專題32三角形壓軸綜合問題（共24題）

一、解答題

1.（2022?青海?中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點

連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.

（1）問題發現：

如圖，若△ABC和AZDE是頂角相等的等腰三角形，BC,OE分別是底邊.求證：BD=CE；

（2）解決問題：如圖，若AACB和ADCE均為等腰直角三角形，乙4cB=NDCE=90。，點A,D,E在同一條

直線上，CM為ADCE中。E邊上的高，連接BE,請判斷/AEB的度數及線段CM,AE,BE之間的數量關

系并說明理由.

2.（2022?遼寧大連?中考真題）綜合與實踐

問題情境：

數學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在△力BC中，。是力B上一點，^ADC=^ACB.求證

/.ACD=乙ABC.

獨立思考：

（1）請解答王老師提出的問題.

實踐探究：

（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.“如圖2,延長C4

至點E,使CE=BD,BE與CD的延長線相交于點F點G,X分別在BF,BC上，BG=CD,乙BGH=

乙BCF.在圖中找出與相等的線段，并證明.”

問題解決：

（3）數學活動小組河學時上述問題進行特殊化研究之后發現，當ABAC=90。時，若給出△力BC中任意兩邊

長，則圖3中所有已經用字母標記的線段長均可求，該小組提出下面的問題，請你解答.“如圖3,在（2）

的條件下，若NB4C=90°,AB=4,AC=2,求的長.”

E

3.(2022?山東青島?中考真題)【圖形定義】

4.有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形.

例如:如圖①.在A4BC和A4BC中,4D,4。分別是BC和8。邊上的高線,且4。=4。,則AZBC和A

49。是等高三角形.

圖①

【性質探究】

如圖①，用S-BC，SM，B，C，分別表示△4BC和的面積.

1-1

則SMBC=￡BCSD,SA4，B，C，=3次廠?4?,

"：AD=A'D'

,,SAABC；SAA'B'c=BC:B'C'.

【性質應用】

(1)如圖②，。是△4BC的邊BC上的一點.若BD=3,DC=4,則另從加下0九=;

(2)如圖③，在AABC中，D,E分別是BC和48邊上的點.若BE:4B=1:2,CD:BC=1:3,S^ABC=1,貝U

S^BEC=----------，S&CDE=---------；

(3)如圖③，在△力BC中，D,E分別是8C和4B邊上的點，若BE:2B=1:m,CD-.BC=l:n,S?ABC=a,則

SRCDE

I.(2022?山東煙臺?中考真題)

C

(1)【問題呈現】如圖1,△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接B。，CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,A4BC和△ADE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE^9Q°.連接BDCE.請

直接寫出胃的值.

CE

(3)【拓展提升】如圖3,AABC和AAOE都是直角三角形，ZABC^ZADE^90°,且工=*=：.連接2。，

BCDE4

CE,

①求?的值；

CE

②延長CE交BO于點R交于點G.求sin/BFC的值.

5.(2022?廣西?中考真題)已知/M0N=a,點A,2分別在射線OM,ON上運動，AB=6.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，若a=90。，取48中點。，點A,B運動時，點。也隨之運動，點A,B,。的對應點分別為

A'.B'.D',連接0。,。。'.判斷與。。'有什么數量關系?證明你的結論：

(2)如圖②，若a=60。，以A3為斜邊在其右側作等腰直角三角形ABC,求點。與點C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點A,B運動到什么位置時，△20B的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

6.(2022?山東濰坊?中考真題)【情境再現】

甲、乙兩個含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點。順

時針旋轉一個銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接如圖③所示,

AB交H0于E,AC交0G于尸，通過證明△OBE三4OAF,可得0E二OF.

請你證明：AG=BH.

/^kE

O0B-----OL

圖①圖②圖③

OB0c

圖④圖⑤

圖⑥

【遷移應用】

延長G4分別交所在直線于點尸，D,如圖④，猜想并證明DG與的位置關系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接如圖⑥

所示，其他條件不變，請你猜想并證明4G與的數量關系.

7.(2022?遼寧錦州?中考真題)在ANBC中，AC=BC,點。在線段AB上，連接CD并延長至點E,使DE=

CD,過點E作EF14B,交直線48于點尺

備用圖

(1)如圖1,若NACB=120。，請用等式表示力C與EF的數量關系：.

(2)如圖2.若NACB=90。，完成以下問題：

①當點。，點P位于點A的異側時，請用等式表示力C,力DDF之間的數量關系，并說明理由;

②當點。，點尸位于點A的同側時，若DF=1,4D=3,請直接寫出AC的長.

8.(2022?北京?中考真題)在△ABC中，^ACB=90°,。為△ABC內一點，連接BD,DC,延長DC到點E,

使得CE=DC.

(1)如圖1,延長BC到點凡使得CF=BC,連接AF,EF,若AF1EF,求證：BD1AF；

(2)連接力E,交BD的延長線于點”，連接CH,依題意補全圖2,^AB2=AE2+BD2,用等式表示線段CD與

CH的數量關系，并證明.

9.（2022?福建?中考真題）已知A4BC三ADEC,AB=AC,AB>BC.

(1)如圖1,CB平分/ACD求證：四邊形A8OC是菱形;

(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于/BAC),BC,的延長線相交于點孔

用等式表示/ACE與/EFC之間的數量關系，并證明；

（3）如圖3,將（1）中的△CZJE繞點C順時針旋轉（旋轉角小于/ABC）,若乙BAD=LBCD,求/ADB的

度數.

10.（2022?山東威海?中考真題）回顧：用數學的思維思考

⑴如圖1,在AABC中，AB=AC.

①BD,CE是△ABC的角平分線.求證：BD=CE.

②點。，E分別是邊AC,AB的中點，連接8。，CE.求證：BD=CE.

（從①②兩題中選擇一題加以證明）

（2）猜想：用數學的眼光觀察

經過做題反思，小明同學認為：在△ABC中，AB^AC,。為邊AC上一動點（不與點A,C重合）.對于點

。在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應的點E,使得BD=CE.進而提出問題：若

點。，E分別運動到邊AC,48的延長線上，8。與CE還相等嗎？請解決下面的問題：

如圖2,在AABC中，AB=AC,點。，E分別在邊AC,AB

的延長線上，請添加一個條件（不再添加新的字母），使得BD=CE,并證明.

（3）探究：用數學的語言表達

如圖3,在AA8C中，AB=AC=2,/A=36。，E為邊AB上任意一點（不與點A,B重合）,尸為邊AC延

長線上一點.判斷BF與CE能否相等.若能，求CP的取值范圍；若不能，說明理由.

11.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在四邊形2BCD中，對角線AC與BD相交于點O,記小。。。的面積為

S「△4。3的面積為52.

（1）問題解決：如圖①，若ABUCD,求證：?=等累

UA-UD

（2）探索推廣：如圖②，若48與CD不平行，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由.

（3）拓展應用：如圖③，在。4上取一點E,使。E=OC,過點E作EF||CD交。D于點尸，點”為4B的中點,

OH交EF于點G,MOG=2GH,若需=|,求，值.

12.(2022?湖北武漢?中考真題)已知CD是△ABC的角平分線，點E,尸分別在邊力C,BC上，AD=m,

BD=n,AADE與ABDF的面積之和為S.

(1)填空：當N4C8=90。，DELAC,DF_LBC時，

①如圖1,若NB=45°,m=5V2,貝胸=,S=；

②如圖2,若NB=60°,m=4A/3,貝！In=,S=；

(2)如圖3,當N4CB=乙EDF=90。時，探究S與小〃的數量關系，并說明理由：

(3)如圖4,當NAC8=60。，Z￡DF=120°,m=6,幾=4時，請直接寫出S的大小.

13.(2022?黑龍江?中考真題)AABC和AADE都是等邊三角形.

(1)將AADE繞點A旋轉到圖①的位置時，連接BD,CE并延長相交于點尸(點尸與點A重合)，有P4+

PB=PC(或P4+PC=P8)成立；請證明.

(2)WAADE繞點A旋轉到圖②的位置時，連接BD,CE相交于點P,連接P4猜想線段尸4、PB、PC之間

有怎樣的數量關系？并加以證明;

(3)將AADE繞點A旋轉到圖③的位置時，連接BD,CE相交于點尸，連接E4,猜想線段尸4、PB、PC之間

有怎樣的數量關系？直接寫出結論，不需要證明.

14.(2022?陜西?中考真題)問題提出

(1)如圖1,4D是等邊△ABC的中線，點尸在力D的延長線上，且力P=4C,貝吐力PC的度數為.

問題探究

(2)如圖2,在△ABC中，CA^CB=6,zC=120°.過點A作AP||8C,S.AP=BC,過點P作直線/IBC,

分別交AB、BC于點。、E,求四邊形。EC4的面積.

問題解決

(3)如圖3,現有一塊AABC型板材，N4CB為鈍角，ABAC=45°.工人師傅想用這塊板材裁出一個△4BP型

部件，并要求NB4P=15°,XP=AC.工人師傅在這塊板材上的作法如下：

①以點C為圓心，以C4長為半徑畫弧，交AB于點。，連接CD；

②作CD的垂直平分線/,與CD于點E；

③以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧，交直線/于點尸，連接BP,得AABP.

請問，若按上述作法，裁得的AABP型部件是否符合要求？請證明你的結論.

15.（2022.湖南岳陽?中考真題）如圖,A4BC和的頂點B重合,/.ABC=^DBE=90°,/.BAC=

乙BDE=30°,BC=3,BE=2.

EC

圖1圖2

圖3

(1)特例發現：如圖1，當點D，E分別在AB,BC上時，可以得出結論：第=______,直線力D與直線CE的位

CE

置關系是;

(2)探究證明：如圖2,將圖1中的ADBE繞點B順時針旋轉，使點。恰好落在線段力C上，連接EC,(1)中

的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)拓展運用：如圖3,將圖1中的ADBE繞點B順時針旋轉a(19。<a<60。)，連接力。、EC,它們的延長線

交于點F,當DF=BE時，求tan(60°-a)的值.

16.（2022?湖北十堰?中考真題）己知N2BN=90。，在乙4BN內部作等腰△ABC,ABAC,Z.BAC=

a（0°<a<90°）.點。為射線BN上任意一點（與點B不重合），連接4D,將線段2D繞點4逆時針旋轉a得到

線段4E,連接EC并延長交射線BN于點F.

（1）如圖1,當a=90。時，線段BF與CF的數量關系是；

（2）如圖2,當0。<。<90。時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）若a=60。，AB=4V3，BD=m,過點E作EP1BN,垂足為P,請直接寫出PC的長（用含有加的式子表

示）.

17.（2022.湖南湘潭?中考真題）在△力BC中，N8AC=90。，AB=AC,直線1經過點4,過點B、C分別作1

的垂線，垂足分別為點。、E.

（1）特例體驗：

如圖①，若直線"BC,AB=AC=五,分別求出線段BD、CE和。E的長；

（2）規律探究：

①如圖②，若直線Z從圖①狀態開始繞點4旋轉a（0<a<45。），請探究線段BD、CE和DE的數量關系并說明

理由；

②如圖③，若直線Z從圖①狀態開始繞點A順時針旋轉a（45o<a<90。），與線段BC相交于點H,請再探線段

BD、CE和DE的數量關系并說明理由；

⑶嘗試應用：

在圖③中，延長線段BD交線段4C于點F,若CE=3,DE=1,求SABFC-

18.（2022.江蘇揚州.中考真題）如圖1,在A2BC中,NB4C=90。,NC=60。，點。在BC邊上由點C向點B運

動（不與點B、C重合），過點。作DE1AD,交射線4B于點E.

（1）分別探索以下兩種特殊情形時線段4E與BE的數量關系，并說明理由;

①點E在線段4B的延長線上且BE=BD-,

②點E在線段4B上且E8=ED.

⑵若4B=6.

①當匹=3時，求AE的長；

AD2

②直接寫出運動過程中線段4E長度的最小值.

19.（2022?河北?中考真題）如圖，四邊形48CD中，AD^BC,/A8C=90。，NC=30。，A￡）=3,AB=

2V3,OHLBC于點將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內，使點尸與A重合，點3在上,

其中/。=90°,ZQPM=30°,PM=4V3.

（1）求證：4PQM"ACHD；

（2）APQW從圖1的位置出發，先沿著BC方向向右平移（圖2）,當點尸到達點。后立刻繞點。逆時針旋

轉（圖3）,當邊旋轉50。時停止.

①邊尸。從平移開始，到繞點。旋轉結束，求邊尸。掃過的面積；

②如圖2,點K在8月上，且BK=9-4百.若△尸。/右移的速度為每秒1個單位長，繞點。旋轉的速度

為每秒5。，求點K在△PQW區域（含邊界）內的時長；

③如圖3.在APQM旋轉過程中，設尸。，PM分別交BC于點E,F,若BE=d,直接寫出C尸的長（用含d

的式子表示）.

20.（2022?山西?中考真題）綜合與實踐

問題情境：在此反48。中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板即尸中NEr>E=90。，將三角板的直角頂

點。放在MAABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點。旋轉，三角板的兩邊。E,。尸分別與邊AB,AC交

于點M,N,猜想證明：

（1）如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊的中點時，試判斷四邊形AMON的形狀，并說明理由;

問題解決：

（2）如圖②，在三角板旋轉過程中，當=時，求線段CN的長；

（3）如圖③，在三角板旋轉過程中，當時，直接寫出線段AN的長.

21.（2022?湖北武漢?中考真題）問題提出：如圖（1）,△ABC中，AB=AC,D是4c的中點，延長BC至點

E,使DE=OB,延長ED交48于點尸，探究空的值.

（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當NB4C=60。時，直接寫出黑的值；

（2）再探究一般情形.如圖（1）,證明（1）中的結論仍然成立.

問題拓展：如圖⑶，在AABC中，AB^AC,。是AC的中點，G是邊BC上一點，||=；5<2）,延長BC

至點E,使DE=DG,延長ED交AB于點F.直接寫出笠的值（用含n的式子表示）.

AB

22.（2022.江西?中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大

的直角三角板PEF（NP=90。,4尸=60。）的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點。逆時針旋轉，探究直角

三角板PEF與正方形2BCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

ADADADA_________D

7H

\L7dHo（F）LOF（F）

\

E

圖一圖二圖三備用圖

⑴操作發現：如圖1,若將三角板的頂點尸放在點。處，在旋轉過程中，當。F與。B重合時，重疊部分的面

積為__________；當。F與BC垂直時，重疊部分的面積為一_________;一般地，若正方形面積為S,在旋轉

過程中，重疊部分的面積Si與S的關系為；

（2）類比探究：若將三角板的頂點尸放在點。處，在旋轉過程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點M,N.

①如圖2,當=時，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；

②如圖3,當CM=CN時，求重疊部分四邊形。MCN的面積（結果保留根號）；

（3）拓展應用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心。處，該銳角記為NGO”（設NGOH=a）,將

NGOH繞點。逆時針旋轉，在旋轉過程中，NGOH的兩邊與正方形4BCD的邊所圍成的圖形的面積為S2,請直

接寫出S2的最小值與最大值（分別用含a的式子表示），

（參考數據：sinl5。=歷-巴cosl5。=恒史,tanl5。—2—V3）

44

23.（2022.重慶?中考真題）在△ABC中，ABAC=90°,AB=AC=2,。為BC的中點，E,歹分別為AC,

4。上任意一點，連接EF,將線段EF繞點E順時針旋轉90。得到線段EG,連接FG,AG.

（2）如圖2,EF的延長線交4B于點點N在AC上，NAGN=/AEG且GN=求證：AM+AF^2AE；

（3汝口圖3,尸為線段力。上一動點，E為AC的中點，連接BE,?為直線BC上一動點，連接EH,將△BEH沿

翻折至△ABC所在平面內，得到△B'EH,連接B'G,直接寫出線段B'G的長度的最小值.

24.（2022?浙江寧波?中考真題）

（1）如圖1,在AABC中，D,E,尸分別為力B,AC,BC上的點，DE^BC.BF=CF.AF^DE^-^G,求證：

DG=EG.

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接CD,CG.若CG，DE,CD=6,4E=3,求翌的值.

DC

（3）如圖3,在13aBe。中，乙4。。=45。,4。與30交于點0,E為4。上一點，EG"。交4。于點G,EF1EG交

BC于點尸.若NEGF=40°,FG平分=10,求BF的長.

專題32三角形壓軸綜合問題（共24題）解析版

一、解答題

1.（2022.青海?中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點

連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.

⑴問題發現：

如圖，若A4BC和AADE是頂角相等的等腰三角形，BC,DE分別是底邊.求證：BD=CE；

（2）解決問題：如圖，若AACB和ADCE均為等腰直角三角形，N4CB=ADCE=90。，點A,D,E在同一條

直線上，CM為ADCE中。E邊上的高，連接BE,請判斷的度數及線段CM,AE,BE之間的數量關

系并說明理由.

【答案】（1）見解析

Q）乙DCE=90°；AE=AD+DE=BE+2CM

【解析】

（1）先判斷出N5W=/C4E,進而利用SAS判斷出"ADg△CAE,即可得出結論；

（2）同（1）的方法判斷出ABA。也得出AD=BE,NADC=NBEC,最后用角的差，即可得出結論.

（1）

證明：ABC和△力DE是頂角相等的等腰三角形，

：.AB=AC,AD=AE,Z.BAC=Z.DAE,

：.^BAC-^CAD=乙DAE-ACAD,

：.^BAD=/.CAE.

在△BAD和△CAE中，

-AB=AC

乙BAD=Z-CAE，

.AD=AE

：.△BADCAE{SAS）,

：.BD=CE.

⑵

解：AAEB=90°,AE=BE+2CM,

理由如下：由（1）的方法得，4ACDm4BCE,

：.AD=BE,乙ADC=^BEC,

,:△CDE是等腰直角三角形，

：.Z.CDE=乙CED=45°,

：.Z.ADC=180°-Z.CDE=135°,

"BEC=/-ADC=135°,

：.^AEB=乙BEC-Z-CED=135°-45°=90°.

VCD=CE,CM1DE,

：.DM=ME.

■:乙DCE=90°,

：.DM=ME=CM,

：.DE=2CM.

：.AE=AD+DE=BE+2CM.

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角

三角形的性質，判斷出△ACD之△BCE是解本題的關鍵.

2.（2022.遼寧大連.中考真題）綜合與實踐

問題情境：

數學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在中，。是上一點，Z.ADC=Z-ACB.求證

Z-ACD=Z.ABC.

獨立思考：

（1）請解答王老師提出的問題.

實踐探究：

（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.“如圖2,延長C4

至點E,使=BE與CD的延長線相交于點F點G,X分別在BF,BC上，BG=CD,乙BGH=

乙BCF.在圖中找出與相等的線段，并證明.”

問題解決：

（3）數學活動小組河學時上述問題進行特殊化研究之后發現，當NR4c=90。時，若給出△48C中任意兩邊

長，則圖3中所有已經用字母標記的線段長均可求，該小組提出下面的問題，請你解答.“如圖3,在（2）

的條件下，若NB4C=90°,AB=4,AC=2,求的長.”

【解析】

（1）利用三角形的內角和定理可得答案；

（2）如圖，在8C上截取BN=CF,證明ACEF三ABON,再證明EF=DN,NEFC=NDNB,證明△GHBmA

CND,可得BH=DN,從而可得結論；

(3)如圖，在8c上截取BN=CF,同理可得：BH=DN=EF,利用勾股定理先求解BC=70+4?=2西,

證明△40C-AACB,可得AD=1,CD=V5,可得BG=CD=小,證明△BGHBCF,可得BF=2BH,而

EF=GH,可得BE=3BH,再利用勾股定理求解BE,即可得到答案.

【詳解】

證明：(1)-??^ADC=/.ACB,ZX=/.A,

而N4C0=180°-44一/.ADC,乙ABC=180°-Z.A-/.ACB,

???Z-ACD=Z.ABC,

(2)BH=EF,理由如下：

如圖，在3。上截取BN=CF,

BD=CE,Z,ACD=Z-ABC,

CEF=△BDN,

??.EF=DN/EFC=乙DNB,

???乙BGH=乙BCF,乙GBN=乙FBC,

???(BHG=乙BFC,

9：Z.EFC=Z.BND,

???乙BFC=乙DNC,

LBHG=Z.DNC,

YBG=CD,

C.LGHB=△CNDf

??.BH=DNf

??.BH=EF.

(3)如圖，在BC上截取BN=CF,

同理可得：BH=DN=EF,

AC=2,AB=4fZ,BAC=90。，

BC=V22+42=2V5,

Z-DAC=Z-BAC,Z-ACD=Z-ABC,

△ADCsxACB,

AD_AC_CD

AC~AB~BC'

AD_2_CD

2.4-2/

AD=1,CD=V5,

BG=CD=V5,

?.乙GBH=乙FBC,乙BGH=乙BCF,

BGHBCF,

.BG_GH_BH__V5__1

''BC-CF~BF~2V5-2’

BF=2BH,而EF=GH,

BE=3BH,

???AB=4fAD=lfBD=CEf

.?.BD=CE=3,

：.AE=3-2=1,而NBZE=/-BAG=90。，

BE=y/AB2+AE2=V17,

V17

BH=——.

3

【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，相似三角

形的判定與性質，作出適當的輔助線構建全等三角形是解本題的關鍵.

3.(2022?山東青島?中考真題)【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形.

例如:如圖①.在A4BC和△ABC中,40,40'分別是BC和81'邊上的高線,且4。=4。,則A28C和A

48'C'是等高三角形.

圖①圖②圖③

【性質探究】

如圖①，用S-BC，分別表示AABC和的面積.

則SAABC=[BCSD,S”，B，C，=1B'CJ4D',

"：AD=A'D'

,*S4ABC：SAA'B'G=BC：B'C.

【性質應用】

(1)如圖②，。是A/IBC的邊BC上的一點.若BD=3,DC=4,貝"-BD：$”比=；

(2)如圖③，在AABC中，D,￡分別是BC和4B邊上的點.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S^ABC=1,則

S^BEC=>S"CDE

(3)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和邊上的點，若BE:4B=1:M,CD-.BC=l:n,S^ABC=a,則

S^CDE-...................

【答案】(1)3:4

⑵也：

⑶amn

【解析】

1由圖可知A/IBD和ANDC是等高三角形，然后根據等高三角形的性質即可得到答案;

(2)根據BEMB=1:2,S-BC=1和等高三角形的性質可求得〃BEC，然后根據CD:BC=1:3和等高三角形

的性質可求得〃CDE；

(3)根據BE:4B=1:巾，S-BC=a和等高三角形的性質可求得SABEC,然后根據CD:BC=1:n,和等高

三角形的性質可求得S“DE-

(1)

解：如圖，過點A作AELBC,

則SAABD=\BD-AE,SAADC=\DC-AE

"：AE=AE,

**?^LABD:^^ADC=BD:DC=3:4.

(2)

解：??,△8￡77和4/8。是等高三角形，

,?S〉BEC：S2ABe=BE：AB=1:2,

:,S^BEC=5s△ARC=5乂1=3；

,.,△cmOABEC是等高三角形,

??S&CDE：S^BEC—CD:BC=1:3,

??S^cDE=gS^BEC—3X2=6,

(3)

解：:△BEC和△48C是等高三角形,

。*SkBEc：S〉ABc=BE:AB=1:m,

：'S^BEC=5s—BC=AXa=*

,?△。。石和仆BEC是等高三角形,

?，S^CDE：S^BEC=CD:BC=1:n,

?s_1r*_1。__a

■■^CDE=~^ABEC=-X.

【點睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質以及應用性質解題，熟練掌握等高三角形的性質并能靈活

運用是解題的關鍵.

4.(2022?山東煙臺?中考真題)

圖1圖2圖3

(1)【問題呈現】如圖1,△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BO,CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,△ABC和△AZJE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=9Q°.連接BDCE.請

直接寫出差的值.

CE

(3)【拓展提升】如圖3,AABC和AAOE都是直角三角形，ZABC^ZADE^90°,且震=磐=不連接瓦),

BCDE4

CE.

①求穿的值；

CE

②延長CE交8。于點四交AB于點G.求sin/BFC的值.

【答案】(1)見解析

⑵中

(3)①|；

【解析】

(1)證明ABA。絲△抽￡,從而得出結論；

(2)證明AMDs△CAE,進而得出結果；

(3)①先證明再證得進而得出結果；

②在①的基礎上得出NACE=/AB。，進而/BFC=/BAC,進一步得出結果.

(1)

證明：:△ABC和AAOE都是等邊三角形，

J.AD^AE,AB=AC,ZDAE^ZBAC^60°,

：.ZDAE-NBAE=ZBAC-ZBAE,

：.ZBAD=ZCAE,

.?.△BAZ涇△CAE(SAS),

:.BD=CE；

(2)

解：：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

?潦=胎=/，ZDAE=ZBAC=45^,

???ZDAE-/BAE=ZBAC-NBAE,

：.ZBAD=ZCAE,

：.ABAD^ACAE,

BD_AB_1_四.

''CE~AC~\[2~2，

(3)

解：①笆=絲=三，/ABC=/ADE=90°,

ACDE4

JAABC^AADE,

3

：AB_AD

.ZBAC=ZDAE,AC-AE5’

：.ZCAE=ZBADf

：.ACAE^ABAD,

.BD_AD_3

"CE-IE-5；

②由①得：△CAEsABAD,

：.ZACE=ZABD,

ZAGC=/BGF,

：.ZBFC=ZBAC,

RC4

：.sinZBFC=-=-.

AC5

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解決

問題的關鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形.

5.(2022?廣西?中考真題)已知NMON=a，點A,8分別在射線OM,ON上運動，AB=6.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，若a=90。，取48中點。，點A,8運動時，點。也隨之運動，點A,B,。的對應點分別為

A'.B'.D',連接。。,。》.判斷OD與。。有什么數量關系?證明你的結論：

(2)如圖②，若a=60。，以A3為斜邊在其右側作等腰直角三角形ABC,求點。與點C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點A,2運動到什么位置時，△40B的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

【答案】(1)0。=OD',證明見解析

(2)373+3

(3)當。4=OB時，△408的面積最大；理由見解析，△NOB面積的最大值為9企+9

【解析】

(1)根據“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得OD'=^A'B',進而得出結論；

(2)作AAOB的外接圓/,連接C7并延長，分別交。/于。和。，當。運動到。時，OC最大，求出C。和

等邊三角形&。方上的高。力，進而求得結果；

(3)作等腰直角三角形A/8,以/為圓心，4為半徑作。/,取A8的中點C,連接C/并延長交。/于。，此

時AAOB的面積最大，進一步求得結果.

(3)以為斜邊在其右側作等腰直角三角形4BC,連接。C交A8于點T,在OT上取點E,使OE=BE,

連接BE,由(2)可知，當。C14B時，OC最大，當。力=0B時，此時。T最大，即△力0B的面積最大，由

勾股定理等進行求解即可.

(1)

解：0D=0D\證明如下：

???/-AOB=a=90°,AB中點為D,

1

???OD=-AB

29

???O'為4B'的中點，^AfOBr=a=90°,

???0Dr=-AfBr,

2

vAB=AB',

???OD=。。'；

(2)

解：如圖1,

作AAOB的外接圓/,連接C/并延長，分別交。/于。，和。，

當。運動到O'時，OC最大，

此時AAOB是等邊三角形，

：.BO'=AB=6,

OC段MO=CD+￡>O=/B+爭。=3+3百；

（3）

解：如圖2,作等腰直角三角形A/B,以/為圓心，A/為半徑作。/,

圖2

：.AI=^AB=3y[2,ZAOB=-ZAIB^45°,

22

則點。在。/上，取AB的中點C,連接C7并延長交。/于O,

此時AAOB的面積最大，

"?OC=C/+O7=|AB+3V2=3+3V2,

?.S^AOB賽焉x6x（3+3或）=9+9&.

【點睛】本題考查了直角三角形性質，等腰三角形性質，確定圓的條件等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握

“定弦對定角”的模型.

6.（2022?山東濰坊?中考真題）【情境再現】

甲、乙兩個含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點。順

時針旋轉一個銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接如圖③所示,

AB交H0于E,2C交0G于凡通過證明△。8￡1三△04F,可得。E=。尸.

請你證明：AG=BH.

圖①圖②圖③

【遷移應用】

延長G4分別交HO,HB所在直線于點P,D,如圖④，猜想并證明DG與的位置關系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接如圖⑥所示,

其他條件不變，請你猜想并證明4G與的數量關系.

【答案】證明見解析；垂直；BH=WAG

【解析】

證明△B0HWA40G,即可得出結論；通過N8H0=N2G。，可以求出NOGH+NBH。+NOHG=90。，得出

結論力GIB”；證明△BOHsAAOG,得出竺="=3，得出結論；

BH