專題14直線和圓（十大題型5大易錯題）

述題型專練

【題型1直線的傾斜角與斜率范圍】

1.（24-25高二上?遼寧大連?期中）已知直線2過點4（1,0）,B（2,V3）,則直線2的傾斜角為（）

A.工B.=C.列D.巴

6336

【答案】B

【分析】先求出直線的斜率，再根據傾斜角和斜率的關系求得傾斜角.

【詳解】直線1的斜率為第=W，對應傾斜角為弓，

故選：B

2.（24-25高二上,天津濱海新?階段練習）直線久+y-l=0的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【答案】D

【分析】設直線/的傾斜角為仇求出tan。，再由0可得傾斜角.

【詳解】設直線，的傾斜角為。，則k=tan。=-1,又0<0<n,

酎=斗.回其傾斜角為135。.

故選：D.

3.（24-25高二上?內蒙古包頭?期中）若直線/的一個方向向量元=（1,一百），貝〃的傾斜角為（）.

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】由題意得/的斜率，利用斜率與傾斜角的關系求解.

【詳解】設I的傾斜角為a，0°<a<180°,

由題意得，的斜率k=tana=—V3,則a=120°,

故選：C.

4.（20-21高二?全國?課后作業）以正弦曲線y=sinx上一點P為切點的切線為直線1,則直線1的傾斜角的范

圍是（）

A?[咽U洋同B.[0,n）

【答案】A

【分析】先對函數解析式求導，進而利用余弦函數的性質求得導函數的范圍，進而求得切線，的斜率的范

圍，則可得直線/的傾斜角的范圍.

【詳解】由函數y=sinx,得y'=cosx.設P（x（）,yo）,

則以點P為切點的切線/的斜率為k=cosx0e[-1,1].

設以點P為切點的切線，的傾斜角為a,貝Mana=fcG[-1,1].

由ae[0,n）,可得ae[o,^ju.m），

所以直線I的傾斜角的范圍[o]U降n）.

故選：A.

5.（24-25高三上?山東臨沂?階段練習）已知直線人:a久+2y—4=0,Z2:%-（a-3）y-2=0,則%〃占'

是"a=1"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據兩直線平行求出a的值，即可得出結論.

【詳解】若則〔一忒：一上）；2,解得a=1,

I—2d豐—4

所以，%//￡'是"a=1"的充要條件.

故選：A.

6.（24-25高三上■四川達州,階段練習）已知a為直線y=2x-1的傾斜角，則cos2a=（）

3443

A.—B.—C.-D.—

5555

【答案】A

【分析】根據直線傾斜角與斜率的關系可得tana=2,利用二倍角公式及齊次式可得結果.

【詳解】團a為直線y=2x-1的傾斜角，

團直線斜率k=tana=2,

2?7z2

Elcos2a=cos2a—sin2acos^a-sinal-tana1-43

cos2a+sin2al+tan2a1+451

故選：A.

【題型2求解直線方程】

7.（24-25高二上?四川成都?期末）若直線/的方向向量為（-1,百），且過點（0,2）,則直線I的方程為（）

A.V3x+y-2=0B.x+V3y—2V3=0

C.V3x—y+2=0D.x—V3y+2-\/3=0

【答案】A

【分析】根據條件求出直線的斜率，由點斜式方程求解即得直線方程.

【詳解】因直線/的方向向量為石=(一1,百)，則直線2的斜率k=一百，

于是直線2的方程為，:y—2=—無，即百萬+丫―2=0.

故選:A.

8.(24-25高二上?安徽?階段練習)過點(1,一3)且與直線x-2y+1=0垂直的直線方程是()

A.2x+y+1=0B.x+2y+5=0C.x—2y—7=0D.2%-y-5=0

【答案】A

【分析】直接設直線的一般式方程，然后把點(1,-3)代入方程即可求解.

【詳解】設與直線x—2y+1=0垂直的直線方程是2x+y+4=0,代入點(1,—3),得2—3+4=0,

解得4=1,所以所求的直線方程是2x+y+l=0.

故選：A

9.(22-23高二上?北京?期中)已知直線Z經過點P(l,0),且方向向量5=(1,2),則I的方程為()

A.x+2y—2—0B.2x—y—2—0

C.x+2y-1=0D.x—2y-1=0

【答案】B

【分析】由直線的方向向量求出斜率，再由點斜式得到直線方程即可.

【詳解】因為直線的方向向量9=(1,2),所以直線的斜率為2,

又直線/經過點P(l,0),所以直線方程為y-0=2(x-l),即2x-y-2=0.

故選：B.

10.(24-25高二上?江蘇蘇州?階段練習)斜率為-%且經過點的直線方程為()

A.4%+3y+1=0B.4%+3y—1=0

C.4%—3y—7=0D.4%—3y—1=0

【答案】B

【分析】根據直線的點斜式方程求解即可.

【詳解】所求直線方程為y+1=-1(x-1),即4K+3y-1=0.

故選：B.

11.(24-25高二上?貴州貴陽,階段練習)已知直線％：ax-(a-4)y+2=0,直線％：2x+ay—1=0.

(1)若"IIl2,求實數a的值；

(2)若hl%，求實數a的值.

【答案】⑴a=2

(2)a=6或a=0.

【分析】(1)根據兩條直線平行公式計算即可求參，再檢驗是否重合；

(2)根據兩條直線垂直公式計算即可求參.

【詳解】⑴因為一II12,所以a2+2(a—4)=0,

整理得a?+2a—8=(a—2)(a+4)=0,

解得a=2或a=-4.

當a=-4時，Zx:-4x+8y+2=0,%：2x—4y—1=0,匕,%重合;

當a=2時，11:2x+2y+2-0,l2：2x+2y—1—0,符合題意.

故a=2.

(2)因為I1-L(2>所以2a—a(a—4)—0,

解得a=6或a=0.

【題型3由一般式方程確定兩直線位置關系】

12.(24-25高二上,遼寧大連?期中)若直線匕:2x+(m+l)y+4=0與直線G：6x+3y-2=0平行，則機的

值為()

A.2B.-3C.2或—3D.-2或-3

【答案】C

【分析】根據匕|“2列方程，解方程即可.

【詳解】因為。1“2，所以2x3=(m+l)-m,解得爪=2或一3,

當=2時，2久+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,成立；

當m=-3時，匕：2支―2y+4=0,即久一y+2=0,l2.-3x+3y-2=0,即久—y+|=0,成立，

所以m=2或一3.

故選：C.

13.(24-25高二上?海南?階段練習)已知直線5ax+y-1=0,直線占x+ay-2=0,則"a=1"是"卜〃〃'

的()條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】先利用兩直線平行的公式求出Q,再確定充分性和必要性即可.

【詳解】當。〃。時，小=1,所以a=1或a=—1,

當a=l時，直線4：%+y-1=0,直線%：x+y-2=0,兩直線不重合，

當a=—1時，直線人：—%+y—1=0,即％—y+l=0,

直線%：%-y-2=0,兩直線不重合，

所以當a=l或。=一1時，%2，

所以'=1〃是'4〃/2〃的充分不必要條件.

故選：A.

14.(24-25高二上?湖南永州?階段練習)已知兩條直線k：3x-2y+l=0和%：ax+2y+1=0相互垂直，

則a=()

44

A.2B.3C.-D.--

【答案】C

【分析】利用一般式方程下兩直線垂直的公式可求得a的值.

【詳解】團直線，i：3%—2y+1=0和％：a%+2y+1=0相互垂直，

03a+(-2)x2=0,解得a=

故選：C.

15.(24-25高二上?廣東東莞?期中)已知直線卜:ax—y-2024=0,l2.(3a—2)x+ay+2025a=0,若匕1l2>

則實數a的值為.

【答案】0或1

【分析】根據兩直線垂直的充要條件求解即可.

【詳解】因為，1%，

所以a(3a—2)—a=0,解得a=。或a=1.

故答案為：0或1.

【題型4兩條直線的交點與距離問題】

16.(24-25高二上?天津濱海新?階段練習)已知兩條平行直線3x-4y-2=0J2:6x-8y+3=0,則"

和％間的距離為()

【答案】D

【分析】由兩平行線間距離公式求解即可；

【詳解】％：6x-8y+3=0Q3x-4y+；=0,

所以由兩平行線間的距離公式可得d=2桌=5，

V3Z+4Z10

故選：D.

17.(24-25高三上?北京?階段練習)已知點P是拋物線P=—4乂上的動點，設點P到此拋物線的準線的距離

為冊,到直線x+y—4=0的距離為扇，則d1+d2的最小值是()

A.2B.V2C.|D.竽

【答案】D

【分析】根據拋物線的定義可得刈+d2=\PF\+d2,結合圖形即可得結果.

【詳解】題意可知：拋物線y2=-4x的焦點為尸(-1,0),準線為x=l,

漆華口q+y-4=0

—

則—+-=\PF\+d，29

所以di+d2的最小值即為點F(-1,0)到直線x+y-4=0的距離為d=匕愛心=誓.

故選：D.

18.(24-25高二上?河南駐馬店?階段練習)已知a€R,直線人:ax+y-12=0的方向向量與直線

%：(a+3)久+4y+16=0的方向向量共線，則這兩條直線之間的距離為()

A.4B.8V2C.4V2D.2或

【答案】B

【分析】根據兩直線平行可得a的值，再根據平行線之間的距離公式求解即可.

【詳解】由題意可得I"/"，所以1x(a+3)=ax4,解得a=1,

故兩直線方程分別為x+y—12=0,x+y+4=0,

故這兩條平行線之間的距離為d=匕等=8VI

V2

故選：B.

19.（24-25高二上?天津和平?階段練習）若圓/+y2=N（r>0）上僅有4個點到直線尤-y-2=0的距離

為1,則實數廠的取值范圍為（）

A.（V2+1,+oo）B.（V2-1,V2+1）C.（0,V2-1）D.（0,V2+1）

【答案】A

【分析】到已知直線的距離為1的點的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根

據題意可得這兩條平行線與M+y2=*有4個公共點，由此利用點到直線的距離公式加以計算，可得

廠的取值范圍.

【詳解】

作出到直線x-y-2=。的距離為1的點的軌跡，得到與直線x-y-2=0平行，

且到直線x—y—2=0的距離等于1的兩條直線，

,?,圓/+y2=產的圓心為原點，

原點到直線久—y—2=0的距離為d=吟義=V2,

兩條平行線中與圓心。距離較遠的一條到原點的距離為出=a+1,

又：圓/+y2=r2（r>0）上有4個點到直線x-y-2=。的距離為1,

??.兩條平行線與圓/+y2=/2有4個公共點，即它們都與圓/+y2=產相交.

由此可得圓的半徑r>出，

即「>魚+1,實數廠的取值范圍是（應+1,+8）.

故選：A.

20.（24-25高二上■全國?課后作業）已知點P（x,y）是曲線y=/上的一動點，則點P（x,y）到直線2x-y-4-0

的距離的最小值為（）

A.史B.獨C.迪D.三

5555

【答案】c

【分析】當曲線在點P處的切線與已知直線平行時點P到該直線的距離最小，結合導數的幾何意義和點

到直線的距離公式計算即可求解.

【詳解】聯立［y=c得/—2x+4=0,則A=4—4xlx4=—12<0,

12%—y—4=0

所以直線2%-y-4=0與曲線y=/不相交，

因此當曲線在點P處的切線與直線2x-y-4=0平行時，點P到該直線的距離最小.

因為y'=2x,直線2久-y-4=0的斜率k=2,所以2久=2,解得久=1,則尸(1,1),

所以P(l,l)到直線2x—y—4=0的距離最小，最小值為d=懸卷=等.

故選：C

21.(24-25高二上?貴州貴陽,階段練習)直線小2x-y=l與直線％：-3乂+2y=1的交點坐標為.

【答案】(3,5)

【分析】聯立方程即可求解.

【詳解】聯立［J：：；：」〕，解得x=3,y=5,故交點為(3,5),

(一oXrzy—J.

故答案為：(3,5)

【題型5對稱問題的求解方法】

22.(24-25高二上?重慶渝中?階段練習)若點2(2,1)關于直線1：y=kx+b(k,beR)的對稱點為4(—4,3),

則b=()

A.-3B.-1C.3D.5

【答案】D

【分析】根據兩點關于直線對稱，利用斜率關系求直線斜率，再由中點在直線上得解.

【詳解】直線A4’的斜率為羋=—：直線I為線段A4'的中垂線，從而k=3,

—4—23

又線段A4'的中點(一1,2)在I上，故2=-3+b,解得b=5.

故選：D.

23.(2024高三,全國?專題練習)一條光線從點(一2,-3)射出，經y軸反射后與圓(x+3尸+(y-2尸=1相

切，則反射光線所在直線的斜率為()

【答案】D

【分析】根據反射光線的反向延長線過點(2,-3)可設反射光線所在直線方程為y+3=k(x-2),利用

圓心到直線的距離等于半徑可求直線的斜率.

【詳解】

由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(2,-3),

設反射光線所在直線方程為：y+3=fc(x-2),即：kx—y—2k—3=0.

團反射光線與圓(％+3)2+(y-2)2=1相切，

團圓心(一3,2)到直線kx-y-2k-3=0的距離等于半徑1,即以未經!=1,

整理得12k2+25k+12=0,解得：k=一(或左=一*

故選：D.

24.(24-25高二上?山東濰坊?期中)已知一條光線從點(4,0)發出被直線x+y-10=0反射，若反射光線過

點(0,1)，則反射光線所在的直線方程為()

A.%—2y+2=0B.3%—2y+2=0C.2x—3y+3=0D.2x—y+

1=0

【答案】A

【分析】根據給定條件，求出發光點關于直線x+y-10=0的對稱點，再借助光的反射定律求出反射

光線所在直線的方程.

-+--10=0_in

【詳解】設點(4,0)關于直線工+”10=0的對稱點為(￡1方)，則122，解得代一乎，

D=1I。=6

、u—4

因此反射光線所在直線過點(10,6),方程為y=濟久+1,即x—2y+2=0.

故選：A

25.(23-24高二上?重慶?期末)如圖，已知兩點4(22,0),5(0,11),從點P(2,0)射出的光線經直線上的點

M反射后再射到直線。B上，最后經直線。B上的點N反射后又回到點P,則直線MN的方程為()

B

M

A.4%—3y—6=0B.4%+3y+8=0C.3%—4y+6=0D.4x—3y+

8=0

【答案】D

【分析】分別求出點P關于直線x+2y-22=0與y軸的對稱點，從而得到結果.

【詳解】由題意易得所在的直線方程為：/+*=1，

化簡可得：x+2y-22=0.

設點P(2,0)關于直線4&尤+2y—22=0的對稱點&(a,b),

(b-0(1\y

--X(---)=-1

則％+尸，解得a=10,h=16,

—+2x--22=0

k22

點P關于直線AB對稱的點為4(10,16),點P關于y軸對稱的點為4(-2,0).

直線即直線&&，則直線的方程為y=懸(乂+2),即4x-3y+8=0.

故選：D

26.(23-24高二上?山東濟南?階段練習)一束光線從點M(l,2)出發經x軸反射后經過點N(-2,4),半徑為遙

的圓C恰好與入射光線和反射光線都相切，則圓C的標準方程是()

A.(x—5)2+y2=5B.(x+5)2+y2=5

C.x2+(y—5)2=5D.x2+(y+5)2=5

【答案】C

【分析】由題意可知圓心在法線上面，故首先求出法線方程，然后結合圓與入射光線相切即可確定圓

心位置，從而即可得解.

【詳解】由題意入射光線不垂直x軸，設入射光線交x軸于點P(a,0),-2<a<l,

則由題意kpM——kpN,即；二———~—，解得a=0,

1—ci—2—a

所以法線方程為X=0即y軸，

由題意半徑為遙的圓C恰好與入射光線和反射光線都相切，

所以由對稱性可知圓心在y軸上，不妨設為C(0,c)，

而入射光線為y=2%,所以圓心C(0,c)在y軸正半軸上，即c>0,

所以半徑為遙的圓C恰好與入射光線相切得+=V5,解得c=5,

V5

所以圓心C(0,5),圓C的標準方程是/+(y-5)2=5.

故選：C.

【題型6求圓的方程的兩種方法】

27.(24-25高二上?海南?階段練習)A/IBC的三個頂點的坐標分別為力(1,0),B(3,0),C(3,4),貝必ABC的

外接圓方程是()

A.(久一2乃+(y—2尸=20B.(x+2)2+(y+2)2=20

C.(%—2尸+(y—2/=5D.(x+2)2+(y+2)2=5

【答案】C

【分析】設出△28C的外接圓方程，將4(1,0),8(3,0),C(3,4)代入即可求解.

【詳解】設4ABC的外接圓方程為(尤-a)2+(y-b)2=r2,

((1—a)2+b2—r2(a=2

所以《(3-a)2+b2=r2，解得6=2,

((3-a)2+(4-b)2=r2lr=V5

所以外接圓的方程為(x-2)2+(y—2)2=5.

故選：C.

28.(24-25高二上?湖北?階段練習)動直線/:(fc+2)x-(k-l)y-3=0被定圓C截得的弦長等于2,則

圓C的方程為()

A.(%+I)2+(y+I)2=1B.(x—I)2+(y—l)2=1

C.(久++(y+1)2=4D.(x—l)2+(y—I)2=4

【答案】B

【分析】首先求出直線Z恒過點(1,1),依題意可得圓C的圓心為(1,1),半徑r=l,即可求出圓的方程.

【詳解】動直線，：(k+2)x一(k一l)y-3=0,即(x-y)k+(2x+y-3)=0,

令黑，解得口，

所以動直線/恒過點

又動直線，：(fc+2)x-(k-l)y-3=0被定圓C截得的弦長等于2,

所以圓C的圓心為(1,1),半徑r=l,

所以圓C的方程為Q-I)2+(y-I)2=1.

故選：B

29.(24-25高二上,安徽?階段練習)已知圓C的圓心在直線久+2y-7=0上，且經過點力(1,2),B(3,0).

⑴求圓C的標準方程；

⑵求經過點P(l,6)且與圓C相切的直線方程.

【答案】⑴(K—3)2+(y—2)2=4

(2)x=1或3x+4y-27=0

【分析】(1)求出線段2B的中垂線方程，求出圓心坐標及半徑即可；

(2)按切線斜率存在與否，結合點到直線的距離公式求出切線方程.

【詳解】(1)線段AB的中點(2,1),直線4B的斜率％B=咨=一1，

則線段AB的中垂線方程為y—1=x—2,即y=x—1,

由1二解得久=3,y=2,

因此圓C的圓心C(3,2),半徑r=2,

所以圓C的標準方程為(x-3)2+(y-2)2=4；

(2)點C(3,2)到直線尤=1的距離為2,即直線久=1與圓C相切；

當切線斜率存在時，設切線方程為y—6=k(x—1),即kx—y+6—k=0,

由史展變=2,解得k=一己,因此方程為3x+4y-27=0,

7k2+14

所以經過點P(l,6)且與圓C相切的直線方程為x=1或3x+4y-27=0.

30.(24-25高二上?河北保定?階段練習)已知圓M的圓心在直線y=3%+1±,且點4(1,2),8(-1,4)在M上.

(1)求圓M的標準方程；

(2)若傾斜角為3的直線/經過點C(0,4),且/與圓M相交于。，E兩點，求|。回.

【答案】(l)(x-1)2+(y—4>=4

(2)|D￡|=V14

【分析】(1)先求出線段48的垂直平分線所在的直線方程，與y=3*+1聯立解出圓心坐標，再求出

圓的半徑即可；

(2)由已知可得直線I的方程，求出圓心到直線的距離，由勾股定理即可求解.

【詳解】(1)設線段4B的中點為N,則N(0,3),

因為直線4B的斜率為三=-1,

所以線段的垂直平分線的斜率為1,

所以線段力B的垂直平分線所在的直線方程為y=x+3,

■綾展得仁),

所以圓心M(l,4),半徑為|M4|=2,

所以圓M的標準方程為(尤-I)2+(y-4)2=4：

(2)因為直線I的傾斜角為%所以直線1的斜率為1,

4

又直線L經過點C(0,4),所以直線用勺方程為y=x+4,

即％—y+4=0,

所以點M到直線I的距離為匕裂="，

V22

所以|。回=2舊_俘f=V14.

31.(24-25高二上?內蒙古赤峰?階段練習)在平面直角坐標系xOy中，圓C經過4(1,0)和點B(-1,2),且圓心

在直線2%—y+2=0上.

⑴求圓C的標準方程；

(2)若直線久=ay+4被圓C截得弦長為2百，求實數a的值

【答案】①(久+1)2+必=4：

(2)±2V6.

【分析】(1)先求線段4B的垂直平分線所在直線的方程，進而求圓心和半徑，即可得方程.

(2)由垂徑定理可得圓心到直線的距離d=1,利用點到直線的距離公式運算求解.

【詳解】(1)依題意，線段4B的中點(0,1),直線的斜率題B=個=—1，

則線段4B的垂直平分線的方程為y=x+l,由。解得，

因此圓C的圓心C(-l,0),半徑r=|C4|=2,

所以圓C的方程為(x++V=4

(2)由直線x=ay+4被曲線C截得弦長為2百，得圓心C(—1,0)到直線久=ay+4的距離

d=Jr2—(V3)2=1

因此匕野#=1，解得。=±2前，

Va2+1

所以實數a的值為±2乃.

32.(24-25高二上?重慶?階段練習)已知圓M經過(2,0),(4,2)兩點，且圓心M在直線y=x上.

(1)求圓M的標準方程；

⑵過點(2,4)的直線/與圓M相交于4B兩點，且AABM為直角三角形，求/的方程.

【答案】⑴(萬一2)2+(y-2)2=4

(2)x—y+2-。或;c+y—6-0.

【分析】(1)由待定系數法即可求解;

(2)根據題意可得圓心M到直線I的距離d=&,結合點到直線的距離公式即可求解.

【詳解】(1)團圓心M在直線y=x上，

回設圓M的標準方程為0-a)2+(y-a)2=r2,

團圓M經過(2,0),(4,2)兩點,

(2—a)2+(0—a)2=r2

解得a=2,r=2,

(4-a)2+(2-a)2=r2

團圓M的標準方程為O-2尸+(y—2)2=4.

(2)回A4BM為直角三角形，|力M|=\BM\=2,

團圓心M到直線I的距離d=V2.

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為久=2,

則圓心M(2,2)到直線，的距離d=0,不符合題意；

所以直線Z的斜率存在，設直線/的方程為y-4=k(x—2),即kx—y+4—2k=0,

團圓心M(2,2)到直線l的距離d=V2,

|2k-2+4-2k|

—V2,解得k=±1>

回直線l的方程為％-y+2=0或x+y-6=0.

【題型7求與圓有關的軌跡問題的方法】

33.(24-25高二上,河北邢臺?階段練習)已知圓C過原點。和點力(1,3),圓心在x軸上.

(1)求圓。的方程；

(2)過圓C上一動點M作平行于y軸的直線zn,設rn與x軸的交點為N,若向量麗=旃+而，求動點Q的

軌跡方程.

【答案】(1)0-5)2+y2=25

(2)(%-10)2+4y2=100(x*0)

【分析】(1)利用兩點距離公式可得a=5,即可求解，

(2)根據向量的坐標運算，利用相關點法即可求解軌跡方程.

【詳解】(1)設圓心為C(a,0),由題意可得|0C|=|4C|,

則|a|=7(a-l)2+(0-3)2,解得a=5,所以，圓C的半徑為|a|=5,

故圓C的方程為。-5)2+必=25.

(2)設點M(%o，yo),共中％0。0,則N(%o,0),設點Q(%,y),

因為麗=OM+ON,則(x,y)=(x0,y0)+Oo，。)=(2x0,y0),

可得可得卜。=；,

(y=y°[y0=y

因為點M在圓C上，則(久。一5￥+據=25,Wg-5)2+y2=25.

故點Q的軌跡方程為(x-10)2+4y2=100(%豐0).

34.(24-25高二上?廣東?期中)已知A24C的頂點4(一2,0),B(3,0),頂點C滿足3|C2|=2|CB|,記頂點2的

軌跡為W.

⑴求曲線加的方程.

⑵過點4的直線I(斜率不為0)與曲線W交于不同的兩點P,Q,。為坐標原點，試判斷直線OP,OQ

的斜率之積是否為定值.若為定值，求出該定值；若不是，說明理由.

【答案】⑴。+—久=o(y豐0)

⑵定值,-5

【分析】(1)設C(x,y)(yH0),結合題設列出方程即可求解；

(2)設1：比=my-2,P(比i，yj,<2(^2,72)>聯立直線與曲線W'的方程，結合韋達定理求得Xi%?，%%，

進而求解即可.

【詳解】(1)設CQ,y)(yH0),因為31a4|=2|CB|,BP9|CX|2=4\CB\2,

所以9(x+2產+9y2=4(%—3)2+4y2,

整理得/+y2+12x—0,

所以曲線W的方程為一+必+12x=0(y豐0).

(2)設，：久=my—2,P(xi，yi),<2(x2,y2).

聯立方程組12m\；2'n得(—+l)y2+8my—20=0,

+y+12%=0,

2

所以△=647n2+80(m+1)>0,

則為+力=一扁’%內=一島,

2

因為％i%2=(見力—2)(my2-2)=my1y2—27n(y1+y2)+4

22

=-20-m--1—,1；6-m-F,4.=--—4,

m2+lm2+lm2+l

所以kop/°Q=^=*=一5,

丫Xi%2%1%2

故直線OP,。。的斜率之積為定值，且定值為-5.

35.(24-25高二上?河南駐馬店?期末)已知平面直角坐標系中，圓0:/+丫2=8,點p(_a2),

(1)若4是圓。上的動點，線段4P的中點為M,求M的軌跡方程；

(2)過點Q(-1,2)作直線1與點”的軌跡方程交于C、。兩點，若CD=2,求直線/的方程.

【答案】(1)(久+2/+(y-=2

(2)Z:y—2=。或x=—1

【分析】(1)M是線段4P的中點，利用中點坐標公式表示出4點坐標，代入圓。即可.

(2)斜率存在時，設Z:y—2=卜(久+1),則M的圓心(―2,1)到直線I的距離d=需^=1,解得k=0,

V+1

得到，的直線方程，斜率不存在時也符合.

【詳解】(1)設M(x,y),A(x0,y0),因為線段4P的中點為M,P"4,2)

'_%o+(-4)

mix--；匕廠7(%0=2%+4

貝叫+2,所以,,入，A

=2vly=2y-2

\y20

點A在圓。上，代入圓0:/+y2=8,得(2%+4)2+(2丫-2)2=8,

化簡得(久+2)2+(y-1)2=2,即為M的軌跡方程；

(2)由(1)知：M的軌跡是以(一2,1)為圓心，夜為半徑的圓，

當直線2的斜率存在時，設-2=磔久+1),即k;c-y+2+k=0,

則M的圓心(—2,1)到直線Z的距離d=卜一(第2=],

所以d=筌=1,解得卜=0，故直線為1：y-2=0；

當直線，斜率不存在時，l-.x=-1,也符合題意，

所以直線I的方程為Z:y-2=0或乂=-1.

36.(24-25高二上?重慶,階段練習)已知2(1,2)、B(3,6),動點P滿足麗?麗=一4,設動點P的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的標準方程；

(2)求過點4(1,2)且與曲線C相切的直線的方程.

【答案】⑴(x-2)2+(y-4)2=1

(2)x=1或3x-4y+5=0.

【分析】(1)設PQ,y),由方?麗=—4,得動點P的軌跡方程；

(2)利用圓心到直線的距離等于半徑，求切線方程.

【詳解】(1)設PQ,y),則用=(1—x,2—y),而=(3—x,6—y),

由方?麗=(1一%)(3-x)+(2-y)(6-y)=-4,得(x-2)2+(y-4)2=1,

(2)曲線C是以(2,4)為圓心，1為半徑的圓，

過點力(1,2)的直線若斜率不存在，直線方程為久=1,滿足與圓C相切；

過點4(1,2)的切線若斜率存在，設切線方程為y—2=—1),即依—y+2—k=0,

由圓心到直線距離d==1,解得卜=

Vfc2+14

則方程為3久-4y+5=0.

過點4(1,2)且與曲線C相切的直線的方程為x=1或3久-4y+5=0.

【題型8解決有關弦長問題的常用方法及結論】

37.(24-25高二上?河南南陽?期中)已知直線Z經過點P(2,l),且與圓C：(X+1尸+(y-22=9相交于A,

8兩點，若|力用=4/，則直線/的方程為()

A.y—1或3x+4y—10=0B.y=1或4x+3y—11=0

C.4%+3y—11=0或3久+4y—10=OD.4x—3y—5=0或3x—4y—2=0

【答案】A

【分析】求出圓C的圓心和半徑，設出直線/的方程，利用點到直線的距離公式，結合給定弦長求解即

得.

【詳解】圓C：(尤+1]+(y-2)z=9的圓心C(一1,2),半徑「=3,

圓心C(-1,2)到直線i=2的距離為3,此直線與圓C相切，因此直線/的斜率存在，

設直線z的方程為y-1=k(x-2),BPfcx-y-2/c+1=0,

由|AB|=4/，得圓心C(—1,2)到直線l的距離d=Jr2-(||XB|)2=1,

于是6/=展3=1,解得k=0或k=—

Vfc2+14

所以直線，的方程為y=1或3%+4y—10=0.

故選：A

38.(24-25高二上?江蘇淮安?期中)直線久一By+2百=0被圓％2+y2=8截得的弦長為()

A.V5B.2V5C.V3D.2遮

【答案】B

【分析】根據題意，利用圓的弦長公式計算，即可求解.

【詳解】由圓％2+丫2=8,則圓心為。(0,0),半徑為T=2/，

由圓心為0(0,0)到直線x-V3y+2V3=0的距離d=產得=百＜r,

心+(-可

所以直線被圓截得的弦長為2V為-d2=2A/8^3=2V5.

故選：B.

39.(24-25高二上?北京?期中)圓(％-3尸+(y—4)2=25被直線3x+4y—10=0截得的弦長為.

【答案】8

【分析】根據給定條件，利用圓的弦長公式計算即得.

【詳解】圓(久一3)2+(y-4/=25的圓心(3,4),半徑r=5,

點(3,4)到直線3x+4y-10=0的距離d==3,

所以所求弦長為2,為=2V52-32=8.

故答案為：8

【題型9兩圓的公共弦問題】

40.(24-25高二上?河南駐馬店?階段練習)圓Q:x2+y2=25與圓C2:(%-3)2+(y+4)2=1的公共弦長為

()

.2V135V6_3VilcV13

A.-----bD.-------C.--------U.------

5453

【答案】c

【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂徑定理求出弦長.

【詳解】兩圓方程作差可得兩圓交點所在的直線方程為6久-8y-49=0,

又因為圓心Cl(0,0)到直線6x-8y-49=0的距離d=y===黑

,6"+(—8)/10

故兩圓公共弦長為2J25-借)2=手.

故選：C.

41.(24-25高二上?海南海口?階段練習)圓M:/+。-2)2=20與圓N:。+3)2+(y+2)2=25的公共弦

長為()

A.6B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】判斷出兩圓相交，兩圓相減求得公共弦所在直線方程，再利用弦長公式求得公共弦長.

【詳解】圓”:公+⑶一2Mm20的圓心為M(0,2),半徑4=2小，

圓N:(%+3)2+(y+2)2=25的圓心為N(—3,-2),半徑萬=5,

rt+r2=5+2V5,r2—rt=5—2V5,

22

\MN\=V3+4=5￡(r2-rt,r2+q),所以兩圓相交，

2)22

由(7=°QC兩式相減并化簡得3x+4y+2=0,

M(0,2)到直線3x+4y+2=0的距離為=2,

所以公共弦長為2xJ(2V5)2-22=8.

故選：B

42.(24-25高二上?河南駐馬店?階段練習)圓Q:/+丫2=25與圓C2：(x-3>+(y+4)2=1的公共弦長為

()

A2^135V6「3Vil、V13

A.-----Db.C.-----U.

5453

【答案】C

【分析】兩圓方程作差得兩圓公共弦所在的直線方程，結合點到線的距離公式求公共弦長.

【詳解】兩圓方程作差可得兩圓交點所在的直線方程為6*-8y-49=0,

又因為圓心(0,0)到直線6K—8y-49=0的距離d=

故兩圓公共弦長為2125-=空.

故選：C

43.(24-25高三上?天津南開?期末)圓&:。+2)2+0-4)2=16與圓。2：/+曠2-2乂-1