您承目褐

1.學(xué)會(huì)畫圖解行程題

2.能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題

3,能夠利用比例解多人相遇和追及問題

板塊一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題

所有行程問題都是圍繞“路程=速度X時(shí)間”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)

雜，但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解.

【例1】甲、乙兩名同學(xué)在周長為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑3.5米，乙

每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？

【鞏固】甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米.如果他

們同時(shí)分別從直路兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇幾次？

【鞏固】甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒

鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米？

【例2】甲、乙二人從相距60千米的兩地同時(shí)相向而行，6時(shí)后相遇。如果二人的速度各增加1千米/

時(shí)，那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇地點(diǎn)1千米。問：甲、乙二人的速度各是多少？

板塊二、運(yùn)用倍比關(guān)系解多次相遇問題

【例3】上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的

地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好

是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？

【例4】甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)，不停的往返行駛于A,B兩地之間。已知甲車的速度比乙車快,

并且兩車出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中C地。問：甲車的速度是乙車的多少倍？

【例5】如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓

形場地的周長.

【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇,

在D點(diǎn)第二次相遇.已知C離A有75米，D離B有55米，求這個(gè)圓的周長是多少米？

【鞏固】如右圖，A,B是圓的直徑的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一

次相遇，在D點(diǎn)第二次相遇。已知C離A有80米，D離B有60米，求這個(gè)圓的周長。

甲乙

C

【鞏固】在一圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過4分甲到達(dá)

B點(diǎn)，又過8分兩人再次相遇。甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？

板塊三'多次相遇與全程的關(guān)系

1.兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程;

第2次相遇,共走3個(gè)全程;

第3次相遇,共走5個(gè)全程;

第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。

2.同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個(gè)全程；

第2次相遇,共走4個(gè)全程;

第3次相遇,共走6個(gè)全程;

第N次相遇，共走2N個(gè)全程;

3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程

多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差

【例6】甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，第一次在離A地95千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)

到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇.求A、B兩地間的距離是多少千米？

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求

兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地5千米處第二次相遇，求

兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地6

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地4千米處第二次相遇，求

兩人第5次相遇地點(diǎn)距B多遠(yuǎn).

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求

第三次相遇時(shí)共走了多少千米.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地3

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地2千米處第二次相遇，求

第2000次相遇地點(diǎn)與第2001次相遇地點(diǎn)之間的距離.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地

18千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地13千米處第二次相遇,

求AB兩地之間的距離.

【鞏固】甲、乙兩車同時(shí)從A,B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇。他們各自到達(dá)對(duì)方車站后立

即返回原地，途中又在距A地42千米處相遇。求兩次相遇地點(diǎn)的距離。

【鞏固】湖中有A,B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個(gè)來回。兩人分別從A,B兩島同時(shí)出發(fā)，他

們第一次相遇時(shí)距A島700米，第二次相遇時(shí)距B島400米。問：兩島相距多遠(yuǎn)？

【例7】A、8兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、5間往返長跑。甲每分鐘跑300

米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng)。甲、乙兩人在第幾次相遇時(shí)A地最近？最近

距離是多少米？

【鞏固】A、5兩地相距950米。甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí)。甲步行，每分鐘走40米;

乙跑步，每分鐘行150米。則甲、乙二人第次迎面相遇時(shí)距8地最近。

【例8】如圖8,甲、乙兩艘快船不斷往返于4、5兩港之間。若甲、乙同時(shí)從A港出發(fā)，它們能否同

時(shí)到達(dá)下列地點(diǎn)？若能，請(qǐng)推出它們何時(shí)到達(dá)該地點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說明理由：

(1)A港口；

(2)3港口;

(3)在兩港口之間且距離3港30千米的大橋。

甲:靜水虢速兩港睡

30kin1i180km

水浸速度

婕jOkmh睡

4------—

乙：靜水航速

50kinh

圖8

【例9】甲、乙二人進(jìn)行游泳追逐賽，規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時(shí)開始游，直到一方追

上另一方為止，追上者為勝。已知甲、乙的速度分別為1.0米/秒和0.8米/秒。問：(1)比賽

開始后多長時(shí)間甲追上乙？(2)甲追上乙時(shí)兩人共迎面相遇了幾次？

【例10】甲、乙兩車分別從A,B兩地出發(fā)，并在A,B兩地間不斷往返行駛。已知甲車的速度是15千

米/時(shí)，乙車的速度是25千米/時(shí)，甲、乙兩車第三次相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)相差100千

米。求A,B兩地的距離。

【例111歡歡和樂樂在操場上的A、B兩點(diǎn)之間練習(xí)往返跑，歡歡的速度是每秒8米，樂樂的速度是每

秒5米。兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)B點(diǎn)后返回，已知他們第二次迎面相遇的地點(diǎn)距離AB的

中點(diǎn)5米，AB之間的距離是。

【例12】甲、乙兩車同時(shí)從A、3兩地相對(duì)亦開出，兩車第一次距A地32千米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)

行駛，各自達(dá)到8、A兩地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米處相遇，則4、5兩

地間的距離是千米。

【例13】小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅

的速度為4米/秒.他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時(shí)間內(nèi)，他們迎面相

遇了多少次？

【例14】A、3兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到5地，乙騎摩托車從3地出發(fā)，不停地往返于

A、B兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問：

當(dāng)甲到達(dá)3地時(shí)，乙追上甲幾次？

【例15】甲、乙兩人分別從A、3兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的士7，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，

3

甲到3地、乙到A地后立即返回.已知兩人第二次相遇的地點(diǎn)距第三次相遇的地點(diǎn)是100千米,

那么，A、3兩地相距千米.

【鞏固】小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩人第一

次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇（追上也算作相遇），則甲、乙兩地的距

離為千米.

【鞏固】A,B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A,B兩地之間，都是到達(dá)一地之后立即返回，

乙車較甲車快。設(shè)兩輛車同時(shí)從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到兩車第

三次相遇為止，乙車共走了多少千米？

【例16】小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他

們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地

點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？

【例17】A,B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙騎摩托車從B地出發(fā)不停頓地往返于A,

B兩地之間。他們同時(shí)出發(fā)，80分后兩人第一次相遇，100分后乙第一次超過甲。問：當(dāng)甲到

達(dá)B地時(shí)，乙追上甲幾次？

【例18】電子玩具車A與8在一條軌道的兩端同時(shí)出發(fā)相向而行，在軌道上往返行駛。已知A比3的速

度快50%,根據(jù)推算，第200720°7次相遇點(diǎn)與第20082°°8次相遇點(diǎn)相距58厘米，軌道長_厘米。

板塊四、解多次相遇問題的工具一柳卡

柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求

數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由

相遇的地點(diǎn)求出全程“，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少O

如果不畫圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來說不容易。

【例19】每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在

途中均要航行七天七夜.試問：某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前（途中）能遇上幾艘從紐

約開來的輪船？

【鞏固】一條電車線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙

站，全程要走15分鐘.有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他出發(fā)的時(shí)候，恰好有

一輛電車到達(dá)乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達(dá)甲站時(shí)，恰好又有一輛電車

從甲站開出.問他從乙站到甲站用了多少分鐘？

【例20］甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米.如

果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？

【例21】A、3兩地位于同一條河上，3地在A地下游100千米處.甲船從A地、乙船從8地同時(shí)出發(fā),

相向而行，甲船到達(dá)3地、乙船到達(dá)A地后，都立即按原來路線返航.水速為2米/秒，且兩船

在靜水中的速度相同.如果兩船兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是

米/秒.

【例22】A、B兩地相距1000米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩地間往返鍛煉.乙

跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行60米.在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距B地

最近（從后面追上也算作相遇）？最近距離是多少？

【鞏固】A、B兩地相距950米.甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí).甲步行，每分鐘走40

米；乙跑步，每分鐘行150米.則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距B地最近？

【鞏固】A、8兩地相距950m,甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，往返A(chǔ)、3兩地跑步90分鐘.甲跑步的

速度是每分鐘40m；乙跑步的速度是每分鐘150m.在這段時(shí)間內(nèi)他們面對(duì)面相遇了數(shù)次，請(qǐng)問

在第幾次相遇時(shí)他們離3點(diǎn)的距離最近？

【鞏固】A、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩地間往返鍛煉.甲

每分鐘跑300米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng).甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距A

地最近？最近距離是多少？

板塊五、多次相遇問題——變道問題

【例23】甲、乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)A出發(fā)，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛.甲車每小時(shí)行

駛65千米，乙車每小時(shí)行駛55千米.一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面

追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離A點(diǎn)有多少米？（每一次

甲車追上乙車也看作一次相遇）

【例24】下圖是一個(gè)邊長90米的正方形，甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，甲逆時(shí)針每分行75米，乙順時(shí)

針每分行45米.兩人第一次在CD邊（不包括C,D兩點(diǎn)）上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？

【例25】如圖所示，甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的A點(diǎn)背向出發(fā)跑步。跑道右半部分（粗線部分）

道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米，而在泥

濘道路上兩人的速度均為每秒4米。兩人一直跑下去，問：他們第99次迎面相遇的地方距A點(diǎn)

還有米。

【例26】如圖，學(xué)校操場的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有200米路程相重.甲以每秒

6米的速度沿大跑道逆時(shí)針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時(shí)針方向跑，兩人同時(shí)從兩跑

道的交點(diǎn)A處出發(fā)，當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí)，甲共跑了多少米？

【例27】下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A

點(diǎn)出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個(gè)圓爬行。問：當(dāng)小圓上甲蟲爬了幾圈時(shí)，兩

只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)？

【例28】如圖所示，甲沿長為400米大圓的跑道順時(shí)針跑步，乙則沿兩個(gè)小圓八字形跑步（圖中給出跑動(dòng)

路線的次序：1-2-3-4-1-……）。如果甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，且甲、乙二人的速度分

別是每秒3米和5米，問兩人第三次相遇的時(shí)間是出發(fā)后秒。

【例29]三個(gè)環(huán)行跑道如圖排列，每個(gè)環(huán)行跑道周長為210厘米；甲、乙兩只爬蟲分別從A、8兩地按

箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號(hào)環(huán)行跑道作“8”字形循環(huán)運(yùn)動(dòng)，乙爬蟲繞3、2號(hào)環(huán)行跑道

作“8”字形循環(huán)運(yùn)動(dòng)，已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別為每分鐘20厘米和每分鐘15厘米，甲、

乙兩爬蟲第二次相遇時(shí)，甲爬蟲爬了多少厘米？

【例30】從花城到太陽城的公路長12公里.在該路的2千米處有個(gè)鐵道路口，是每關(guān)閉3分鐘又開放3

分鐘的.還有在第4千米及第6千米有交通燈，每亮2分鐘紅燈后就亮3分鐘綠燈.小糊涂

駕駛電動(dòng)車從花城到太陽城，出發(fā)時(shí)道口剛剛關(guān)閉，而那兩處交通燈也都剛剛切換成紅燈.已

知電動(dòng)車速度是常數(shù)，小糊涂既不剎車也不加速，那么在不違反交通規(guī)則的情況下，他到達(dá)太

陽城最快需要多少分鐘？

【例31】男、女兩名田徑運(yùn)動(dòng)員在長110米的斜坡上練習(xí)跑步（坡頂為A,坡底為B.兩人同時(shí)從A點(diǎn)出

發(fā)，在A,B之間不停地往返奔跑.已知男運(yùn)動(dòng)員上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米,

女運(yùn)動(dòng)員上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米.那么兩人第二次迎面相遇的地點(diǎn)離A點(diǎn)

多少米？

【例32】

3-1-4多次相遇和追及問題

加I仁圖善目掘

4.學(xué)會(huì)畫圖解行程題

5,能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題

6.能夠利用比例解多人相遇和追及問題

E1fll上朝跟疆窗

1

板塊一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題

所有行程問題都是圍繞“路程=速度X時(shí)間”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)

雜，但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解.

【例33】甲、乙兩名同學(xué)在周長為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑3.5米，乙

每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】1星【題型】解答

［解析】從開始到兩人第十次相遇的這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩人共跑的路程是操場周長的10倍，為300x10=3000

米，因?yàn)榧椎乃俣葹槊棵腌娕?.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，所以這段時(shí)間內(nèi)甲共行了

35

3000x一：—=1400米，也就是甲最后一次離開出發(fā)點(diǎn)繼續(xù)行了200米，可知甲還需行

3.5+4

300—200=100米才能回到出發(fā)點(diǎn).

【答案】100米

【鞏固】甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米.如果他

們同時(shí)分別從直路兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇幾次？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】1星【題型】解答

【解析】17

【答案】17

【鞏固】甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒

鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】176

【答案】176

【例34】甲、乙二人從相距60千米的兩地同時(shí)相向而行，6時(shí)后相遇。如果二人的速度各增加1千米/

時(shí)，那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇地點(diǎn)1千米。問：甲、乙二人的速度各是多少？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】甲、乙兩人的速度和第一次為60+6=10（千米/時(shí)），第二次為12（千米/時(shí)），故第二次出發(fā)后5

時(shí)相遇。設(shè)甲第一次的速度為x千米/時(shí)，由兩次相遇的地點(diǎn)相距1千米，有6x—5（x+1）=±1,

解得x=6或x=4,即甲、乙二人的速度分別為6千米/時(shí)和4千米/時(shí)。

【答案】甲、乙二人的速度分別為6千米/時(shí)和4千米/時(shí)

板塊二'運(yùn)用倍比關(guān)系解多次相遇問題

【例35】上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的

地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好

是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】畫一張簡單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4（千米）.而爸爸騎的距離是4

+8=12（千米）.

這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12+4=3（倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小

明騎8千米，爸爸可以騎行8x3=24（千米）.但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4+12=16

（千米）.

少騎行24-16=8（千米）.摩托車的速度是8+8=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.

8+8+16=32.所以這時(shí)是8點(diǎn)32分。

【答案】8點(diǎn)32分

【例36】甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)，不停的往返行駛于A,B兩地之間。已知甲車的速度比乙車快，

并且兩車出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中C地。問：甲車的速度是乙車的多少倍？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】2倍。解：如下圖所示，因?yàn)槊看蜗嘤龆脊残幸粋€(gè)來回，所用時(shí)間相等，所以乙車兩次相遇走的

24

路程相等，即AC=2CB,推知=—.第一次相遇時(shí)，甲走了AB+BC=—,乙走了

33

2

AC=—AB,所以甲車速度是乙車的2倍。

3

1

甲------------------------「I

'---------------------->

A|-----------------------------------------?--------------IB

【答案】2倍

【例37］如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓

形場地的周長.

【考點(diǎn)】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時(shí)，甲乙共走完工圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時(shí)，甲乙

2

13

共走完1+—=一圈的路程.所以從開始到第一、二次相遇所需的時(shí)間比為1:3,因而第二次相

22

遇時(shí)乙行走的總路程為第一次相遇時(shí)行走的總路程的3倍，即100x3=300米.有甲、乙第二次相

3

遇時(shí)，共行走（1圈―60）+300,為一圈，所以此圓形場地的周長為480米.

【答案】480米

【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇，

在D點(diǎn)第二次相遇.已知C離A有75米，D離B有55米，求這個(gè)圓的周長是多少米？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】340

【答案】340

【鞏固】如右圖，A,B是圓的直徑的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一

次相遇，在D點(diǎn)第二次相遇。已知C離A有80米，D離B有60米，求這個(gè)圓的周長。

【考點(diǎn)】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】第一次相遇，兩人共走了0.5圈；第二次相遇，兩人共走了1.5圈。因?yàn)?.5+0.5=3,所以第二次

相遇時(shí)甲走的路程是第一次相遇時(shí)甲走的路程的3倍，即ACO=ACx3=240（米），推知

AB=240-80=180（米），圓周長為180x2=360（米）。

【答案】360米

【鞏固】在一圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過4分甲到達(dá)

B點(diǎn)，又過8分兩人再次相遇。甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】由題意知，甲行4分相當(dāng)于乙行6分。從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行12分，

而乙行12分相當(dāng)于甲行8分，所以甲環(huán)行一周需12+8=20（分），乙需20+4*6=30（分）。

【答案】20分，30分

板塊三'多次相遇與全程的關(guān)系

1.兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程；

第2次相遇，共走3個(gè)全程;

第3次相遇，共走5個(gè)全程;

第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。

2.同地同向出發(fā)：第I次相遇，共走2個(gè)全程；

第2次相遇，共走4個(gè)全程；

第3次相遇，共走6個(gè)全程；

第N次相遇，共走2N個(gè)全程；

3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程

多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差

【例38】甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，第一次在離A地95千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)

到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇.求A、B兩地間的距離是多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】畫線段示意圖（實(shí)線表示甲車行進(jìn)的路線，虛線表示乙車行進(jìn)的路線）：

95毛米

甲車..?------------------------------

A：---4............B

?一尸...................|....乙車

第1次相遇第2次相遇

可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個(gè)A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個(gè)

A、B兩地間的距離.當(dāng)甲、乙兩車共行了一個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車行了95千米，當(dāng)它

們共行三個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車就行了3個(gè)95千米，即95x3=285（千米），而這285

千米比一個(gè)A、B兩地間的距離多25千米，可得：95x3-25=285-25=260（千米）.

【答案】260千米

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求

兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】4x3=12千米，通過畫圖，我們發(fā)現(xiàn)甲走了一個(gè)全程多了回來那一段，就是距B地的3千米，所

以全程是12-3=9千米，所以兩次相遇點(diǎn)相距9-（3+4）=2千米。

【答案】2千米

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地5千米處第二次相遇，求

兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】4千米

【答案】4千米

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地6

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地4千米處第二次相遇，求

兩人第5次相遇地點(diǎn)距B多遠(yuǎn).

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】12千米

【答案】12千米

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求

第三次相遇時(shí)共走了多少千米.

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】90千米

【答案】90千米

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地3

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地2千米處第二次相遇，求

第2000次相遇地點(diǎn)與第2001次相遇地點(diǎn)之間的距離.

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】4千米

【答案】4千米

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地

18千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地13千米處第二次相遇,

求AB兩地之間的距離.

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】41千米

【答案】41千米

【鞏固】甲、乙兩車同時(shí)從A,B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇。他們各自到達(dá)對(duì)方車站后立

即返回原地，途中又在距A地42千米處相遇。求兩次相遇地點(diǎn)的距離。

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】24千米。提示：第一次相遇兩車共行了A,B間的一個(gè)單程，其中乙行了54千米；第二次相遇

兩車共行了A,B間的3個(gè)單程，乙行了54x3=162（千米），乙行的路程又等于一個(gè)單程加42

千米。故A,B間的距離為162—42=120（千米）。

【答案】120千米

【鞏固】湖中有A,B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個(gè)來回。兩人分別從A,B兩島同時(shí)出發(fā)，他

們第一次相遇時(shí)距A島700米，第二次相遇時(shí)距B島400米。問：兩島相距多遠(yuǎn)？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】1700米。

【答案】1700米

【例39】A、8兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在4、3間往返長跑。甲每分鐘跑300

米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng)。甲、乙兩人在第幾次相遇時(shí)A地最近？最近

距離是多少米？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試

【解析】30x（300+240）+2400=6.75個(gè)全程，相遇3次，把全程分成9份，第一次相遇，甲跑5份，第二次

相遇甲跑15份，距離A3份，第三次相遇甲跑25份距離A7份，所以第二次相遇距離A最近，最

近為2400+9x3=800米。

【答案】800米

【鞏固】A、5兩地相距950米。甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí)。甲步行，每分鐘走40米

乙跑步，每分鐘行150米。則甲、乙二人第次迎面相遇時(shí)距3地最近。

【考點(diǎn)】行程問題【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試

【解析】半小時(shí)，兩人一共行走（40+150）x30=5700米，相當(dāng)于6個(gè)全程，兩人行程每2個(gè)全程就會(huì)有一

次相遇，而兩人的速度比15:4,所以相同時(shí)間內(nèi)兩人的行程比為15:4,那么第一次相遇甲走

了全程的」_*2=芻，距離3旦個(gè)全程，第二次相遇甲總行程更距離32個(gè)全程，第三次二

15+41919191919

距離?個(gè)全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時(shí)距離5地最近。

19

【答案】第二次

【例40］如圖8,甲、乙兩艘快船不斷往返于A、3兩港之間。若甲、乙同時(shí)從A港出發(fā)，它們能否同

時(shí)到達(dá)下列地點(diǎn)？若能，請(qǐng)推出它們何時(shí)到達(dá)該地點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說明理由：

(4)A港口；

(5)3港口；

(6)在兩港口之間且距離3港30千米的大橋。

甲二靜水旗速兩港睡

斤4.30km1i180km

---------

水流速度

陲jOkmh

3——

乙：靜水就速

50km加

圖8

【考點(diǎn)】行程問題【難度】4星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】希望杯。五年級(jí)。二試

【解析】(1)甲往返一次的時(shí)間是

180180

-------1-----=--13.5(h),

30+1030-10

乙往返一次的時(shí)間是

180180

--------1-----=--7.5(h),

50+1050-10

13.5和7.5的最小公倍數(shù)是67.5,

所以，在甲、乙出發(fā)后的67.5a(a=l,2,…)小時(shí)，它們又同時(shí)回到A港。(5分)

(2)設(shè)甲、乙能同時(shí)到達(dá)3港，此時(shí)，甲、乙各完成了"2,"次往返(相，”是自然數(shù))，則有

4+i3.5〃L+7.5〃

30+1050+10

即9勿+1=5〃o

當(dāng)根的個(gè)位數(shù)是6或1時(shí)，有滿足上式的自然數(shù)〃。，最小的二1,最少需要4.5+13.5=18小時(shí)。則在

甲、乙出發(fā)后18+67.5小時(shí)，它們同時(shí)到達(dá)港口。(10分)

(3)設(shè)甲、乙能同時(shí)到達(dá)大橋，且分別完成了加1次往返(加，〃是自然數(shù))。

①若此時(shí)甲、乙向下游行駛，則

150150

+13.5m=+7.5〃,

30+1050+10

艮!7135加+12.5=75九，

沒有滿足上式的自然數(shù)m,no

②若此時(shí)甲、乙向上游行駛，則

1803018030

H-------+13.5m=H-+--7-.-5-〃-,

30+1030-1050+1050-10

135帆+22.5=75幾，

沒有滿足上式的自然數(shù)根,〃O

③若此時(shí)甲向上游行駛，乙向下游行駛，則

4+上+13.5m=150+7.5n

30+1030-1050+10

即27m+7=15n

沒有滿足上式的自然數(shù)m,no

④若此時(shí)甲向下游行駛，乙向上游行駛，則

15018030

+13.5m=H-+--7-.5-〃--

30+1050+1050-10

即9m=5〃

當(dāng)用的個(gè)位數(shù)是。或5時(shí)，有滿足上式的自然數(shù)幾，所以在甲、乙出發(fā)后的

150

------+13.5x5c=3.75+67.5c(c=0,1,2,…)

30+10'7

小時(shí)，它們同時(shí)到達(dá)大橋。

【答案】（1）67.5。(a=1,2,???)小時(shí)

（2）18+67.5小時(shí)

150

（3）+13.5X5c=3.75+67.5c(c=0,1,2,--.)小時(shí)

30+10

【例41】甲、乙二人進(jìn)行游泳追逐賽，規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時(shí)開始游，直到一方追

上另一方為止，追上者為勝。已知甲、乙的速度分別為L0米/秒和0.8米/秒。問：（1）比賽

開始后多長時(shí)間甲追上乙？（2）甲追上乙時(shí)兩人共迎面相遇了幾次？

【考點(diǎn)】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】（1）250秒；（2）4次。提示：（2）甲、乙分別游了5個(gè)和14個(gè)單程，故迎面相遇4次。

【答案】（1）250秒；（2）4次

【例42】甲、乙兩車分別從A,B兩地出發(fā)，并在A,B兩地間不斷往返行駛。已知甲車的速度是15千

米/時(shí)，乙車的速度是25千米/時(shí)，甲、乙兩車第三次相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)相差100千

米。求A,B兩地的距離。

【考點(diǎn)】行程問題