專題21與三角形、四邊形相關的壓軸題

解答題

1.（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形A8C￡＞的邊在無軸上，頂點。在y軸的正

半軸上，加為的中點，。4、。2的長分別是一元二次方程Y-7x+12=0的兩個根

4

tanZDAB=1，動點尸從點。出發以每秒1個單位長度的速度沿折線OC-CB向點8運動，到達B點停止.設

運動時間為f秒，的面積為S.（1）求點C的坐標；（2）求S關于r的函數關系式，并寫出自變量r的取

值范圍；（3）在點尸的運動過程中，是否存在點P,使！CMP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐

標；若不存在，請說明理由.

2.（2022?貴州黔東南）閱讀材料：小明喜歡探究數學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題:

如圖，AASC和△瓦織都是等邊三角形，點A在DE上.

求證：以AE、AD.AC為邊的三角形是鈍角三角形.

（1）【探究發現】小明通過探究發現：連接。C,根據已知條件，可以證明。C=A￡,ZADC=120P,從而得

出AADC為鈍角三角形，故以AE、AD,AC為邊的三角形是鈍角三角形.

請你根據小明的思路，寫出完整的證明過程.

(2)【拓展遷移】如圖，四邊形ABCD和四邊形3GEE都是正方形，點A在EG上.

①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若AE^+AG2=10,試求出正方形A8CD的面積.

3.(2022.海南)如圖1,矩形A3CD中，A3=6,AD=8,點P在邊2C上，且不與點8、C重合，直線AP與

0c的延長線交于點E.(1)當點P是8C的中點時，求證：AABP^AECP；

⑵將APB沿直線AP折疊得到AAPB，，點3'落在矩形ABCD的內部，延長尸？交直線于點F.

①證明E4=FP,并求出在(1)條件下AF的值；②連接B'C,求△尸CB'周長的最小值；③如圖2,BB'交

AE于點X,點G是AE的中點，當NE4B'=2NA￡B'時，請判斷AB與用的數量關系，并說明理由.

圖1

圖2

4.(2022?吉林)如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=6cm.動點P從點A出發，以2cm/s的

速度沿邊AB向終點8勻速運動.以E4為一邊作=120。，另一邊PQ與折線AC-CB相交于點Q,以

PQ為邊作菱形尸。建V,點N在線段尸3上.設點尸的運動時間為尤(s),菱形PQM7V與AABC重疊部分圖形

的面積為Men?).(1)當點Q在邊AC上時，尸。的長為cm；(用含x的代數式表示)

(2)當點M落在邊BC上時，求x的值；(3)求,關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

5.(2022?黑龍江牡丹江)在菱形ABCD和正三角形BG尸中，ZABC=60°,P是OP的中點，連接PG、PC.

(1)如圖1,當點G在3C邊上時，寫出尸G與PC的數量關系.(不必證明)

(2)如圖2,當點尸在的延長線上時，線段尸C、PG有怎樣的數量關系，寫出你的猜想，并給予證明；

(3)如圖3,當點P在CB的延長線上時，線段尸C、PG又有怎樣的數量關系，寫出你的猜想(不必證明).

6.(2022?內蒙古呼和浩特)下面圖片是八年級教科書中的一道題：如圖，四邊形A3CZ)是正方形，點E是

邊3C的中點，ZAEF=90°,且E尸交正方形外角的平分線CF于點尸.求證=(提示：取A3的中

點G,連接EG.)(1)請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：；

(2)如圖1,若點E是8C邊上任意一點(不與3、C重合)，其他條件不變.求證：AE=EF；

BF

(3)在(2)的條件下，連接AC,過點E作垂足為P.^~=k,當上為何值時，四邊形ECEP

是平行四邊形，并給予證明.

7.（2022?福建）已知△ABC/AB^AC,AB>BC.

圖1

(1)如圖1,CB平分NAC。，求證：四邊形A8OC是菱形；

(2)如圖2,將(1)中的ACOE繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于NBAC),BC,的延長線相交于點孔用

等式表示/ACE與NEEC之間的數量關系，并證明；(3)如圖3,將(1)中的ACDE繞點C順時針旋轉(旋

轉角小于/ABC),若/BAD=/BCD,求/AZJB的度數.

8.（2022?湖南衡陽）如圖，在菱形A3CD中，AB=4,440=60。，點P從點A出發，沿線段以每秒1

個單位長度的速度向終點。運動，過點P作于點Q,作交直線AB于點交直線BC于

點廠，設APQM與菱形A3CD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點尸運動時間為/（秒）.

（1）當點“與點8重合時，求f的值；（2）當/為何值時，"PQ與全等；（3）求S與f的函數關系式；

（4）以線段PQ為邊，在尸。右側作等邊三角形PQE,當2V/V4時，求點E運動路徑的長.

3

9.（2022?浙江金華）如圖，在菱形ABCD中，AB=10,sin2=y，點E從點8出發沿折線C-D向終點

。運動.過點E作點E所在的邊（8C或8）的垂線，交菱形其它的邊于點凡在E尸的右側作矩形￡FG〃.

（1）如圖1,點G在AC上.求證：FA=FG.（2）若EF=FG,當所過AC中點時，求AG的長.

（3）已知尸G=8,設點E的運動路程為s.當s滿足什么條件時，以G,C,”為頂點的三角形與昉相似

（包括全等）？

圖1圖2（備用）

10.（2022?四川南充）如圖，在矩形A3CD中，點。是A3的中點，點M是射線DC上動點，點P在線段AM

上（不與點A重合），OP=^AB.（1）判斷AWP的形狀，并說明理由.（2）當點M為邊。C中點時，連接CP

Q

并延長交AO于點M求證：PN=AN.（3）點。在邊AD上，AB=5,AD=4,DQ=-,當/。尸。=90。時，

求ZW的長.

11.（2022?湖北武漢）已知8是AASC的角平分線，點E,尸分別在邊AC,BC上，AD=m,BD=n,&ADE

與△砒R的面積之和為S.

(1)填空：當NACB=90。，DELAC,￡>F_L3C時，

①如圖1,若/3=45。，〃?=5&，則〃=,S=:

②如圖2,若/3=60。，機=4岔，貝5=,S=：

（2汝口圖3,當NACB=NEZW=90。時，探究S與機、〃的數量關系，并說明理由：

（3）如圖4,當/4CB=60。，ZEDF=nO°,m=6,〃=4時，請直接寫出S的大小.

12.（2022?山東臨沂）已知AMC是等邊三角形，點3,D關于直線AC對稱，連接AD,CD.

（1）求證：四邊形ABC。是菱形；（2）在線段AC上任取一點尸（端點除外），連接PD將線段尸。繞點尸逆時

針旋轉，使點。落在延長線上的點。處.請探究：當點尸在線段AC上的位置發生變化時，NDPQ的

大小是否發生變化？說明理由.（3）在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數量關系，并加以證

明.

13.（2022?江西）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角

板尸砂（/尸=90。,/尸=60。）的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點。逆時針旋轉，探究直角三角板時

與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（己知正方形邊長為2）.

圖一圖二圖三備用圖

（1）操作發現：如圖1,若將三角板的頂點P放在點。處，在旋轉過程中，當OF與重合時，重疊部分的

面積為;當。尸與2C垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為S,在

旋轉過程中，重疊部分的面積\與S的關系為；

（2）類比探究：若將三角板的頂點產放在點。處，在旋轉過程中，。瓦。尸分別與正方形的邊相交于點N.

①如圖2,當3N=CN時，試判斷重疊部分AOMN的形狀，并說明理由；

②如圖3,當CM=OV時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結果保留根號）；

（3）拓展應用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心。處，該銳角記為NGO77（設NGOH=。），將

NGOH繞點。逆時針旋轉，在旋轉過程中，NGOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為邑,

請直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含。的式子表示），

（參考數據：sinl5°=~~~也,cos15°="十*,tanl5°=2一指）

44

14.（2022?貴州貴陽）小紅根據學習軸對稱的經驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究.

AF）

如圖，在。ABCD中，AN為5C邊上的高，不；=m，點以在邊上，且=點E是線段AM上

AN

任意一點，連接班，將△ABE沿防翻折得△FBE1.

圖①圖②備用圖

⑴問題解決：如圖①，當3=60。，將改四沿跖翻折后’使點尸與點M重合，WJ—=一，

（2）問題探究：如圖②，當440=45。，將△ABE沿防翻折后，使EF〃BM,求/4BE的度數，并求出此

時優的最小值；（3）拓展延伸：當440=30。，將八鉆石沿BE翻折后，若EF，AD,且AE=ME>,根據題

意在備用圖中畫出圖形，并求出加的值.

15.（2022?吉林長春）【探索發現】在一次折紙活動中，小亮同學選用了常見的44紙，如圖①，矩形ABCD

為它的示意圖.他查找了A4紙的相關資料，根據資料顯示得出圖①中他先將A4紙沿過點A

的直線折疊，使點8落在AD上，點8的對應點為點E,折痕為AF；再沿過點尸的直線折疊，使點C落在

EF上,點C的對應點為點H,折痕為FG；然后連結AG,沿AG所在的直線再次折疊，發現點。與點尸

重合，進而猜想

【問題解決】（1）小亮對上面AWG絲△AFG的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：

證明：四邊形ABCD是矩形，

NBAD=NB=NC=ND=90°.

由折疊可知，ABAF=^-ZBAD=45°,ZBFA=ZEFA.

2

：.ZEFA^ZBFA^45°.

/?AF=s/2AB=AD.

請你補全余下的證明過程.

【結論應用】⑵NDAG的度數為_______度，當的值為__________；

AF

（3）在圖①的條件下，點P在線段AF上，且AP=；AB,點。在線段AG上，連結尸Q、PQ,如圖②，設=

則FQ+PQ的最小值為.（用含a的代數式表示）

16.(2022?廣東深圳)(1)【探究發現】如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點,將AAEB沿BE

翻折到砂處，延長跖交。邊于G點.求證：LBFG沿乙BCG

圖①

(2)【類比遷移】如圖②,在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且=8,=6,將AA￡B沿BE翻折至UABEF

處，延長所交3c邊于點G,延長BF交8邊于點H,且FH=CH,求AE的長.

圖②

(3)【拓展應用】如圖③，在菱形ABCD中，E為8邊上的三等分點，/0=60。,將4儂沿人后翻折得到

△AFE,直線跖交3C于點尸，求CP的長.

BB

備用1備用2

17.（2022?黑龍江）△ABC和AADE都是等邊三角形.

⑴將AADE繞點A旋轉到圖①的位置時，連接電）,CE并延長相交于點尸（點尸與點A重合），有B4+PB=PC

（或B4+PC=P3）成立；請證明.（2）將AADE繞點A旋轉到圖②的位置時，連接8。，CE相交于點P,

連接B4,猜想線段出、PB、PC之間有怎樣的數量關系？并加以證明；⑶將△回繞點A旋轉到圖③的位

置時，連接8。，CE相交于點P,連接加，猜想線段B4、PB、PC之間有怎樣的數量關系？直接寫出結論，

不需要證明.

18.（2022?遼寧錦州）在C中，AC=BC,點。在線段AB上，連接并延長至點E,使DE=CD,

過點E作EF_LAB,交直線A8于點F.

備用圖

（1）如圖1,若NACB=120。，請用等式表示AC與斯的數量關系：.

（2）如圖2.若NACB=90。，完成以下問題：

①當點。，點/位于點A的異側時，請用等式表示AC,F之間的數量關系，并說明理由;

②當點。，點f位于點A的同側時，若。尸=1,AD=3,請直接寫出AC的長.

19.（2022?廣西）已知NMON=a,點A,B分別在射線OM,ON上運動，AB=6.

圖①圖③

⑴如圖①，若&=90。，取AB中點。，點A,B運動時，點。也隨之運動，點A,8,。的對應點分別為A,夕,。，

連接。判斷。。與0。有什么數量關系?證明你的結論：（2）如圖②，若a=60。，以AB為斜邊在其

右側作等腰直角三角形A8C,求點。與點C的最大距離：（3）如圖③，若夕=45。，當點A,B運動到什么位

置時，AAC?的面積最大?請說明理由，并求出AAC?面積的最大值.

20.（2022?湖北十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形A3CD中，AB=AD,ZB+Zr>=180°,點、E,歹分別

在3C,CO上，若=貝!]=.

圖①

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形A3CD.已