專題19指數與指數函數

目錄

解題知識必備....................................

壓軸題型講練...................................................................3

題型一、指數式的化簡與求值..................................................3

題型二、指數函數的圖像.......................................................6

題型三、指數(型)函數過定點問題...........................................9

題型四、指數(型)函數的定義域與值域.....................................10

題型五、指數(型)函數的單調性與最值.....................................12

題型六、指數(型)函數與不等式............................................17

壓軸能力測評(13題).......................................................22

x解題知識必備??

一、〃次方根的定義

1、定義：一般地，如果x"=。，那么x叫做。的〃次方根，其中且"eN*

2、個數：

Q〉0,X〉0L

(1)當〃是奇數時，\八八，X的值僅有一個，記為折；

?<0,x<0

(2)當〃是偶數，①。〉0時，x的有兩個值，且互為相反數，記為土折；

②a<0時，x不存在

二、根式

1、定義：式子后叫做根式，這里〃叫做根指數，。叫做被開方數.

,—(2〃為奇數

2、性質：(五)"=a；(y/a)n=V,4/用夾:Cn>l,且〃eN*)

網,〃為偶數

三、分數指數塞的意義

1、分數指數幕的意義

(1)正分數指數塞：規定：J=(a>0,m,neN\?>l)

m

(2)負分數指數累：規定:a~"二而(a>O,m,neN*,?>1

(3)性質：0的正分數指數累等于0,0的負分數指數累沒有意義

2、分數指數累的注意事項:

—mm

(1)分數指數基是指數概念的又一推廣，分數指數幕。"不可理解為一個。相乘，它是根式的一種新的寫

n

法.在這樣的規定下，根式與分數指數累是表示相同意義的量，只是形式不同而己.

(2)把根式叱化成分數指數塞的形式時，不要輕易對絲進行約分.

n

(3)在保證相應的根式有意義的前提下，負數也存在分數指數幕，

如(-5六=#(-5)2有意義,但(-5)=#(-5丫就沒有意義.

四、無理數指數嘉

一般地，無理數指數塞(a>0,a為無理數)是一個確定的實數.

有理數指數幕的運算性質同樣適用于無理數指數幕.

【注意】(1)對于無理數指數幕，我們只需要了解兩點：①它是一個確定的實數；②它是有理數指數幕無

限逼近的結果.

(2)定義了無理數指數暴之后，幕的指數就由原來的有理數范圍擴充到了實數范圍.

五、實數指數幕的運算性質

@aras=ar+s(a>0/,seR).

②(屋)'=ars(a>0,r,seR).

rrr

@(ab)=ab(a>0,Z)>0,reR).

六、指數募運算的一般原則

1、有括號的先算括號里的，無括號的先算指數運算；

2、先乘除后加減，負指數幕化成正指數幕的倒數；

3、底數是分數，先確定符號；底數是小數，先化為分數；底數是帶分數，先化成為假分數。

4、若是根式，應化為分數指數事，盡可能用幕的形式表示，運用指數塞的運算性質來解答。

七、指數函數的概念

1、定義：一般地，函數了=優(。>0且叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R,。是指

數函數的底數.

2、注意事項：指數函數了=4的底數規定大于0且不等于1的理由:

當x>0時，優恒等于0,

(1)如果4=0,當

當x<0吐優無意義

(2)如果"0,如y=(-4廠，當x=時，在實數范圍內函數值不存在.

(3)如果=1工=1,是一個常量，對它就沒有研究的必要.

為了避免上述各種情況，所以規定。＞0且awl.

八、指數函數的圖象與性質

a>\0<a<1

Lx-a'

圖象

U).11

…L

()X鬻

定義域R

值域(0,+co)

性質

過定點(0,1)

單調性在K上是增函數在K上是減函數

奇偶性非奇非偶函數

九、比較指數塞的大小

比較嘉的大小的常用方法：

(1)對于底數相同，指數不同的兩個募的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷；

(2)對于底數不同，指數相同的兩個累的大小比較，可以利用指數函數圖象的變化規律來判斷；

(3)對于底數不同，且指數也不同的哥的大小比較，可先化為同底的兩個累，或者通過中間值來比較.

十、簡單指數不等式的解法

1、形如af{x)＞/⑺的不等式，可借助y=ax的單調性求解；

2、形如的不等式，可將6化為a為底數的指數幕的形式，再借助y=a工的單調性求解；

3、形如優＞6*的不等式，可借助兩函數＞=a"y=的圖象求解。

??壓軸題型講練”

【題型一指數式的化簡與求值】

一、單選題

1.(2023高一上?安徽蕪湖?專題練習)若實數滿足等式2a-6屬與=2/一2五=1+；,則/=()

16

A.-B.—C.J2D.4

42

【答案】A

【分析】移項化簡得;（2。-1）2+伍-2）〃^=0,根據非負性求解即可.

【詳解】由條件知:（2。-Ip+e-2）物=1=0,根據非負性可知。=g,6=2,所以，=；,

故選：A.

二、多選題

2.（22?23高一上?福建廈門?期中）已知實數。滿足Q+〃T=4,下列選項中正確的是（）

,Lee1133

A.a-a=273B.a-+a~~=14C,后+尸=娓D-a，J=3瓜

【答案】BCD

【分析】運用塞的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立Q+Q1，ci-a9“5+Q5，a?+Q?以

33

/+/a之間的內在聯系即可求得.

【詳解】因為a+a~l=4f所以。〉0,

對于A選項，由（a-=a2+a2—2a-ax=（q+a，-4=12,可得Q-。一1=土2下t,故A項錯誤；

對于B選項，/+。-2一2。.4-1=16一2=14,故B項正確；

（1_1Y1_11111

對于C選項，叫a?+a2]=a+qT+2a2.q2=6,又a>0，所以*+”>0，貝!!*+/5=&，故C項

正確；

對于D選項，因“5+萬=儲了+[）3=儲+ai）僅_1+°T）=3而故D項正確.

故選：BCD.

三、填空題

3.（23-24高一上?四川成都?階段練習）已知正數。力滿足“+26=1,則2"+平的最小值為.

【答案】272

【分析】利用基本不等式直接求解最值即可.

【詳解】因為凡b是正數，a+2b=\,所以2"+4〃22,2"?4'=2,2"+2b=2叵，

當且僅當a=2b=g時取等號，即當。=；力=；時，2"+4〃的最小值為2&.

故答案為：28

四、解答題

]_

]_376

4.（24-25高一上?全國?課后作業）（1）化簡:X|+8。%啦+(癢⑹;

8

2_1_

5X3y「

（2）化簡:

（3）已知G+YT_5,求口的值.

ATA-J1

【答案】（1）112；（2）24）；（3）23

【分析】（1）利用指數幕和根式的運算法則化簡求解；

（2）利用指數塞的運算法則化簡求解；

（3）根據指數塞的運算法則，利用平方即可求解.

【詳解】（1）原式=813jxl+（23）4x24+23x32=2+244+22x33=112；

\\）

（2）原式=5x（一4）義][1/3卜j+鳥）=24x。）=24j；

(3)因為1+XT_5,

AIA-J

兩邊同時平方得，x+2+-=25,

整理得，x+x-1=23,

所以**1=x+x-1=23.

5.(23-24高一上,江蘇連云港?期中)已知8--1==小,求下列各式的值.

(1)Q+QT

33

Q5+Q5

33

⑶q2_q2

a-a-1

【答案】⑴a+a"=7

(2)6

【分析】（1）根據指數幕的運算，結合完全平方公式即可求解,

（2）根據指數塞的運算，結合立方和的公式即可化簡求解，

（3）由立方差的公式，化簡即可求解.

【詳解】（1）由6-，==6，可知。＞0,

7a

l

因為=a+a~-2=59故Q+Q-1=7.

\7

_1_

23Q，+Q2(q-l+q-l)

(2)Q^+Q2

---------j------j---------—a—\+a~{=6.

a2+a2Q，+。'

(L_2_\2

(3)由(1)知。+/=7,所以/+/=a+a-1+2=9,

\7

又因為「+<3>0,所以)+/=3，

33\a^--a2|(tz+l+6z-1),

a^-a2(J_6Z+1+6Z-8

所以

ci—ci13

卜+丁]卜一/]a2+a2

【題型二指數函數的圖像】

一、單選題

1.（22-23高一上?河南南陽?期中）函數y=優與y=x"的圖象如圖所示，則實數a的值可能是（）.

【答案】B

【分析】利用指數函數與幕函數的圖像性質判斷得a的可能取值.

【詳解】觀察圖像①與②可知，圖像①是指數函數了=優，圖像②是塞函數.，，=/,

因為圖像①單調遞減，由指數函數的圖像性質可知0＜。＜1,排除D；

再由圖像②存在（-8,0）的圖像，由基函數的圖像性質可知。的分母為奇數，排除AC；

綜上：g滿足a的取值要求，故a的可能取值為，

故選：B.

2.（23-24高一上?河北張家口?期末）函數y=x（e，-eT）的圖象大致為（）

【答案】D

【分析】首先分析題意，根據指數函數性質進行判斷即可.

【詳解】/(-x)=-x(e-J-e^)=/(x),故〃x)為偶函數，圖象關于y軸對稱.觀察可知函數〃x)在(0,+⑼為

增函數，增長方式上應與指數函數相似.

.故選：D.

3.(23-24高一上?重慶?期中)已知函數/(x)=(x-a)(x-6)(a>6)的圖象如下圖所示,則g(x)=a'-6的圖

【分析】由二次函數性質即可得。>1>6>0,再由指數函數性質及圖象即可判斷得出結果.

【詳解】根據函數/(》)=(》-。)(第=6)(。>6)的圖象可知0>1>6>0,

再由指數函數圖象及性質可知，g（x）=a，-b為單調遞增，可排除AB,

且與V軸交點為（01-6）,又1>6>0,所以即交于V軸正半軸上，排除D,可知C正確;

故選：C

二、填空題

4.（23-24高一上?福建泉州?階段練習）已知函數/（x）=3-+6的圖象不過第二象限，則實數6的取值范圍

是.

【答案】,9-?

【分析】利用指數函數圖象性質可知>=3一至少向下平移g個單位長度才能滿足題意，即可求得

【詳解】由已知可知〃x）=3.+6在R上單調遞增，

故答案為：［-叫-：-

5.（23-24高一上?全國?單元測試）若直線y=2a與函數y=|ox—l|+l（a>0,且存1）的圖象有兩個公共點,

則a的取值范圍是.

【答案】1<?<1

【分析】分a>l和OVaVl兩種情況討論交點的情況即可.

當a>l時，通過平移變換和翻折變換可得如圖（1）所示的圖象，則由圖可知IV2a<2,即;<aVl,與

a>l矛盾；

當0<a<l時，同樣通過平移變換和翻折變換可得如圖（2）所示的圖象，則由圖可知l<2a<2,即g<aV

1.綜上可知，-<a<l.

故答案為：-<a<l.

【題型三指數（型）函數過定點問題】

一、單選題

1.（23-24高一上?云南昭通?階段練習）已知函數y=2廣3Tm>（）,且。工D恒過定點/G,%）,且滿足

31

mx+ny=l,其中見〃是正實數，則一+一的最小值是（）

00mn

A.16B.6C.2A/3D.百

【答案】A

【分析】通過尤-3=0可得定點A,代入等式得3加+〃=1,然后通過展開』+'=F+!］（3〃?+"）可求最小

mn\mn）

值.

【詳解】令x-3=0,得x=3,此時y=l,.?./(%,%)為(3,1),

3機+〃=1.

31f31V_x._3n3m_l3n3m.「

—I—=—1—(3加+〃)=10H1210+2.---------=16,

mn\mn)mn\mn

當且僅當3也l?=也3H2，即〃7=1；,”=1；時，等號成立，

mn44

故選：A.

二、填空題

J3

2.(23-24高一上?江西九江?期末)若函數/(x)=a2+1,(a>0,且。*1力>0）的圖象過定點A,且點A

在哥函數〃(x)=(3機一2卜"用上，則b=_______.

【答案】V7

【分析】求出事函數解析式，根據指數函數的性質求得定點坐標，代入基函數解析式可得.

【詳解】人（X）是塞函數，貝!J3:“-2=1,

〃司=產+]中，令x-1=0,得x=J,/（：）=1,.??定點為（f）,

一乙乙/（rI

.?.（夕:彳，又6＞0,?,-Z?=V7.

故答案為：V7.

3.（23-24高一上?福建泉州?期末）對于任意。＞0且。片1,函數/（x）=ai'+6的圖象恒過定點（1,2）,

若〃x）的圖象也過點（T10）,則〃x）=

x-1

【答案】II+1

【分析】由題意首先得〃=-嘰6=1,然后代入（-1,1。）得屋"=；,由此即可得解.

m+n=0

【詳解】因為函數/（x）=+6的圖象恒過定點（1,2）,所以6+1=2'所以"=一心力=1'

所以"x)=a"'(z)+l,

又的圖象也過點（T10）,

所以/（一l）=a-2，"+i=io,又葭＞。,解得優"=；

所以/(x)=

X-1

故答案為:II+1.

【題型四指數（型）函數的定義域與值域】

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習）設函數〃x）=，4-2、，則函數/0的定義域為（）

A.[2,+oo）B.[4,+8）C.（-oo,2]D.（一與4]

【答案】D

【分析】求出/（X）的定義域后可求/的定義域，

【詳解】因為/（耳=49,所以4一2*20,故XW2,

故〃x）的定義域為（-叫2],

令則x44,故，￡|的定義域為（-8,4].

故選：D.

二、解答題

2.（2023高一?江蘇?專題練習）求下列函數的定義域和值域:

1

⑴歹=2。；

z1xX2—2x—3

⑶

（4）y=4*+2田+1.

【答案】⑴定義域四"4},值域為{y|y?o且ynl}

⑵定義域為（-叫。］,值域為［01）

（3）定義域為R,值域為（016］

⑷定義域為R,值域為{了卜>1}

【分析】（1）由x-4/O得定義域，求出占的范圍，結合函數>=2"的性質可得值域；

（2）由被開方數非負得定義域，由指數函數性質結合二次根式得值域；

（3）定義域為實數集，求出%2-2x-3的最小值（取值范圍后，由指數函數性質得值域）;

（4）配方得了=（2，+1）2,再利用二次函數的圖象和性質求解.

【詳解】（1）要使函數式有意義，則》-420,解得"4.

所以函數了=2±的定義域為Wx*4}.

因為占w0,所以22片1，即函數>=2*的值域為切y>。且

（2）由題意知1一2工20,所以2'41=2°,所以x40,

所以函數y=FF的定義域為（-8,0］.

因為x40,所以0<2Vl,所以一1工一2*<0,BP0<l-2A<1,

所以函數了二口7的值域為［0』）.

（3）由題意知函數y=2"3的定義域為R.

因為x?-2x-3=-42-4,所以g）WU=16,

又出>0,所以函數昨出“的值域為（0,16].

（4）由題意易知函數了=平+2同+1的定義域為R,

因為y=4*+22+1=（2*丫+2?2*+1=（2'+1）2,

又2'>0,所以>>1,故函數y=4'+2用+1的值域為{用丁>1}.

3.（23-24高一?上海?課堂例題）已知。>1,6>0.求證：對任意給定的實數后，a2b+k-ab+k>ab+k-ak.

【答案】證明見解析

【分析】利用指數式的非負性結合基本不等式證明

【詳解】由指數函數的性質可知，時，y^ax>0,故/"%>0,/>0,小匕0,

2b+kk2b+kkb+k

由基本不等式，a+a>2ylaxa=2a.

注意到0>0,故2b+k>k,即基本不等式中°加

故等號取不到,貝（-+d>2a"*,

于是戶+Q/木>/J/得證.

【題型五指數（型）函數的單調性與最值】

一、單選題

1.（23-24高一上?浙江溫州?期中）若正數x,V滿足孫=2,貝的最小值為（）

A.27B.81C.6D.9

【答案】B

【分析】利用基本不等式結合指數函數的單調性求解最小值.

【詳解】因為x>0,J>。，可得x+2y227^=4,當且僅當x=2y=2時，等號成立，

所以x+2y的最小值為4,所以產9乙=3"32-=3工+2-所=81.

故選：B

233

2.（23-24高一上?福建福州?期中）已知a=6=\卜c=[j，則a,b,c的大小關系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c、>a>b

【答案】A

【分析】根據塞函數、指數函數的單調性判定大小即可.

3>--1I6

【詳解】易知

又>=[：）定義域上單調遞減，|<1<|,所以6>：>c,

2432

易知y=x]x>0）單調遞增，y>->3>

綜上a>b>c.

故選:A

3.（23-24高一上?貴州?階段練習）若則（）

xy

A.e-"T>lB.6丫">1

C.ev-A<1D.eE<l

【答案】A

【分析】根據不等式可構造函數/（x）=x--,x>0,再利用函數單調性可得由指數函數單調性即可

得e、r>1.

【詳解】由x-y」」可得x-L<y_L,

.XyXy

令函數〃x）=xT，x>0,易知/（x）在（0,+s）上單調遞增，

由x—可得/（x）</（y）,即可得x<y；

因此y-x>0,即一.一.

故選：A

4.（23-24高一上?河南南陽?期末）已知函數〃x）=3'-3T,若Vxe（0,+8）,9'+9--#（x）>0,則實數

。的最大值為（）

A.372B.272C.2D.72

【答案】B

【分析】令/=3'3、根據單調性可求出t的取值范圍，將9'+9—4320轉化成/+，*在（0,+司上

恒成立，結合基本不等式即可求解.

【詳解】因為尸3,在（0,+8）上單調遞增，了=3一，在（0,+8）上單調遞減，

所以/（x）=3-3-、在（0,+功上單調遞增，所以“X）>0,

令1=3*-3-,>0,

2

因為9*+9一,-叭幻20恒成立，所以產+22行恒成立，亦即恒成立，

又f+222VL當且僅當公正時，等號成立，

故3=2/，所以2vL

x，Jmin

故選：B

二、填空題

5.（23-24高一上?重慶?階段練習）已知函數丁=/，+2優-1（“>0,。=1）在區間[-1,1]上的最大值是7,貝|

a=.

【答案】2或g

【分析】設公優，把函數化為關于/的一元二次函數，分離討論。的范圍，根據函數最大值建立方程，解

出即可.

【詳解】設/=",又xe[T』，

若。>1,貝！Ue-,a,

a_

函數V=Q2X+2詭一1="+2/-1=?+1『—2,

對稱軸為/=-1,

則才=〃，即X=1時，歹皿以=（。+1）2一2=7,

解得〃=2或。=一4（舍）；

H4「1一

若0<。<1時，tEa,一,

a_

函數>=j+2優-1="+2I=（Z+1）2-2,

對稱軸為l=T,

則/=，，即x=-l時，ymax=f—+1^|-2=7,

a\aJ

解得"、或（舍）；

24

故答案為：2或;.

6.（23-24高一下?湖南長沙?開學考試）若函數=，X~0,若在區間（加,"）上既有最大

—x~+2x+1,x>0

值，又有最小值，則"-加的取值范圍是.

【答案】（1,3]

【分析】根據給定的分段函數，分段探討函數的取值，再利用函數在開區間上既有最大值，又有最小值，

列式求解即得.

【詳解】當xWO時，函數/(x)=gj在(-叱0］上單調遞減，/(x)^/(O)=l,

當x>0時，/(X)=-X2+2X+1=-(X-1)2+2,函數/(x)在(0』上單調遞增，

則⑴=2,

函數/(x)在［1,+動上單調遞減，則〃x)V〃l)=2,此時函數f(x)的值域為(-刊』,

當xVO時，由/'(x)=(g］=2,得x=-l,

當x>0時，由/'(x)=-x?+2x+l=1,得x=2,

由在(加,〃)既有最大值，又有最小值，得-1<根<0,1<"W2,

則0<-加W1,由不等式的基本性質可得1<"-加W3.

因此，"一心的取值范圍是(L3］.

故答案為：(1,3］.

三、解答題

7.(23-24高一上?內蒙古巴彥淖爾?期末)已知/(x)=/m(4>0且“工1)是偶函數.

(1)求加的值；

⑵若/(%)在［。』上的最大值比最小值大(，求”的值.

【答案】⑴0.

3-1

(2)］或

【分析】(1)根據偶函數的定義建立方程，根據方程恒成立得解；

(2)分”>1和0<。<1兩種情況討論，由指數函數的單調性求最值即可得解.

【詳解】(1)若/(x)為偶函數,則〃T)=/(X)恒成立,

所以產??=/+*即一—加工=工2+加工恒成立，解得加=().

故加的值為0.

（2）由（1）可得/（x）=J（。＞0且awl）.

1a

當時，/（X）在（0,+司上單調遞增，⑼卜。-1=子解得。=去

當0＜a＜1時，在（0,+司上單調遞減，|/⑴-〃0）|=1-。=；,解得”;.

故0的值為:3或會1

一＞+1

8.（23-24高一上?湖北荊州?期末）已知函數f（x}=^-±L.

（1）求“X）的值域;

⑵判斷并證明了（X）的單調性.

【答案】（O

（2）函數在R上為減函數，證明見解析

【分析】（D分離常數，結合指數函數的值域求復合型指數函數的值域即可.

（2）直接由函數單調性的定義結合指數函數單調性證明即可.

1

【詳解】（1）/W=^r7i=-2^J=-4-^TlJ

J=2,+1的值域為（1,+℃）,

一=六的值域為（0,2）,

—=1一三7的值域為（一11），/3=一以1一六）的值域為〔一另〕.

-

乙1乙\乙I1J乙乙）

（2）Vx1；x2eR,不妨設王＜/，則/（再）-/（馬）

」一J

2U（2X1+1J42（2X2+1J

???王＜x2,.\2超〉2』，2』+1〉0,2打+1〉0,

從而/（6小2）=（2二￡+1）＞。，

即/（再）＞/（工2）,

.J（x）在R上為減函數.

9.（23-24高一?上海?課堂例題）設f是實數，且f＜4.求函數》=|22-8|,xe上,4］的最小值.

2,+1-8,2<Z<4

【答案】y=

min0j<2

【分析】先將函數/（x）=|2㈤-8|去絕對值符號化為分段函數并求其單調性，進而可求得參數/的不同取值

對函數＞=|2"J8|,xe［f,4］單調性的影響，從而依據單調性即可求得函數最值.

【詳解】令2Z-820nx+l23nxz2,

2x+,-8,x>2

所以函數〃同=|2川-8/

-2A'+1+8,x<2,

又因為y=23是增函數，所以函數/（x）在（-嗎2）上單調遞減，在［2,+8）上單調遞增，如圖:

所以當2Vt＜4時，函數＞=|2向-8|,xe卜,4］在兒4］上單調遞增，

此時函數＞=|2x+1-8|,xe［f,4］的最小值為=2W-8；

當/＜2時，函數＞=|2田-8口€上,4］在在,2）上單調遞減，在［2,4］上單調遞增,

此時函數＞=|2x+1-8|,xe［z,4］的最小值為％”=22+1-8=0.

所以函數＞=|2加一8卜xe匕4］的最小值為幾也=＜:/f

【題型六指數（型）函數與不等式】

一、解答題

1.（23-24高一上?北京通州?期末）函數/（x）=e”+%eT-4,weR.

⑴若/（x）為偶函數，求機的值及函數“X）的最小值；

（2）當xe［-1,1］時，函數"X）的圖象恒在x軸上方，求實數，”的取值范圍.

【答案】（1）加=1,-2

（2）加e（4,+oo）

【分析】（1）利用偶函數定義，帶入函數/。）=/+旌7-4計算加，利用換元法"=e，＞0,結合基本不等

式進行最小值的求解即可.

(2)由于函數〃x)圖像恒在x軸上方，所以函數〃x)>0,進行參數分離，得到機>4e'-e2，,xe[-11恒

成立，結合換元法進行討論即可.

【詳解】(1)因為函數〃x)=e'+加b-4為偶函數.

x

所以/(-x)=/(x)恒成立，即b+me-4=e+me~-4恒成立.

即(1一加)(尸-6=0恒成立，解得加=1,

所以/(無)=/+-，-4=/+二一4,令〃=e，>0,

e

=u+--4>2.u---4=-2,當且僅當〃=1,即x=0時，等號成立.

yuVu

所以函數/(X)的最小值為-2.

(2)當xe[-1J時，函數“X)的圖象恒在x軸上方,

故當xe[-1,1]時/(x)=ex+me-x-4>0恒成立.

即m>4ex-e2x,xe[-1,1]恒成立.

令/?(x)=4e*-e?*,令/=3,te-,e.

e

因為y=4-2,對稱軸為(=2,

故當1=2即X=ln2時,〃(無)取最大值4,故加e(4,+oo).

2.(23-24高一上?廣東湛江?期末)已知函數〃x)是定義在R上的偶函數，當x20時，/卜)=分2，-2一',

且/(-1)=子

⑴求。的值，并求出“X)的解析式；

⑵若rnf(x)-4、-4一工40在(0,+8)上恒成立，求m的取值范圍.

xx

…田、x\2-2-,x>0

【答案】(1)。=1，f()=\xx

[2-2,x<0

(2)(-oo,2V2].

a

【分析】(1)由/(-1)=；,求得。=1,再結合函數的奇偶性，求得x<0時，/(x)=2-t-2\進而求得函

數〃x)的解析式；

(2)由(1),把的(耳-4*-4-*W0在(0,+s)上恒成立，轉化為機w與金，結合基本不等式，即可求

解.

1Q

【詳解】(1)解：因為/'(X)是偶函數，所以-1)=/(1)=2。-5=：,解得“=1,

當x<0時，可得-x>0,可得/(xh/f-xHZr-ZYrlzT-Z”,

2x-2-x,x>0

所以函數“X）的解析式為〃x）=

2-x-2x,x<0

（2）解：由（1）知，當x>0時，/（切=2，-2-'>0,

因為時⑺-4'-4-V0在（0,+司上恒成立,

(2工一2-7+2

4'+4T2

即mV=2X-2-X+----------

2X-2-X「一~2X-2~X-2X-2-X

又因為2工一2-x+—-—>2,(2X-2-x\—--=272,

2X-2~xV'2X-2~x

當且僅當2,-2T=時，即x=log2（1+班卜;時等號成立,

所以旌2百，即加的取值范圍是卜叫2回.

3.（23-24高一下?湖南張家界?階段練習）已知函數/（力=半詈為奇函數.

⑴求。的值；

（2）判斷函數/（x）的單調性，并加以證明；

⑶若對任意的feR,不等式/儼-2。+/（2產-外>0恒成立，求實數上的取值范圍.

【答案】⑴"T

（2）函數/（x）在定義域R上單調遞增，證明見解析

⑶后

【分析】（1）由奇函數的性質可得出/（0）=0,求出實數。的值，然后利用函數奇偶性的定義檢驗即可;

（2）判斷出函數/（X）為R上的增函數，然后利用函數單調性的定義證明即可；

（3）利用奇函數的性質將所求不等式變形為/（2〃-左）>八2""），利用函數的單調性可得出

3產-2/-4>0對任意的feR恒成立，由△<0可求得實數k的取值范圍.

【詳解】（1）解：對任意的xeR,3工+1>0,則函數/（x）的定義域為R,

則/（。）=手=0,解得。=一1，此時，

N3I1

yx-i3”

所以,/(-x)==-/(x)，

3一,+13X(3-J+1)1+3"

所以，當a=T時，函數=為奇函數.

(2)解：由(1)知：/(x)=^-^=3+1~2=l一一—,

I，3%+13%+13'+1

則函數/(x)在定義域R上單調遞增，證明如下：

2?2(3為-3”

設任意的再＜/，則〃再)一/卜)=1一_—1+刊=(3臺.3二1)

因為再〈尤2，貝！|3'2＞3』＞0,則34-3工2＜0,

又3皆+1＞0,3也+1＞0,所以，/(x1)-/(4)＜0,即“再)＜。＞2),

所以，函數/(x)在定義域R上單調遞增.

(3)解：因為不等式/(r-2f)+/(2/-后)＞0對任意的/eR恒成立，

所以，f(2t2-k)＞-f(t2-2t)=f(2t-t2)對任意的feR恒成立，

因為函數〃x)為R上的奇函數，且為增函數，貝!12/一后＞2-?,

則3〃-2/-后＞0對任意的feR恒成立，所以，A=4+12后＜0,解得上＜-；.

因此，實數左的取值范圍是卜叫

4.(23-24高一上?浙江?階段練習)已知函數/(x)=(x-2乂2'-a),aeR.

⑴當。=1時，解關于x的方程〃x)=0；

(2)當x23時，恒有/(x)21,求實數。的取值范圍；

⑶解關于X的不等式〃x)20.

【答案】⑴x=2或x=0；

(2)(-00,7］；

(3)答案見解析；

【分析】(1)將。=1代入即可解出方程〃司=0的根為x=2或x=0；

(2)將不等式/(x)21恒成立問題轉化為-一二］,xe［3,+=o),再利用函數單調性即可得。47滿

足題意；

(3)對參數。的取值進行分類討論，結合不等式即可求得其解集.

【詳解】(1)當”=1時，方程/(x)=0即為〃尤)=(x-2)(2-l)=0,

解得x=2或x=0；

(2)當x23時，不等式〃x)21可化為aW2,--二，

x-2

依題意可知，需滿足-一二］,xe［3,+co),

Vx-27min

由于函數>=2,在［3,+8)上單調遞增，函數y=-一二在［3,+⑹上單調遞增;

x—2

所以函數了=2*-一］在［3,+⑹上單調遞增,因此乏2、一為I=23---=7,

x-2Ln3-2

即實數。的取值范圍是(-吟7］;

(3)由〃x)20可得(x-2)(2'-a”0,

①當時，可得2;0>0,不等式等價為x-220,此時不等式解集為［2,+8)；

②當0<a<4時，方程@-2乂2,-a)=0有兩根，即X］=2,x?=log2。，且2>log?a；

此時不等式解集為［2,+?)u(-a),log2?］；

③當a=4時，方程(x-2乂2,-a)=0僅有一根，即x=2,此時不等式解集為R；

④當a>4時，方程(尤-2乂2"-a)=0有兩根，gpxj=2,X2=log2a,且2<log2“；

此時不等式解集為［log?d+°°)2］；

5.(23-24高一上?山東濟寧?期中)設函數〃司=后優-2u(“>0,awl,左eR),/(x)是定義域為R的奇函

數.

⑴確定人的值.

⑵若〃1)=3,判斷并證明〃x)的單調性；

(3)若a=3,使得2/(x)?X+l)〃x)對一切xe［-2,-U恒成立，求出彳的范圍.

【答案】(1)2

(2)/(X)在R上單調遞增，證明見解析

⑶(-訓

【分析】(1)根據奇函數的性質/(—x)+/(x)=0計算可得；

(2)首先求出。的值，即可得到函數解析式，再利用單調性的定義證明即可；

(3)依題意可得2(2-。(3'-3-，"0對xe［-2,-“恒成立，由3，-3-，<0,即可得到2("1)?0,從而得

解.

【詳解】(1)因為/(x)=后優-2a”是定義域為R的奇函數，

貝！If(-x)+/(x)=ka~x-2ax+kax-2a~x=(左一2)(a"+a~x)=0,

而優+「〉0,解得左=2,

所以左的值是2.

(2)由⑴得/(x)=2/-2「,〃無)是定義域為R的奇函數，

又/⑴=3,貝！)2。一2°T=3,即2/一3a-2=0,又解得。=2,

則/(X)=2(2「2T)

所以函數/(x)在R上單調遞增，證明如下：

設VXi，%61^且王<X2，

則仆)-/(尤2)=2(2'-2』)-2(2,2H)=2(2'5)[1+而、],

因為X[<X2，則0<2",<2應，即2不-2均<0,1+—->0,

21-22

于是得〃再)-〃Z)<0,即/&)</(%),

所以函數/(x)在定義域R上單調遞增.

(3)當a=3時，/(x)=2(3v-3-'),

因為Vxe[-2，T，2/(x)<(^+l)/(x)<=>2(A-l)(3^-3I)>0,

因為函數y=3、-3，在[-2,-1]上單調遞增，所以3「3-"3--3<0,

所以2(47)40,解得441,所以X的取值范圍為(-8』.

”壓軸能力測評”

一、單選題

1.(23-24高一上?浙江杭州?期中)函數/(x)=2、+3r的圖象可能為()

一

-2-1012x-2-1012x

-2-1012x-2-1012x

【答案】A

【分析】由/⑴>〃0)排除D；由〃T)</(-2)排除C；由/出</(0)排除B,即得答案.

【詳解】解：因為/'(x)=2x+3T,xeR,

/(0)=2°+3°=2,/(1)=2+|>2=/(0),故排除D；

又因為〃一2)=2一2+32=9+^1=》47，/(-1)=2-1+3=7|<a^7=/(-2),故排除C；

又因為出厚+3氣夜+也嚶，

(而+1)2_7+2痛_7+@<7+后_4

所以母1<2,

V3

即/出</(0),

符合題意的只有A,故排除B.

故選：A.

2.(23-24高二下?浙江?期中)已知〃同=2*-2,則使/⑺</(―+4)成立的實數x的取值范圍是

()

A.,B.1《JC.D.(一<?,-|卜(1,+(?)

【答案】A

【分析】先判斷函數的單調性，再根據函數的單調性得出不等式，最后解一元二次不等式求解.

【詳解】因為/■(力=2=2-'=2「6[,所以3)是單調遞增函數，

又因為/(x)</(-3x2+4),所以尤<-3/+4,3x2+x-4<0,

所以(3x+4)(x-l)<0,

所以x的取值范圍為j

故選：A.

3.(24-25高三上?江西九江?開學考試)已知函數小)=[：；1[；；；；">1在7?上單調遞減，則0的取值范

圍為()

A.[-2,4]B.[4,+oo)C.