云南省文山州2024-2025學年度高二上學期期末數學試卷【含解析】

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的）

1.（5分）已知集合4=住*-2x-8<0},B=[-2,0,1,3},則AC8=（）

A.{0,1}B.{-2,0,1}C.{0,1,3}D.{-2,0,1,3}

2.（5分）已知復數z滿足z?-2iz-1=0,貝舊=（）

A.-1B.1C.iD.-i

3.（5分）拋物線y=2f的焦點坐標是（)

1111

A.(-,0)B.(-,0)C.(0,-)D.(0,-)

2484

—>

4.（5分）在空間直角坐標系中，已知向量日=(3,2/2—m),b==(jYt,9,—3),若alb,則m=()

A.-2B.2C.4D.-4

5.（5分）若雙曲線彳=1Q>0,b>0）的實軸長為4,焦距為48，則該雙曲線的漸近線方程為

a2

（）

A.y=±2xB.y=+V2xC.y=+2xD.y=±~2-x

((a—2)%+5,x<l,

6.(5分)已知/(%)=在（-8,+8）上滿足“久1）一"'2）〈0,則實數〃的取值

2

1—a%+%,x>1xr-x2

范圍為（）

122

A.（0,2）B.2)C./2)D.&2)

7.（5分）已知長方體ABC。-AIBICLDI的體積為16,且A4i=2,則長方體ABC。-外接球表

面積的最小值為（）

20V5160V5

A.-------7TB.---------7TC.20nD.lOOn

33

8.（5分）已知點。（0,0）,點尸滿足|尸。|=1,則點尸到直線x-my-3=0的距離的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符

合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分）

（多選）9.（6分）某學校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該校共有2000名同學,

每名同學依據自己興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗

誦社團的同學有8名，參加太極拳社團的同學有12名，則（）

A.這五個社團的總人數為100

B.脫口秀社團的人數占五個社團總人數的20%

C.這五個社團總人數占該校學生人數的5%

D.從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為45%

22

（多選）10.（6分）已知圓Ci：/+尸=1,C2;（x-3）+（y-3）=?（r>0）,則下列說法正確的是（）

A.當r=1時，圓。與圓C2有2條公切線

B.當r=2時，>=1是圓Ci與圓C2的一條公切線

C.當廠=3時，圓Ci與圓C2相離

D.當r=4時，圓Ci與圓C2的公共弦所在直線的方程為y=-x+1

（多選）11.（6分）已知拋物線C：/=4x的焦點為R準線為/,過點F的直線與拋物線交于P（犯，”），

Q（X2,y2）兩點，點P在/上的射影為Pi,點。為坐標原點，則下列說法正確的是（）

A.過點M（0,1）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有3條

B.以尸。為直徑的圓與x=0相切

C.設M（0,1）,則|PM|+|PPi|2a

D.若|尸。|=8,則△0尸。的面積為2夜

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.（5分）已知平面a過點O（0,0,0）,A（2,2,0）,B（0,-1,2）三點，直線/與平面a垂直.則

直線/的一個方向向量的坐標可以是.

13.（5分）將函數y=cos（2x-看）的圖象向右平移s（0q〈今個單位長度后，所得函數為奇函數，則隼

14.（10分）1911年5月，歐內斯特?盧瑟福在《哲學》雜志上發表論文.在這箭論文中，他描述了用a

粒子轟擊0.000045厚的金箔時拍攝到的運動情況.在進行這個實驗之前，盧瑟福希望a粒子能夠通過

金箔，就像子彈穿過雪一樣，事實上，有極小一部分a粒子從金箔工反彈.如圖2顯示了盧瑟福實驗

中偏轉的a粒子遵循雙曲線一支的路徑，則該雙曲線的離心率為；如果a粒子的

路徑經過點(20,10),則該粒子路徑的頂點距雙曲線的中心cm.

四、解答題(共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

15.在銳角△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，已知1-cos2A=4sinAsinBsinC.

(2)若a=4,求△ABC的面積.

16.已知點A是圓C：(x-2)2+(y-2)2=4與y軸的公共點，點2是圓C上到x軸距離最大的點.

(1)求直線的方程；

(2)求經過A,B兩點，且圓心在直線y=2x-5上的圓的標準方程.

17.已知函數/(x)=4X-a-2x.

(1)當a=2時，求/(x)在［-2,2］上的最值；

(2)設函數g(尤)=fCx)+f(-x),若g(x)存在最小值-8,求實數a的值.

18.如圖，已知在四棱柱4BCO-431C1D1中，底面A3CD為梯形，AB//CD,底面ABCD,AD±

AB,其中AB=AAi=2,AD=DC=1,E是BiCi的中點，尸是。5的中點.

(1)求證：。歸〃平面CNB

(2)求平面CB/與平面BBiCiC夾角的余弦值；

(3)求點A到平面CB1P的距離.

x2y21

19.已知橢圓C-+-=1(?>Z，>0)的離心率為丁其中一個焦點的坐標為(1,0).

(1)求C的方程；

(2)過左焦點的直線交C于A,B兩點，點P在C上.

(z)若4曲的重心G為坐標原點，求直線AB的方程；

5)若的重心G在x軸上，求G的橫坐標的取值范圍.

參考答案與試題解析

題號12345678

答案CDCABBCD

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的)

1.(5分)已知集合4={4?-2x-8<0},B={-2,0,1,3},貝l]ACB=()

A.{0,1}B.{-2,0,1}C.{0,1,3}D.{-2,0,1,3}

【分析】先解一元二次不等式得集合A,再求交集即得.

【解答】解：集合4={尤|/-2x-8<0}={x|-2<尤<4},B={-2,0,1,3),

則An8={0,1,3).

故選：C.

【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

2.(5分)已知復數z滿足z2—1=0,貝吃=()

A.-1B.1C.iD.-i

【分析】化簡z2-2iz-1=0可得z=i,再由共軌復數的定義即可得出答案.

【解答】解：z2-2iz-1=7-2Z'Z+Z2=(Z-i)2=0,解得z=i,

由共軌復數的定義可知，z=-i.

故選：D.

【點評】本題主要考查復數的四則運算，以及共朝復數的定義，屬于基礎題.

3.(5分)拋物線y=2f的焦點坐標是()

1111

A.(一，0)B.0)C.(0,-)D.(0,-)

2484

【分析】直接利用拋物線的簡單性質寫出結果即可.

【解答】解：拋物線y=2f,化為/=%

它的焦點坐標為：(0,

8

故選：C.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，是基礎題.

4.(5分)在空間直角坐標系中，已知向量展=(3,2,2-m),b=(m,9,一3),若發1b,則機=()

A.-2B.2C.4D.-4

【分析】利用向量數量積的坐標表示解方程可得結果.

TT->一

【解答】解：由a1b可得a-h=0,

因為向量Q=(3，2,2—171),b=(m,9,—3),

所以1?7=3機+2X9-3(2-m)=0,

解得m=-2.

故選：A.

【點評】本題主要考查了空間向量的數量積運算，屬于基礎題.

Y27—

5.(5分)若雙曲線9=1(a>0,。>0)的實軸長為4,焦距為4次，則該雙曲線的漸近線方程為

azbz

()

A.y=+lxB.y=±V2xC.y=±^xD.y=±苧X

【分析】根據實軸長以及焦距可得a=2,c=2痘,計算可得b=2&,再由漸近線方程的形式即可求

得結果.

【解答】解:實軸長為4,則2a=4,；.a=2,

焦距為4百，A2C=4V3,Ac=2V3；

.'.b2=c2-a2=12-4=8,.,.b=2V2；

漸近線方程y==±V2x.

故選：B.

【點評】本題考查雙曲線的性質，屬于基礎題.

6.(5分)已知/(久)=[6—2)"+5'x<1,在(-8,+8)上滿足“久1)一”—)V0,則實數。的取值

2

l-ax+x,x>1x1-x2

范圍為()

122

A.(0,2)B.陵，2)C.島2)D.導2)

【分析】由分段函數的單調性結合二次函數和一次函數的單調性求解即可.

【解答】解：由f(x)=[("j)x+5,"〈I，在(一8,+8)上滿足3二色2〈0,

i—ax2+x,x>1xi~%2

可得了（X）在（-8,+OO）上單調遞減,

%—2Vo

所以7，解得;Wa<2;

12

—2d

—2+5>—a+1

即實數a的取值范圍為g，2）.

故選：B.

【點評】本題主要考查了函數單調性定義，還考查了分段函數單調性的應用，屬于中檔題.

7.（5分）已知長方體A3CD-4BICLDI的體積為16,且A4i=2,則長方體ABCD-AWCLDI外接球表

面積的最小值為（）

20^5160V5

A.-------nB.---------nC.20irD.100n

33

【分析】設AB=〃，AD=b,由柱體的體積可得。》=8,長方體A5CZ）-4囪。1。1外接球的半徑為丁=

/十￡+4,由基本不等式求出廠的最小值即可求出外接球表面積的最小值.

【解答】解：設AD=b,又44i=2,

，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為2必=16,：.ab=8,

長方體ABCD-AiBiCiDi外接球的直徑2r即為長方體的體對角線，

/.2r=Va2+b2+4,

當且僅當a=b=2加時取等，.,.樂1配=逐，

長方體ABC。-AiBiCiDi外接球表面積的最小值為4nr=207t.

【點評】本題考查長方體的外接球，重要不等式的應用，屬中檔題.

8.（5分）已知點。（0,0）,點尸滿足|尸。|=1,則點P到直線x-歿-3=0的距離的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由題意知，點尸的軌跡為以點。為圓心，半徑為1的圓，直線/：沙-3=0經過定點（3,

0）,結合圖形可得，當且僅當Lx軸時，點P到直線x-my-3=0的距離最大，即可求得.

【解答】解：如圖，因點尸滿足1Poi=1,則點尸的軌跡為以點。為圓心，半徑為1的圓，

又直線/：尤--3=0經過定點（3,0）,

由圖知，要使點尸到直線尤-沖-3=0的距離最大，只需使圓心。到直線/的距離最大，（理由：過點

A（3,0）另作一條直線出過點。作OELni于點E,

在RtA4E。中顯然有|04|>|0E|,故當且僅當Lx軸時，點。到直線x-my-3=0的距離最大）.

即當且僅當軸時，點P到直線x-my-3=0的距離最大，為3+1=4.

故選：D.

【點評】本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系的應用，是中檔題.

二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符

合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

（多選）9.（6分）某學校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該校共有2000名同學,

每名同學依據自己興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗

誦社團的同學有8名，參加太極拳社團的同學有12名，則（）

A.這五個社團的總人數為100

B.脫口秀社團的人數占五個社團總人數的20%

C.這五個社團總人數占該校學生人數的5%

D.從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為45%

【分析】根據朗誦社團的人數及其占比可計算出五個社團的總人數為80,即A錯誤，

再根據太極拳社團的人數計算出其占比，可得脫口秀社團的人數占五個社團總人數的20%,即2正確，

利用該校總人數可得C錯誤，

由古典概型概率計算公式可得D正確.

【解答】解：A項，參加朗誦社團的同學有8名，占比為10%,...這五個社團的總人數為：8?10%=

80人，故A項錯誤，

8項，太極拳社團的同學有12名，占比為：12+80=15%,

.??脫口秀社團的人數占五個社團總人數的1-30%-10%-25%-15%=20%,故8項正確，

C項，該校共有2000名，.?.這五個社團總人數占該校學生人數的80+2000=4%,故C項錯誤，

。項，脫口秀社團共有80X20%=16人，舞蹈社團共有80X25%=20人，兩社團共有36人，

從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為36+80=45%,故。項正確.

故選：BD.

【點評】本題考查了隨機抽樣，屬于基礎題.

(多選)10.(6分)已知圓Ci：/+，=1,C2：(x-3)2+(y-3)2=Ar>0),則下列說法正確的是()

A.當r=l時，圓Ci與圓C2有2條公切線

B.當廠=2時，>=1是圓Ci與圓C2的一條公切線

C.當廠=3時，圓Ci與圓C2相離

D.當r=4時，圓Ci與圓C2的公共弦所在直線的方程為y=-x+1

【分析】根據兩圓圓心距與半徑間的關系判斷各項中圓C1與圓C2的位置關系，結合點線距離與半徑的

大小關系判斷直線與圓的關系，相交情況下兩圓方程相減求得公共弦所在直線的方程.

【解答】解：由圓Ci：/+y=1,圓心Ci(0,0),半徑n=l,

圓C2：(%-3)2+(j-3)2=r(r>0),圓心C2(3,3),半徑廠；

故兩圓圓心距為IQC2I=3V2,

對于選項A,當廠=1時，IQCJ=3V2>r+1,此時兩圓相離，故圓Ci與圓C2有4條公切線，即A

選項錯誤；

對于選項B,當廠=2時，y=l是圓G的切線，

又圓心C2(3,3)到y=l的距離為"=2=r,即圓C2與y=l相切，

所以y=l是圓Ci與圓C2的一條公切線，即B選項正確；

對于選項C,當廠=3時，IQC2I=3VI>4=r+l,此時圓Ci與圓C2相離，即C選項正確；

對于選項。，當廠=4時，4-1=3<|CIC2|<5=4+1,此時圓。與圓C2相交，

將兩圓方程相減可得2x+2y-1=0,即圓Ci與圓C2的公共弦所在直線的方程為y=-尤+,即。選項

錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查圓與圓的位置關系的判斷與應用，是中檔題.

（多選）11.（6分）已知拋物線C：，二標的焦點為尸，準線為/,過點尸的直線與拋物線交于P（xi，刀），

Q（X2,以）兩點，點P在/上的射影為尸1,點。為坐標原點，則下列說法正確的是（）

A.過點M（0,1）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有3條

B.以尸。為直徑的圓與x=0相切

C.設>（0,1）,則|PM|+|PPi|2a

D.若|尸。|=8,則△。尸。的面積為2企

【分析】分別求出過點M（0,1）與拋物線相切以及斜率為0的直線，即可判斷A;根據拋物線定義和

梯形中位線性質求得INN/=3|PQ|,即可判斷B；由拋物線定義可知|PPi|=|PF|,利用三點共線求距離

之和最小值，即可判斷C,設尸。的直線方程與拋物線聯立，利用韋達定理和弦長公式求解，即可判斷

D.

【解答】解：對于4由拋物線性質知，

過點M（0,1）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線必有尤=0,y=l,

當直線斜率存在時.，可設直線方程為>=丘+1,

當直線與拋物線C相切時，有且僅有一個公共點，

聯立P2="：+1，化簡：必/+⑵-4）x+l=0,

所以△=（2%-4）2-4狂=0,解得：k=l,所以切線方程為y=x+l,

綜上可知，過點M（0,1）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有3條，故A正確;

對于3,如圖，設點。在/上的射影為Qi,取尸Q的中點為N,PiQi的中點為Ni,

由拋物線定義可知I尸尸i|+|Q0|=|PF|+|Qf]=|PQ|；

11

在梯形尸尸1QQ中,有INN/=*(|PPi|+|QQi|)=抑Q|,

所以以尸。為直徑的圓與準線相切，切點為Ni,故3錯誤；

對于C易知/（1,0）,由拋物線定義可知|P尸i|=|尸F|,所以IPM+IP尸11=1尸盟+平川，

當P,F,M三點共線時，有最小值為|MF|=&,

所以|PM|+|PR|NVL故C正確；

對于設尸Q的方程為工=加>1,設P（xi,yi）,Q（電”），

聯立｛“2二之+1，化簡『-4my-4=0,可得△=（4m）2+16>0,因此加W0,

所以"+"=4機，yiy2=-4,

所以|PQI=41+形J（乃+丫2）2—4yly2=Vl+m27（4m）2+16

=4（1+m2）=8,

解得：m=±l,

V2

又到直線的距離為

0PQd=，

22

A1+m

所以SAOPQ=；x￥x8=2a,故￡）正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查了拋物線的性質及直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.（5分）已知平面a過點。（0,0,0）,A（2,2,0）,B（0,-1,2）三點，直線/與平面a垂直.則

直線/的一個方向向量的坐標可以是（-2,2,1）（答案不唯一）.

【分析】根據平面法向量的求法求出一個法向量7=（-2,2,1）,即可得出直線/的一個方向向量.

【解答】解：平面a過點O(0,0,0),A(2,2,0),B(0,-1,2)三點,

—>—>

所以。4=(2,2,0),0B=(0,-1,2),

可設平面a的一個法向量為￡=（%,y,z）,

可得出三=0,^x+2y=o令y=2,可得x=-2,z=l；

CDnl—y+ZZ—U

10B-n=0）

所以蔡=（—2,2,1）；

因為直線/與平面a垂直，所以直線/的一個方向向量與￡=（-2,2,1）共線，

所以直線/的一個方向向量的坐標可以是（-2,2,1）.

故答案為：（-2,2,1）（答案不唯一）.

【點評】本題考查平面的法向量的求法，屬于基礎題.

13.（5分）將函數y=cos（2x-看）的圖象向右平移s（0q＜芻個單位長度后，所得函數為奇函數，則隼

71

——6—.

【分析】根據平移規則可得平移后的解析式，再利用奇偶性以及0V?V狎可得W屋.

【解答】解：函數y=cos（2x一看）的圖象向右平移＜p個單位以后可得y=cos（2x一2（p一看）；

即）/=cos（2%—2。一看）為奇函數，因此可得一2。一曰=*+ATT,kEZ,即0=—5一號兀，kEZ；

又0VW〈］，可知當％=7時，9=看符合題意.

n

故答案為：

6

【點評】本題考查了平移的變換，三角函數的誘導公式，奇函數的定義，是基礎題.

14.（10分）1911年5月，歐內斯特?盧瑟福在《哲學》雜志上發表論文.在這箭論文中，他描述了用a

粒子轟擊0.00004^/7厚的金箔時拍攝到的運動情況.在進行這個實驗之前，盧瑟福希望a粒子能夠通過

金箔，就像子彈穿過雪一樣，事實上，有極小一部分a粒子從金箔工反彈.如圖2顯示了盧瑟福實驗

中偏轉的a粒子遵循雙曲線一支的路徑，則該雙曲線的離心率為_VI_；如果a粒子的路徑經過點（20,

10）,則該粒子路徑的頂點距雙曲線的中心_10遮―的.

【分析】根據漸近線傾斜角可得離心率為魚，代入點坐標計算即可得雙曲線方程，求得結果.

【解答】解：由題意幾何圖形可知雙曲線的一條漸近線方程為y=tan45°-x=^x,即=1,

即a=b,所以禺心率為e=J展—1+=Vl+1—V2；

雙曲線是等軸雙曲線，設雙曲線的方程為

將(20,10)代入雙曲線方程，得2。2-1。2=/，

解得a=10V3；

所以該粒子路徑的頂點距雙曲線的中心10baw.

故答案為：V2；10V3.

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，關鍵在于利用題目信息，根據漸近線傾斜角得出離心率,

再由過的點坐標得出實半軸長，是中檔題.

四、解答題(共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

15.在銳角△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，已知1-cos2A=4sinAsinBsinC.

(2)若a=4,求△ABC的面積.

【分析】(1)利用二倍角公式以及兩角和的正弦公式以及同角三角函數的商數關系計算可得結果;

(2)由正弦定理以及三角形面積公式求解可得.

【解答】解：(1)由1-cos2A=4sinAsinBsinC及倍角公式,

可得2sin2A=4sinAsinBsinC,

又4G(0,J),所以sinAWO,

故sinA=2sinBsinC,

又A+5+C=e則sinA=sin(3+C),

則有sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

由銳角△ABC可知8,Ce(0,舒，故cosBcosCWO,

1sinBcosC+cosBsinC2sinBsinC

因L此-------------------=----------，

cosBcosCcosBcosC

整理可得tanB+tanC=2tanBtanC,

11

所以7—n+7~7=2;

tanBtanC

(2)由(1)中sinA=2sinBsinC,

利用正弦定理可得〃=2加in。，

因為〃=4,所以加inC=2,

,11

則S-BC=qabsinC=,x4x2=4.

【點評】本題考查解三角形與三角恒等變換的應用，屬中檔題.

16.已知點A是圓C：(x-2)2+(y-2)2=4與y軸的公共點，點2是圓C上到x軸距離最大的點.

(1)求直線的方程；

(2)求經過A,B兩點,且圓心在直線y=2x-5上的圓的標準方程.

【分析】(1)根據給定條件，求出點A、2的坐標，再利用直線的兩點方程求解，可得答案；

(2)求出線段AB的中垂線方程，求出直線的交點坐標，再求出圓的半徑，即可得到所求圓的標準方

程.

【解答】解：(1)在圓C：(x-2)2+(y-2)2=4中令x=0,解得y=2,

可知圓C與y軸切于點A(0,2),

結合BCJ_x軸，|BC|=4,點B在無軸上方，可知8(2,4),

所以直線AB的方程為^—=---，化簡得x-y+2=0.

4-22-0

(2)由(1)知A(0,2),B(2,4),

所以線段AB的中點為(1,3),且直線AB的斜率左=1,

可得線段的中垂線方程為y-3=-(x-1),即x+y-4=0,

由解得［二；所求圓的圓心為(3,1),半徑r=J(0-3尸+(2—1)2=VTU.

所以所求圓的標準方程為(%-3)2+(y-1)2=10.

【點評】本題主要考查直線的方程、圓的方程及其性質、直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題.

17.已知函數尤)=4X-a-2x.

(1)當a=2時，求/(x)在［-2,2］上的最值；

(2)設函數g(尤)=/(%)+/(-x),若g(無)存在最小值-8,求實數。的值.

【分析】(1)根據題意，設t=2Xe￡,4］,由換元法，結合二次函數的值域，代入計算，即可得到結

果；

(2)根據題意，令4=2工+2—2242-2—=2,結合二次函數的最值，分類討論，即可得到結果.

【解答】解：已知函數/(x)=4X-a-2x,

(1)當a=2時，f(x)=4X-2-2x=(2與2-2-2A；

設4］,則刀⑺=r-2f,開口向上，對稱軸r=l,

所以函數力G)在1］上單調遞減，(1,4］上單調遞增，

所以/?(/)min=h(1)=-1,h(r)ina.x=h(4)=8,

所以/(x)在［-2,2］上的最小值為-1,最大值為8.

(2)g(無)=/(尤)tf(-x)=4X-a'2x+4'x-a-2x=(2,2一、)2-0?(2^+2^)-2,

設4=2」+2TN272乂?2T=2,當且僅當2入=2),即x=0時取得等號，

所以y=P-辦-2,g(A)=A2-cik-2,Ae［2,+8),對稱軸2

當±22,即心4時，尸針-a入-2在［2,芻上單調遞減，(￡,+8)上單調遞增，

2zz

2

所以4=多時，ymin=―^—2=—8,解得a=2遍或a=—2①(舍去)，

當5W2,即a/4時，y=A2-aA-2,在［2,+°°)上單調遞增，

則當入=2時，＞加加=2-2a=-8,解得a=5,不滿足題意；

綜上，實數a的值為2巡.

【點評】本題考查函數的性質，屬于中檔題.

18.如圖，已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面A2CD為梯形，AB//CD,底面ABCD,AD±

AB,其中AB=44i=2,AD=DC=\,E是BiG的中點，尸是。5的中點.

(1)求證：。歸〃平面CNB

(2)求平面CB1F與平面BB1CC夾角的余弦值；

(3)求點A到平面CBiF的距離.

【分析】（1）利用空間位置關系的向量表示可得結論;

（2）求出兩平面的法向量，再由面面角的向量求法計算可得結果;

（3）利用點到平面距離的向量求法計算即可.

【解答】解：（1）證明：因為441，底面ABCD,AD±AB,

所以以A為坐標原點，AB,AD,AAi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如下圖所示:

Q1

可得4(0,0,0),B(2,0,0),B](2,0,2),E(|,j,2),F(0,1,1),C(l,1,0),

C](l,1,2),D(0,1,0),Di(0,1,2),

則CBi=(L-L2),CF=(-1,0,1),BB1=(0,0,2),DrE=(|,0),

設平面CBiF的一個法向量為蔡=（尤，y,z）,

T—(TT

乎1丁，則CBr-m=x—y+2z=0

則TT，

CF-m=—x+z=0

令x=l,可得y=3,z=l,

即m=(L3,1),

因為￡>iE?巾=(1,3,-p0)=0,可得D/lzn,

且DiEC平面CBiF,

所以O1E〃平面CBTF

(2)設平面551cle的一個法向量為九=(%>yr,Zi),

'-->

1

咤。則CBr-n=xr—yr+2zr=0

則7T

,BB11n、BB1,n=2zi=0

解得zi=0,令xi=l,可得yi=l,

即ri=(1/L0),

m-n42/22

所以cosOn,n>=

|m||n|J1TX4211

2V22

因此平面C8ib與平面881cle夾角的余弦值為:一；

11

(3)易知=(2,0,2),

平面CBLF的一個法向量為蔡=(L3,1),

T—>-----

所以點A