:值模型專項(xiàng)訓(xùn)練

本專題主要包含最值模型：將軍飲馬模型、將軍遛馬（造橋）模型、費(fèi)馬點(diǎn)模型、瓜豆原理（直線軌跡）、

胡不歸模型等。（共40題）

1.（2023?山東?統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABC。的邊AB=?,BC=3,E為A8上一點(diǎn)，且AE=1,F為AD邊

上的一個動點(diǎn)，連接EP,若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,E/=EG,連接CG,則CG的最小

值為（）

2.（2023上?廣東廣州?九年級校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。是直線＞=x+2上的一個動

點(diǎn)，將。繞點(diǎn)P。,。）順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)。‘，連接。0,則。。'的最小值為（）

3.（2023上?河南新鄉(xiāng)?九年級校考期中）如圖，RtQABC中，ZACB^90°,ZA=30°,8C=5,點(diǎn)E是邊AC

上一點(diǎn)，將8E繞點(diǎn)5順時針旋轉(zhuǎn)60。到8F,連接CF,則CF長的最小值是（）

A.2B.2.5C.亞D.亞

2

4.（2023?陜西榆林?九年級校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長是4,點(diǎn)￡是。C上一個點(diǎn)，且

=1,尸點(diǎn)在/C上移動，則PE+PD的最小值是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

5.（2023上?山東?九年級專題練習(xí)）如圖，P是邊長為2的正方形ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，Q為邊BC上一動點(diǎn),

連接尸4PD、PQ,則PA+PD+PQ的最小值為（）

A.4B.3C.3+73D.2+73

6.（2022?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtA48C中，乙4=90。，”為8c的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)、,過

點(diǎn)C作CGII/8,交的延長線于點(diǎn)G,若NC=8,AB=6,則四邊形NCG"周長的最小值是（）

A

G

A.24B.22C.20D.18

7.（2023下?江蘇蘇州?九年級校考階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，NA=60。,A8=6.折疊該菱形，使

點(diǎn)/落在邊8c上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊A2,A。交于點(diǎn)￡,F.當(dāng)點(diǎn)”的位置變化時，。廠長的最大值

為（）

A.3B.6-2A/3C.2A/3D.6-373

8.（2023下?浙江寧波?八年級校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=3,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),連

接DE,將VADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在B處，連接FC,若H,G分別為/C,的中點(diǎn)，則H3的最小值

9.（2023上?廣東佛山?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，ZC=135°,AB=2,AD=3,

點(diǎn)2G分別是CD,BC上的動點(diǎn)，連接A”，GH.E,F分別為AH,GH的中點(diǎn)，則EF的最小值是（）

AD

E\'H

BGC

A.2B.V2c變D.2V2

2

10.（2023上?四川達(dá)州?九年級校考期末）如圖，正方形ABCD中，AB=A6,。是8C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是

正方形內(nèi)一動點(diǎn)，。后=2,連接。E,將線段DE繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得。下，連接AE、CF,則線段OF

11.（2023上?陜西西安?九年級校考階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD邊長為5,點(diǎn)區(qū)廠為對角線30上兩點(diǎn),

且2石=2。尸，89=8,連接AE,A尸，則2A/+AE的最小值是

12.（2023上廣東深圳?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在長方形ABCD中，AB=2,AD=25點(diǎn)E在8C上,

連接DE,在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，+的最小值為.

13.（2023?陜西榆林,九年級校考期中）如圖，點(diǎn)P是邊長為4的菱形ABCD的對角線8。上一動點(diǎn)，若

ZABC=30°,則PA+PB+PC的最小值為

14.（2023上?湖北?九年級校考周測）如圖，已知菱形ASCD的周長為8,面積為26,E為A8的中點(diǎn)，若P

為對角線BO上一動點(diǎn)，記尸C-PE的最大值為冽，記PC+PE的最小值為〃，則一=

n

15.（2023?重慶?九年級專題練習(xí)）如圖，在YABCD中，點(diǎn)E,廠分別在邊AB，AD上，折疊△AEP使得點(diǎn)

A落在C￡＞上，若ZABC=120。，AD=4y/3,AB=8,則BE長度的最大值為

16.（2024上?北京海淀?九年級校考開學(xué)考試）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,/BAD=60°,點(diǎn)P，。分

別在邊A。，AB上，連接尸。，點(diǎn)A關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)在線段BC上，則￡＞尸的最大值為

17.（2023下?山東煙臺?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=6,點(diǎn)尸、點(diǎn)0分別在邊

AB.CD上，且OQ=P8,連接AQ和。尸，則AQ+OP的最小值是

18.（2023上?廣西?九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，AB=8,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在AB上，

且AF=3,點(diǎn)G,H分別為BC,C。上的動點(diǎn)，連接EG,過點(diǎn)尸作EPLEG,垂足為點(diǎn)尸，連接P”，則PH

的最小值為.

19.（2023下?四川成都?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt^MC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=86如

果在三角形內(nèi)部有一條動線段MN〃3C,且MN=G，則4V+HW+CV的最小值為.

20.（2023上?湖北黃石,九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=2,將線段Q4繞點(diǎn)。進(jìn)

行旋轉(zhuǎn)，8（2,0）,取A8中點(diǎn)C,典4,0）,連接CE,已知點(diǎn)Z）的坐標(biāo)為（-⑷，那么將線段。4繞點(diǎn)。的

21.（2023上?陜西西安?八年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為，P

是x軸上一動點(diǎn),把線段PA繞點(diǎn)尸順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段PF,連接。/，則線段OP長的最小值是.

22.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)尸（加，〃?+2）,點(diǎn)。0）,點(diǎn)

1）,則尸。+加最小值為.

23.（2023?江蘇南通,九年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形N8CD中，^5=10,BC=5.若點(diǎn)M、N分別是

線段/C,上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)aW+MN取最小值時48九W的周長為.

24.（2023?江蘇?八年級專題練習(xí)）在邊長為2的菱形/BCD中，乙4=60。，M是4□邊的中點(diǎn)，若線段M4

繞點(diǎn)”旋轉(zhuǎn)得線段M4'.（1）如圖①，線段朋4的長=.（2）如圖②，連接4C,則4c長度的最小

值是.

DD.

圖①國②

25.（2023?北京昌平?八年級校考期中）己知：如圖，邊長為4的正方形N2CD中，點(diǎn)E為邊。C上一點(diǎn),

且。￡=1,在NC上找一點(diǎn)尸，則DP+EP的最小值為

26.（2019?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點(diǎn),且BE=1,F為AB

邊上的一個動點(diǎn)，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為.

27.（2023?四川?中考模擬）如圖，在矩形N2CD中，42=4,40=3,矩形內(nèi)部有一動點(diǎn)尸滿足S△為慶gs短

"BCD,則點(diǎn)尸到/、3兩點(diǎn)的距離之和我+尸2的最小值為

28.（2023?湖北武漢?九年級校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，A5=6,且乙43c=60°,M是菱形

內(nèi)任一點(diǎn)，連接/〃，BM,CM,則/M+2M+CM的最小值為.

D

29.（2024上?陜西咸陽?九年級統(tǒng)考期末）如圖，尸為菱形ABCD的對角線AC上的一定點(diǎn)，0為AD邊上的

一個動點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交AB,AP于點(diǎn)￡,G,ZZMfi=30°,若的最小值為2,則AE的長

30.（2023下?江蘇宿遷?八年級校考期末）如圖，菱形ABCD的8C邊在x軸上，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（-3,0）,頂

點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)E在〉軸上，線段軸，且點(diǎn)尸坐標(biāo)為（8,6）,若菱形ABCD沿x軸左右運(yùn)動,

連接AE、DF,則運(yùn)動過程中，四邊形ADBE周長的最小值是

31.（2023?浙江?九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1,F為AB邊

上的一個動點(diǎn)，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為.

32.（2022?江蘇?八年級期末）如圖，矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn)，P

為。F中點(diǎn)，連接PB,則PB的最小值是

33.（2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模）如圖，在菱形A8CD中，NB=45。,E、尸分別是邊C。,8c上的動點(diǎn)，連

接AE、EF,G、〃分別為AE、的中點(diǎn)，連接G”.若G”的最小值為3,則8c的長為.

34.（2023?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在:中，ZC=90°,AC=BC=6.P為邊AB上一動點(diǎn)，作

PDLBC于點(diǎn)D,PELAC于點(diǎn)E,則DE的最小值為.

35.（2024?廣東深圳,八年級校聯(lián)考期末）龍崗區(qū)八年級某班級在探究“將軍飲馬問題"時抽象出數(shù)學(xué)模型：直

線/同旁有兩個定點(diǎn)4B,在直線/上存在點(diǎn)P,使得刃+P2的值最小.

解法：如圖1,作點(diǎn)/關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)4,連接?2,則48與直線/的交點(diǎn)即為P,且B4+P5的最小

值為4瓦

圖1圖2圖3

請利用上述模型解決下列問題：⑴格點(diǎn)應(yīng)用：如圖2,邊長為1的正方形網(wǎng)格內(nèi)有兩點(diǎn)/、B,直線/與4

8的位置如圖所示，點(diǎn)P是直線/上一動點(diǎn)，則刃+P8的最小值為；⑵幾何應(yīng)用：如圖3,AABC

中，ZC=9O°,AC=4,BC=6,E是的中點(diǎn)，P是邊上的一動點(diǎn)，則為+PE的最小值為；

⑶代數(shù)應(yīng)用：代數(shù)式J/+4+J（6-x>+36（04x46）的最小值為；

36.（2023?陜西咸陽?校考一模）【問題提出】（1）如圖1,點(diǎn)48在直線/的同側(cè)，點(diǎn)N到直線I的距離AC=2,

點(diǎn)8到直線/的距離8。=4,A,8兩點(diǎn)的水平距離CD=8,點(diǎn)P是直線/上的一個動點(diǎn)，則AP+8P的最

小值是;

【問題探究】（2）如圖2,在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是4D的中點(diǎn)，線段E尸在邊A8上左右

滑動，若EF=1,求GE+CF的最小值；

【問題解決】（3）如圖3,某公園有一塊形狀為四邊形ABCD的空地，管理人員規(guī)劃修兩條小路AC和BO

（小路的寬度忽略不計，兩條小路交于點(diǎn)尸），并在A。和8C上分別選取點(diǎn)M、N,沿PM、PN和腦V修

建地下水管，為了節(jié)約成本，要使得線段PM、PN與MN之和最小.

已測出NACB=45。，ZADB=60°,ZCPD=75°,PD=40m,PC=50及m，管理人員的想法能否實(shí)現(xiàn)，

若能，請求出PM+PN+MN的最小值，若不能，請說明理由.

圖1圖2圖3

37.（2023?廣東廣州,八年級統(tǒng)考期末）在長方形N8C。中，48=4,BC=8,點(diǎn)、P、。為邊上的兩個動

點(diǎn)（點(diǎn)尸位于點(diǎn)0的左側(cè)，P、。均不與頂點(diǎn)重合）,

圖③

（D如圖①，若點(diǎn)￡為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)。移動到8c邊上的中點(diǎn)時，求證：AP=QE；

⑵如圖②，若點(diǎn)￡為CD邊上的中點(diǎn)，在P0的移動過程中，若四邊形4尸。￡的周長最小時，求AP的長;

⑶如圖③，若〃、N分別為40邊和CO邊上的兩個動點(diǎn)（V、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP=3,且四邊形

P@W的周長最小時，求此時四邊形尸QW的面積.

38.（2023?重慶?九年級校考階段練習(xí)）已知如圖，在YA3CD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接

BE,CE,BE=CE,BELCE,點(diǎn)F是EC上一動點(diǎn)，連接昉.

（1）如圖1,當(dāng)8B_LAB時，連接。尸，延長BE,CD交于點(diǎn)K,求證：FD=DK；

（2）如圖2,以8尸為直角邊作等腰放△F8G,/尸8G=90。，連接GE,若DE=^,CD=6當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)在運(yùn)

BB

圖1圖2

39.（2023,江蘇蘇州,八年級校考期中）背景資料：在已知nAFC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個

頂點(diǎn)的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)

被人們稱為"費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖L當(dāng)UABC三個內(nèi)角均小于120。時，費(fèi)馬點(diǎn)尸在DABC內(nèi)部，當(dāng)

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。時，貝1|P4++PC取得最小值.

（1）如圖2,等邊nABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別為3,4,5,求的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將口4取繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時nACP三口A5P這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段總、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出ZAPS=；

知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與口ASC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請同學(xué)們探索以下問

題.（2）如圖3,DABC三個內(nèi)角均小于120。，在ABC外側(cè)作等邊三角形口AM，,連接C?,求證：CB'過

□ABC的費(fèi)馬點(diǎn).⑶如圖4,在R兀ABC中，ZC=90°,AC=1,NABC=30。，點(diǎn)P為口ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

連接AP、BP、CP,求叢+P3+PC的值.⑷如圖5,在正方形ABCD中，點(diǎn)￡為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、

BE、CE,且邊長A8=2；求AE+3E+CE的最小值.

40.（2023上?福建廈門?九年級校考期中）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在

同一條直線上的三個點(diǎn)4B,C,求平面上到這三個點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理

學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為"費(fèi)馬點(diǎn)"或"托里拆利點(diǎn)

⑴下面是該問題的一種常見的解決方法，分兩種情況討論，請補(bǔ)充以下推理過程：

①當(dāng)2ABC的三個內(nèi)角均小于120°時,

如圖1,將△回（7繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到口4尸'。,連接PP,

???AAPC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到nAPCPC=PC,ZPCP'=60°

△尸CP為三角形，二PP'=PC

???AAPC^A^rCP'A'=PA.-.PA+PB+PC=PP'+PB+AP'

由幾何公理：可得：PP'+PB+A'P'>A'B

.?.當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時，以+P3+PC取最小值，

如圖2,叢+依+尸。最小值為48,此時的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)"，且有===

②當(dāng)DASC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，"費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個頂點(diǎn)，證明略.

（2）如圖3,在ABC中，三個內(nèi)角均小于120。，且/ABC=60。，AB=5,BC=3,若P為口45c的“費(fèi)馬點(diǎn)”，

求上4+P3+PC的值；⑶如圖4,設(shè)村莊48,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km,3c=2瓜m,

ZACB=60°.現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向4B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊4B,C

的鋪設(shè)成本分別為1萬元/km,1萬元/km,&萬元/km,則總的鋪設(shè)成本最少是萬元.

:值模型專項(xiàng)訓(xùn)練

本專題主要包含最值模型：將軍飲馬模型、將軍遛馬（造橋）模型、費(fèi)馬點(diǎn)模型、瓜豆原理（直線軌跡）、

胡不歸模型等。

1.（2023?山東?統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCZ）的邊AB=:,BC=3,E為A8上一點(diǎn)，且AE=1,F為AD邊

上的一個動點(diǎn)，連接EP,若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EP=EG,連接CG,則CG的最小

D.20

【分析】過點(diǎn)G作GH_LAB于H,過點(diǎn)G作MN||AB,由"AAS"可證△GEH三ZkEFA,可得GH=AE=1,可得點(diǎn)G

在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動，則當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GH1AB于H,過點(diǎn)G作MNIIAB,

???四邊形ABCD是矩形，AB=2,BC=3,.4=90。，CD=2,AD=3,

9

?.?AE=1,.-.BE=2,?.?ZGHE=ZA=ZGEF=90°,

.??ZGEH+Z.EGH=90°,NGEH+NFEA=90°,.-.ZEGH=ZFEA,

又?；GE=EF,.1.AGEHSAEFA(AAS),.-.GH=AE=1,

.??點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動,

???當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，此時AF=EH=3,

-1-3^1+22=-

2

.■?CG的最小值=）,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是本題的關(guān)鍵.

2.（2023上?廣東廣州?九年級校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。是直線y=-：x+2上的一個動

點(diǎn)，將。繞點(diǎn)P。,。）順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)Q',連接。Q',則。Q'的最小值為（）

5V5

cr.------D.述

25

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形，求出旋轉(zhuǎn)后°的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理并利用二次函數(shù)

的性質(zhì)即可解決問題.

Q[

【詳解】解：作QM'x軸于點(diǎn)M,Q'N,無軸于N,設(shè)

p/iOA/=—zn+2

則尸加=冽-1,2,

ZPMQ=ZQ'NP=NQPQ'=90。...ZMPQ=90°-ZNPQ'=ZNQ'P

ZPQM=ZQ'NP

<NMPQ=ZNQ'P

在口心。和A2VQ7中，.{QP-PQ：JMPQ玨N0P（AAS）

PN=QM=-^m+2QN=PM=m_xON=OP+PN=-^m+2+\=3-^m

。，3j,?59

=/-2）、5

當(dāng)機(jī)=2時，°。2有最小值為5,二。。'的最小值為石，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與

圖形的變換-旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023上?河南新鄉(xiāng)?九年級校考期中）如圖，RtQABC中，/ACB=90°,ZA=30°,BC=5,點(diǎn)、E是邊AC

上一點(diǎn)，將8E繞點(diǎn)5順時針旋轉(zhuǎn)60。到8F,連接CF,則CF長的最小值是（）

A.2B.2.5C.75D.且

2

【答案】B

【分析】取A8的中點(diǎn)為點(diǎn)D,連接過點(diǎn)D作。歸,AC,垂足為H,在RC1ABC中，利用含30度角

AD=BD=-AB=5

的直角三角形的性質(zhì)可求出AB的長，NABC的度數(shù)，再根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得2,從

DH=-AD=2.5

而可得2,然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：BE=BF,NEBF=60。,從而利用等式的性質(zhì)可得

ZABE=ZCBF,進(jìn)而利用SAS證明△3DE烏最后利用全等三角形的性質(zhì)可得小=。尸，再根據(jù)

垂線段最短，即可解答.

【詳解】解：取A8的中點(diǎn)為點(diǎn)D,連接DE,過點(diǎn)D作DH'AC,垂足為H,???乙狂分=9。°,

■.ZACB=90°ZA=30°BC=5.AB=2BC=10,N4BC=90°-NA=60°

AD=BD=-AB=5DH=-AD=2.5

???點(diǎn)D是AS的中點(diǎn)，2，:2

由旋轉(zhuǎn)得：BE=BF,ZEBF=60°,ZEBF=ZABC=60°,

...ZEBF-ZEBC=ZABC-ZEBC,ZABE=ZCBF,

...BD=BC=5BDE旬BCF(SAS),DE=CF,

當(dāng)時，即當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)H重合時，OE有最小值，且最小值為2.5,

???5長的最小值是2.5,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖

形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?陜西榆林?九年級校考階段練習(xí)）如圖，正方形/BCD的邊長是4,點(diǎn)E是DC上一個點(diǎn)，且DE

=1,P點(diǎn)在NC上移動，則PE+P。的最小值是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

【答案】D

【分析】連接BE,交AC于點(diǎn)N',連接DW,N，即為所求的點(diǎn)，則BE的長即為DP+PE的最小值，利用勾股

定理求出BE的長即可.

【詳解】解：如圖,

???四邊形ABCD是正方形，.?.點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱，

連接BE,交AC于點(diǎn)N',連接DN',.-.DN^BN',DN'+EN'=BN'+EN'?BD,

則BE的長即為DP+PE的最小值，；.AC是線段BD的垂直平分線，

又?.?CE=CD-DE=4-1=3,在Rtz^BCE中，BE2=CE2+BC2=25,

???BE>0,；.BE=5,即DP+PE的最小值為5,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，兩點(diǎn)之間，線段最短等知識，將PE+PD的

最小值轉(zhuǎn)化為BE的長是解題的關(guān)鍵.

5.(2023上,山東?九年級專題練習(xí))如圖，P是邊長為2的正方形ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，。為邊8c上一動點(diǎn)，

連接P4PD、PQ,貝lJPA+PD+尸。的最小值為()

A.4B.3C.3+73D.2+73

【答案】D

【分析】將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFE,貝U知口4尸尸是等邊三角形，轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線,

再利用"垂線段最短"求最小值.

【詳解】如圖，將公,繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△4FE,則3AFP是等邊三角形，

._AG=GD=1,ZAEG=3O。，GH=AB=2,...EG7AE?-AG?=6,：.EH=2+6

..PA+PD+PQ=EF+FP+PQ>EH.PA+PD+PQ>2+y/3

?f9

...PA+PD+PQ的最小值2+g.故選：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短時的位置的確

定，解本題的關(guān)鍵是確定取最小值時的位置.

6.（2022?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt&48C中，乙4=90。，”為8c的中點(diǎn)，”為A8上一點(diǎn)，過

點(diǎn)C作CG||4B,交即1的延長線于點(diǎn)G,若/C=8,4B=6,則四邊形/CG8周長的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

【答案】B

【分析】通過證明△BMHmACMG可得BH=CG,可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH,進(jìn)而可確定當(dāng)

MH1AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進(jìn)而可求解.

【詳解】rCGIIAB,.,.Z_B=NMCG,是BC的中點(diǎn)，；.BM=CM,

ZB=ZNCG

<BM=CM

在aBMH和△CMG中，=...△BMHmaCMG（ASA）,.?.HM=GM,BH=CG,

vAB=6,AC=8,四邊形ACGH的周長=AC+CG+AH+GH=AB+AC+GH=14+GH,

.?.當(dāng)GH最小時，即MH1AB時四邊形ACGH的周長有最小值，

???ZA=90°,MH1AB,.-.GHIIAC,二四邊形ACGH為矩形，；.GH=8,

二四邊形ACGH的周長最小值為14+8=22,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，確定GH的值是解題的關(guān)鍵.

7.（2023下,江蘇蘇州?九年級校考階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=6.折疊該菱形，使

點(diǎn)4落在邊8C上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊A2,A。交于點(diǎn)￡,F.當(dāng)點(diǎn)”的位置變化時，長的最大值

為（）

A.3B.6-2A/3C.2月D.6-373

【答案】D

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到仞=8=.=6,ZC=ZA=60°,可知當(dāng)AF的長最小時，。尸的長最大,

由折疊性質(zhì)得A尸=松，故當(dāng)RW3C時，F(xiàn)M的長最小，即A尸的長最小，如圖，過點(diǎn)D作DG,BC于

G,證明四邊形以孫田是矩形得到FN=DG,然后解直角三角形求得DG即可求解.

【詳解】解：???四邊形"CD是菱形，

.AD=CD=AB=6,"=NA=60。，...當(dāng)河的長最小時，￡>產(chǎn)的長最大，

由折疊性質(zhì)得A尸=R0,故當(dāng)FW3C時，的長最小，即A尸的長最小，

如圖，過點(diǎn)D作OG_LBC于G,則NEMG=N￡>G版■="??=NGZ?=90。，

...四邊形DGMF是矩形，...RWuDG,在Rt^DGC中，ZC=60°,CD=6,

...Z）G=C￡>sin60o=3/，..5產(chǎn)長的最小值為36，此時。月長的最大值為6-3力，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、垂線段最短，熟練掌握菱

形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為求人尸即FM的最小值是解答的關(guān)鍵.

8.（2023下?浙江寧波?八年級校考期中）如圖，在矩形A8CD中，AB=6,BC=3,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),連

接。E,將VADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在/處，連接FC,若H,G分別為/C,BC的中點(diǎn)，貝ljH3的最小值

【答案】C

【分析】如圖所示，連接828尸，當(dāng)點(diǎn)尸在線段2。上時，BF的值最小，則也有最小值，根據(jù)矩形的性

質(zhì)，勾股定理的知識可求出2。的長，再根據(jù)題意可得H5是中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接9,3尸,

在VBOF中，2尸.?.當(dāng)點(diǎn)下在線段上時，3F的值最小，則H5有最小值,

如圖所示，點(diǎn)尸在線段8。上，???四邊形的8是矩形，.=6,BC=3,

2222

.ZDAB=90°,AD=BC=3,...在Rt/XABO中，BD=y）AB+AD=76+3=3A/5；

?.、4上沿。￡折疊，點(diǎn)人落在尸處，；.仞=田=3,...瓦7=刖-。/=3逐-3,

HG=-BF=-........

：H，G分別為FC,2C的中點(diǎn)，...在△BCF中，HS是中位線，:22,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，勾股定理求線段長度，三角形

中位線的性質(zhì)等知識，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.（2023上?廣東佛山?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，ZC=135°,AB=2,AD=3,

點(diǎn)”,G分別是CD,BC上的動點(diǎn)，連接A”，GH.E,F分別為AH,GH的中點(diǎn)，則EF的最小值是（）

A.2B.-^2C.———D.2y

【答案】C

“c,“EF=-AG

【分析】作AQ'BC,根據(jù)中位線定理可推出2，進(jìn)一步可得當(dāng)AG,BC時，AG有最小值，此

時E尸的值也最小.據(jù)此即可求解.

【詳解】解：作AQ'BC,如圖:

???E,F分別為膽G”的中點(diǎn)...2

-AQ

故：當(dāng)4G_L8C時，/G有最小值，此時E尸的值也最小尸的最小值是2

vZC=135°>AB=2,ZB=180°—135°=45°

也

二40=ABxsin45o=逝...E尸的最小值是2故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形等.掌握相關(guān)結(jié)論即可.

10.（2023上四川達(dá)州?九年級校考期末）如圖，正方形JSCD中，AB=4貶,。是8C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是

正方形內(nèi)一動點(diǎn)，皴=2,連接。￡,將線段DE繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得OF,連接"、CF,則線段。尸

【答案】475-2

【分析】連接將線段加繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)為。得連接。尸，小OM,證明【皿運(yùn)二皿,

nj■得EM=OE=2,由條件可得0M=4石，根據(jù)。尸+M/二。W，即可得出OF的最小值.

【詳解】解：連接心。，將線段衣繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得。河，連接OF,FM,OM,

...DE=DF,DO=DM,,0EDO^FDM(SAS):FM=OE=2,

???正方形4B8中，48=心歷，O是BC邊的中點(diǎn)，

OD=J(4碼Z+(2應(yīng)『=25OM=#亞)2+僅亞y=46

...仍+的上31,二。尸二班-2,...線段0F長的最小值為4百-2.故答案為：44-2

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形三條邊的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是掌

握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

11.(2023上陜西西安九年級校考階段練習(xí))如圖，菱形48邊長為5,點(diǎn)E、尸為對角線8。上兩點(diǎn)，

旦BE=2DF,BD=8,連接貝!124F+4E的最小值是.

【分析】取4民BE的中點(diǎn)p,Q,連接尸0,尸C,QC,連接4c交5D于點(diǎn)H,過點(diǎn)p作尸G_LBC,交BC于

點(diǎn)G,證明口5C0”]M(SAS),得到CQ=4F,推出當(dāng)點(diǎn)p,Q,c三點(diǎn)共線時，02+尸2有最小值，最

小值為PC長的2倍，利用菱形的性質(zhì)及勾股定理求出尸。的長即可.

【詳解】解：取四，鹿的中點(diǎn)p,Q,連接尸。，尸。，℃,連接/C交8。于點(diǎn)也過點(diǎn)p作尸G_LBC,交BC

于點(diǎn)G,貝=BQ=-BE.8是菱形，...川=3。，AD//BC,："F=NCBQ,

4--------------------------“

BQ=DF.'QBCQ^\DAF(SAS),CQ=AF

■.■2AF+AE=2AF+-AE=2(CQ+PQ)>2PC

當(dāng)點(diǎn)P,Q,C三點(diǎn)共線時，°Q+尸。有最小值，最小值為尸。長的2倍,

_____BH=—BD=4

■CD是菱形，且邊長為5,二助_140,2,AB=BC=5,

1

AH=yjAB^-BH=3,;./C=6,「西團(tuán)一廣口亞'

:.-BCPG=-x-ACBH-x5PG=-x6x4,-.PG=—

,即2

743

...CG=BC-BG=5——=—

1010,

2A/+AE的最小值為質(zhì)，故答案為：屈.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，動點(diǎn)問題求最小值，三角形中位

線定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

12.（2023上?廣東深圳?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在長方形ABCD中，AB=2,AD=26，點(diǎn)E在8c上,

連接DE,在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，笈石+夜。石的最小值為

［答案］2+2^3/2A/3+2

【分析】在線段BC下方作/CBM=45。，過點(diǎn)E作所于點(diǎn)P,連接。尸，求出此時。尸的長度便可.

【詳解】解：???四邊形MCD是矩形，AB=2,AD=20

...ZDC￡=90°,CD=AB=2,BC=AD=26,...BE=2C-CE,

在線段BC下方作NCBM=45。，過點(diǎn)E作所于點(diǎn)B，連接

A._____________________D

/

/

/

/

/

;尸,「

X

rx

、

、

EF=—BE—BE+DE=EF+DE>DF

2,2,

BE+DE=EF+DE=DF

當(dāng)D、E、尸三點(diǎn)共線時，2的值最小，此時NDEC=NBEF=45。,

■_CE=CD=2,..BE=2y/3-2,DE=722+22=272,...跖=3班=后,

—BE+DEr-r-

2的最小值為：EF+DE=^+戈,

（五、

B￡+V2D￡=A/2—BE+DE=2+2立

...3E+&OE的最小值為（2J.故答案為：2+2道.

【點(diǎn)睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短性質(zhì)，關(guān)鍵是

—BE+DE

作輔助線構(gòu)造2的最小值.

13.（2023?陜西榆林?九年級校考期中）如圖，點(diǎn)P是邊長為4的菱形ABCD的對角線2D上一動點(diǎn)，若

ZABC=30°,則B4+Pfi+PC的最小值為.

【答案】4應(yīng)

【分析】將口48尸逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到nABP,根據(jù)題意證明出△P'BP是等邊三角形，得到PP=5P,進(jìn)而

得到B1+P3+PC=A'P+PP+尸C4AC,證明出當(dāng)點(diǎn)A,P,,P,C四點(diǎn)共線時，PA+PB+PC的值最

小，即為AC的長度，然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】如圖所示，將口AB尸逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到口42尸'，

...PA+PB+PC^AP'+PP'+PC<AC

當(dāng)點(diǎn)A,P',p,C四點(diǎn)共線時，尸A+PB+PC的值最小，即為AC的長度,

?菱形的邊長為4?,?BC=AB=A!B=4

...ZABC=30°,ZABA=60°...ZABC=90°...AC=yjAB2+BC2=4血

...PA+PB+PC的最小值為40.故答案為：4A/2.

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵

是將nABP逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到口42口.

14.（2023上?湖北?九年級校考周測）如圖，已知菱形ABCD的周長為8,面積為2也,E為的中點(diǎn)，若P

為對角線BO上一動點(diǎn)，記尸C-PE的最大值為相，記PC+PE的最小值為"，則一=.

【分析】過點(diǎn)C作CE'^AB,交A8與點(diǎn)￡,再根據(jù)菱形的面積求出CE',根據(jù)勾股定理求出BE,可得點(diǎn)

E和點(diǎn)E'重合，即可得出PC+PE的最小值為CE,然后根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)A關(guān)于2。對稱，可知

PC-=PA-PE,進(jìn)而當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，得出尸。一尸￡的最大值為AE,即可得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CEUA8,交A8與點(diǎn)￡,

???菱形的周長為8,面積為2出，...48=3。=2,...加,翦=2向，...CE'=石.

在RtABCE'中，BE'=y]BC2-CE'2=1....點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，,BE=1,...點(diǎn)E和點(diǎn)￡重合.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知PC+PENCE,=6.

???點(diǎn)C和點(diǎn)A關(guān)于8。對稱，.?.以=PC,即比一團(tuán)=期一困.

m=1V3

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，得出尸C-PE的最大值為AE,V33.故答案為：T.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)軸對稱求線段和最小，三角形三邊關(guān)系等，確定點(diǎn)

的位置是解題的關(guān)鍵.

15.（2023?重慶?九年級專題練習(xí)）如圖，在YABCD中，點(diǎn)￡/分別在邊AB，AD±,折疊即使得點(diǎn)

A落在。上，若NABC=120。，AD=A6AB=8,則8E長度的最大值為.

AEB

【答案】2

【分析】由折疊的性質(zhì)可知鉆=