專題L4有理數的乘除【九大題型】

【人教版】

衣

型

L題1

r

1有理數乘除法則概念辨析】......2

型

k題

r2倒數的概念及運用】.........

型

k題2

r3有理數乘除法的簡單混合運算】

型

k題3

r4有理數乘除法運算律的運用】..

型

k題4

r5有理數乘除法的運算步驟問題】

型

k題6

r有理數乘除法與絕對值的綜合】

型

題6

k7

r?

型有理數乘除法中的規律計算】..

題7

k8

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型

r題8有理數乘除法的實際應用】......

k10

9有理數乘除法中的新定義問題】

【知識點1有理數乘法的法則】

①有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.

②任何數同零相乘，都得0.

③多個有理數相乘的法則：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當

負因數有奇數個

時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正.②幾個數相乘，有一個因數為0,積就為0.

【知識點2有理數除法的法則】

①有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數.

②兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數，都得

0.

【題型1有理數乘除法則概念辨析】

【例1】（2022?金堂縣月考）下列說法正確的是（）

A.5個有理數相乘，當負因數為3個時，積為負

B.-1乘以任何有理數等于這個數的相反數

C.3個有理數的積為負數，則這3個有理數都為負數

D.絕對值大于1的兩個數相乘，積比這兩個數都大

【變式1-1］（2022春?埔橋區校級期中）在下列各題中，結論正確的是（）

A.若a>0,b<0,則—X）B.若a>b,則a-6>0

a

b

C.右a<0,b<0,則ab<0D.右a>b,a<0,則一<0

【變式1-2］（2022?廣東一模）己知。+6>0且a（6-1）<0,則下列說法一定錯誤的是（

A.<a>0,b>lB.a<-1,b>\C.TWa<0,b>lD.a<0,b>0

【變式1-3］（2022?武昌區校級期中）下列說法：①若a、b互為相反數，則：=-1；②若

b<O<a,且⑷<依，貝加+例=-\a\+\b\；③幾個有理數相乘，如果負因數的個數為奇數個,

dccd

則積為負；④當x=l時，Ix-4|+|x+2|有最小值為5；⑤若工=二，則一=工；其中錯誤的

bdab

有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

【知識點3倒數的概念】

乘積是1的兩個數互為倒數.

①“互為倒數”的兩個數是互相依存的；

②0和任何數相乘都不等于1,因此0沒有倒數；

③倒數的結果必須化成最簡形式，使分母中不含小數和分數；

④互為倒數的兩個數必定同號（同為正數或同為負數）.

【題型2倒數的概念及運用】

【例2】（2022秋?溫江區月考）若3a-12沒有倒數，貝Ua=—；已知m-11的倒數為一點

則m+1的相反數是—.

【變式2-1］（2022?楊浦區校級期中）如果a+3的相反數是-5%那么。的倒數是.

【變式2-2］（2022秋?貴港期末）若a、b互為相反數，c、d互為倒數，根的絕對值為2.

（1）直接寫出a+b,cd,m的值；

（2）求m+cd+^^的值.

m

【變式2-3］（2022?大邑縣期末）已知。與2互為相反數，x與3互為倒數，則代數式。+2+|

-6x|的值為（）

A.0B.-2C.2D.無法確定

【題型3有理數乘除法的簡單混合運算】

【例3】（2022?鄂托克旗期末）下列計算正確的是（）

A.-30X--20X（--）=—

777

D.―勺+(+-)X(——)=0

5527

【變式3-1](2022?東昌府區校級月考)(1)(-|)X(-3i)4-(-li)+3

524

(2)[(+工)-(--)-(4-1)]4-(—--)

L735J105

【變式3-2](2022?安圖縣期末)計算:

(1)2+(-山X-.

19224

(2)-125X0.424-(-7)

【變式3-3](2022?沙市區校級期中)計算:

(1)(--)X(-3-)4-(-1i)4-3；

524

(2)(-8)^-X(-1i)4-(-9).

32

【題型4有理數乘除法運算律的運用】

【例4】(2022?諸城市期中)寫出下列運算中每一步所依據的運算律或法則:

(-0.4)X(-0.8)X(-1.25)X2.5

=-(0.4X0,8X1.25X2.5)(第一步)

=-(0.4X2.5X0.8X1,25)(第二步)

=-[(0.4X2.5)X(0.8X1.25)](第三步)

=-(1X1)=-1.

第一步：;第二步：;第三步:

【變式4-1](2022?平谷區期末)計算：己—三+工)X(-24).

248

【變式4-2](2022?紅谷灘區校級期中)用簡便方法計算

(1)99-x(-9)

18

(2)(-5)X(-3-)+(-7)X(-3-)+12X(-3-)

777

【變式4-3](2022?紅河州校級期中)用簡便方法計算:

771q

(1)-13X--0.34X-+-X(-13)--X0.34

3737

(2)X(-60)

+34515

【題型5有理數乘除法的運算步驟問題】

【例5】(2022?利辛縣月考)下面是小明同學的運算過程.

計算：-54-2x|.

解：-54-2X|——54-(2x|)…第1步

=-5+1…第2步

=-5…第3步

請問：(1)小明從第一步開始出現錯誤；

(2)請寫出正確的解答過程.

【變式5-1］（2022?海陵區期中）計算：（一募）X（-|）.

解：（-￡）X（―|）

=-|.②

（1）找錯：第一步出現錯誤;

（2）糾錯：

【變式5-2］（2022?德州校級月考）閱讀下面解題過程:

計算：54-C--2--2）+6

32

解：54-（--2--2）X6

32

=5+（--）X6-?

6

=5+（-25）…②

=一三…③

回答：

（1）上面解題過程中有兩處錯誤,第一處是第一步，錯因是

第二處是—，錯因是.

（2）正確結果應是.

【變式5-3］（2022秋?無為縣月考）閱讀下列材料：

計算：%（*+J

1.11111111

解法-：原式=或制—X3--x4+—xl2=

24.4241224242424

121,1

解法二:原式=，+1+四）=—：———x6=―.

2412244

解法三：原式的倒數=（i-1+i）4--=(i-i+—)X24=x24-iX24+—X24=4.

34122434123412

所以，原式/

（1）上述得到的結果不同，你認為解法—是錯誤的;

（2）請你選擇合適的解法計算：（一號）+（”卷+|-”.

【題型6有理數乘除法與絕對值的綜合】

【例6】（2022?余姚市校級期中）⑴三個有理數歷乩c滿足赤>0,求回+%+回的

abc

值.

（2）三個有理數a,b,c滿足Hc<0,求回+回+回的值；

abc

（3）若a,b,c為三個不為。的有理數，且螞+粵+回=-1,求陪的值.

abc\abc\

【變式6-1］（2022?雁峰區校級期末）已知非零有理數a,b,c滿足ab>0,bc>0.

（1）求怨+胃+粵的值；

ab\ac\be

（2）若a+b+c<0,求螞+白+回+出的值.

a\b\cabc

【變式6-2]（2022?河西區期中）已知國=3,1=7

（1）若x<y,求x-y的值；

（2）若孫>0,求無+y的值；

（3）求fy-町2+21的值.

【變式6-3]（2022?雨花區月考）若。+6+c<0,abc>0,貝Ug一3?總+4?里的

\ab\be\ac\abc

最大值為（）

A.6B.8C.10D.7

【題型7有理數乘除法中的規律計算】

【例7】（2022?上蔡縣期中）考察下列每一道算式，回答問題：

算式：63X67=422172X78=5616

561X569=31920091814X1816=3294224

（1）兩個因數個位上的數字之和是多少？其余各位上的數字有何特征？

（2）根據四個式子的計算，請你猜想符合上述特征的兩個數相乘的運算規律.

（3）再舉兩道符合上述特征的計算題，并用你猜想的規律進行計算.

6X5X4X3

【變式7-1】已知方=言=3,/=姿=1。，或==15,…觀察以上規律計算

1X2X3X4

CQ=,Cfo=45,貝!Ja=.

【變式7-2］（2022?夏邑縣期中）有一列數的，④，俏，…斯，若ai=f從第二個數開始,

每一個數都等于1與它前面那個數的差的倒數.

（1）試計算。2，。3，。4；

（2）根據以上計算結果，試猜測。2016、。2017的值.

【變式7-3］（2022?廈門期末）已知一些兩位數相乘的算式：

62X11,78X69,34X11,63X67,18X22,15X55,12X34,54X11

利用這些算式探究兩位數乘法中可以簡化運算的特殊情形：

（1）觀察已知算式，選出具有共同特征的3個算式，并用文字描述它們的共同特征；

（2）分別計算你選出的算式.觀察計算的結果，你能發現不經過乘法運算就可以快速、

直接地寫出積的規律嗎？請用文字描述這個規律；

（3）證明你發現的規律；

（4）在已知算式中，找出所有可以應用（或經過轉化可以應用）上述規律的算式，并將

它們寫在橫線上：.

【題型8有理數乘除法的實際應用】

［例8］（2022?江寧區校級月考）天龍頂國家山地公園，位于岑溪市南渡鎮吉太附近，距

岑溪市35公里，天龍頂是桂東最高峰，史上早已成名，被譽為“土主龍樓”天龍頂形成

于遠古冰川，由整塊紅色砂巖劈鑿而成，拔地而起，是極限攀巖、野外露營及登山愛好

者的天堂.某年寒假，小昌與小勇一起去游天龍頂，他們想知道山的高度.小昌說可以

利用溫度計測量山峰的高度，小昌在山頂測得溫度約是小勇此時在山腳測得溫度

約是8.6℃,已知該地區每年增加100米，氣溫大約下降0.8℃,小昌很快算出了答案，

你知道天龍頂的高度約是多少米嗎？

【變式8-1］（2021秋?北京期中）

媽媽身高多少厘米?

【變式8-2］（2022?常州期中）某原料倉庫一天的原料進出記錄如下表（運進用正數表示,

運出用負數表示）：

進出數量（單位：-34-12-5

噸）

進出次數F133廠

一（1）這天倉庫的原料比原來增加或減少了多少噸?

（2）根據實際情況，現有兩種方案：

方案一：運進每噸原料費用5元，運出每噸原料費用8元；

方案二：不管運進還是運出費用都是每噸原料6元；

從節約運費的角度考慮，選用哪一種方案較合適？請說明理由.

【變式8-3]（2022?臺灣）碳足跡標簽是一種碳排放量的標示方式，讓大眾了解某一產品

或服務所產生的碳排放量多寡，如圖所示.

碳足跡標簽的數據標示有其規定，以碳排放量大于20公克且不超過40公克為例，此范

圍內的碳足跡數據標示只有20、22、24、…、38、40公克等11個偶數；碳足跡數據標

示決定于碳排放量與這11個偶數之中的哪一個差距最小，兩者對應標示的范例如下表所

不.

碳排放量碳足跡數據標示

20.2公克20公克

20.8公克20公克

21.0公克20公克或22公克皆可

23.1公克24公克

請根據上述資訊，回答下列問題，并詳細解釋或完整寫出你的解題過程.

（1）若有一個產品的碳足跡數據標示為38公克，則它可能的碳排放量之最小值與最大

值分別為多少公克？

（2）承（1）,當此產品的碳排放量減少為原本的90%時，請求出此產品碳足跡數據標

示的所有可能情形.

【題型9有理數乘除法中的新定義問題】

【例9】（2022?大安市期末）若定義一種新的運算“*”，規定有理數a*6=4",如2*3=

4X2X3=24.

(1)求3*(-4)的值；

(2)求(-2)*(6*3)的值.

【變式9-1]（2022?九龍坡區校級模擬）定義：對于一個兩位自然數，如果它的個位和十

位上的數字均不為零，且它正好等于其個位和十位上的數字的和的〃倍（"為正整數），

我們就說這個自然數是一個。喜數”.例如：24就是一個“4喜數”，因為24=4X（2+4）；

25就不是一個。喜數”，因為就不“（2+5）.

（1）判斷44和72是否是。喜數”？請說明理由；

（2）請求出所有的“7喜數”之和.

【變式9-2]（2022?豐臺區期末）“格子乘法”作為兩個數相乘的一種計算方法，最早在

15世紀由意大利數學家帕喬利提出，在明代數學家程大位著的《算法統宗》一書中被稱

為“鋪地錦”.

例如：如圖1,計算46X71,將乘數46寫在方格上邊，乘數71寫在方格右邊，然后用

乘數46的每位數字乘以乘數71的每位數字，將結果計入相應的方格中，最后沿斜線方

向相加得3266.

（1）如圖2,用“格子乘法”計算兩個兩位數相乘，貝Ux=—,y