重難題型?解題技巧攻略

J_____________________________________________________

專題01新增統計概率(根據教材精編)

?>----------題型歸納?定方向-----------*>

題型01伯努利分布、分布的表示.................................................................1

題型02等可能分布或均勻分布...................................................................3

題型03隨機變量及其分布.......................................................................4

題型04隨機變量的期望與方差...................................................................5

題型05二項分布...............................................................................8

題型06超幾何分布............................................................................11

題型07正態分布..............................................................................14

題型08成對數據的統計分析..................................................

題型09條件概率與全概率公式+獨立事件、互斥事件..............................................19

題型10判斷事件的類型概率公式綜合辨析......................................................21

?>----------題型探析?明規律----------?>

【解題規律?提分快招】

1、離散型隨機變量分布列的性質的應用

(1)利用“概率之和為1”可以求相關參數的值.

(2)利用“在某個范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確.

2、求離散型隨機變量自的期望與方差的步驟

⑴理解自的意義，寫出自可能的全部值.

(2)求自取每個值的概率.

(3)寫出自的分布列.

(4)由期望、方差的定義求E化)，D?.

3、判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點

(1)在每一次試驗中，事件發生的概率相同.

(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.

(3)在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發生與不發生.

4、(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.超幾何分布的特征是：①

考察對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的概率分布.

(2)超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質是古典概型.

5、解決正態分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸x=〃；(2)標準差g(3)分布區間.利用對稱性可求指定范

圍內的概率值；由〃，6分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3c特殊區間，從而求出所求概率.注

意只有在標準正態分布下對稱軸才為x=0.

題型01伯努利分布、分布的表示

【典例1-1】.拋擲I枚硬幣，正面朝上的次數為X,則X的期望是.

【答案】1/0.5

【分析】得到隨機變量X的分布，求出期望值.

,01]

【解析】隨機變量X的分布是11,則aX]=0x1+lx[=1

--222

;22)

故答案為：g

【典例1-2】.以下分布中是伯努利分布的是().

A.擲一枚硬幣正面次數X的分布

B.擲兩枚硬幣正面次數X的分布

C.拋一顆骰子點數X的分布

D.從一個放有2個白球，和2個黑球的袋子中摸出兩個球，用工表示白球個數的分布

【答案】A

【分析】根據伯努利分布的概念即可判斷.

【解析】只取兩個值的隨機變量稱為伯努利型，其分布稱為伯努利分布.

則選項A符合，選項BCD不符合.

故選：A.

【變式1-1】.已知隨機變量X服從兩點分布，且尸(乂=0)=2片，尸(X=l)=a,那么。=.

【答案】1/0.5

2

【分析】根據概率之和為1即可求解.

【解析】由題意可知尸(X=0)+P(X=l)=。+2a2=l=>a=g或a=一l,

由于。>。，月「以。=彳，

2

故答案為：g

【變式1-2].已知隨機變量X服從兩點分布，尸(X=l)=0.34,則P(X=0)=,E(X)=.

【答案】0.660.34

【分析】由兩點分布的性質及期望公式即可得出結論.

【解析】由兩點分布可知尸(X=0)=1-0.34=0.66,

E(X)=0x0.66+1x0.34=0.34.

故答案為：0.66;0.34.

【變式1-3].己知X服從參數為0.3的兩點分布，則P(X=0)=；若丫=3乂一2,貝|尸(丫=1)=

73

【答案】0.7/—0.3/—

【分析】根據兩點分布的基本性質即可求解.

【解析】因為X服從參數為0.3的兩點分布，

所以尸(X=l)=0.3,P(X=0)=l-0.3=0.7.

當X=1時，y=3xi—2=1,所以尸(y=i)=p(x=i)=0.3.

故答案為：0.7,0.3

【變式1-4].以下各項中是分布的為()

<2.457.11f-1.21.123.41

C

'10.20.380A)D-[oi_0.l0.40.6)

【答案】B

【分析】分布列中各項概率大于0,且概率之和為1,從而得到正確答案.

【解析】由題意得，分布列中各項概率非負，且概率之和為1,

顯然AC選項不滿足概率之和為1,

D選項不滿足各項概率大于0,B選項滿足要求.

故選：B.

題型02等可能分布或均勻分布

【典例2-1】.已知隨機變量X分布如下：卜"%%],它是均勻分布，則p“為______

lAPlP3Pn)

【答案】-

n

【分析】由均勻分布可知，Pl=p2==P.,求解即可.

【解析】隨機變量X分布是均勻分布，所以“=為==P"，

,1

Pi+Pi-+A,=1，P?=~-

故答案為：—

n

【變式2-1】.已知某個隨機變量的分布I*%該分布是等可能分布，則R的值為

5PiPi)

【答案】I

【分析】根據分布列的性質及等可能性即可求解.

【解析】由分布列的性質得P1+P2+P3=1，且。1=。2=。3,

即可解出百=。2=。3=；?

故答案為：—.

題型03隨機變量及其分布

'-1oP

【典例3-1】?已知隨機變量的分布1,貝!|樞+〃=.

I2J

【答案】1/05

2

【分析】利用分布列的概率和為1求解即可.

【解析】由題意得隨機變量X的所有可能值得概率的和為1,

所以加+〃+工=1,解得加+〃=」.

22

故答案為：g

’0123、

【典例3?2】.分別拋擲3枚硬幣，正面次數X的分布如下131,其中c的值為.

——c—

1888；

3

【答案】-/0.375

O

【分析】利用分布列的概率和為1求解參數即可.

【解析】由題意得隨機變量X的所有可能值的概率的和為1,

故有g3+g1+g1+c=l，解得c=39

OOOO

3

故答案為：-

O

’-101、

【變式3-1】?設4是一個隨機變量，其分布為1,C2,則實數4=______________.

TJq-

【答案】

2

【分析】由概率大于等于。小于等于1,可以得到夕的范圍；根據概率之和為1,可以計算出4的值.

0<1-2^<1

解得K-字

【解析】依題意：0W/W1

j+。-2q)+d=1

故答案為：1-巫.

2

【變式3-2].一袋中裝5個大小與質地相同的球，編號為1、2、3、4、5,從袋中同時取出3個，以X表

示取出的三個球中的最大號碼，則隨機變量X的分布為()

'345)(2345、

A.111B.231

533;105

'345、’345、

C.133D.331

<10105；510io>

【答案】C

【分析】由題意可知X可取的值為3,4,5,分別利用古典概型概率公式求相應事件的概率，可得X的分布.

【解析】由題意可知隨機變量X表示摸出的3個球中的最大號碼數，X可取的值為3、4、5,

當X=3時，3個小球編號為1、2、3,尸(X=3)=*=\；

當X=4時，3個小球一個編號為4,另外兩個為1、2、3中的兩個，P(X=4)=^=[

C5

當X=5時，3個小球一個編號為5,另外兩個為1、2、3、4中的兩個，P(X=5)=||=|.

故選：C.

<123456>/、

【變式3-3].若隨機變量〃的分布為僦，則'=________，PQ3=________.

10.1x0.350.10.150.2)

【答案】0.1/—0.55/—

1020

【分析】直接由分布列第二行概率之和為1即可求出x,再利用概率的可加性可得尸(〃43).

【解析】由題意x=l-0.1-0.35-0.1-0.15-0.2=01，P(zy<3)=0.1+0.1+0.35=0.55.

故答案為：0.1；0.55.

題型04隨機變量的期望與方差

(135、

【典例4-1】?已知隨機變量X的分布為八，,則X的方差為____.

(0.40.1m)

【答案】3.56

【分析】先根據分布列的性質及數學期望公式求出期望值，再利用方差公式求解即可.

【解析】根據分布列的性質得0.4+0.1+〃z=l,解得〃2=0.5,

所以E(X)=lx0.4+3x0.1+5x0.5=3.2,

所以X的方差為O(x)=(1—32)2X0.4+(3-3.2)2xO.1+(5—3.2)2x05=356

故答案為：3.56

'-I01]

【典例4-2].已知一個隨機變量X的分布為,1，且現X]=:,則而=_______

ab—3

I2)

【答案叱

【分析】利用隨機變量均值的性質求解參數，再進行乘法運算即可.

【解析】E[X]--lxa+lx1=l則a=J,由a+b+：=l,得b=則岫=].

2362318

故答案為：士

lo

」23'

【變式4-1].已知隨機變量X的分布是11，則()

[23J

5「7-7c23

A4.—B.-C.一D.——

3326

【答案】C

【分析】利用分布列求出。，求出期望即可.

111

【解析】由題意可得;+：+4=1,解得4=：,

236

￡[Xl=lx-+2x-+3xl=-.

L」2363

:.E2X+-=2x-+-=-

_6j362

故選：c.

’01X、

7

【變式4?2】.已知隨機變量X的分布列為：11,若石(x)=§,且y=3X—2,則o(y)=

123;

【答案】5

【分析】先由概率之和為1,求出P,根據離散型隨機變量的期望公式求出X,再由方差的公式求出O(x),

最后根據方差的性質，即可求出結果.

【解析】由隨機變量分布列的性質，得!+:+。=1,解得，=2

236

5

9

y=3X—2,；.O（y）=￡>（3X—2）=9D（X）=5.

故答案為：5

'-212、

【變式4-3】.隨機變量X的分布為,1,若E[3X+3]=6,則。[X]=_________.

cib一

l2)

【答案】2

【分析】根據數學期望的性質可求得E[X],并結合概率和為1構造方程組求得。涉，利用方差計算公式可

求得結果.

【解析】磯3X+3]=3同X]+3=6,:.E[X]=1,

BP—2a+Z?+1=1,y^a+b+—=1,:.a=\,/?=—,

263

222

.-.￡>[X]^(-2-l)xi+(l-l)x|+(2-l)xl=2.

故答案為：2.

o

2、

1

【變式4-4].已知一個隨機變量X的分布為-b,且”>=i，則ax】=

5

2

【答案】0.4/-

【分析】根據ax〕=i和分布列的性質求得〃涉的值，再利用方差的公式即可求解.

711

〃+b+—=1

【解析】由題意得[5，解得。=0.6,6=0.2,

0x—F〃+2b—1

I5

D[X]=02x(0-1)2+o.6x(l-l)2+o.2x(2-l)2=0.4

故答案為：0.4

_123、b,c成等差數列.若E[X]=g,則D[X]的值為.

【變式4-5】.隨機變量X的分布是u，其中。，

\abc)

【答案】I

結合分布列性質，及E[X]=g,求解。，b,c,然后

【分析】因為。，b,c成等差數列，所以a+c=26.

利用方差的計算公式計算即可.

【解析】因為。，b,c成等差數列，所以a+c=2b.

又由分布歹！J性質知a+6+c=l,所以匕=g.

又因為E[X]=a+26+3c=3,所以a=Lb=—,c1

所以￡＞因=葭(1與+：*(2-］+；x(3W.

2333o39

故答案為：

<-ior

【變式4".已知隨機變量X的分布為12當。增大時().

3a—a—

I33)

A.E(X)增大,D(X)增大B.E(x)減小，D(x)增大

c.E(X)增大,e(x)減小D.E(X)減小,D(X)減小

【答案】B

【分析】利用數學期望和方差公式得出關于。的函數，根據函數單調性判斷E(X)和￡>(X)的變化情況.

122

［解析］由題意得，E(X)=—lxa+0x(——a)+lx—=——a,

所以當〃增大時，風X)減小,

D(X)=(-l-|+?)2x?+(0-1+￡i)2x||-tzWl-|+?jx|

/5、2/2.1)fl)2

一一§)xQ+(a--)xI——tzl+l—+tzlx—

272

=—aH—ci~\—

39

=-

612

所以D(X)在(0,；)上隨。的增大而增大.

故選：B.

題型05二項分布

【典例5-1].已知隨機變量J服從二項分布則P(J=2)=.

【答案」

【分析】根據二項分布的概率公直接求解即可

【解析】表示做了4次獨立實驗，每次試驗成功概率為:，

故答案為：點

【典例5-2】.若隨機變量X服從二項分布3(20,。)，當。=：且P(X=左)取得最大值時，貝隈=.

【答案】10

【分析】根據變量符合二項分布，寫出試驗發生上次的概率的表示式，在表示式中，只有C：。是一個變量,

根據組合數的性質，當左=10時，概率取到最大值.

【解析】

X~8(20,尸)，

2

當P=g時，P(X=k)=%(；)"(；嚴=(1)℃^0.

顯然當％=10時，P(x=%)取得最大值.

故答案為：10

【變式5-1】?下列說法中正確的是

①設隨機變量服X從二項分布,6,J,則尸(X=3)='；

②已知隨機變量X服從正態分布N(2,/)且p(x<4)=0.9,則尸(0<X<2)=0.4；

③小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A="4個人去的景點互不相同”，

事件8="小趙獨自去一個景點“，則P(A|B)=-；

④E(2X+3)=2E(X)+3,DQX+3)=2￡>(X)+3.

【答案】①②③

【分析】根據二項分布的概率公式判斷①；

根據正態分布的性質判斷②；

根據條件概率判斷③；

根據期望與方差的性質判斷④.

【解析】隨機變量X服從二項分布則尸(x=3)=C(；1[gj=^,故①正確；

隨機變量X服從正態分布N(2,")且P(X<4)=0.9,則尸(0<X<2)=尸(2<X<4)=0.9-0.5=0.4,故②正

確；

P193

事件A="4個人去的景點互不相同"，事件3="小趙獨自去一個景點”，貝=祭,P(B)=三，所以

,、P(AB}2

尸(42)=^故③正確；

E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4￡)(X),故④錯誤.

故答案為：①②③.

【變式5-2].如果隨機變量X~B0O24,；1,Y~B(2024,1j，那么當X、Y變化時，使P(X=匕)=P(Y=k2)

成立的(k㈤的個數為.

【答案】2025

【分析】由二項分布的概率公式和組合數的性質計算可得.

k

(1\'(3、2。24一占

【解析】由題意可得P(X=kJ=C424X；X1,

(3、&1、2024-左2

p8=左2)=C/、匕[x[J，

因為尸(x=《)=p(y=k2),

所以左1+女2=2024,

所以使73(*=匕)=尸“=e)成立的(.3的分別為(°，2。24),(1,2023),(2,2022),,(2024,0),共2025個,

故答案為：2025.

【變式5-3】?設隨機變量X服從二項分布3(2,p),隨機變量丫服從二項分布3(4,p),若P(XZ1)=3，

貝”a22)=.

【答案喘

【分析】由隨機變量X服從二項分布8(2,2),及P(X21)=],求出p=；,再由隨機變量y服從二項分布

8(4,p),貝UP(yZ2)=C；p2(l-p)2+C?“i-p)+c*4,計算可得.

【解析】因為隨機變量X服從二項分布3(2,0),

所以尸(X?l)=l-尸(X<1)=1-尸(X=0)=l-(l-p)2=],

解得p=;或p=;(舍去)，

又因為隨機變量y服從二項分布3(4,0，

所以P(y22)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(X=4)

二C21—獷+*(i_0+c力吟

故答案為：工.

27

【變式5-4】.已知隨機變量X~8(2,p),r~0-l,若尸(X21)=Q64,P(Y=\)=p,則/￥=0)的值等

于.

【答案】0.6

【分析】根據二項分布的概率性質計算求解.

［解析］尸(XN1)=尸(X=l)+尸(X=2)=C；p(l_p)+C；p2=0.64,解得p=0.4(,=1.6舍去)，

p(y=0)=l-P(y=l)=l-p=l-0.4=0.6.

故答案為：0.6.

【變式5-5】.在一次新兵射擊能力檢測中，每人都可打5槍，只要擊中靶標就停止射擊，合格通過；5次

全不中，則不合格.新兵A參加射擊能力檢測，假設他每次射擊相互獨立,且擊中靶標的概率均為p(0＜。＜1),

若當P=P。時，他至少射擊4次合格通過的概率最大，則p°=.

【答案】1一巫/一巫+1

55

【分析】由題設至少射擊4次合格通過，即第4或5槍擊中靶標，可得f(p)=(l-初3(2。-")，利用導數

研究函數在(0,1)上的最值，根據最值成立的條件即得P。.

【解析】至少射擊4次合格通過的概率為f(P)=(1-。尸。+(1-。y0=(1-p)3Q0-叫，

所以/'5)=(1-0產(5/-10。+2),令/3=0,解得p=l-g,

故/(p)在上單調遞增，在"-半上單調遞減，

當p=l-平時/5)得最大值，故外=1-半.

故答案為：1-巫

5

【點睛】關鍵點點睛：用P表示至少射擊4次合格通過的概率/(/),并利用導數研究在(0,1)上的最值即可.

題型06超幾何分布

【典例6-1】.某醫院派出16名護士、4名內科醫生組成支援隊伍，現在需要從這20人中任意選取3人去A

城市支援，設X表示其中內科醫生的人數，則尸(X=2)=

【答案】言Q

【分析】根據題意結合超幾何分布的概率公式求解.

【解析】由題意得小=2)=^=前念晨.

故答案為：—

【典例6-21.某袋中裝有大小相同質地均勻的黑球和白球共5個.從袋中隨機取出3個球，已知恰全為黑

球的概率為上，若記取出3個球中黑球的個數為X,則HX］=

9

【答案】石"36

【分析】黑球的個數為"，通過從袋中隨機取出3個球，恰全為黑球的概率為，，求出〃，然后求解記取

出3個球中黑球的個數為X,的概率得到分布列，然后求解期望與方差即可.

C31

【解析】解：設黑球的個數為九，由。=湛=右得〃=3,

Cio

記取出3個球中黑球的個數為X,X的取值可以為1,2,3；

3

P(X=1)=XC2cl=±3,尸(X=2)=?CY=?6=士3，p(X=3)C=°C*=L1,

Cf10C110510

則X分布列如下:

X123

P331

W5W

3319

所以￡IX]=—xl+—x2+—x3=—,

105105

222

939199

則O[X]=—x|1-—I+—x|2-—I+—xl3--

1055510525

Q

故答案為：—

【變式64】.在箱子中有10個小球，其中有4個紅球，6個白球.從這10個球中任取3個，記X表示白球的

個數，貝|JP（X=2）=

【答案】1/0.5

【分析】根據超幾何分布的概率公式直接計算.

【解析】由已知得X=2,表示2個白球，1個紅球,

1

故尸(X=2)=,=5.

故答案為：去

【變式6-2].學校要從5名男教師和2名女教師中隨機選出3人去支教，設抽取的人中女教師的人數為X,

求P(XK1)=

【答案】|

【分析】本題主要考查了超幾何分步的概率計算，屬于基礎題.

根據題意，X的取值為。或1,代入超幾何分布公式求出對應概率，再相加即可.

【解析】解：由題意可得

3

P(x=o)令cc°102

J357

「（x=】）=詈=|H

所以P（XVl）=P（X=0）+P（X=l）=m+g=T.

故答案為：—.

【變式6-3】.盒中有2個白球，3個黑球，從中任取3個球，以X表示取到白球的個數，〃表示取到黑球

的個數.給出下列各項：

①置X）=g,￡（7）=|;②E（X2）=E（〃）；③E（〃2）=E（X）；@r＞（X）=r＞（7）=^.

其中正確的是.（填上所有正確項的序號）

【答案】①②④

【分析】根據數學期望、方差和超幾何分布的概念運算即可求解.

【解析】由題意可知X服從超幾何分布，〃也服從超幾何分布.

0又NX的分□布列

0

001339

.\E(J<2)=02x—+12-+22X—=-,

10X5105

969

。(㈤=以解)一［￡(刈2=--(-)2=-.

rj的分布列為

4123

331

P

10510

O311Q

.-.E(//2)=l2x—+22X-+32X—=—,

105105

1899

D(〃)=E(〃2)—［及〃)］2=—()2=

3J

.?.￡(￥)=￡(〃)，。(㈤=￡>(〃)，.?.①②④正確.

故答案為：①②④.

題型07正態分布

【典例7-1].已知隨機變量X服從正態分布N3b2）,若尸（XV-1”尸（X23）,則實數〃的取值范圍

是.

【答案】

【分析】根據正態分布密度曲線的對稱性求解即可.

【解析】由正態分布的對稱性知，|〃+1歸|〃-3],解得〃41,

所以實數〃的取值范圍是（-叫1].

故答案為：（-8』.

1(XT)2

【典例7-2】.隨機變量X的概率分布密度函數/（x）=__i_e2b2（xeR）,其圖象如圖所不，設

(JyflTl

P（X22）=0.15,則圖中陰影部分的面積為

7

【答案】0.35/—

【分析】根據正態分布的對稱性即可求解.

【解析】由題意可知XN（L〃），則P（X4O）=P（X22）=O.15,

故圖中陰影部分的面積為上野=。35.

故答案為：0.35.

【分析】根據分位數的定義和正態分布的性質，即可求解.

【解析】P（X20.67）=0.25且對稱軸為y軸,

P（X<-0.67）=0.25,

???該分布的0.25分位數為-0.67.

故答案為：-0.67.

【變式7-2】.某地區高三年級2000名學生參加了地區教學質量調研測試，已知數學測試成績X服從正態

分布N（100,/）（試卷滿分150分），統計結果顯示，有320名學生的數學成績低于80分，則數學分數屬于

閉區間［80,120］的學生人數約為.

【答案】1360

【分析】根據正態分布的性質，求出尸（80WX4120）,即可求得結果.

【解析】根據已知條件有數學成績低于80分的概率為320蒜4，

417

又XN（100,〃），所以數學分數屬于閉區間［80,120］的概率為1-=,

17

所以數學分數屬于閉區間［80,120］的學生人數約為2000x1=1360人.

故答案為：1360

【變式7-3】.若隨機變量XN（6,l）,且尸（5<XW7）=a,尸（4<X<8）=b,則尸（4<X<7）等于（）

【答案】B

【分析】利用正態密度曲線的對稱性，即可求解.

【解析】隨機變量X~N（6,1）,且尸（5<XW7）=a,尸（4<X48）=b,

由正態密度曲線的對稱性可知，P（4<X<5）=^,

所以尸（4<XW7）=審+〃=殍.

故選：B

題型08成對數據的統計分析

【典例8-1］.在研究線性回歸模型時，樣本數據㈤y）T=1,2,3,L,〃）所對應的點均在直線>龍+3

上，用「表示解釋變量對于反應變量變化的線性相關度，則r=.

【答案】-1

【分析】根據線性相關系數的定義直接得解.

【解析】由已知樣本數據（4%）（i=l,2,3,L,n）所對應的點均在直線y=-gx+3上，

貝州=1,

又go.

所以滿足負相關，

即廠=—1,

故答案為：-1.

【典例8-2】.從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高x(單位：cm)與體重，(單位：kg)的數據如

為.

【答案】0.96

【分析】由線性回歸方程先求x=175時夕的值，再根據殘差的計算公式即可求解.

【解析】令x=175得費=63.04,所以殘差為64-63.04=0.96

故答案為：0.96

【變式8-1].已知一組成對數據。8,24),(13,34),(10,38),(-1,“7)的回歸方程為了=-2工+59.5,則該組數據的

相關系數「=(精確到0.001).

【答案】-0.998

【分析】一組成對數據的平均值GJ)一定在回歸方程上，可求得加，再利用相關系數廠的計算公式算出即

可.

【解析】由條件可得，

-18+13+10-1，八

尤=----------------------=10,

4

—24+34+38+〃？96+m

y=-------------------=---，

44

(x,y)一定在回歸方程y=-2x+59.5上，代入解得”=62,

-96+6279

y=------=一,

42

4

Z%%=18x24+13x34+10x38-1x62=1192,

1=1

4

=182+132+102+(-1)2=594,

Z=1

4

￡yf=242+342+382+622=7020,

4=1

79

-4?1192—4xl0x——

2?-0.998

(^X,2-4X2)((EX2)-4?2)(594-4xl00)x(7020-4x(y)2)

z=li=l

故答案為：-0.998

【變式8-2】?下列說法中，正確的有（填序號）.

①回歸直線y=^+例亙過點（元方，且至少過一個樣本點；

②根據2x2列聯表中的數據計算得出Z2>6.635,而尸（/>6.635）?0.01,則有99%的把握認為兩個分類變

量有關系，即有1%的可能性使得“兩個分類變量有關系”的推斷出現錯誤；

③"是用來判斷兩個分類變量是否相關的隨機變量，當/的值很小時可以推斷兩類變量不相關；

④某項測量結果4服從正態分布貝廳傳<5）=0.81,則P（JW-3）=O.19.

【答案】②④

【分析】根據回歸直線的特征即可判斷①，理解獨立性檢驗的基本思想即可判斷②，正確把握卡方值的含

義即可判斷③，利用正態曲線的對稱性可判斷④.

【解析】對于①，回歸直線>=公+方恒過點伍,了），但不一定過樣本點，故①錯誤；

對于②，因獨立性檢驗是選取一個零假設”。條件下的小概率事件，故②正確；

對于③，當/的值很小時推斷兩類變量相關的把握小，但不能說無關，故③錯誤；

對于④，因為4服從正態分布旦包尸=1，所以J45與-3關于直線〃=1對稱，

由45）=0.81可得，P（^>5）=0.19,貝3）=尸（J>5）=0.19,故④正確.

故答案為：②④.

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查回歸分析，獨立性檢驗，正態分布等知識點，屬于基礎題.

解決此類題的關鍵即是正確理解和把握以上概念和本質特征，如回歸直線的圖象體征，獨立性檢驗中“零假

設”的含義，正態分布曲線的對稱性特征.

【變式8-3].近五年來某草原羊只數量與草地植被指數兩變量間的關系如表所示，繪制相應的散點圖，如

圖所示：

年份12345

羊只數量/萬只1.40.90.750.60.3

草地植被指數1.14.315.631.349.7

A草地植被指數

60-

50-?

40-

30-?

20-

10-?

_______?%

o0.51:$羊五數量/萬只

若利用這五組數據得到的兩變量間的相關系數為不，去掉第一年數據（14,1.1）后得到的相關系數為4，則工

r2（填之，＜,＜,＞）

【答案】＞

【分析】根據散點圖可知兩個量呈負相關，且去掉數據。41.1）后相關性變強，結合相關系數的概念判斷即

可.

【解析】根據散點圖可知，羊只數量與草地植被指數呈負相關，則相關系數4＜。，々＜0,

當去掉第一年數據（14,1.1）后，數據的線性相關性變強，所以用＜同，所以4＞4.

故答案為：＞

【變式8-4].為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下圖所示列聯表:

疾病

藥物合計

未患病患病

服用m50—m50

未服用80—mm-3050

合計8020100

取顯著性水平a=0.05,若本次考察結果支持“藥物對疾病預防有顯著效果”，則m（m＞40,meN）的最小值

為.

n{ad-be)2

（參考公式：/=;參考值:P(/>3.841)?0.05)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】44

【分析】由題意列出不等式，結合近似計算求出，”的取值范圍，即可得答案.

【解析】由題意可知/=10°[雙加-30）-（80-^）（50-加）了23.841，

80x20x50x50

則(100m-4000)2>502x42x3.841,

解得mN43.92或加<36.08,而機240,MEN,

故m的最小值為44.

故答案為：44.

題型09條件概率與全概率公式

【典例9-1】.甲、乙兩氣象站同時作天氣預報，如果甲站、乙站各自預報的準確率分別為0.8和0.7,且假定

甲、乙兩氣象站預報是否準確相互之間沒有影響，那么在一次預報中，甲站、乙站預報都錯誤的概率

為.

3

【答案】—/0.06

【分析】根據相互獨立事件的乘法概率公式即可求解.

【解析】解：記4="甲預報準確"，8="乙預報準確”，

貝I」P(A)=0.8,P(A)=1-0.8=0.2,P(B)=0.7,P(B)=1-0.7=0.3

所以甲、乙都預報錯誤的概率為P(Ac巨)=P(A)P(B)=0.3x0.2=0.06

故答案為：0.06

【變式某科研型農場試驗了生態柳丁的種植，在種植基地從收獲的果實中隨機抽取100個，得到其

質量(單位：g)的頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表如圖.已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，

用頻率估計概率，現從中隨機抽取1個柳丁，則該柳丁為商品果的概率為.

【答案】0.79/—

【分析】

結合頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表，利用全概率公式可直接求得答案.

【解析】

記事件4="從柳丁中任取1個為商品果”，由全概率公式可得

P(A)=0.005x20x0.7+0.015x20x0.8+0.010x(20x0.8+20x09+20x0.7)=0.79,

故答案為:0.79.

【變式9-2】.長時間玩手機可能影響視力，據調查，某校學生大約30%的人近視，而該校大約有40%的學

生每天玩手機超過2h,這些人的近視率約為60%,現從該校近視的學生中任意調查一名學生，則他每天玩

手機超過2h的概率為.

【答案】1/0.8

【分析】根據題意結合條件概率公式分析運算.

【解析】用頻率估計概率，記“學生近視”為事件4"學生每天玩手機超過2h”為事件8,

由題意可得：P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（A|B）=0.6,

/、P（AB）/、/、/、

因為P（A|3）=4--^,貝IJP（AB）=P（A|B）P（B）=0.6x0.4=0.24,

p\8）

,、P（AB}0,244

所以P（例A）=—=-

、'P（A）0.35

4

故答案為：—.

【變式9-3].研究人員開展甲、乙兩種藥物的臨床抗藥性研究實驗，事件A為“對藥物甲產生抗藥性”，事

件3為“對藥物乙產生抗藥性”，事件。為“對甲、乙兩種藥物均不產生抗藥性”.若P(A)=j。⑻=6，

P(C)=A，則尸(用可=—.

3

【答案】-/0.375

O

【分析】求出尸(A3),結合P(A3)=P(A)+P(3)-尸(AB)求出P(AB),進而利用求條件概率公式求出

答案.

【解析】由題意可知尸(0=P("可磊，則尸(AuB)=l-