專題16難點(diǎn)探究專題：幾何圖形中動(dòng)角問題壓軸題三種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【考點(diǎn)一幾何圖形中動(dòng)角定值問題】.............................................................1

【考點(diǎn)二幾何圖形中動(dòng)角數(shù)量關(guān)系問題】........................................................3

【考點(diǎn)三幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題】.......................................................4

‘1^【典型例題】

【考點(diǎn)一幾何圖形中動(dòng)角定值問題】

例題：（2023秋?湖南懷化?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知如圖ON是/BOC的平分線，是ZAOC的平分線,

ZAOC=28°,NCOB=42°

⑴求/MON的度數(shù).

⑵當(dāng)射線OC在NAQB的內(nèi)部線繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，射線。口、ON的位置是否發(fā)生變化？說明理由.

（3）在（2）的條件下，/MON的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求其度數(shù)；如果變化，說出其變化范圍.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?江西撫州,七年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角板中含有60。角的三角板的頂點(diǎn)和另一塊含有45。角的

三角板的頂點(diǎn)重合于一點(diǎn)。，繞著點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)含有60。角的三角板，拼成如圖的情況，請回答問題：

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)8在射線OC上時(shí)，直接寫出ZAC?的度數(shù)是度;

⑵①如圖2,當(dāng)為NCOD的角平分線時(shí)，求出此時(shí)/AOC的度數(shù)；

②如圖3,當(dāng)08為ZAC?的角平分線時(shí)，求出此時(shí)ZAOC的度數(shù)；

⑶若只在NCOD內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，作ZAOC平分線OE交于點(diǎn)E,再作NBOD的平分線OF交CD于點(diǎn)、F,

在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中NEOb的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個(gè)值；若變化，請說明理由.

2.（2023秋?湖北武漢?七年級(jí)校考期末）如圖，ZAOB=100°,ZCOD=40°,射線OE平分/AOC,射線OF

平分ZBOD（本題中的角均為大于0。且小于180。的角）.

⑴如圖，當(dāng)OB,0c重合時(shí)，求NEC*的度數(shù)；

⑵當(dāng)NCOD從圖中所示位置繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)w度（0<〃<40）時(shí)，N4OE-/的值是否為定值？若是

定值，求出NAOE-N3OF的值，若不是，請說明理由.

⑶當(dāng)NCOD從圖中所示位置繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃度（0<”220）時(shí)，/AOE與ZBOF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【考點(diǎn)二幾何圖形中動(dòng)角數(shù)量關(guān)系問題】

例題：（2023秋?河北邢臺(tái)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知。為直線A3上一點(diǎn)，射線0。、OC、OE位于直線上

方，0。在OE的左側(cè)，ZAOC=nO°,ZDOE=80°.

⑴如圖1,當(dāng)。。平分/AOC時(shí)，求/EO3的度數(shù)；

⑵點(diǎn)尸在射線08上，若射線OF繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃。（0<〃<180且〃工60）,ZFOA=3ZAOD.當(dāng)NDOE

在NA0C內(nèi)部（圖2）和NDOE的兩邊在射線0C的兩側(cè)（圖3）時(shí)，ZFOE和/EOC的數(shù)量關(guān)系是否改變，

若改變，說明理由，若不變，求出其關(guān)系.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?福建福州?七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)。在直線AB上，NCOD在直線A3上方，且/COD=60。,

射線0E在ZCOD內(nèi)部，ZAOE=2ZDOE.

⑴如圖1,若。。是23OC的平分線，求NCOE的度數(shù)；

（2）如圖2,探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)—B0D的大小發(fā)生變化時(shí)，/COE與/30D的數(shù)量關(guān)系保持不變.請你用等式表

示出/COE與-30。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

AB

2.（2023秋?湖北武漢?七年級(jí)校考期末）如圖，ZAOB=100°,ZCOD=40°,射線OE平分/4OC,射線OF

平分/BOD（本題中的角均為大于0。且小于180。的角）.

備用圖

⑴如圖，當(dāng)08,OC重合時(shí)，求NEO尸的度數(shù);

⑵當(dāng)NCO￡>從圖中所示位置繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)"度（0<〃<40）時(shí)，NAOE-N3O尸的值是否為定值？若是

定值，求出NAOE-NBO尸的值，若不是，請說明理由.

（3）當(dāng)NCOD從圖中所示位置繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃度（0<〃<220）時(shí),NAOE與ZBOF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【考點(diǎn)三幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題】

例題：（2023秋?四川成都,七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1,A,。，8三點(diǎn)在一條直線上，且ZAOC=24°,ZBOD=78°,

射線。"，ON分別平分ZAC?和—BOD.如圖2,將射線。4以每秒8。的速度繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同

時(shí)將NCOD以每秒6。的速度繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線。8重合時(shí)，NCOD停止運(yùn)動(dòng).設(shè)射線Q4

的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

圖1圖2

⑴運(yùn)動(dòng)開始前，如圖1,NDON=。，ZAOM=

⑵旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)/為何值時(shí)，射線0。平分NBOM?

⑶旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時(shí)刻使得NMON=42。？若存在，請求出，的值；若不存在，請說明理由.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?甘肅蘭州?七年級(jí)校考期末）如圖，。為直線A2上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線OC,ZAOC=30°,將

一直角三角板（NM=30。）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一邊ON在射線上，另一邊與OC都在直線A3

的上方.

⑴將圖1中的三角板繞點(diǎn)。以每秒2。的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2,經(jīng)過f秒后，加恰好平分

NBOC.求t的值；并判斷此時(shí)ON是否平分ZAOC?說明理由；

⑵在（1）的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線OC也繞。點(diǎn)以每秒6。的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,

那么經(jīng)過多長時(shí)間OC平分NMON?請說明理由.

2.（2023秋?四川成都?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，OC是—AQB內(nèi)部的一條射線，且ZA0B=340C.

求NMON的度數(shù);

⑵如圖2所示，是直角，從點(diǎn)。出發(fā)在—3OC內(nèi)引射線OD,滿足NBOC-NAOC=NCOD,若

平分NCOD,求的度數(shù)；

⑶如圖3所示，ZAOB=x°,射線OP,射線。。分別從OC,03出發(fā)，并分別以每秒1。和每秒2。的速度繞

著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，。尸和。。分別只在/AOC和—BOC內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

①直接寫出NAOP和/COQ的數(shù)量關(guān)系；

2

②若NAOB=150。，當(dāng)/POQ=*BOP,求f的值.

3.（2023秋?廣東惠州?七年級(jí)校考階段練習(xí)）解答下列問題.

⑴【探索新知】

如圖1,射線OC在NAOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：/AOB,ZAOC和NBOC,若其中有一個(gè)角的度數(shù)

是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是-403的“巧分線".

①一個(gè)角的平分線.這個(gè)角的"巧分線".（填"是"或"不是"）

②如圖2,若NMPN=a,且射線PQ是NMPN的"巧分線"，則/加尸。=_.（用含a的代數(shù)式表示出所有可

能的結(jié)果）

⑵【深入研究】

如圖2,若NMPN=60。,且射線PQ繞點(diǎn)尸從PN位置開始，以每秒10。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與尸。與PN

成180。時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為f秒.

①當(dāng)f為何值時(shí)，射線是NQPN的“巧分線”.

②若射線同時(shí)繞點(diǎn)尸以每秒5。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止.請直接寫出當(dāng)射線尸。是NMPN

的“巧分線"時(shí)/的值.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023秋?湖北武漢?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O在直線4B上，射線OCOD分別在AB兩側(cè)，ZCOD^90°,

OE,O尸分別平分NAOC和—3。。，下列四個(gè)結(jié)論：①NCOE-NBOF=45。；②NEOF為定值;（3）

2ZBOE-ZAOD=90°；@ZAOF+ZEOD=315°.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

2.（2023秋?河北保定?七年級(jí)統(tǒng)考期末）己知：如圖1,點(diǎn)A,O,8依次在直線MN上，現(xiàn)將射線04繞點(diǎn)

。沿順時(shí)針方向以每秒2。的速度旋轉(zhuǎn)；同時(shí)射線08繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向以每秒4。的速度旋轉(zhuǎn).如圖2,設(shè)

旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/秒（0W90）.下列說法正確的是（）

A.整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，不存在NAOB=90。的情況

B.當(dāng)NAO3=60。時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間f一定為20秒

C.當(dāng)"直為36秒時(shí)，射線08恰好平分/MQ4

D.當(dāng)NAC?=60。時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間f一定為40秒

二、填空題

3.（2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，回C。。在0AOB的內(nèi)部，且？CODhAOB,若將回C。。繞點(diǎn)。順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)，使團(tuán)COD在0AOB的外部，在運(yùn)動(dòng)過程中，OE平分HBOC,則SDOE與她0c之間滿足的數(shù)量關(guān)系是

4.（2022秋?全國,七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,直線也上有一點(diǎn)。，過點(diǎn)。在直線ED上方作射線OC,將一

直角三角板408（/0^=30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一條直角邊在射線上，另一邊在直線即

上方，將直角三角板繞著點(diǎn)。按每秒10。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為r秒.若射線OC的位置保持

不變，MZCOE=140°.則在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2,當(dāng)》=秒時(shí)，射線OAOC與OD中的某一

條射線恰好是另兩條射線所夾角的平分線.

01圖2

三、解答題

5.（2023秋?廣東揭陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末）己知。是直線AB上的一點(diǎn)，NCOD是直角，OE平分/BOC.

⑴如圖①，若NAOC=30。，求NCOE,NDO3的度數(shù).

⑵將圖①中的NCOD繞頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，探究ZAOC與NDOE的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

6.（2023春?河北唐山?七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知NAO3=180。，OA1是/AOC的平分線，ON是/BOC

的平分線.

AOB

⑴分別指出圖中ZAON和ZBOM的補(bǔ)角；

⑵若ZBOC=68°,求ZCON和ZCOM的度數(shù)；

⑶NCON和NCOM具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

7.(2022秋?陜西延安?七年級(jí)校考期末)已知4408=110。，ZCOD=40°,OE1平分/AOC,OF平分NBOD.

(1)如圖，當(dāng)。8、OC重合時(shí)，求的值；

(2)若NCOD從上圖所示位置繞點(diǎn)。以每秒3。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)f秒(0<t<10),在旋轉(zhuǎn)過程中

NAOE-尸的值是否會(huì)因/的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.

8.(2023春?湖北十堰?七年級(jí)校考開學(xué)考試)如圖，過點(diǎn)。在2493內(nèi)部作射線OC.OE,OF分別平分

ZAOC^\ZBOC,/AOC與/AO3互補(bǔ)，ZAOC^a.

⑴如圖1,若々=70。，貝!]NAO3=°,ZAOF^。，Z.EOF=°；

(2)如圖2,若。。平分/AC?.試探索：-/C°￡>是否為定值,若是，請求出這個(gè)定值；若不是,

/DOE

9.（2023春,山西臨汾,七年級(jí)統(tǒng)考期中）問題情境：如圖，直線AB,CZ）相交于點(diǎn)。.QN把ZAOD分成兩

個(gè)角，且ZAQV:ZWQD=2:3.

M

問題提出：

⑴若NBOC=75。，求NACW的度數(shù).

⑵如果/3OC=75。，OM平分NBON,那么08是/COM的平分線嗎？試說明理由.

問題解決：

3

（3）若OMLON,則《ZAOC-ZOOM是否為定值？若是，請求出定值：若不是，求說明理由.

10.（2023秋?河北唐山?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)。為直線A3上一點(diǎn)，將斜邊為。的直角三角板的直角

頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，OE平分/BOC.

⑴如圖1,若NAOC=30。，求NDOE的度數(shù)；

⑵將直角三角板繞頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，探究NAOC和/06?度數(shù)之間的關(guān)系，

寫出你的結(jié)論，并說明理由；

（3）在圖1中，ZAOC=30°,。尸與。。的起始位置重合，再將三角板COD繞點(diǎn)。按每秒10。的速度沿順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第,秒時(shí)，射線0。恰好是銳角/BOP的三等分線，貝打的值為

秒（直接寫出結(jié)果）.

11.（2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1,已知ZAOB=150°,NCOE與ZEOD互余，OE平分ZAOD.

圖1

⑴在圖1中，若NCOE=30。，貝！］ZDOE=ZBOD=

（2）在圖1中，設(shè)NCOE=a,^BOD=（3,請