解，即可求出點。關(guān)于直線AC的對稱點坐標(biāo).

【詳解】解：；拋物線>=-犬-6了-5交x軸于A、3兩點，交》軸于點C,

??當(dāng)y=_尤2_6x_5=0日寸，&=—1，無2=—5,

當(dāng)x=0時，y=-5,

：.A(-5,0),B(-l,0),C(0,-5),

OA=OC=5,

ZACO=ZOAC=45°,

?.?。(/〃z+l)是拋物線上的點，

"2+1=—nr—6m-5，

解得〃（=T，m2=-6,

.,.當(dāng)相=—1時，_D（—1,0）,

當(dāng)〃?=-6時，＜0(-6,-5),

①當(dāng)￡)(-!,0)時，此時點D與點B重合，

如圖1,設(shè)點。關(guān)于直線AC對稱點為ZX,連接47,

:點。與點D關(guān)于直線AC對稱，

AC是的垂直平分線，

AB=AD'=-l-(—5)=4,且NOAC=NC4D'=45°,

/OAZ7=90°,

/.。(-5,-4)；

②當(dāng)0(-6,-5)時，

，CD〃x軸，

ZACD=ZOAC=45°

如圖2,設(shè)點。關(guān)于直線AC的對稱點為M,連接8,

1/點。關(guān)于直線AC的對稱點為M,

：.AC是DM的垂直平分線，

/.ZACD=ZACM=45°,DC=CM,

在y軸上，且△DCM是等腰直角三角形，

DC=CM=6,

：.OA/=CM-OC=6—5=1,

/.M(0,l).

綜上可得：點D關(guān)于直線AC的對稱點的坐標(biāo)為(-5,-4)或(0,1).

故答案為:(-5,-4)或(0,1)

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練

掌握二次函數(shù)圖像上的點的坐標(biāo)特征和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2022.浙江.寧波市第七中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知：如圖，拋物線的頂點為平行于

x軸的直線與該拋物線交于點A,2（點A在點B左側(cè)），我們規(guī)定：當(dāng)A/VWB為直角三角形

時，就稱AAMB為該拋物線的“優(yōu)美三角形”.若拋物線>=辦2+區(qū)+6的“優(yōu)美三角形”的斜

邊長為4,求°的值______.

【答案】

2

【分析】設(shè)拋物線的頂點式，根據(jù)“優(yōu)美三角形”的條件得AAMB為等腰直角三角形，得

AC=BC=MC=2,從而得出點B的坐標(biāo)，將點6的坐標(biāo)代入頂點式表達式即可求解.

【詳解】解：設(shè)拋物線的頂點的坐標(biāo)為M（九〃），

，拋物線的頂點式為：y=a（x-m）2+n,

又拋物線y=ax2+bx+6的“優(yōu)美三角形”，

;.AABM為直角三角形，

根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)，可知A"=加0，

.1△ABM為等腰直角三角形，

設(shè)與對稱軸交于點C,如圖，

■.-AB=4,

：.AC=BC^MC=2

3(機+2,〃+2)或3(機+2,〃一2),

n+2=a(m+2—m)2+〃或〃—2=a(jn+2—m)2+n,

..a=—1或.a=1,

22

故答案為：±萬.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解新定義“優(yōu)美三角形”、熟練掌握二次函

數(shù)的頂點式、圖像的對稱性質(zhì)以及圖像上點的特征是解答此題的關(guān)鍵.

10.(2022?全國?九年級課時練習(xí))如圖，拋物線y=%2—2g+2加-1與X軸交于A、3兩點，

且點A、8都在原點右側(cè)，拋物線的頂點為點尸，當(dāng)△樹為直角三角形時，加的值為.

【答案】2

【分析】設(shè)點A(X/,yO,B(孫＞2)，貝A5=IX2-xjI,求出點尸(m,-(m-1)2),由拋

物線的對稱性知AAB尸為等腰直角三角形，建立方程I九2mI=2(m-1)2,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)

系可求得加值.

【詳解】解：設(shè)點A(X/,山),B(%2，72)，則IX2-X1I,

令產(chǎn)。得/一2mx+2m-1=0,

222

?\xi+x2=2mfxrX2=2m-lf貝ljIX2-X1I=4m-8m+4=4(m-1),

由拋物線y=%2-2的+2加一1=(x-m)2—(m-1)2得頂點坐標(biāo)為p(m,-(m-1)2),

拋物線的對稱性知△A5尸為等腰直角三角形，

IX2-X1I=2(m-1)2,

即4(m-1)2=4(m-1)4,

解得：m=2或m=0或m=l,

???拋物線y=V-2mx+2m-1與％軸交于A、8兩點，且點A、3都在原點右側(cè)，

.?.2根＞0且根#1且2根-1＞0,即根■且相

??771=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系、

解高次方程等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

11.(2020?北京延慶.九年級期中)如圖，正方形0ABe的頂點B恰好在函數(shù)、=改2(。＞0)的

圖象上，若正方形。4BC的邊長為四，且邊OA與x軸的正半軸的夾角為15。，貝壯的值為

【答案】坦

【分析】作瓦Ux軸，連接。2,根據(jù)正方形性質(zhì)可知。4=。8,NA=90。可得/8。。=60。,

再由勾股定理即可得B(1網(wǎng),將點B代入;y=ax2(a>0)即可求解；

【詳解】解：作8。，龍軸，連接。B,

ZAOB=45°,

'：ZAOD=15°,

：.ZBOD=60°,

OB=y/OA2+AB2=5/后+后=2

，O￡)=cos60°-OB=-x2=l,BD=sin60°BB=—x2=^

22

/.蜘?，

將點8代入丁="2(。>0)得，

A/3=a-l2>

解得：a=A/3.

故答案為：6

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)、特殊三角函數(shù)、正方形的性質(zhì)，正確做出輔助線，利用特

殊角，應(yīng)用特殊三角函數(shù)值進行求解是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?山東濱州.九年級期末）二次函數(shù)>=耳/的圖象如圖所示，點4位于坐標(biāo)原點,

2

點A/,A2,Aj,A202/在y軸的正半軸上，點&,&,&02/在二次函數(shù)y二§%2

位于第一象限的圖象上，若△AoB/A/,△A1B2A2,△A233A3,…，△A2020&02/A202/都為等邊

三角形，則4A2020B2021A2021的邊長=.

【分析】分別過3人&,當(dāng)作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C,設(shè)AoA/=。，AiA2=b,A2A3=c,

貝=BB2=g~b,再根據(jù)所求正三角形的邊長，分別表示S,B,B

CB3=^C,23

222

2

的縱坐標(biāo)，逐步代入拋物線中，求服。的值得出規(guī)律.

【詳解】解：分別過&,&作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C.

設(shè)AoA尸"，A]A2=b,A2A3二c，

???△AoBA/是等邊三角形，

9=144，

AB】=J&B；_4A2=，

同理可得8&=且6,CB3=-C,

22

4

|）,代入中，得￡=：.（ga）2,解得：斫1或斫0（舍

???在正^AoBiAi中,4

去），即

在正△A!B2A2中，&（爭，1+|）,代入y=寧中，得1+_|=|.（爭）2,解得：b=2或b=-l（舍

去），即A*2=2,

在正△A283A3中，Bs（—c,3+g）,代入中，得3+-|=-|*（—c）2,解得：c=3或c=2（舍

去），即44=3,

.,.可以推出AnAn+i=n+1,

由此可得^A2020B2021A2021的邊長=2021.

故答案為：2021.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用.關(guān)鍵是根據(jù)正三角形的性質(zhì)表示點的坐標(biāo)，利用

拋物線解析式求正三角形的邊長，得到規(guī)律.

13.（2022?山東.日照市高新區(qū)中學(xué)一模）二次函數(shù)y=f的函數(shù)圖象如圖，點Ao位于坐標(biāo)

原點，點4,A2,A5,4,…在y軸的正半軸上，點B/,B2,B3,反，…在二次函數(shù)y=V

位于第一象限的圖象上，AAoBiAi,AAIB2A2,AA2B3A3,AA3B4A4...,都是直角頂點在拋

物線上的等腰直角三角形，則4AioBnAn的斜邊長為.

【分析】過點&,B3,…分別作y軸的垂線，垂足分別為C、D、E...,分別寫出

直線&瓦、4團、人,片的解析式，將它們與＞=/聯(lián)立，求得點3，歷,/的坐標(biāo)，從而可

得4A=2,A4=4,44=6,得到規(guī)律這些直角頂點在拋物線上的等腰直角三角形的斜

邊長依次加2,據(jù)此解題.

【詳解】解：如圖，過點氏，&,B3,均，…分別作y軸的垂線，垂足分別為C、D、E...

Ao￡

■■^AoBiAi,△A1B2A2,AA2B3A3,LA3B4A4...,都是直角頂點在拋物線上的等腰直角三角

形，

\?耳4A?當(dāng)44?B3A,A345?

???4瓦所在的直線為'=%

,ty=x，曰2

由12得無之=X

'ty=x

x(x—1)=0

*>X]—0,x?—1

\A)A=2B|C=2

\A(0,2)

:?直線4為為y=x+2,

fy—x+2

同理，由jy=/解得'與(2,4)

\A4=23/=4

\A(0,6)

直線人為為y=x+6,

ty=x+6

由上,解得鳥(3,9)

1產(chǎn)無

\A,A3=2B3E=6

\4(0,6)

由44=2,44=4,=6…可以看出這些直角頂點在拋物線上的等腰直角三角形的斜

邊長依次加2,

AA10B11A11的斜邊長2+10x2=22,

故答案為：22.

【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，涉及等腰直角三角形、解二元一次方程組等

知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

三、解答題

14.（2022?廣東.廣州市第八十九中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，“45C是直

角三角形，ZACB=90°,AC^BC,OA=1,OC=4,拋物線y=o?+至-34經(jīng)過A,B

兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是直角AABC斜邊上一動點（點A,B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點尸,

當(dāng)線段EF的長度最大時，求點E、F的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一點P,使是以防為直角邊的直角三角

形？若存在，直接寫出所有點尸的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】⑴尸/一2%-3

⑵點"[I線點77g5

⑶存在，片1一字,]

,4+冬1

7

【分析】（1）根據(jù)AC=3C，求出3c的長，進而得到A,8的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可

求得拋物線的解析式；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線A3的解析式，用含加的式表示出E、尸的坐標(biāo)，求出所的

長度最大時機的值，即可求得E、尸的坐標(biāo)；

（3）分兩種情況，/尸￡尸=90。和/耳聲=90。時，分別求得點尸的坐標(biāo)，將縱坐標(biāo)代入拋

物線解析式，即可求得點尸的值.

【詳解】(1)解：vAC^BC,OA=\,OC=4,

AA(-1,O),C(4,0),

/.BC=5,3(4,5),

a—b—3。=0

把A,B代入）=加+次-3a得:

16〃+4萬-3a=5'

a=1

解得:

b=-2f

A拋物線解析式為y=x2-2x-3；

(2)?.?直線A3經(jīng)過點A(TO),5(4,5)

設(shè)直線A3的解析式為：y=kx+c

-k+c=O

把A,B代入代入得:

4k+c=5

k=l

解得:

c=l

直線A3的解析式為：y=x+l

???過點E作x軸的垂線交拋物線于點尸,

設(shè)E點橫坐標(biāo)為機，點E在線段A3上（點A,B除外）,

.,.點E(7",7"+l),(-1<m<4)

，點尸橫坐標(biāo)為機，點尸在拋物線上,

???點F(^m,m2-2m-3),

據(jù)圖知：點E在點F上方,

：?EF=+—2m—3)=-m2+3m+4=-[m——

I2

325

—＜。，開口向下，所有最大值，當(dāng)“二時，政的最大值為彳.

.??加+。=*,915

1=m92-2m-3=—3-3

224~4

35，點唱15

???點E

252

（3）①當(dāng)NEEP=90。時，點。的縱坐標(biāo)為

2

即m=|,解得…=1+半’”=1一早,

./1_鼻、

12'2

7

②當(dāng)HP=9。。，點尸的縱坐標(biāo)為卡,

1513

即丁一2彳一3=-寸，解得匕=5，%=5(舍去)

???點嗚

綜上所述，存在點尸，使△即P是以E尸為直角邊的直角三角形，點尸的坐標(biāo)為1-丫廠，5

V26*'￡_15

或1+或2，-T

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握

二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想.

15.(2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖，拋物線>=內(nèi)2-弧-3與x軸交于點A、C,交y軸

于點8,OB=OC=3OA.

(1)求拋物線的解析式及對稱軸方程；

(2)如圖，連接AB,點M是對稱軸上一點且在第四象限，若AAMB是以為底角的等

腰三角形，求點M的坐標(biāo)；

【答案】(1)拋物線的解析式為y=—-2x-3,對稱軸方程為x=l；

⑵M坐標(biāo)為(1,一#)或(1,-1)

【分析】(1)根據(jù)拋物線的解析式得出以0,-3),08=3,再由已知條件確定4(-1,0)、C(3,0),

利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后化為頂點式，即可確定對稱軸；

(2)設(shè)根據(jù)坐標(biāo)系中兩點間的距離公式得出

MA1=4+m2,MB2=l+(m+3)\AB2=l+32=10,然后分兩種情況：①若=②若

MB=MA,分別求解即可.

【詳解】(1)解：在y=ax?-6x-3中，令x=0得y=-3,

5(0,-3),

03=3,

?/OB=OC=3OA,

：.OA=1,OC=3,

：.A(-l,0)>C(3,0),

把A(-LO)、C(3,0),代入y=-"一3得：

fa+b-3=0

|9?-3Z?-3=0，

拋物線的解析式為y=J-2x—3,

ffi]y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

對稱軸方程為x=l；

(2)解：設(shè)M(l,機)，而A(T,0)、C(3,0),

AMA2=4+m2,MB?=1+(〃2+3)2,.=1+32=10,

AAMB是以/MBA為底角的等腰三角形,

分兩種情況：

①若=則肱12=帥2,如圖：

*,?4+m2=10,

解得m=任或機=-瓜,

VM是對稱軸上一點且在第四象限，

**.M(1,-,

②若"B=M4,則MA2=Mg2,如圖:

4+m2=l+(m+3)2,

解得m=-l,

AM(1,-1),

綜上所述，M坐標(biāo)為(1,-")或

【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，確定特

殊圖形的坐標(biāo)及等腰三角形的定義等，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.(2022.全國?九年級專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)

y=a(x+l)(x-3)的圖象與x軸交于A,8兩點(點A在點8的左側(cè))，與y軸交于C點，頂

點M的縱坐標(biāo)為T.

(1)直接寫出點A的坐標(biāo)，點B的坐標(biāo)；

(2)求出二次函數(shù)的解析式；

(3)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQy中找一點。，使得AACD是以AC為斜邊的等腰直角三角

形，試求出點。的坐標(biāo).

【答案】(1)(-1,0),(3,0)

(2)y=x2-2x-3；

⑶￡)(1,一1)或(一2,-2).

【分析】(1)通過解方程a(x+l)(x-3)=0可得4、8點的坐標(biāo)；

(2)先確定拋物線的頂點坐標(biāo)為。，-4),然后把頂點坐標(biāo)代入y=a(x+l)(x-3)求出.即

可；

(3)先確定C(0,-3),設(shè)。(尤，y),利用兩點間的距離公式得到AC,=10,DC2=x2+(y+3)2,

Ar>2=(x+iy+y2,再根據(jù)等腰直角三角形得到2卜2+(>+3門=10,2[(X+1)2+/]=10,

然后解方程組得到。點坐標(biāo).

【詳解】(1)解：當(dāng)y=0時a(x+l)(x-3)=0,

解得人=-L%=3,

A(-LO),3(3,0)；

故答案為：(-1，0),(3,0)；

(2)解：???拋物線的對稱軸為直線x=l,

拋物線的頂點坐標(biāo)為(1，-4),

把。，一4)代入y=a(x+l)(x_3)得a(l+l)(l_3)=T,解得a=l,

y=(x+l)(x-3),

即y=x2-2x-3；

(3)解:當(dāng)x=0時，y=x2—2x—3=—3,則C(0,—3),

設(shè)。(x,y),

AAC2=l2+32=10,DC2=x2+(y+3)2,AD2=(x+l)2+y2,

「△ACD是以AC為斜邊的等腰直角三角形，

/.2[尤2+(y+3y]=10,2[(x+l)2+y2]=10,

解得x=i,y=-1或x=-2,y=-2,

D(l,—1)或(-2,-2).

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)

的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)，記住兩點間的距離公式.

17.(2022?全國?九年級專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)＞=雙、云+2的圖象與x

軸交于A(-3,0),3(1,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點Q,使△BCQ是以8C為腰的等腰直角三角形？若存

在，直接寫出點。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由

24

【答案】⑴丫=-寧2-耳彳+2

(2)存在，(2,3),(3,1),(—1)—1)!(—2,1)

【分析】(1)將點A(-3,0),3(1,0)代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)以2C為邊在兩側(cè)作正方形BCQ&、正方形3CQ2，則點9,2，Qv2為符合題意

要求的點.過2點作軸于點。，過點。2作無軸于點E，證明A。。。也ACB。，

得出2(2,3),2(-2,1)同理證明ACBO之ABQ*得出03(T，T)，。式一2,1),即可求解.

【詳解】(1)解：???拋物線丫=加+法+2過點4(-3,0),3(1,0),

.10=9。-36+2

'*I0=a+b+2

2

a=——

解得?

b=——

I3

74

，二次函數(shù)的關(guān)系解析式為y=-1無2-§X+2；

(2)解:如圖2所示，以8C為邊在兩側(cè)作正方形8a22、正方形BC2Q”則點

2,2，。3,。4為符合題意要求的點.過。點作軸于點O,過點。2作Q/，無軸于

點E,

VZl+Z2=90°,N2+N3=90。，Z3+Z4=90°,

Z1=Z3,Z2=Z4,

在與ACBO中，

"Z1=Z3

,QXC=BC,

.N2=N4

：.xgCD=^CBO,

AQlD=OC=2,CD=OB=1,

：.OD=OC+CD=3,

同理可得Q&(-2,1)；

同理可證ACBO0ABQE,

BE=OC=2,Q2E=OB=1,

：.OE=OB+BE=l+2=3,

，Q(3,1),

同理，03(T，T)，

存在點Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形.

。點坐標(biāo)為:2(2,3),Q2(3，D，e3(-L-l),Q(-2,1).

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角

形的判定與性質(zhì)，正方形及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，涉及面較廣，難度較大.

13

18.(2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)＞=一/--%-4的圖象與y軸交于

42

點C,與X軸交于A、8兩點，其對稱軸與X軸交于點。.

(1)點C的坐標(biāo)為,點B的坐標(biāo)為；

(2)連接3C,在線段5c上是否存在點E,使得△ED5為等腰三角形？若存在，求出所有符

合條件的點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

【答案】(1)(。，T),(8,0)；

(2)(0)-4),(8-2A/5,-A/5),[?，一二]

【分析】(1)分另U將尤=0、y=o代入函數(shù)解析式，求解即可；

(2)求出直線3c的解析式，分三種情況討論BD=￡B、ED=BE,BD=DE,分別求解

即可.

【詳解】⑴解：y=-1x2-^3x-4,

42

當(dāng)x=0時，y=T,C(0,-4),

i3

當(dāng)y=0時，―i=0,

42

整理得：x2-6x-16=0,

變形得：(x-8)(x+2)=0,

解得士=-2,馬=8,

2(8,0)

故答案為：(0,-4),(8,0)

(2)C(0,-4),B(8,0),

設(shè)5c解析式為y=Ax+"把C、5坐標(biāo)代入得,

(b=-4

\Sk+b=O"

b=-4

解得<1,

k=—

I2

2c解析式為〉=gx-4,

△EZ)3為等腰三角形，點E在線段BC上，設(shè)E(x,(x-4),0(3,0),

以D3為底邊，作30中垂線與2C交點為E,x=1(3+8)=5.5,^x-4=^x5.5-4=--,

2''224

當(dāng)BD=￡B=5時8E=J(8—=5,

(X-8)2=20,

x=8-2q或x=8+2退舍去，

一尤—4=4—^5—4=—,

2

E(8-2A/5,->/5)，

△￡E>3為等腰三角形符合條件的點E的坐標(biāo)為：（0,-4）,（8-26，-如），（藍，-|j；

【點睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，涉及了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，等腰三

角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)基礎(chǔ)性質(zhì)，學(xué)會利用分類討論的思想求解問題.

19.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)y=aV+bx+3的圖象交x軸于點41,0）,

3（3,0）,交y軸于點C.

⑴求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）直線》="分別交直線和拋物線于點M,N,當(dāng)ABMN是等腰三角形時，直接寫出機

的值.

【答案】⑴y=f-4x+3；

(2)機的值為0,一④，1,2

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)分■MN=BM,BN=MN,BAf=3N三種情況討論即可.

【詳解】(1)解：將41,0),8(3,0)代入函數(shù)解析式，得

ja+b+3=0

9Q+3b+3