第二章方程與不等式

第07講一元二次方程及其應用

口題型13已知一元二次方程的解滿足的情況求參

模擬基礎練數值

口題型14一元二次方程的實際應用-傳播/循環問

題

□題型01一元二次方程的定義

□題型15一元二次方程的實際應用-變化率問題

口題型02已知一元二次方程的解求未知數/代數式

的值□題型16一元二次方程的實際應用-幾何問題

口題型一元二次方程的實際應用-營銷問題

口題型03選用合適的方法解一元二次方程17

口題型一元二次方程的實際應用-動態幾何問題

□題型04以注重過程性學習的形式考查解一元二18

次方程

□題型19以真實問題情境為背景考查一元二次方

程的實際應用

口題型05配方法的應用

口題型以數學文化為背景考查一元二次方程的

口題型06以開放性試題的形式考查解一元二次方20

程實際應用

口題型07不解方程，判斷一元二次方程根的情況

重難創新練

口題型08根據根的情況確定一元二次方程中字母

的值/取值范圍

口題型09利用根的判別式求代數式的值

□題型10以開放性試題的形式考查根的判別式真題實戰練

口題型11不解方程，求方程中參數的值

口題型12不解方程,求出與方程兩根有關的代數式

的值

模擬基礎練

□題型01一元二次方程的定義

1.（2024.湖南郴州.模擬預測）下列方程中是一元二次方程的是（）

A.2%2—%+1=0B.2x2—y=0

C.3%+1=0D.x+-=2

X

2.（2024.廣西桂林.二模）一元二次方程無2一4久+2=0的一次項系數是.

3.（2024.福建福州?模擬預測）已知關于x的一元二次方程/—以―2a+l=0,若一次項系數與常數項相

等，則a的值為—.

4.（2024.廣東肇慶?一模）二次項系數為2,且兩根分別為/=1,&=號的一元二次方程為.（寫成a/+

bx+c=0的形式）

口題型02已知一元二次方程的解求未知數/代數式的值

5.（2024?云南昆明?一模）若％=a是方程好+2%-2=0的一個根，則代數式2a?+4a+2019的值為（）

A.2021B.2022C.2023D.-2023

6.（2024湖北武漢.模擬預測）已知方程/—2024%+1=0的兩根分別為修，不，則好—竺上的值為（）

X2

A.1B.-1C.2024D.-2024

7.（2024?江西?模擬預測）設機，〃是方程/+%-2024=0的兩個實數根，則TH?+2租+幾+加幾的值

為.

8.（2024.湖南郴州.模擬預測）已知關于元的一元二次方程3%2一5%+瓶=0的一個根是1,求它的另一個

根及m的值.

口題型03選用合適的方法解一元二次方程

9.（2024?甘肅?模擬預測）解方程：5x2-2x-3=0.

10.（2024?湖南郴州?模擬預測）解方程：

（1）（%—2）2=4

（2）2/+%-3=0

11.（2024.黑龍江齊齊哈爾.模擬預測）解方程：y（y—3）+2y—6=0.

12.（2024?寧夏銀川?一模）下面是某老師講解一元二次方程的解法時在黑板上的板書過程：請認真閱讀并

完成任務.

解方程：2%2—3X—5=0.

解：％2一|%=|,第一步

—+（m）；第二步

3,7

X——=+一,第四步

4—4

%]—2,%2——L第五步

(1)任務一：

①楊老師解方程的方法是「

A.直接開平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

②第二步變形的依據是」

(2)任務二：

解方程：%2+2%—3=0；

口題型04以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程

13.(2024?河北石家莊?模擬預測)下面是小華同學解方程2(x-3)-3x(%-3)=0的過程:

解方程：2(x-3)-3x(x-3)=0.

解：移項，得2(x—3)=3x(x—3)...............第一步

兩邊同時除以Q—3),得2=3%...............第二步

■?.X=|..............................................................第三步

(1)小華同學的解題過程從第_______步開始出現錯誤，錯誤的原因是；

(2)請你寫出正確的解題過程.

14.(2024?江西景德鎮?二模)小明在學習了用配方法解一元二次方程后，解方程2/-8x+3=0的過程如

下:

第

i步

解：林攻，W2r-8x--3.

第

步

一

二次獨系數化為1,?**-4?=-3.一

第

步

一

配方.得x2—4x+4=-3+4.二

制

s步

因此（i

x-ZpT.第

上

由此得或如

*-2=1x-2=-I.步

解得*1=3.x2=i.

(1)小明的解題過程從第步開始出現了錯誤；

(2)請利用配方法正確地解方程2久2—8x+3=0.

15.(2024?寧夏銀川?二模)下面是小明用因式分解法解一元二次方程的過程，請仔細閱讀，并完成相應的

問題.

解一元二次方程：6x2—2x=1—3x

解：原方程可以化為：2x(3x-1)=-(3x—l)第一步

兩邊同時除以(3x-1)得：2%=-1第二步

系數化為1,得：％=—稱第三步

任務：

(1)小明的解法是不正確的，他從第________步開始出現了錯誤；

(2)請你繼續用因式分解法完成這個方程的正確解題過程.

16.(2024?山西臨汾?一■模)(1)計算：(—￡)+-5]—(-2+6)X0；

(2)下面是小剛同學和小穎同學解一元二次方程5x(3%-2)=2(2-3x)的過程，請仔細閱讀并完成相應的

任務.

小穎同學：

小剛同學：解：5x(3x—2)=2(2—3%)第一步

解：5x(3%-2)=2(2：-3%)第一步5x(3%-2)-2(2-3%)=0第二步

5%=-2第二步(5%-2)(3%-2)=0第三步

解得x=—|第三步5%-2=。或3%-2=0第四步

解得x=:或％=|第五步

任務一：

①小剛同學的解答過程中，從第步開始出現錯誤.錯誤的原因是

②小穎同學的解答過程中，從第步開始出現錯誤.錯誤的原因是.

任務二：該一元二次方程的解為.

□題型05配方法的應用

17.(2024.內蒙古包頭.模擬預測)若｛；二;?是方程2久+y=5的一個解，則代數式a?+b+50的最小值

為.

18.(2024?河北邢臺?模擬預測)已知，圖1中陰影面積為￡,圖2中陰影面積為52.

X

圖1

（1）用含x的代數式表示S1，S2；當工=1時，求S1+S2的值；

（2）比較Si與52的大小，并說明理由.

19.（2024?廣東東莞?一模）綜合與探究

【閱讀理解】

我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，解決問題的策略一般都是進行一定

的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一.作差法：就是通過作差、變形，利用差的符號確定它們的大小，

即要比較代數式4B的大小，只要算a-B的值,若A—B>0,則2>8；若2—B=0,則2=B；若4—B<0,

則a<B.

【知識運用】

（1）請用上述方法比較下列代數式的大小（用“>、=、<”填空）：

①3-V24-2V2；

（2）x—1x+3；

（2）試比較與6/+2%+1與5尤2+4支一3的大小，并說明理由；

【類比運用】

（3）圖（1）是邊長為4的正方形，將正方形一組對邊保持不變，另一組對邊增加2a（a>0）得到如圖（2）

所示的長方形，此長方形的面積為工；將正方形的邊長增加a,得到如圖（3）所示的大正方形，此正方形

的面積為S2.請先判斷Si與S2的大小關系，并說明理由.

口題型06以開放性試題的形式考查解一元二次方程

20.（2024?湖北?模擬預測）請寫一個一元二次方程，使得它的一個根為2,另一個根為負數，則這個一元二

次方程可以是.（寫一個即可）

21.（2022.廣東汕頭.二模）請寫出一個符合以下所有條件的一元二次方程：（1）二次項的系數為負數；（2）

一個實數根為的整數部分，另一個實數根為-4,則這個一元二次方程可以是.（任意寫一個符

合條件的即可）.

22.（2024?浙江?模擬預測）設一元二次方程a/+bx+c=0（a40）.在下面的四組條件中任意選擇一組作

為條件，解這個方程.

①a=1,b=3,c=2.

②a="2

④%1+%2=。，X1X2=一1（%1，%2分別是該方程的兩個根）?

注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分.

口題型07不解方程，判斷一元二次方程根的情況

23.（2024?云南曲靖?一模）一元二次方程%2一2%+1=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.無實數根

C.有兩個相等的實數根D.無法確定

24.（2023?河南商丘?二模）關于x的方程4/一4x=-1的根的情況是（）

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根

C.只有一個實數根D.無實數根

25.（2024.山西.模擬預測）下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）

A.x2+5x+6=0B.x2+x-1=0

C.x2—2x+5=0D.x2=6x—9

26.（2024山西長治.模擬預測）關于％的一元二次方程/+2小刀+爪2+1=0的根的情況是（）

A.沒有實數根B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的實數根D.實數根的個數與實數機的取值有關

□題型08根據根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍

27.（2024?甘肅蘭州?模擬預測）關于x的一元二次方程產+入+1=0有兩個相等的實數根，則滿足條件的

實數b=（）

A.0B.-1或1C.1D.-2或2

28.（2024新疆烏魯木齊?三模）等腰三角形三邊長分別為a,6,3,且a,6是關于x的一元二次方程——4乂-

l+m=0的兩根，則根的值為（）

A.4B.5C.4或5D.3或4

29.（2024?湖南?模擬預測）關于x的一元二次方程（a+2）%2-3%+1=。有兩不等實數根，貝b的取值范圍

是—.

30.（2024.貴州貴陽.一模）關于久的一元二次方程/+2x+爪=0有兩個實數根，則實數小的值可能

是.

31.（2024?貴州黔東南?二模）若關于x的方程2/-3%+zn+1=0沒有實數根，則m的取值范圍是

口題型09利用根的判別式求代數式的值

32.（2024?廣東清遠?模擬預測）已知關于x的方程2久2-6k=0有兩個相等的實數根，則1-4的值為（）

A.-3B.-4C.3D.-5

33.（2022?廣東廣州?一模）一元二次方程/+x+k=0有兩個相等的實數根，則VFTT的值為（）

A.-B.-C.-D.—

4242

34.（2021?山東淄博.二模）若關于x的一元二次方程#-2立+1-必=0有兩個相等的實數根，則代數式（k

-2）2+2左的值為（）

A.3B.-3C.--D.-

22

35.（2024?湖北武漢?模擬預測）已知”，6分別為方程--2x-c=0的兩個不相等的實數根，則?+￡）?

11

A.-B.-C.2D.4

42

□題型10以開放性試題的形式考查根的判別式

36.（2022?福建漳州?模擬預測）若關于尤的方程M—k=0有兩個不相等的實數根,則k的值可以是.（寫

一個即可）

37.（2024?河南鄭州?模擬預測）若關于x的一元二次方程--6%+巾=0有實數根，且根為正整數，請寫

出一個合適的m值_______.

38.（2024?江蘇泰州?二模）已知一元二次方程/+mx-4=0有兩個實數根，兩根之和為負數，則m的值

可以是—.（填一個值即可）.

口題型11不解方程，求方程中參數的值

39.（2024?云南曲靖?一模）已知關于x的方程%2+3%+a=0有一個根為-2,則另一個根為（）

A.-10B.-1C.2D.-5

40.（2024?廣東湛江?模擬預測）已知根，九是方程%2-3%-2=0的兩個實數根，貝lj2nm=.

41.（2024?山東棗莊?一模）已知3是關于x的方程/-+3m=0的一個根，并且這個方程的兩個根恰

好是菱形ABC。的兩條對角線的長，則菱形ABC。的面積為.

□題型12不解方程，求出與方程兩根有關的代數式的值

42.（2024?湖北宜昌.一模）已知m、n是一元二次方程/+x-2025=0的兩個實數根,則代數式+2m+幾

的值等于（）

A.2025B.2024C.2023D.2021

43.（2024?湖北?模擬預測）已知一元二次方程/-3x-15=0的兩根分別為m,n,則nm-m-n的值是

（）

A.18B.-12C.-18D.12

44.（2024?貴州銅仁.一模）已知關于x的方程/+（m-l）x-2=0的兩實數根為x〉x2,若右犯-x1-x2=

2,則根的值為（）

A.1B.-5C.3D.5

45.（2024?湖北十堰?三模）若m、九是一元二次方程/一萬一3=0的兩個實數根，多項式2n2-mn+2nl的

值是.

46.（2024?四川內江.二模）已知打，不是方程/—X—2024=0的兩個實數根，貝!］代數式以一2024/+好

的值為.

口題型13已知一元二次方程的解滿足的情況求參數值

47.（2024?湖南株洲?模擬預測）關于x的一元二次方程％2—2m%+??12=4有兩個根%1、x2（x2>且滿

足％1=2%2+3,則機的值為.

48.（2024?貴州遵義?模擬預測）已知%1，不是關于％的方程/+3%+m=0的兩個實數根，且（%i+1）（%2+

1）=-4,則m的值為.

49.（2024?湖北隨州?一模）已知關于了的一元二次方程/+。％+。一1=0.

⑴求證：該方程總有實數根；

⑵設該方程的兩個實數根分別為久1，外，若%>0,%2<0,求〃的取值范圍.

50.（2024?四川眉山?二模）已知關于％的一元二次方程/一3%=1-37n有實數根.

（1）求m的取值范圍；

⑵設方程兩實數根分別為%1、%2,且滿足/2+%22—%I%2415,求血的取值范圍.

□題型14一元二次方程的實際應用-傳播/循環問題

51.（2024?湖北?模擬預測）某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主

干、支干和小分支的總數是73,設每個支干長出尤個小分支，則可列方程為（）

A.1+x+x2=73B.（1+x）2=73

C.x+x2=73D.1+(1+x)+(1+久)2=73

52.（2024.貴州黔東南.二模）化學課代表在老師的培訓下，學會了高鋅酸鉀制取氧氣的實驗室制法，回到

班上后，第一節課手把手教會了若干名同學，第二節課會做該實驗的每個同學又手把手教會了同樣多的同

學，這樣全班49人恰好都會做這個實驗了.問一個人每節課手把手教會了多少名同學？

53.（2024.山東濟南.模擬預測）在一次足球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.若共比賽了15

場，則參賽的球隊數為.

口題型15一元二次方程的實際應用-變化率問題

54.（2024.云南曲靖.一模）收發微信紅包已成為各類人群進行交流聯系、增強感情的一種方式，如圖所示

是甜甜和她的妹妹在六一兒童節期間的對話：

2022年六一時,我們總共

收到484元微信紅包.

a甜甜

請問：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到紅包的年增長率是多少？

55.（2024?廣西南寧?模擬預測）某商場一種商品的進價為30元/件，售價為40元/件，經統計銷量發現，該

商品平均每天可以銷售48件.商場為盡快減少該商品的庫存，決定對該商品進行降價促銷活動.

（1）對該商品進行了兩次降價后的售價為32.4元/件，求平均每次降價的百分率.

（2）經調查，若該商品每件降價1元，則每天可多銷售8件.若商場銷售該商品想要每天獲得504元的利潤，

則每件應降價多少元？

口題型16一元二次方程的實際應用-幾何問題

56.（2024.貴州貴陽.一模）被譽為“蘊藏著人類上古文明密碼的哲學之書”的古老苗繡，在貴州文旅市場和時

尚行業中，展現出匠人匠心的“針''功夫.小星奶奶手繡了一幅長為38cm、寬為23cm的矩形繡品（如圖所示），

為了完好保存繡品，計劃將其塑封，塑封時需四周留白（上下左右寬度相同），且塑封后整幅圖的面積為

1000cm2,設留白部分的寬度為xcm,則可列方程為（）

A.(38-2x)(23-2x)=874B.(38+2x)(23+2x)=874

C.(38—2x)(23—2x)=1000D.(384-2x)(23+2%)=1000

57.(2024?遼寧?模擬預測)如圖，公園原有一塊長34m、寬10m的矩形空地.后來在這塊空地中劃出不同

區域種植不同品種的鮮花，中間鋪設同樣寬度的石子路將各區域間隔開.已知各區域鮮花面積的和為297m2,

求所鋪設的石子路的寬度.

10m

34m

58.(2024?浙江紹興?模擬預測)根據以下素材，完成探索任務.

探索果園土地規劃和銷售利潤問題

某農戶承包了一塊長方形果園4BCD,圖1是果園的平面圖，其中4B=

素200米，BC=300米.準備在它的四周鋪設道路，上下兩條橫向道路的

材寬度都為2x米，左右兩條縱向道路的寬度都為久米，中間部分種植水

1果.已知道路的路面造價是每平方米50元；出于貨車通行等因素的考慮，

橫向道路寬度2%不超過24米，且不小于10米.

該農戶發現某一種草莓銷售前景比較不錯，經市場調查，草莓培育一年

素

可產果，已知每平方米的草莓銷售平均利潤為100元；果園每年的承包

材

費為25萬元，期間需一次性投入33萬元購進新苗，每年還需25萬元的一

2i圖2|

養護、施肥、運輸等其余費用.

問題解決

(1)請直接寫出縱向道路

任寬度X的取值范圍.

務解決果園中路面寬度的設計對種植面積的影響.(2)若中間種植的面積是

144800平方米，則路面設置

的寬度是否符合要求.

任(3)經過1年后，農戶是

解決果園種植的預期利潤問題.(凈利潤=草莓銷售的總利潤-路面造價

務否可以達到預期凈利潤400

費用-果園承包費用-新苗購置費用-其余費用)

2萬元？請說明理由.

口題型17一元二次方程的實際應用-營銷問題

59.（2024?山西大同?模擬預測）閱讀與思考

下面是小明在數學筆記本上記錄的父親工廠里實際出現過的一個問題，請認真閱讀，并幫助小明解答小明

父親給的以下任務：

小明父親的工廠里加工一款紀念品，每件成本為30元，投放景區內進行銷售，售價不得低于成本價且利潤

率不高于80%,銷售一段時間后市場調研發現，每天的銷售數量〉（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函

數關系，部分數據如下表所示：

銷售單價X（元/件）354045

每天銷售數量y（件）908070

（1）直接寫出y與x的函數關系式；

（2）當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？

（3）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？

任務一：要解決小明父親提出的問題，主要運用的數學思想是;

A.公理化思想B.統計思想C.函數思想D.分類思想

任務二：請幫助小明解決相關的3個問題.

60.（2024.湖南長沙.模擬預測）某景區新開發一款紀念品，每件成本為30元，投放景區內進行銷售，規定

銷售單價不低于成本且不高于52元，并且為整數；銷售一段時間調研發現，每天的銷售數量y（單位：件）

與銷售單價x（單位：元/件）滿足一次函數關系，部分數據如表所示：

銷售單價x/（元/件）354045

每天銷售數量y/件908070

⑴【探究】

根據上表中的數據，請判斷、=各町=依+匕（左，6為常數）哪一個能正確反映每天的銷售數量y與銷售單

價x的函數關系？并求出y關于x的解析式；

⑵【應用】

若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？

口題型18一元二次方程的實際應用-動態幾何問題

61.（2021?安徽?三模）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遺人去買幾株

椽，每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”，其大意為：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文，如果

每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價格，求這批椽的數量有多

少株？

62.(2024?甘肅武威.二模)如圖，4B、C、。為矩形的4個頂點，AB=30cm,BC=21cm,動點P從點B出

發，沿B4方向運動，動點Q同時從點C出發，沿CB方向運動，如果點P、Q的運動速度均為lcm/s,經過多

長時間P、Q兩點之間的距離是15cm?

63.(2023?貴州黔東南?一模)如圖，在RtAABC中，乙C=90°,AC=8m,BC=6m,點P由C點出發以2m/s

的速度向終點4勻速移動，同時點Q由點B出發以lm/s的速度向終點C勻速移動，當一個點到達終點時另一個

點也隨之停止移動.

(1)當點P移動時間為2秒時，APCQ的面積為多少？

(2)點P移動多少秒時，APCQ的面積為8m2?

(3)在點P、Q的運動過程中，APCQ的面積是否會達到10m2?為什么？

□題型19以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應用

64.(20224金華市模擬)電影《熱辣滾燙》是2024賀歲檔的最大驚喜，自上映以來，全國票房連創佳績.據

不完全統計，某市第一天票房收入約867萬元，第三天累計票房收入約達到3046萬元，設票房收入每天平

均增長率為x,下面所列方程正確的是()

A.867(1+%)2=3046B.867(1+2%)=3046

C.867(1-%)2=3046D.867+867(1+%)+867(1+%)2=3046

65.(2024臨川市模擬)“八月十五謂中秋，民間以月餅相送，取團圓之意”.每年中秋節前是購買月餅的高

峰期，2024年中秋節前期某商場在銷售一種月餅時發現，如果以20元/kg的單價銷售，則每天可售出100kg,

如果銷售單價每增加0.5元，則每天的銷售量會減少2kg.該商場為使每天的銷售額達到1800元，銷售單價

應為多少?設銷售單價應為x元/kg,依題意可列方程為()

A.(20+0(100-2x)=1800B.(20+x)(100-=1800

C.x(100—*x2)=1800D.x[100-2(x-20)]=1800

66.(2024?山西大同?二模)2023年12月6日，中央廣播電視總臺2024龍年春晚吉祥物“龍辰辰”正式發布

亮相.其從我國歷史出土文物中提取“龍”的要素作為設計特色，精美別致，充滿了趣味和古韻.某批發商場

在春節前以60元的進價購進了一批龍辰辰玩偶，計劃以每個80元銷售.春節來臨之際，為了讓顧客得到

實惠，現決定降價銷售.已知玩偶銷售量y(單位：個)與每個玩偶的降價x(單位：元)(0<%<20)之間

滿足一次函數關系，其圖象如圖所示.

(1)求y與x之間的函數關系式；

(2)設商場銷售y個玩偶所獲利潤為w(單位：元)，請直接寫出w與x之間的函數關系式：；

(3)若商場要想獲利2600元，且讓顧客獲得更大實惠，這種玩偶每個應降價多少元？

67.(24-25九年級上?貴州畢節?期中)在2024國際射聯射擊世界杯總決賽上，中國射擊運動員謝瑜以244.6

環的優異成績摘得男子10米氣手槍金牌，激勵著千千萬萬的青少年堅定理想、奮力拼搏.謝瑜的家鄉貴州

省某地盛產核桃，某農戶2022年種植核桃80公頃，他逐年擴大規模，到2024年，核桃種植面積達到了115.2

公頃.

(1)求該農戶這兩年種植核桃公頃數的年均增長率；

(2)某銷售核桃的干果店經市場調查發現，當核桃售價為20元/kg時，每天能售出200kg,售價每降低1元、

每天可多售出50kg,為了盡快減少庫存，該店決定降價促銷，已知核桃的平均成本價為12元/kg,若要使該

店銷售核桃每天獲利1750元，則售價應降低多少元？

68.(2024蕪湖市模擬)2024巴黎奧運會吉祥物"Phryge”玩偶一經開售，就深受大家的喜愛，某商店以每

個20元的價格購進該吉祥物玩偶，以每個35元的價格出售時，平均每天可售出30個，為擴大銷售，該商

店準備適當降價出售，經過一段時間測算，每個吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3個.

/Tp

(1)若該吉祥物玩偶的銷售單價為32元，則當天的銷售量為個;

(2)若該商店想每天銷售該玩偶的利潤為450元，那么每個玩偶應售價多少元?

□題型20以數學文化為背景考查一元二次方程的實際應用

69.(2024?山西大同?三模)古今中外，許多數學家曾研究過一元二次方程的幾何解法，以方程i+2久-35=

0,即比(％+2)=35為例.三國時期數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構造圖1,

其中，大正方形的面積是0+%+2)2,它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4X35+22,

據此易得*=5.公元9世紀，阿拉伯數學家阿爾?花拉子米采用的方法是：構造圖2,其中，大正方形的面

積為0+1)2,它又等于35+1,據此可得x=5.上述求解過程中所用的數學思想方法是()

圖1圖2

A.分類討論思想B.數形結合思想

C.函數方程思想D.轉化思想

70.(2023?寧夏銀川?二模)伊斯蘭數學家塔比?伊本?庫拉(TTiabiti/mQarra,830-890)在其著作《以幾何

方法證明代數問題》中討論了二次方程的幾何解法.例如：可以用如圖來解關于x的方程=其

中4BFE為長方形,4BCD為正方形，且DE=m,BFxCD=n,則幾何圖形中的某條線段就是方程/+mx=

71的一個正根，則這個方程的正根是線段

71.(202。江蘇南通?中考真題)1275年，我國南宋數學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問

題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步.問闊及長各幾步.意思是：矩形面積864平方步，寬

比長少12步，問寬和長各幾步.若設長為x步，則可列方程為一.

72.（2023?陜西西安?三模）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開

中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？其大意是：如圖，一座正方形城池，

4為北門中點，從點4往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到D

處正好看到B處的樹木，設正方形城池的邊長為x步.根據題意整理成一元二次方程的一般形式.

73.（2024銅山區二模）中國古代數學家楊輝的《田畝比數乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只

云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？翻譯成數學問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬

比長少12步，問它的長與寬各多少步？

重難創新練

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）規定：對于任意實數a、b、c,有[a,b]Sc=ac+b,其中等式右面是

通常的乘法和加法運算，如優，3J01=2x1+3=5.若關于x的方程公,x+17團O久）=0有兩個

不相等的實數根，則根的取值范圍為（）

[11]

A.m<-B.m>-C.TH>-且mW0D.m-且根。0

4444

2.（2024?四川德陽?中考真題）寬與長的比是寫的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協調的美感，世界

各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計.已知四邊形48CD是黃金矩形.Q4B<

BC）,點P是邊XD上一點，則滿足PB，PC的點P的個數為（）

A.3B.2C.1D.0

3.（2024?山東泰安?中考真題）如圖所示，是用圖形“。”和“?”按一定規律擺成的“小屋子”.按照此規律繼續

擺下去，第個“小屋子”中圖形“。”個數是圖形“?”個數的3倍.

Oo

c3cDoo

0o0DoOCoooooo

0o0oOooooooo

o0oooooooo

00。o0oooooo

ooooo

(1)(2)⑶(4)(5)

4.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,4。是△28C的一條角平分線，E為4。中點,

連接BE.若BE=BC,CD=2,則BD=

D

5.（2024.四川涼山.中考真題）閱讀下面材料，并解決相關問題:

下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行,其中第一行有1個點，第二行有2個點……第n行有n個點

容易發現，三角點陣中前4行的點數之和為10.

（1）探索：三角點陣中前8行的點數之和為,前15行的點數之和為，那么，前幾行的點數之和為

（2）體驗：三角點陣中前n行的點數之和（填“能”或“不能”）為500.

（3）運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規格的花，按照第一排2盆，第

二排4盆，第三排6盆……第幾排2"盆的規律擺放而成，則一共能擺放多少排？

真題實戰練?

1.（2024?山東日照?中考真題）已知，實數%L%2aL=%2）是關于x的方程k/+2k%+1=0（kW0）的兩個

根，若工+工=2,則左的值為（）

X1%2

II

A.1B.-1C.-D.--

22

2.（2024.山東濟南.中考真題）若關于％的方程/一無一加=。有兩個不相等的實數根，則實數血的取值范圍

是（）

A.m<--B.m>--C.m<—4D.m>—4

44

3.（2024?山東濰坊?中考真題）已知關于％的一元二次方程％2一Tn%一九2+血幾+i=0,其中九滿足TH—

2n=3,關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（）

A.無實數根B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的實數根D.無法確定

4.（2024.甘肅蘭州.中考真題）關于％的一元二次方程9/一6%+c=0有兩個相等的實數根，則。=（）

A.-9B.4C.-1D.1

5.（2024.吉林?中考真題）下列方程中，有兩個相等實數根的是（）

A.（%-2）2=-1B.（久一2尸=0C.（久一2）2=1D.（%-2）2=2

6.（2024.內蒙古赤峰.中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程/-10尤+21=0的兩個根，則這個三角

形的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

7.（2024?貴州?中考真題）一元二次方程/一2%=0的解是（）

A./=3,x2=1B.%1=2,外=0C.與=3,x2=-2D.=—2,x2=—1

8.（2024.河北.中考真題）淇淇在計算正數。的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1,

則a=（）

A.1B.V2-1C.V2+1D.1或夜+1

9.（2024?重慶?中考真題）重慶在低空經濟領域實現了新的突破.今年第一季度低空飛行航線安全運行了200

架次，預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次.設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均

增長率為％,根據題意，可列方程為.

10.（2024四川涼山?中考真題）已知y2—%=o,x2-3y2+%-3=0,貝阮的值為.

11.（2024?四川南充?中考真題）已知m是方程/+4x-1=0的一個根,則（zn+5）（m-1）的值為.

12.（2024?四川遂寧?中考真題）已知關于x的一元二次方程X2一（6+2）久+m一1=0.

（1）求證：無論小取何值，方程都有兩個不相等的實數根；

（2）如果方程的兩個實數根為%1，%2，且燒+^2~%1%2=9,求小的值.

13.（2024?浙江?中考真題）已知關于無的方程（蘇―1）尤2一3（36—1）%+18=0有兩個正整數根（根是整

數）.AABC的三邊a,b,c滿足：c=2百,爪2+.2機-8a=0,m2+爐山-8b=0.

（1）求加的值.

（2）求AABC的面積（結果允許保留雙重根號），

14.（2024.青海?中考真題）（1）解一元二次方程：%2-4%+3=0；

（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長.

15.（2024?廣東廣州?中考真題）關于久的方程/-2%+4-m=0有兩個不等的實數根.

（1）求6的取值范圍;

1-m2m-1m-3

（2）化簡:

\m-3\2m+1

16.（2023?湖北黃石?中考真題）關于x的一元二次方程產+巾%—1=0,當m=1時，該方程的正根稱為黃

金分割數.寬與長的比是黃金分割數的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農神廟采用的就是黃金矩形的設計；

我國著名數學家華羅庚的優選法中也應用到了黃金分割數.

(1)求黃金分割數；

(2)已知實數〃，b滿足：a2+ma=l,b2—2mb=4,且bW—2a,求。萬的值；

(3)已知兩個不相等的實數p,q滿足：p?+九p_1=4q2+幾q_1=0，求pq-幾的值.

17.(2023?內蒙古通遼?中考真題)閱讀材料：

材料1：關于x的一元二次方程a/+b%+c=0(a。0)的兩個實數根%1，次和系數。，b,c有如下關系:

bc

%]+%2=_1xlx2=--

材料2：已知一元二次方程/-%—1=0的兩個實數根分別為根，n,求血2幾+77m2的值.

解：,-m,〃是一元二次方程%2—%—1=0的兩個實數根，.-.m+n=l,mn=—1.則m2九+7rm2=

mn(m+n)=-1x1=-1.

根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：

(1)應用：一元二次方程2/+3%-1=0的兩個實數根為第1，%2，則久1+%2=，

=；

(2)類比：已知一元二次方程2/+3%-1=0的兩個實數根為機，n,求7?12+幾2的值；

(3)提升：已知實數s,/滿足2s2+3s—1=0,2/+3/:-1=0且5力如求十一，的值.

18.(2023?湖北?中考真題)已知關于x的一元二次方程/—(2m+1)%+m2+m=0.

⑴