旋轉解答壓軸題分類訓練(4種類型40道)

目錄

【題型1壓軸題求面積1..............................................................................................................1

【題型2壓軸題求角度】.......................................................................31

【題型3最值問題】...........................................................................60

【題型4壓軸題探究數量關系】................................................................83

【題型1壓軸題求面積】

1.綜合與實踐已知：乙MBN=9。。,在BM和BN上截取BA=BC,將線段4B邊繞點/逆時針旋轉a

(0。＜a＜180。)得到線段4D,點E在射線BD上，連接CE,乙BEC=45°.

【特例感知】

(1)如圖1,若旋轉角a=90。，則BD與CE的數量關系是；

【類比遷移】

(2)如圖2,試探究在旋轉的過程中BD與CE的數量關系是否發生改變？若不變，請求BD與CE的數量關系;

若改變，請說明理由；

【拓展應用】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AD=AB=BC=5,^ABC=90°,點E在直線上，ABEC=45。，

CE=4V2,請直接寫出△「￡＞后的面積.

【答案】(1)BD=y[2CE；(2)保持不變BD=魚CE,理由見解析；(3)△CDE的面積為2或18

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，勾股定理；

(1)當a=90。可得四邊形ZBCD是正方形，此時D、E重合，可得BD=&AB=&CE；

(2)過4作4GLBD于G,過C作CF1BD于尸，由旋轉結合等腰三角形三線合一可得BD=2BG,再證明

AABG=ABCF(AAS),得到BG=CF,最后由NBEC=45。，得到FC=EF=BG,CE=&BG,即可得到

BD=2BG=V2CE；

(3)參考(2)中作輔助線，過4作4G1BC于G,過C作CF1BC于尸，先證明△力BG三△BCF(AAS),得到

BG=CF,AG=BF,再由乙BEC=45。，CE=4口得到FC=EF=BG=4,利用勾股定理求出BD,DE,

最后根據S^CDE=初■CF計算，需要利用點E與點B位置去分類討論.

【詳解】解：(1)???將線段4B邊繞點N逆時針旋轉a=90。得到線段2D,BA=BC

:.BA=BC=4D,乙MBN=/.BAD=90°,

.-.BC\\AD,BD=7AD2+4/=&AB,

.??四邊形ABC。是正方形，

"BDC=45°,BA=BC=AD=CD

???點E在射線BD上，乙BEC=45°,

止匕時D、E重合，

.,.BA=CD—CE,

:.BD=y[2AB=V2CE；

(2)在旋轉的過程中BD=V^CE不變，理由如下：

如圖，過力作2G1BD于G,過C作CF_LBD于F,貝Ij/AGB=NBFC=90。，

???將線段邊繞點A逆時針旋轉a得到線段ZD,

：.BA=AD,

??.BD=2BG,

MMBN=90°,

.-.Z.ABG+CBF=(BCF+CBF=90°,

：.Z-ABG=Z-BCF,

-BA=BC,

???△/BGW2\BCF(AAS),

：.BG=CF,

?..匕BEC=45。,ZEFC=9O°,

"BEC=(ECF=45°,

.-.FC=EF,

：.FC=EF=BG,

：.CE=〃52+EF2=7BG2+BG2=V25G,

；.BD=2BG=V2CE；

(3)當E在點8右邊時，如圖，過/作/G18。于G,過C作于F,貝(U4GB=/BFC=產C=90。,

-/.ABC=90°,

.-.Z.ABG+CBF=乙BCF+CBF=90°,

：.Z-ABG=(BCF,

-BA=BC,

△ABG=△BCF(AAS),

：,BG=CF,AG=BF,

?.ZBEC=45°,乙EFC=90°,

"BEC=乙ECF=45°,

???FC=EF,

.-.FC=EF=BG,

.-.CE=7CF2+EF2=7BG2+BG2=的BG,

■：CE=4VL

:.FC=EF=BG=4,

■■.AG=BF=y/BC2-CF2=V52-42=3,

■,■AD=AB=BC=5,

■■.DG=\AD2-4G2=452—32=4,

.-.BD=BG+DG=4+4=8,

.-.DE=BD-BF-EF=8-4-3=1,

-''SACDE=(DE-CF=|xlx4=2；

:SACDE=次?CF=!X9x4=18；

綜上所述，△CDE的面積為2或18.

2.(1)如圖1,在△ABC和△4DE中，4DAE=^BAC,AD=AE,AB=AC.求證：△ABD三△ACE；

(2)如圖2,在△ABC和△ADE中，^DAE=^BAC=120°,AD=AE,AB=AC,^ADB=90°,

點E在△28C內，延長DE交BC于點尸，求證：尸點為線段C8的中點；

(3)如圖3,在△4BC中，AB=AC,NC4B=120。點P為△ABC外一點且N4PC=60。，AP=4,PB=

V15,請直接寫出四邊形4BPC的面積.

圖1圖2圖3

【答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）10V3+3

【分析】（1）首先推導=再利用"SAS"證明三△4CE即可；

（2）連接CE,延長EF至點H,取CF=CH,連接CH,由（1）可知，△ADB三△4EC,由全等三角形的性

質可得BD=EC,乙ADB=Z.AEC=90°,再證明△DBF=△ECH,易得BF=CH,則有8尸=CF,即可證

明結論；

（3）將4P繞點2逆時針旋轉120。得到4Q,連接AQ、CQ、PQ,過點2作力"1PQ于點”，過點Q作QG1CP

于點G,易得4P=AQ=4,Z.APQ=/.AQP=30°,由（1）可知，AAPB=AAQC,可得CQ=PB=回,

根據等腰三角形的性質和含30度角的直角三角形的性質可得PH=?Q,AH=2,利用勾股定理解得

PH=2V3,進而可得PQ=2PH=4g,即可求得S^PQ的值；再求得QG,PG,CG的值，可確定PC的長度,

進一步計算S2XCPQ的值；然后根據S四邊形/8PC=S四邊形4Q”，即可獲得答案.

【詳解】(1)證明：■■/.DAE=Z.BAC,

乙

?，?Z-DA.E—Z-CAD=BAC—Z.CAD9

：.Z-CAE=乙BAD,

在△480和△4CE中，

(AB=AC

]2LBAD=/.CAE,

IAD=AE

AABD=△ACE(SAS)；

(2)證明：連接CE,延長EF至點H,mCF=CH,連接C”，如下圖，

由(1)可知，△408三△4EC,

：.BD=EC,Z-ADB=^AEC=90°,

\'AD=AE,

：.Z-ADE=Z-AED,

-LADE+乙EDB=Z.AED+(CEH=90°,

"EDB=乙CEH,

-CF=CH,

??/CFH=ZH,

"DFB=乙CFH=乙H,

-CE=BD,

△DBF=△ECH(AAS),

；.BF=CH,

：.BF=CF,

???點F是BC的中點;

(3)解：如下圖，將4P繞點2逆時針旋轉120。得到4Q,連接2Q、”、PQ,過點2作4"，PQ于點”，過點

Q作QG1CP于點G,

則4P=AQ=4,/.PAQ=120°,

■■^APQ=UQP=|(180°-NPAQ)=30°,

由(1)可知，AAPB=AAQC,

；.CQ=PB=V15,

-AHLPQ,

.-.PH=QH=*Q,AH=^AP=2,

..PH=7Ap2—4"2=<42_22=2叔

；.PQ=2PH=4V3,

''-^AAPQ=*Q,4H=：X4V3X2=4V3；

■：Z.APC=60°,

：.Z.CPQ=Z.APC-Z.APQ=30°,

.?.在RtZkPQG中，QG=$Q=2四,

■.PG=《PQ2_QG2=J(4何2_(2回2=6,

.?.在RtACQG中，CG=〃Q2_QG2=J(V15)2-(2V3)2=V3,

.'.PC=PG+CG=6+V3,

:?S4CPQ--PC-QG=-x(6+V3)x2y/3=6y/3+3；

-AAPB=AAQC,

???SA4PB=S^AQC，

，S四邊形"BPC=^AAPC+^AAPB=^AAPC+S&AQC=^AAPQ+^ACPQ=4V3+6V3+3=10V3+3.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、含30度角的直

角三角形的性質、旋轉的性質等知識，熟練掌握相關知識，正確作出輔助線是解題關鍵.

3.如圖，在△4BD中，BCLAD,且AC=BC,點￡是BC上一點.

⑴若NC4E=巧。/^=4,求48.

(2)過點C作CMII4B,N為4c上一點，連接MN/M,恰有NMNC=45。+4ABN,求證：BN=MN+AM

⑶如圖3,若△2BD為等邊三角形，尸為48上一點，連接DF,點P是△48。內部一點，連接DP,將線段B0

繞點D逆時針旋轉得到線段DQ,使NBDQ=NADP,將△4DP沿DP翻折到同一平面內的△DKP,在線段DQ

上截取0G=DP,連接GK,已知GK=6,PK=8,DG=10,請直接寫出△DGK的面積.

【答案】⑴2+2田

(2)見解析

(3)2573-16

【分析】(1)過點K作EH14B于點X,根據題意易證△ABC,△BEH是等腰直角三角形，求出

^BAE=30°,利用含30度角的直角三角形中30度角所對的邊是斜邊的一半，求出EH=2,進而得到

BH=EH=2,再利用勾股定理求出4H=2板，即可求出48的長；

(2)過點C作QC1MC交BN于點Q,根據題意結合三角形外角的性質易證NMNC=NBNC,再根據MCII4B,

推出NMCN=NC4B=45。，進而求出NNCQ=45。，證明△MCN三△QGV(ASA),推出MC=CQ,結合

AC=BC./.BCQ=/.ACM=45°,證明△8CQ三△4CM(ASA),推出8Q=AM,即可證明結論；

(3)根據DP=DG,如圖，將△DPK繞。逆時針旋轉至△DGM,連接MK；將△GKM繞“旋轉至

△HDM,連接HM；過K■作MT1OH交OH延長線于K；證明△MDK是正三角形，將繞G旋轉60。

得到△MKN,連接GN,證明△GKN是正三角形，證明乙MGN=90。，同理可證/DHG=90。，△GMH是等

2

邊三角形，求出MT==4,HT=4V3,DM=100+48g,由旋轉的性質得：SADGK=SAMNK,SADHM

=S&KGM，根據S^DGK=—(S^KGM+S^DGM)，過點K作KL_LDM,則。乙="/7=渣"，設KL=九,

求出/1=爭”/,計算即可求解.

4

【詳解】(1)解：如圖，過點E作于點凡

D

c

H-/BCLAD,5.AC=BC,

Z-ACB=90°,

??.Z.CAB=Z.CBA=45°,

???EHLAB,

??.△ZB&ZXBEH是等腰直角三角形，

??.EH=BH,

???Z.CAE=15°fAE=4,

???乙BAE=30°,

???EH=/E=2,

??.BH=EH=2,

???AH=、AE2-EH2=2V3,

??.AB=AH+BH=2+2V3；

(2)證明：如圖，過點。作QC1MC交BN于點Q,

由(1)知44c8=90。，^CAB=Z.CBA=45°,

???Z.MNC=45°4-Z-ABN,Z.BNC=Z.CAB+^ABN=45°+Z.ABN,

???乙MNC=^BNC,

??.MC\\ABfQC1MC,

???乙MCN=Z.CAB=45°,Z.MCQ=90°,

???乙NCQ=^BCQ=45。,

???NC=NC,

??.△MCN=△QCN(ASA),

??.MC=CQ,MN=NQ,

???AC=BC,乙BCQ=/.ACM=45°,

???△BCQwZkACM(ASA),

BQ=AM,

??.BN=BQ+NQ=MN+AM；

(3)解：???DP=DG,

如圖，將△。尸K繞。逆時針旋轉至△OGM,連接MK,

.?.MG=PK=8,DM=DK,2MDK=^MDG+乙GDK=CKDP+乙GDK,乙GDK=CBDQ—乙BDK,

MBDQ=Z.ADP,乙GDK=Z-ADP-乙BDK,乙MDK=乙KDP+{z_ADP-乙BDK)=/-ADB=60°,

.?.△MDK是正三角形，

將△GKM繞M旋轉至△HEW,連接HM；過新作MT1DH交DH延長線于K；將△DKG繞G旋轉60。得到

△MKN,連接GN,

.-.KG=KN,乙GKN=60°,MN=DG=10,

.?.△GKN是正三角形，

.-.KG=KN=6,

在△GMN中GN2+MG2=62+82=102=MN2,4MGN=90°,

同理可證ADHG=90°,△GMH是等邊三角形，

:ZGHK=180°-4DHG-4GHM=30°,DH=GK=6,

在△GHT中NT=90°,HM=GM=8,AMHT=30°,

MT=|WM=4,HT=yjHM2-MT2=V82-42=4痘,

在△DM7中，AT=90°,DT=DH+HT=6+4V3,

2

??.DM2=DT2+M7=(6+4V3)+42=100+48屬

由旋轉的性質得：S^DGK=S4MNKBADHM=S^KGM，

:?SADGK=SWMK—(S/^KGM+SMGM)

如圖過點K作KL1DM,則DL=ML=&?M,設KL=h,

2

...h=\DK2-DL2=」DM2_^DM)=爭M,

SWMK="M-h=|DMX與DM=^-DM2=乎X(100+48V3)=25K+36,

S^KGM=S^DHM=^DH-MT-^x6x4-12,SADMG=|/)G,GM=gx1。x8=40,

:-SADGK=SWMK—(S/\KGM+^ADGM)=25V3+36—(12+40)=25V3—16.

【點睛】本題考查了三角形的旋轉、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定和性質，勾股定理，還

考查了勾股定理以及30。角所對的直角邊等于斜邊的一半的應用；通過轉換證明全等、運用割補法求面積是

解題的關鍵.

4.【問題初探】

△4BC和△OBE是兩個都含有45。角的大小不同的直角三角板.

(1)當兩個三角板如圖(1)所示的位置擺放時，D、B、C在同一直線上，???4B=BC,

^ABD=/.CBE=90°,DB=EB,：.AABD=ACBE.依據的是判定定理.

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【類比探究】

(2)當三角板ABC保持不動時，將三角板D8E繞點8順時針旋轉到如圖(2)所示的位置，判斷2。與CE的

數量關系和位置關系，并說明理由.

【拓展延伸】

(3)如圖(3),在四邊形ABCD中，ABAD=90°,AB=AD,BC=^CD,連接AC,BD,^ACD=45°,A

到直線CD的距離為7,請求出△BCD的面積.

【答案】(1)B；(2)AD=CE,AD1CE；(3)24

【分析】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質.

(1)由條件可以看出是兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等，據此求解即可；

(2)先證明△。8/32\￡8。(5人5)得到4。=。&乙ADB=LCEB,再延長4。與CE交于點O,證明

乙ODE+乙OED=90。即可得至Ij/O1CE；

(3)過4作/C1ZM交延長線于作ZN_LC7)交CO于N,可證得△三△40M,可得=DM,

再由CM=14求出8C和CD的長即可.

【詳解】解：(1)vAB=BC,^ABD=/.CBE=90°,DB=EB,

???△/BOwZkCBE.依據的是判定定理SAS,

故選：B；

(2)AD=CE,AD1CE,理由如下：

MDBE=乙ABC=90°,

=乙BCE=90°-zJDBC,

??????AB=BC,DB=EB,

△DBA三△EBC(SAS),

.t.AD=CE,Z-ADB=乙CEB,

延長/。與CE交于點O,如圖2,

,:乙BDE+乙BED=90°,

??ZBDE+乙BEC+Z.CED=90°,

；/BDE+/-ADB+Z.CED=90°,

.?.乙ODE+乙OED=90°,

??z。=90°,

.,.AD1CE；

(3)過/作AC1ZM交CD延長線于M,作川V_LC。交CO于N,如圖3,

圖3

-Z.ACD=45°,

.-.^ACD=ZM=45°,

：.AC=AM,

“BAD=90°,AB=AD,ABAC=Z.DAM=90°一/.DAC

AABC=AADM(SAS).

：.BC=DM,AACB=ZM=45°,

：.^LACD=Z.ACB+"CD=90°,

-A到直線CO的距離為7,

.-.AN=7,

-AC=AM,

：,CM=2AN=14,

?；BC=：CD,

；.CM=BC+DM=BC+CD,

：.BC=6,CD=8,

?'?S&BCD=^BC.CD=[x6x8=24.

5.△ABC為等腰三角形，AB=AC2V3,乙48c=30。,△ADE為等邊三角形，連接BE,點”為BE的

中點，將△2DE繞點A逆時針旋轉.

(1)如圖1,當點￡在8C上且4E14C時，連接DM,求線段DM的長；

(2)如圖2,連接AM,CD,在△ADE繞點/旋轉的過程中，猜想力M與CD的數量關系，并證明你的結論；

⑶連接DM,DE=2,在△4DE繞點/逆時針旋轉過程中，當線段BE的長度最小時，請直接寫出△4DM的

面積.

【答案】(1)DM=B

(2)XM-|CD；理由見解析

⑶SA4DM=

【分析】(1)連接BD,過點A作4F1BC于點F,根據直角三角形的性質得出4F==g，根據△4DE

為等邊三角形，得出N4ED==N4DE=60。，AE=DE,證明4D||BC,△BDE為等邊三角形，根據

等邊三角形的性質得出DM1BE,證明四邊形2DMF為平行四邊形，根據平行四邊形的性質即可得出結論；

(2)延長B4^LAM=AB,連接EM,證明△D4C三△瓦4M,得出EM=CD,根據中位線性質得出

AM-|FM,即可得出結論；

(3)根據等邊三角形性質得出4E=DE=2,ACME=60。，根據力B=2仃，利用三角形三邊關系得出

AB-AE<BE<AB+AE,且當2、B、E三點共線時，等號成立，畫出圖形，先根據等邊三角形性質求出

EN=^AE=1,根據勾股定理得出ON='DE2一EN2=瓜求出4M=2+遮一1=遮+1,根據三角形

面積公式求出結果即可.

【詳解】(1)解：連接BD,過點工作2F1BC于點尸，如圖所示：

■.■AB=AC=2V3,乙4BC=30°,

：./.ABC=ZC=30°,AF==V3,

.-.ABAC=180°-30°-30°=120°,

'.'AE1AC,

：./LEAC=90°,

.?.Zi4EC=90o-30°=60°,

???△/DE為等邊三角形，

：.Z.AED=乙DAE=Z.ADE=60°,AE=DE,

??/BED=180°-60°-60°=60°,

.,-Z-ADE=乙BED,

"DIIBC,

*：Z.AEC=乙EAB+Z-ABE,

：./.ABE=乙AEC-乙ABE=60°-30°=30°,

：.Z-ABE=Z.BAE,

：.AE—BE,

.'.BE=DE,

??.△BDE為等邊三角形，

???點川為BE的中點，

：.DM1BE,

?：AF1BC,

.'.DMWAF,

-ADWBC,

???四邊形ZDMF為平行四邊形，

：.DM=AF=y/3；

(2)解：AM^^CD；理由如下：

延長BA,取AN=AB,連接EN,如圖所示：

根據解析(1)可知：^BAC=120°,/.DAE=60°,AD=AE,

.?/CAN=180°-120°=60°,

：.^DAE=乙CAN,

：.Z-DAC+Z.CAE=Z-CAE+乙EAN,

：.Z.DAC=乙EAN,

-AB=AC,AB=AN,

：.AC=AN,

△￡MC三△E4N,

；.EN=CD,

???2N=AB,點”為BE的中點，

.-.AM=^EN,

：.AM^^CD；

(3)解：???△4DE為等邊三角形，

：.AE=DE=2,N￡ME=60°,

■-AB=2V3,△4DE繞點A逆時針旋轉，

.-.AB-AE<BE<AB+AE,且當4、B、E三點共線時，等號成立,

二當點E在線段4B上時，BE最小，如圖所示：

過點D作DN14B于點N,

???△4DE為等邊三角形，

；.EN=%E=1,

.-.DN='DE2—EN2=V3,

,?,點Af為BE的中點，

.-.ME==a一1,

：.AM=2+V3—1=V3+1,

''-^AADM~54MXDN=5X(V3+1)xyfi—

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，中位線的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性

質，勾股定理，三角形三邊關系的應用，三角形外角的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的

判定和性質.

6.如圖1,已知N4BC=90。，△ABE是等邊三角形，點尸為射線BC上任意一點(點尸與點2不重合)，連

接4P,將線段2P繞點N逆時針旋轉60。得到線段4Q,連接QE并延長交射線BC于點尸.

⑴如圖2,當BP=BA時，乙EBF=。，猜想NQFC=°；

⑵如圖1,當點P為射線BC上任意一點時，猜想NQFC的度數，并加以證明；

⑶已知線段FB=2,AB=m,當AQIIBC時，求四邊形力BFQ的面積.

【答案】(1)30,60

⑵60。不變，見解析

⑶37n

【分析】(1)根據乙良尸=乙48。—乙48E計算，證明△"!尸三△E4Q(SAS),利用全等三角形的性質可以證

明““度數；

(2)根據三角形全等證明即可；

(3)利用平行線的性質，等腰三角形的性質，圖形的面積性質，解答即可.

本題考查了三角形的全等，旋轉的性質，等腰三角形性質，熟練掌握性質是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：???乙48。=90。，是等邊三角形，

"ABE=60°,AB=AE,

??ZEBF=乙ABC-Z.ABE=30°；

???線段4P繞點A逆時針旋轉60。得到線段4Q,

.-.^PAQ=60°,AP=AQf

=60°-/.PAE=^EAQ,

(AB=AE

乙BAP=/-EAQ

IAP=AQ

.\ABAP=AEAQ(SAS),

=^AEQ=90°,

；/BEF=Z.AEF-^LAEB=30°；

；/BFE=180°-乙EBF-乙BEF=120°；

"QFC=180°-(BFE=60°,

故答案為：30,60.

(2)解：Z-QFC=60°.理由如下：

-Z,ABC=90°,△是等邊三角形，

：,^LABE=60°,AB=AE,

??ZEBF=乙ABC-Z-ABE=30°；

???線段4P繞點A逆時針旋轉60。得到線段4Q,

：,Z.PAQ=60°,AP=AQ,

：^BAP=60°一/-PAE=/-EAQ,

(AB=AE

Z.BAP=Z-EAQ

IAP=AQ

??.△B/P三△E4Q(SAS),

：.AABP=Z^EQ=90°,

"BEF=2LAEF-Z.AEB=30°；

"BFE=180°-乙EBF-乙BEF=120°；

；?"FC=180°-乙BFE=60°.

(3)解：?.?ZQ||BC,

.?ZQAP=乙APB=60°,

=30°,

??ZQAB=90°,

???P,尸重合,

.?.PE=QE=FB,AE=AB,

.??四邊形4BFQ的面積為：IFB-ABX3=3m

7.如圖①，在矩形ABCD中，點￡在邊4B上，點廠在邊BC上，連接DE,DF,EF,已知

/.EFB=2/.CDF.

⑴求證：DF平分NCFE；

(2)如圖②，若矩形力BCD為正方形，求dDE的度數；

⑶如圖③，在(2)的基礎上，將點￡繞點。順時針旋轉使點￡的對應點落到點斤，已知點E"恰好落在邊

8C的延長線上，連接DE，，EE',若EE'=8近,求的面積.

【答案】(1)見解析

(2)45°

⑶32

【分析】此題考查了全等三角形的的判定和性質，正方形的性質、矩形的性質、等腰三角形的判定和性質.

(1)設NCDF=a,貝lUEFB=2NCDF=2a,得到NCFD=90。一a,A.DFE=90°-a,即可得到

乙DFE=KDFE,結論得證；

(2)過點。作DH1EF于“，證明△CDF三△//￡>/("5),貝心。=DH/CDF=4FDH,證明

△40E三△HDE(HL),則4HDE=ZJ1DE,貝UNFDH+NEOH=/CDF+N4DE=［乙4DC=45°,即可得至Ij

答案；

(3)證明Rt^DCE，三RtzXfME(HL),則NED。=NED4得到△是等腰直角三角形，即可得到

DE=DE'=8.

【詳解】(1)證明：設NCDf=a,貝IJ/EFB=2z_CDF=2a,

?.?四邊形ABC。矩形，

;zC=90°,

.-.Z.CFD=90°-4CDF=90°-a,

：.Z.DFE=180°—乙DFC—乙BFE=180°—(90°—a)—2a=90°—a

"DFE=乙DFE,

.?.O尸平分4CFE；

(2)過點。作DH1EF于〃,

圖②

:,乙C=(DGF=90°,

由(1)可知，(DFE=(DFE,

又???DF=DF

??.△CDF=△HDF(AAS),

:.CD=DH/CDF=乙FDH,

???四邊形/BCD是正方形，

.-.CD=DAf^A=ACDA=90°

.'.DA=DH,

yDE=DE

AXPE=AHZ)E(HL),

"HDE=/.ADE,

i

"FDH+乙EDH=乙CDF+/.ADE=^ADC=45°,

??/FDE=乙FDH+乙EDH=45°

(3)將點E繞點D順時針旋轉使點E的對應點落到點E,

.'.DE=DE',

-DC=DA,44=乙DCB=^DCE'=90°

???Rt△DCEf=Rt△04伙HL),

：.Z-EDC=Z.EDA,

：./LCDE'+乙CDE=Z.ADE+乙CDE=90°,

：/E，DE=90°

是等腰直角三角形，

.-.DE=DE'=號EE'=乎x8V2=8

△DEE，的面積=^DE'?DE=《x8x8=32

8.在△ABC中，。為直線AC上一動點，連接BD,將BD繞點2逆時針旋轉90。，得到BE,連接OE與相

交于點F.

(1)如圖1,若。為2C的中點，/-BAC=90°,AC=4,BD=后,連接4E,求線段4E的長；

⑵如圖2,G是線段B4延長線上一點，。在線段4C上，連接DG,EC,若NB2C<90。，ECLBG,

/.ADE=Z.DBC,乙DBC+KG=LEBF,證明=24D+DC；

⑶如圖3,若△ABC為等邊三角形，AB=6V2,點〃為線段4c上一點，且2cM=AM,點尸是直線BC上

的動點，連接EP,MP,EM,請直接寫出當EP+MP最小時△EPM的面積.

【答案】⑴=g

⑵見詳解

(3)9+2V3

【分析】(1)根據題意由勾股定理可得48長度，作EG142,交AB于G,利用旋轉及互余可證得

AABD=AGEB,則得EG=AB,BG=AD,可求出4G,再由勾股定理可得4E的長度；

(2)由旋轉可知，ABDE為等腰直角三角形，根據其性質再利用互余可證得△EBC三△BDG,則有

BD=DG,乙EBC=4BDG,由NHDE=NDBC,可證N40G=45。，由NAOE=NDBC,禾U用三角形內角和定

理可得41cB=45。，作交C4延長線于H,連接HG,易知，△BCH為等腰直角三角形，可得

/.BHC=45°,BH=BC=DG,CH=42BC,易得8H||DG,可證四邊形BDGH是平行四邊形，即

HD=2AD,利用CH=HO+CC可得證結論；

(3)作BH14C,交AC于H,將BC繞點B逆時針旋轉90。，證明△BGE三△BCD,進而證得EG||BH,作點M

關于BC的對稱點N,連接PN,CN,由對稱易知CM=CN,易知當EP+MP最小時，即EP+PN最小，亦即

N、P、E在同一直線，且NE1EG,如圖，作B7LGE,交GE于T,易知四邊形8QET是矩形，證得△PMC

是等邊三角形，求出PE=3痣+2VL△射用的高八=茄，根據5/^”=權「力可得答案.

【詳解】（1）解：???￡?為ac的中點，4C=4,BD=同,Z.BAC=90°,

.■.AD=^AC-2,

則由勾股定理，可得：48='BD2—AD2=5,

作EG14B,交力B于G,

由題意可知，NOBE=90。，BE=BD,

.-.zl+z2=90°,z2+z3=90°,

=z.3,

又??ZEGB=/.BAC=90°,

??.△4"三△GEB(AAS),

：.EG=AB=5,BG=AD=2,

則4G=—=3,

由勾股定理可得：AE=VEG2+AG2=V34；

(2)證明：由旋轉可知，△BDE為等腰直角三角形,

.-.Z7=45°,4EBD=90°,BE=BD,

???EC1BG,

.-.Z3+Z.EBF=90°,

又?.?44+NEBF=90。,Z3+Z1=90°,

.?.z3=z4,zl=Z.EBF,

又MDBC+Z-G=乙EBF,乙EBF=42+乙DBC,

.,.z2=A-G,

(乙3=Z4

在△EBC和ABOG中，］Z2=ZG,

(BE=BD

△EBC三△BOG(AAS),

-'-BC=DG,Z-EBC=Z-BDG,

則：/.EBD+Z.DBC=Z7+^ADE+￡.ADG,

,：Z.ADE=Z.DBC,

：.Z.EBD=Z7+Z.ADG,gp：90。=45。+NADG,

.?.乙40G=45°,

^,Z-ADE=Z-DBC=z5+z6,

由三角形內角和定理可得：ZD^C+Z2=Z6+Z7,

即：46+45+42=乙6+47,

：./.ACB=45+42=匕7=45°,

作交乙4延長線于H,連接HG,如圖，

為等腰直角三角形，

-,ABHC=45°,BH=BC=DG,CH=&BC,

■.■^ADG=45°,

:.BH||DG,

.?.四邊形BDGH是平行四邊形，

：.AH=AD,即HZ)=24。，

■.CH=HD+CD=2AD+CD=?C；

(3)作BH14C,交AC于H,

???△ABC是等邊三角形，

"B=AC=BC=6VL乙ACB=/.ABC=60°,BH平分4aBC,

則=4CBH=30°,

將繞點B逆時針旋轉90。，貝IJBC=BG=6vLZ.DBE=乙CBG=90°,

"EBG=乙DBC,乙GBH=乙CBG-乙CBH=60°

??.△BGE=△BCD(SAS),

"BGE=乙BCD=60°

'.EG||BH,

作點M關于BC的對稱點N,連接RV,CN,由對稱易知CM=QV,乙BCN=cACB=60。，PM=PN

：.EP+MP=EP+PN

1

當EP+MP最小時，即EP+PN最小，亦即N、P、E在同一直線，且NEJ.EG,如圖:

作BT1GE,交GE于T,貝IJ/BGT=60。，^.TBG=30°

-'-GT=^BG=3V2,BT-y/BG2—TG2—3V6,

-EG||BH,BHLAC,NE1EG

??.BHJ.NP,NE||AC,四邊形BQET是矩形,

則z_aC8=Z.NPC=乙BPQ=60°,EQ=BT=3V6,即4MPE=60°,

由軸對稱可知，ZCPM=ANPC=60°,

△PMC是等邊三角形，貝ij：PM=CM=CP,

?：2CM=AM,

:.PM=CM=CP=2VLBP=4V2,乙ABH=Z.CBH=30°

：.QP=湖=2VLCH=卻=3V2,

則由勾股定理可得：BQ=2V6,BH=3V6,

■.■NE\\AC,BH1NP,

則QH為NE,AC之間的距離，

：.QH=V6,即的高八=巡

■".PE=EQ+PQ=3V6+2V2,

??△EPM=-/i=Ix（3V6+2V2）XV6=9+2V3.

【點睛】本題屬于幾何綜合題，考查了全等三角形的判定及性質，等腰直角三角形的判定及性質，等邊三

角形的判定及性質，第（2）問證明N4C8=45。，乙4DG=45。解決問題的關鍵，第（3）問弄清點E的運動

軌跡是解決問題的關鍵.

9.已知正方形ABCD中，點F為對角線BD上一點，點E在8c的延長線上，連接EF.

（1）如圖1,DEFIED,連接CF,若AB=3CE=6,求CF的長；

⑵如圖2,將EF繞點F逆時針旋轉90。得到FG,連接EG交CD于點H,若BE=&DF,求證：EH=GH；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接CG,將CG繞點C順時針旋轉60。得CM,連接GM,DM,BM,若AB=8,

當DM取得最小值時，直接寫出△BOM的面積.

【答案】（1）2心

⑵見解析；

(3)24+8V^.

【分析】(1)本題考查正方形的性質及勾股定理，過F作FP1BC于P,先根據正方形的性質得到△BPF和

△8EF都是等腰直角三角形，求出BP、CP,在Rt^CPF中根據勾股定理求解即可得到答案；

(2)本題考查正方形的性質，三角形全等的判定與性質，過E作EK1BD于點K,交DC于點、R,連接DG,根

據正方形的性質及輔助線先證明△EFK三△FGD(SAS),再證明△GDH三△ERH(AAS)即可得到證明；

(3)本題考查正方形的性質及最短距離問題，先找到動點所在直線，根據垂線段最短結合特殊直角三角形

邊的關系求解即可得到答案；

【詳解】(1)解：過F作尸P1BC于P,

圖1

.?ZBPF=乙EPF=90°,

?.?四邊形4BCD是正方形，

AB=BC,/.ABC=90°,4DBC=45°,

.-.APFB=45°,NE=45。，

△BPF和△都是等腰直角三角形，

■:AB=3C￡=6,

■■.BE=BC+CE=8,

.-.BP=PE=PF=^BE=4,CP=2

在Rt2XCPF中，ZCPF=90°,CP=2,PF=4,

■■■CF=?PF2+CP2=2V5；

(2)證明：過E作EK1BD于點K,交。。于點R,連接DG,

：/EKB=90°,乙KEF+乙KFE=90°,

"KEF=(DFG,

???四邊形48co是正方形,^DBC=ABDC=45°,

；.BK=EK,

在Rt△BEK中,BE2=BK2+EK2

：.BE=四EK,

'.'BE=V2DF,

??.0尸=EK,

在和△FGO中，

(EK=DF

］乙FEK=乙DFG,

IEF=FG

AAEFK=AFGZ)(SAS),

.?.0G=FK,乙GDF=乙EKF=90°,

；,DK=KR,DG||KE,

.-.FK=ER=DG,乙DGH="EH,

在△GOH和△￡1/?”中，

(乙DGH=乙REH

1乙DHG=LRHE,

IDG=ER

??.△GDH=△ER"(AAS),

??.GH=EH；

(3)解：由(2)得，ZGDF=90°,如圖，

.,?點G軌跡：直線a,

???CG繞點C順時針旋轉60。得CM,

.??點M軌跡：直線b,且NGKM=60。，

當點G在點K時有等邊三角形，4DKC=60。，

由NBDC=/.CDK=45°,AB=8,CQ垂直于DK,DQ=CQ=4vL

(2"等DK=4V2+

當DM0直線b時，DM最小即DM，的長，

4M'DK=30°,4BDR=60°,DM'=爭K=2V6+2也

AB=8,BD=8V2,BR=4V6,

SQBDM，=5DM1-BR=24+8V3,

10.已知△ABC,點M為邊AC中點，點N為線段8M中點.

圖1

(1)如圖1,若力B=BC,BM=8,AC=12,求力B的長:

(2)如圖2,過點N作直線I,分別過點4B,C作直線/的垂線段4E,BF,CG,求證：AE-CG=2BF-

⑶在(1)條件下，點P與點Q分別是射線M力與射線MB上兩動點，且PQ=AB,點M關于PQ的對稱點為M,

將QP繞點P順時針旋轉90。得到Q?,連接MQ)當MQ最大時，直接寫出△PMQ的面積.

【答案］⑴10

(2)見解析

(3)25+5V5

【分析】(1)根據等腰三角形三線合一，得到8M14C,求出AM的長，在RtaBAM中，應用勾股定理，即

可求解，

(2)作延長GM,交2E于點/,由△BFN三△MHN(AAS),得到=BF,由△4M三△CGM

(AAS),得到2/=CG,IM=GM,結合得到/E=2MH=28F,等量代換，即可求解，

(3)作PQ中點D,作PH1MQ1根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，求出DM的長度，根據對稱的性

質求出OAT的長度，由旋轉的性質，得至！UDPQ'=90°,Q?的長度，在Rt^DPQ，中，應用勾股定理，求出

DQ'的長度，在△DMQ中，M'Q'<DM'+DQ',當點。在線段MQ上時，MQ取得最大值，在Rt^DPQ，中,

SADPQ，=^DP.PQTDQ，PH，求出PH的長度,代入S^pQ,=?PH，即可求解,

本題考查了，旋轉的性質，軸對稱的性質，勾股定理，三角形的中位線，全等三角形的性質與判定，直角

三角形斜邊中線等于斜邊一半，解題的關鍵是：根據中點，連接輔助線，構造全等三角形.

【詳解】(1)解：???AB=8C,點M為邊4C中點，力C=12,

：.BM1AC,AM=^AC=^x12=6,

在Rt△BAM中，AB=y/AM2+BM2=V62+82=10,

(2)解：過點M,作交直線［于點H,延長GM,交4E于點/,

???點N為線段BM中點，MH11,BF11,乙FNB=LHNM,

；/BFN=乙MHN=90°,BN=MN,

△BFN=AMHN(AAS),

:.MH=BF,

?：AE1Z,CG11,

???4E平行于CG

=乙MCG,AAIM=乙CGM,

???M為邊AC中點，

.-.AM=CM,

△AIM^△CGM（AAS）,

：.AI=CG,IM=GM,

?./Ell,MH11,

.-.1EWMH,

:.IE=2MH=2BF,

：.AE=Al+IE=CG+2BF,

：.AE—CG=2BF,

（3）在（1）條件下，點P與點Q分別是射線與射線MB上兩動點，且PQ=4B,點M關于PQ的對稱點為

M',將QP繞點P順時針旋轉90。得到QT,連接MQ一當最大時，直接寫出△PMQ的面積.

解：作PQ中點D,連接DM,DM',DQ',過點P作PH1ATQ一交于點H,

■.■AMIBM,D是PQ中點,

.-.DM=DP=1PQ=Tx10=5,

由對稱的性質可得：DM'=DM=5,

???QP繞點P順時針旋轉90。得到。P,

??ZDPQ'=90°,Q'P=QP=10,

在Rt△DPQ，中，DQ'=、DP2+Q，p2=V52+102=S瓜

在△DMQ中，M'Q'<DM'+DQ'=5+5V5,

當點。在線段MQ上時，MQ取得最大值，

在RtaDPQ，中，SADPQ.=-PQ'^1DQ'-PH,即：1x5x10=|x5V5xPH,解得：PH=2娓,

"'-^APM,Q'=^MQ?P"=Jx（5+5V5）x2V5=25+5V5,

【題型2壓軸題求角度】

11.如圖，△4BC中，ZC=90°,C4=CB,點。為4B上一動點（不與力,8重合），連接CD,將CD繞點C

順時針旋轉90。得到CE,EFWAC,AF1EF,連接4E.

⑴求器的值;

⑵若△CDE的面積為5,4c=3魚時，求4E的長；

⑶G為△ABC所在平面內一點，且CG=6,4G=9,BG=3,請畫出草圖并直接寫出N8GC的度數.

【答案】⑴黑=魚

(2)AE=2或4

⑶NBGC=135。或45。，圖見解析

【分析】(1)通過旋轉性質，先證得△ECA三△DCB,再通過直角等腰三角形的基本性質即可求解;

(2)先通過△CQE的面積求出ED,再求出AB,再在RtaEAD中，利用勾股定理求解即可；

(3)分兩種情況G點可以在△ABC的內部或者△ABC的外部，分別畫圖求解即可.

【詳解】(1)解：???由旋轉的性質可知，CD=CE,Z.DCE=90°,

又"ACB=90°,CA=CB,

.-.^ECA+乙ACD=/LACD+乙DCB=90°,ACAB=ZCF4=45°,

.,-Z.ECA=Z-DCB,

又?:CD=CE,CA=CB,

??.△ECA=△DCS(SAS),

：.EA=DB,/,EAC=Z.DBC=45°,

：.Z.EAD=90°,

X---EF||AC,AF1EFf

.,.zF=90°=Z.EAB,

：.Z.EAF=45°,

.?.在RtA￡72中，EF=AF,AE=yjAF2+EF2=歷AF,

:.BD—y[2AF,

"AF-V乙

(2)連接ED,如圖所示，

■：CE=CD,Z.ECD=90°,

：，s&CDE=^CD2=5,

:.CD—