一元一次不等式知識歸納與題型突破

（18類題型）

01思維導圖

題型一不等式的定義卜、一題型十求不等式組的解集

題型二不等式的性質、\

題型十一解特殊不等式組

題型三不等式的解集卜、

題型十二求一元一次不等式組的整數解

題型四一元一次不等式的定義一題型十三由一元一次不等式組的解集求參數

題型五求-元-次不等式的統一元一次不等式一■題型十四不等式組和方程組相結合的問題

［題型六求一元一次不等式的整數解/n

-題型十五一元一次不等式組的其他應用

題型七在數軸上表示不等式的解集—/J1

題型十六用一元一次不等式組解決實際問題

題型八求一元一次不等式解的最值-----/

題型十七用一元一次不等式組解決幾何問題

題型九一元一次不等式蛆的定義，

題型十八一元一次不等式的綜合

02知識速記

知識點一、不等式的概念

一般地，用“<”、">"、"W”或“2”表示大小關系的式子,叫做不等式.用“W”表示不等關系

的式子也是不等式.

知識點二、不等式的解及解集

1.不等式的解：

能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.

2.不等式的解集：

對于一個含有未知數的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集.

3.不等式的解集的表示方法

（1）用最簡的不等式表示:一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，其解集是一個范圍，這個范圍

可用最簡單的不等式來表示.如：不等式x-2W6的解集為xW8.

（2）用數軸表示:不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式的無限個解.如圖所示：

x>ax^ax<axW。

I>-I>

aaaa

知識點三、不等式的基本性質

不等式的基本性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變.

用式子表示：如果a>b,那么a土c〉b土c.

不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

Qb

用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或一>—）.

CC

不等式的基本性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

ah

用式子表示：如果a>b,c<0,那么ac<bc（或一<—）.

cc

知識點四、一元一次不等式的概念

只含有一個未知數，未知數的次數是一次的不等式，叫做一元一次不等式，

特別提醒：

（1）一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式（單項式或多項式）；②只含有一個未知數；③未知

數的最高次數為1.

（2）一元一次不等式與一元一次方程既有區別又有聯系：

相同點：二者都是只含有一個未知數，未知數的次數都是1,“左邊”和“右邊”都是整式.

不同點：一元一次不等式表示不等關系，由不等號“<”、“W"、或“>”連接，不等號有方

向；一元一次方程表示相等關系，由等號“=”連接，等號沒有方向.

知識點五、一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式.

2.一元一次不等式的解法：

與一元一次方程的解法類似，其根據是不等式的基本性質，將不等式逐步化為：x<a（或x〉a）的

形式，解一元一次不等式的一般步驟為：（1）去分母；⑵去括號；⑶移項；（4）化為冰〉6（或ax<b）

的形式(其中awO)；(5)兩邊同除以未知數的系數，得到不等式的解集.

特別提醒：(1)在解一元一次不等式時，每個步驟并不一定都要用到，可根據具體問題靈活運用.

(2)解不等式應注意：

①去分母時，每一項都要乘同一個數，尤其不要漏乘常數項；

②移項時不要忘記變號；

③去括號時，若括號前面是負號，括號里的每一項都要變號；

④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數時，不等號的方向要改變.

3.不等式的解集在數軸上表示：

在數軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無限多個解，它對以后正確確定

一元一次不等式組的解集有很大幫助.

特別提醒：在用數軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：

(1)邊界：有等號的是實心圓點，無等號的是空心圓圈；

(2)方向：大向右，小向左.

知識點六、不等式組的概念

定義：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組.

特別提醒：

(1)這里的“幾個”不等式是兩個、三個或三個以上.

(2)這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數.

知識點七、解一元一次不等式組

1.一元一次不等式組的解集：

一元一次不等式組中幾個不等式的解集的公共部分叫做這個一元一次不等式組的解集.

特別提醒：

(D找幾個不等式的解集的公共部分的方法是先將幾個不等式的解集在同一數軸上表示出來，然后找出它

們重疊的部分.

(2)有的一元一次不等式組中的各不等式的解集可能沒有公共部分，也就是說有的不等式組可能出現無解

的情況.

2.一元一次不等式組的解法

解不等式組就是求它的解集，解一元一次不等式組的方法步驟：

(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集.

(2)利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分即這個不等式組的解集.

知識點八、一元一次不等式組的應用

列一元一次不等式組解應用題的步驟為：審題一設未知數一找不等關系一列不等式組一解不等式組一

檢驗一答.

特別提醒：

(1)利用一元一次不等式組解應用題的關鍵是找不等關系.

(2)列不等式組解決實際問題時，求出不等式組的解集后，要結合問題的實際背景，從解集中聯系實際找

出符合題意的答案，比如求人數或物品的數目、產品的件數等，只能取整數.

03題型歸納

題型一不等式的定義

22

例題：以下表達式：①4x+3”0；②°>3；③f+9；@a+b=c\⑤xw5.其中不等式有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】本題主要考查了不等式的定義，根據不等式的定義進行判斷即可，熟知用不等號連接的式子是不

等式是解本題的關鍵.

【詳解】解：①4x+3*0是不等式；

②a>3是不等式；

③x2+9是整式；

④/+62=02是等式；

⑤XW5是不等式；

綜上：①②⑤是不等式，共3個，

故選：B.

鞏固訓練

1.某廣告強調“一罐飲料凈重400克，蛋白質含量至少2克”，“蛋白質含量至少2克”這句你換一種廣告語

言可以是()

A.“蛋白質含量20.5%”B.“蛋白質含量＞0.5%”

C.“蛋白質含量＜0.5%”D.“蛋白質含量W0.5%”

【答案】A

【分析】本題考查了列不等式，理解至少的含義即可求解，讀懂題意是解題的關鍵.將蛋白質含量至少2

克轉化為百分比，再根據至少的含義，即可解題.

2

[???—xl00%=0.5%,

400

???蛋白質含量至少2克，即蛋白質含量20.5%,

故選：A.

2.對于下列結論：①x為正數，貝口＞0；②x為自然數，貝口＞1；③x不大于5,則xW5；正確的

有—.（填所有正確的序號）

【答案】①③

【分析】本題考查了不等式的定義，根據正數大于0,自然數是非負整數，不大于即小于或等于，逐項判斷

即可得解.

【詳解】解：①x為正數，則x＞0,故①說法正確，符合題意；

②x為自然數，則xNO,故②說法錯誤，不符合題意；

③無不大于5,則無45,故③說法正確，符合題意；

綜上所述，正確的有①③，

故答案為：①③.

3.在下列數學表達式中，屬于不等式的是.

①—3＜0；②a+b-③x=3；④x+2＞y+3.

【答案】①④/④①

【分析】本題主要考查了不等式的定義，由不等號（＜、＞、N、V、W）連接的式子叫不等式，據此進行判斷，

熟練掌握不等式的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：①-3＜0是不等式；

②6不是不等式；

③x=3不是不等式；

④x+2＞y+3是不等式.

故答案為：①④.

3.用不等式表示：

⑴7x與1的差小于4；

(2)x的一半比y的2倍大；

(3)a的9倍與b的9的和是正數.

【答案】(l)7x—1<4(2)yx>2y(3)9a+yb>0

【分析】(1)7x與1的差是7x-l,小于4,再用小于號“〈”與4連接即可；

(2)x的一半記作;x，歹的2倍記作2乃然后用大于號“〉”連接即可；

(3)。的9倍記作9a,b的!記作［b,和是正數即相加后大于0.

22

【詳解】由題意得

(l)7x-l<4；

(2)；x>2y；

(3)9"+；6>0

【點睛】本題考查了列不等式表示數量關系，與列代數式問題相類似，首先要注意其中的運算及運算順序,

再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的區別.

題型二不等式的性質

例題：已知x>V,則下列不等式成立的是()

_XV

A.-2.x>12yB.x-3>y—3C.-x+5>—y+5D.—<—

【答案】B

【分析】本題主要考查了不等式的性質，熟知不等式的性質是解題的關鍵：不等式兩邊同時加上(或減去)

一個數或者式子，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘以(或除以)一個正數，不等號不改變方向，不

等式兩邊同時乘以(或除以)一個負數，不等號改變方向.

利用不等式的性質逐項判斷即可.

【詳解】解：已知九兩邊同乘-2得-2x<-2y,則A不符合題意；

已知兩邊同時減去3得x-3>y-3,則B符合題意；

已知X",兩邊同乘一1再同時力口上5得-尤+5<-y+5,則C不符合題意；

已知》>了，兩邊同乘:得則D不符合題意；

故選：B.

鞏固訓練

1.已知。>6,下列結論：①a2>ab；?a2>b2；③若6<0,貝！Ja+6<26；④若b>0,則工<?,其

ab

中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本題考查了不等式的性質，根據不等式的性質逐項求解即可，解題的關鍵是正確理解不等式的兩

邊都加（或減）同一個數，不等號的方向不變，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方

向不變；不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

【詳解】解：，；a>b,

.?.當a>0時，孑>ab；當時，a2<ab,故①結論錯誤；

'：a>b,

2222

.??當時〉同時，a>bS當|。歸網時,a<b,故②結論錯誤；

'：a>b,

：.a+b>2b,故③結論錯誤；

'：a>b,b>0,

：.a>b>0,

故④結論正確；

ab

???正確的個數是1個，

故選：A.

2.Q、b、C表示的數在數軸上如圖所示,試填入適當的“〉”“<”或“，

1111111111111

C0ba

(l)a+3_____b+3.

(2)a-b________0.

⑶[a___---為

(4)-2。____-2b.

⑸1—4〃_________1-4b.

(6)a-|c|b'\c\-

(7)a-cb-c.

⑻而b1.

【答案】⑴〉;

(2)>;

⑶〉：

(4)<;

(5)<:

(6)>;

⑺〉；

⑻〉.

【分析】本題考查了不等式的性質、數軸的定義，熟記不等式的性質是解題關鍵.

(1)根據不等式的兩邊同加上一個數，不改變不等號的方向即可得；

(2)根據不等式的兩邊同減去一個數，不改變不等號的方向即可得；

(3)根據不等式的兩邊同乘以一個正數，不改變不等號的方向即可得；

(4)根據不等式的兩邊同乘以一個負數，改變不等號的方向即可得；

(5)先根據不等式的兩邊同乘以一個負數，改變不等號的方向，再根據不等式的兩邊同加上一個數，不改

變不等號的方向即可得；

(6)根據不等式的兩邊同乘以一個正數，不改變不等號的方向即可得；

(7)根據不等式的兩邊同減去一個數，不改變不等號的方向即可得；

(8)根據不等式的兩邊同乘以一個正數，不改變不等號的方向即可得.

【詳解】⑴解：由數軸的定義得：c<O,a>O,b>O,a>b,

不等式a>b的兩邊同加上3,不改變不等號的方向，則a+3>Z>+3；

故答案為：>；

(2)解：由數軸的定義得：c<O,a>O,b>O,a>b,

不等式a>6的兩邊同減去6,不改變不等號的方向，則a-b>b-6,即a-6>0；

故答案為>；

(3)解：由數軸的定義得：c<Q,a>O,b>O,a>b,

333

不等式a>b的兩邊同乘以不改變不等號的方向，則

故答案為：>;

(4)解：由數軸的定義得：c<O,a>O,b>O,a>b,

不等式a>b的兩邊同乘以-2,改變不等號的方向，貝1|-2°<-26；

故答案為：<;

(5)解：由數軸的定義得：c<O,a>O,b>O,a>b,

不等式的兩邊同乘以-4,改變不等號的方向，貝!|-4a<-4b；不等式-4a<-46的兩邊同加上1,不改

變不等號的方向，則1-4a<1-46；

故答案為：<；

(6)解：由數軸的定義得：c<Q,a>O,b>O,a>b,

不等式°>b的兩邊同乘以正數M，不改變不等號的方向，則。但〉?即

故答案為：>;

(7)解：由數軸的定義得：c<Q,a>O,b>O,a>b,

不等式的兩邊同減去c,不改變不等號的方向，貝g-c>6-c；

故答案為：>,

(8)解：由數軸的定義得：c<O,a>O,b>O,a>b,

不等式。的兩邊同乘以正數6,不改變不等號的方向，則仍>/?.

故答案為：>,

3.在不等式3x-5<2x的兩邊都加上_______,得到不等式x45.

【答案］5—2x/-2x+5

【分析】本題主要考查了不等式的基本性質等知識點，利用不等式的基本性質，等式兩邊同時加上5-2x后

即可得解，熟練掌握不等式的基本性質是解決此題的關鍵.

【詳解】根據不等式的基本性質得，不等式兩邊同時加上5-2x得3x-5+5-2xW2x+5-2x,

合并得到xV5,

故答案為：5-2x.

4.若x>J\比較5-2x與5—2y的大小關系，并說明理由.

【答案】5-2x<5-2y,理由見解析

【分析】本題考查不等式的基本性質，先根據不等式的基本性質2,不等式兩邊同乘以-2,得到

-2x<-2j；再在不等式兩邊同加上5,得到5-2x<5-2y,即可解答.

【詳解】解：5-2尤<5-2力理由如下：

???x>y,

-2x<-2y,

：.5-2x<5-2y.

題型三不等式的解集

例題：下列說法中，正確的是（）

A.不等式2x<-8的解集是x<4B.尤=5是不等式2x<-8的一個解

C.不等式2x<-8的整數解有無數個D.不等式2x<-8的正整數解有4個

【答案】C

【分析】先求出不等式的解集，再依次判斷解的情況.

【詳解】解：A、該不等式的解集為x<-4,故錯誤，不符合題意；

B、「2x5>-8,故錯誤，不符合題意；

C、正確，符合題意；

D、因為該不等式的解集為x<-4,所以無正整數解，故錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了不等式的性質和不等式的解集的理解，解題關鍵是根據解集正確判斷解的情況.

鞏固訓練

1.下列說法錯誤的是（）

A.不等式5x-10>0的解是3B.3是不等式5x-10>0的解

C.不等式5x-10>0的解集是x>2D.x>2是不等式5x-10>0的解集

【答案】A

【分析】使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式

的解的集合，簡稱解集，結合各選項進行判斷即可.

【詳解】解:A、3是不等式5x-10>0的解，但是不等式5x-10>0的解集不是3,故本選項錯誤，符合題意;

B、3是不等式5x70>0的解，說法正確，故本選項不符合題意；

C、不等式5x-10>0的解集是x>2,說法正確，故本選項不符合題意；

D、x>2是不等式5x-10>0的解集，說法正確，故本選項不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了不等式的解及解集，注意區分不等式的解與解集是解題的關鍵.

2.寫一個解集為》<-2的不等式為.

【答案】x+2<0

【分析】根據題意寫出不等式即可.

【詳解】解：???x+2<0的解集是x<-2,

故答案為：x+2<0.

【點睛】本題考查了不等式的解集，解題關鍵是熟練運用解不等式的知識，寫出不等式.

3.如圖所示，數軸的一部分被墨水污染，被污染的部分內含有整數為.

—1—\~1~*-

-1.31.6

【答案】-1,0,1

【分析】由數軸可知被污染的部分是-1.3至1.6.

【詳解】解：由數軸可知：設被污染的部分的數為X,

.,--1,3<x<1.6

■?.x=-l或0或1,

故答案為-1,0,1.

【點睛】本題考查數軸.關鍵在于根據數軸的定義判斷出污染部分整數的取值范圍.

4.關于x的兩個不等式x+l<7-2x與T+x<a.

(1)若兩個不等式解集相同，求。的值；

(2)若不等式x+l<7-2x的解都是T+x<a的解，求a的取值范圍.

【答案】⑴a=l;

(2)壯1.

【分析】(1)求出第二個不等式的解集，表示出第一個不等式的解集，由解集相同求出。的值即可;

(2)根據不等式x+l<7-2x的解都是T+x<a的解，求出a的范圍即可.

【詳解】(1)解：由x+l<7-2x得：x<2,

由—l+x<a得：x<a+l,

由兩個不等式的解集相同，得到a+l=2,

解得：a=l；

(2)解：由不等式x+l<7-2x的解都是T+x<a的解，

得到2<a+l,

解得：a>l.

【點睛】此題考查了不等式的解集，根據題意分別求出對應的值，利用不等關系求解.

題型四一元一次不等式的定義

例題：下列不等式是一元一次不等式的是（）

A.5>2B.3x<0C.x+2y>0D.x2+5x-7>0

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次不等式的定義.熟練掌握含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫

作一元一次不等式是解題的關鍵.

根據一元一次不等式的定義進行判斷作答即可.

【詳解】A中5>2不含未知數，不是一元一次不等式，故不符合題意；

B中3x<0是一元一次不等式，故符合題意；

C中x+2>>0中含有兩個未知數，不是一元一次不等式，故不符合題意；

D中/+5x-7N0未知數的最高次數為2,不是一元一次不等式，故不符合題意.

故選：B.

鞏固訓練

1.若（。-2）/T-2<0是關于x的一元一次不等式.則。的值為（）

A.2B.-1C.0D.0或2

【答案】C

【分析】根據一元一次不等式的未知數尤的次數等于1,系數不等于0即可得出答案.

【詳解】解：是關于x的一元一次不等式，

:a-2Ho且=1,

解得：a=Q.

故選：C.

【點睛】本題考查一元一次不等式的定義.掌握一元一次不等式的未知數的次數等于1且系數不等于0是解

題的關鍵.

2.已知不等式（。-3）/卜2+1>5是關于》的一元一次不等式，則。=.

【答案】-3

【分析】本題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解題的關鍵.根據一元一

次不等式的定義：含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式，進行計算即可解

答.

【詳解】解：由題意得：4-3*0,|?|-2=1,

解得：a=-3，

故答案為：-3.

3.若（3-機）？"卜2<0是關于x的一元一次不等式，則加的值為.

【答案】-3

【分析】本題主要考查了一元一次不等式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是1的整式不等式是

一元一次不等式.根據一元一次不等式的定義，即可求解.

【詳解】解：???（3-%）無附2<o是關于x的一元一次不等式，

.?.|加|-2=1且3-切H0,

解得：m=-3.

故答案為：-3.

4.判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式.

（1）4<5；

（2）x2+l>0；

（3）x<2x-5■

（4）x=2x+3；

（5）3a2+.；

（6）a2+2a》4a-2.

【答案】（1）、（2）、（3）、（6）是不等式.（4）是等式.

【分析】根據不等式的定義即可依次判斷.

【詳解】解：（1）4<5是不等式；

（2）一+1>0是不等式；

（3）x<2x-5是不等式；

（4）x=2x+3是等式；

（5）31+.是代數式；

（6）/+2心4a-2是不等式.

故（1）、（2）、（3）、（6）是不等式.（4）是等式.

【點睛】此題主要考查不等式的識別，解題的關鍵是熟知不等式的特點.

題型五求一元一次不等式的解集

例題：不等式寧<81-1的解集是（

)

.7722

A.x<—B.x>一c.x>一D.x<一

5555

【答案】B

【分析】本題考查解一元一次不等式.先去分母，再去去括號，移項，再合并同類項，系數化為1可得.

【詳解】解：寧<早一1，

去分母,得3（1-x）<2（x+l）-6,

去括號，得3-3x<2x+2-6,

移項，得-3x-2x<2-6-3，

合并同類項，得-5x<-7,

7

mx>~.

故選：B.

鞏固訓練

1.若不等式（。-3）x<（a-3）的解集是X<1,則0的取值范圍是（）

A.a<3B.a<-3C.a>-3D.a>3

【答案】D

【分析】本題考查了不等式的性質，根據不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方

向改變，即可得出〃-3>0,求解即可.

【詳解】解：.?.不等式（。-3）x<（a-3）的解集是％<1,

a—3>0,

解得：Q>3,

故選：D.

2.一元一次不等式％+3>0的解集為.

【答案】x>-3

【分析】此題考查了解一元一次不等式.利用移項即可得到不等式的解集.

【詳解】解：x+3>0

???x>-3,

故答案為：x>—3

3.不等式-;xT<0的解集為

【答案】x>-2

【分析】本題考查了解一元一次不等式.解不等式即可求解.

【詳解】解：由原不等式得：-x-2<Q,

解得x>-2,

故答案為：x>—2.

4.解不等式：3——

o2

去分母，得24—(x—7)>8x+4.

(1)“去分母”這一步的變形依據是(填“A”或"B”).

A.不等式兩邊乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變.

B.不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變.

(2)請完成上述解不等式的余下步驟.

【答案】⑴A

(2)x<3

【分析】本題考查了解一元一次不等式、不等式的性質，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關鍵.

(1)根據題干的解題過程，去分母這步驟，是不等式兩邊同時乘上8,據此作答即可；

(2)先去括號，再移項，合并同類項，系數化1,即可作答.

【詳解】(1)解：依題意，去分母這步驟，是不等式兩邊同時乘上8,

故答案為：A.

(2)解：依題意，去括號得24-X+7>8x+4,

移項得-x-8x>4-7-24,

合并同類項，得-9x>-27,

系數化1,得x<3.

題型六求一元一次不等式的整數解

例題：不等式簽-X>1的自然數解有()個

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，先解出一元一次不等式，然后根據自然數的定義得出自然數

解即可得出結果.

【詳解】解：苫2-X>1,

去分母得：x+5-2x>2,

移項合并同類項：T>-3,

所以x<3,

...不等式受-X>1的自然數解有o,1,2共3個，

故選：C.

鞏固訓練

1.不等式的正整數解有（）個

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】A

【分析】本題考查的是解一元一次不等式，解答本題的關鍵是掌握好解一元一次不等式的一般步驟：去分

母，移項，合并同類項，系數化為L注意系數化為1時，若未知數系數為負，不等號的方向要改變.先去

分母，再移項，系數化為1,即可得到不等式的解集，從而得到正整數解.

【詳解】解：鼻2<1，

4%-5<11,

/.4x<16,

解得：x<4,

...不等式32<1的正整數解有1,2,3,共3個；

故選A

2.不等式5x-2<3（x+2）的非負整數解為.

【答案】0,1,2,3

【分析】本題考查解一元一次不等式，求出一元一次不等式的解集，根據要求寫出符合要求的非負整數解

即可.

【詳解】解：5x-2<3（x+2）

5x-2<3x+6

5x-3x<2+6

2x<8

x<4,

不等式5x-2<3(x+2)的非負整數解為：0,1,2,3.

故答案為：0,1,2,3.

3.不等式2(x-3R5x-4的最大整數解為.

【答案】-1

【分析】本題考查求一元一次不等式的整數解；先解不等式，即可求得最大整數解.

【詳解】解：去括號得：2x-6>5x-4,

移項得：2%-5%26-4,

合并同類項得：-3x22,

即xV-2,

3

最大整數解為：-1.

故答案為：-1.

4.已知不等式2(x-l)+4<3(x+l)+2的最小整數解是方程2x-機x=4的解.求加的值.

【答案】加=4

【分析】此題考查的是一元一次不等式的解，將x的值解出再代入方程即可得出。的值.先將不等式化簡

求出x的取值，然后取x的最小整數解代入方程2尤-ax=4，化為關于m的一元一次方程，解方程即可得

出m的值.

【詳解】解：由2(x-l)+4<3(x+l)+2得，x>-3,

所以最小整數解為x=-2,

將x=-2代入2x-加x=4中，

解得m=4.

題型七在數軸上表示不等式的解集

例題：已知|3-a|=a-3,則”的取值范圍在數軸上表示正確的是(

【答案】A

【分析】本題主要考查了絕對值的性質，解一元一次不等式.根據絕對值的性質，可得3-。<0,從而得到

a>3,即可求解.

【詳解】解："\3-a\=a-3,

3-?<0,

解得：a>3,

則的取值范圍在數軸上表示正確的是：

-----------1-------------------?

03

故選:A.

鞏固訓練

1.不等式3x+l>4的解集在數軸上表示正確的是（）

C-11-1->n-11i1~~?

-10125-1012

【答案】A

【分析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注

意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變.依次移項、合并同類項即可得出答案，也考查

了在數軸上表示不等式的解集.

【詳解】解:,??3x+l>4,

:.3x>3,

x>1,

在數軸上表示為：

——1---------1--------!IA

-1012'

故選:A.

2.若關于1的不等式3x-。4-1的解集在數軸上的表示如圖所示，則。的值是.

II11III1A

-3-2-10123

【答案】-2

【分析】本題主要考查了在數軸上表示不等式的解集，解一元一次不等式，解一元一次方程等知識點，熟

練掌握在數軸上表示不等式的解集以及一元一次不等式的解法是解題的關鍵.

由題圖得不等式的解集為xVT,解不等式得xvg,因而丁=-1,于是得解.

【詳解】解：3x—a<—\,

移項，得：3x<a—1,

解得：xW,

由題圖得不等式的解集為X<-1,

6Z—1.

???亍=-1，

解得：。=-2,

故答案為：-2.

3.若一個關于x的一元一次不等式組的解集，在數軸上的表示如圖所示，則該不等式組的解集為.

-2-1012

【答案】x<-l

【分析】本題考查了不等式組的解集和在數軸上表示不等式組的解集.根據數軸得出不等式組的解集即可.

【詳解】解：根據數軸可知：不等式組的解集是xW-1,

故答案為：x<-l.

4.解不等式：3（x+3）+6>4（2x+5）,并把它的解集在數軸上表示出來.

]__________?________?________?___________?________?___________[A

-3-2-10123

【答案】%<-1,解集在數軸上表示見詳見

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式及解集的表示，在數軸上表示解集注意空心與實心的區別是解

題的關鍵.去括號解一元一次不等式，然后在已知數軸上進行表示即可.

【詳解】解:3（x+3）+6>4（2x+5）

3x+9+6>8x+20

3x—8x>—9—6+20

-5x>5

x<—1，

解集在數軸上表示如下:

]________I________A________??________?________L.

-3-2-10123

題型八求一元一次不等式解的最值

例題：若不等式的解都是不等式2-3%?5的解，則小的取值范圍是（）.

A.m<-lB.m<-lC.rn>—\.D.m>-\

【答案】A

【分析】先求出不等式2-3x?5的解集，然后根據加的解都是不等式2-3x25的解進行求解即可.

【詳解】解：解不等式2-3x25得xW-l,

?.?不等式x<m的解都是不等式2-3x25的解，

：.m<—1,

故選A.

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式，正確求出不等式2-3x25的解集是解題的關鍵.

鞏固訓練

1.按照下面給定的計算程序，當》=-2時，輸出的結果是；使代數式2x+5的值小于20的最大整數

x是（）.

A.1,7B.2,7C.1,-7D.2,-7

【答案】A

【分析】把》=-2代入2x+5計算，即可求出輸出結果；列不等式求解可得出使2x+5的值小于20的最大整

數X.

【詳解】當》=-2時，第1次運算結果為2X（-2）+5=1,

.?.當x=-2時，輸出結果是1；

由題意，得

2x+5<20,

解得x<7.5，

???使代數式2x+5的值小于20的最大整數x是7,

故選A.

【點睛】本題考查了程序框圖的計算，以及一元一次不等式的應用，能夠理解題意是解題的關鍵.

2.已知關于x的方程弘-4x=-9的解是非負數，則上的最小值為.

【答案】-3

【分析】本題主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出關于人的不等式求出發的取值范圍是解題

關鍵.

把后看作已知數表示出方程的解，根據解為非負數，確定出左的范圍，即可得出答案.

【詳解】解：3^-4%=-9

由題意得：——>0,

4

解得：k>-3,

?次的最小值為-3.

故答案為：-3.

Y-L12

3.一元一次不等式三>》+：的最大整數解為、

【答案】-1

【分析】先化簡不等式，再求解即可.

【詳解】解：號>x+:，

3x+3>6x+4

-3x>l

1

X—,

3

則最大整數解為：-1.

故答案為：-1.

【點睛】本題考查了一元一次不等式的解集，解決本題的關鍵是找到不等式解集的最大整數解.

4.已知合」-求卜-1|-卜+3|的最大值和最小值.

【答案】當丈M-3時，有最大值為4,；當》=二7時，有最小值為一4婁8.

【分析】解一元一次不等式得到未知數的取值范圍，再根據未知數范圍化簡絕對值，即可求出答案.

2r-17

【詳解】解：不等式吧的解是xW三,

7

當-時，卜-1-卜+3］化簡得，

=—(x-1)—(x+3)

=-2x-2

<-2x-2<4；

17

當x<-3時，+化簡得,

—1—x+x+3

=4.

74W

故當x<-3時，11Hx+3］的最大值是4；當》=看時，K-1卜卜+3|的最小值是-限

【點睛】本題主要考查利用一元一次不等式的取值范圍化簡絕對值.理解和掌握不等式性質，化簡絕對值

方法是解題的關鍵.

題型九一元一次不等式組的定義

2

x>0_fx+1>0_fx+3>0⑤。\X+1<X

例題：下列不等式組：①②③iiO；?b<-72>4其中是一

x+2〉4

元一次不等式組的個數()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】本題考查一元一次不等式組的定義，根據共含有一個未知數，未知數的次數是1來判斷.

根據一元一次不等式組的定義判斷即可.

/x>—2

【詳解】解：①…是一元一次不等式組;

_［x>0

②x+2>4是一元一次不等式組;

③_0Ix-+41<>0。含有兩個未知數,不是一元一次不等式組;

__x+3>0

④r是一元一次不等式組;

x<—7

Y2+1<r

⑤2C]，未知數是2次，不是一元一次不等式組，

[%2+2>4

其中是一元一次不等式組的有3個，

故選：B.

鞏固訓練

1.下列不等式組是一元一次不等式組的是()

fx-2>0[x+l>0fx-2>0慳>0

A.</"B.〈，八C.<、D.]1

lx(x-l)<2Ij?-l<0lx<-3—+1<0

lx

【答案】C

【分析】根據一元一次不等式組的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A.最高二次，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

B.有兩個未知數，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

C.是一元一次不等式組，故本選項符合題意；

D.第二個不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意;

故選：C.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的定義，能熟記一元一次不等式組的定義是解此題的關鍵，含有相

同字母的幾個不等式，如果每個不等式都是一次不等式，那么這幾個不等式組合在一起，就叫一元一次不

等式組.

…\x>—2,[x+1>0(2x>0x+3>0Px<x+1

2.下列不等式組：①二②?③。八④1，⑤2,“?其中是一元一次不

[x<3,[y-l<x[x+2>0->-7[x+2>4

、2

等式組的有個.

【答案】2

【分析】利用一元一次不等式組定義解答即可.

1x>一2,

【詳解】解：①。是一元一次不等式組；

\x<3,

x+l>0

②?含有兩個未知數，不是一元一次不等式組;

[y-l<x

__2x>0

③cc是一元一次不等式組；

[x+2〉0

x+3>0

@1r不是一元一次不等式組；

[2

_fx<x+l

⑤2c未知數的最高次數是2次，不是一元一次不等式組,

X+2>4

其中是一元一次不等式組的有2個，

故答案為：2.

【點睛】此題主要考查了一元一次不等式組，關鍵是掌握幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組合在

一起，就組成了一個一元一次不等式組.

3.一般地，由幾個的一元一次不等式所組成的一組不等式，叫做一元一次不等式組，組成不等

式組的各個不等式的解的就是不等式組的解.

【答案】含有同一個未知數公共部分

【分析】根據定義填空即可.

【詳解】一般地，由幾個含有同一個未知數的一元一次不等式所組成的一組不等式，叫做一元一次不等式

組，組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.

故答案為：含有同一個未知數，公共部分.

【點睛】本題直接考查一元一次不等式組的定義，不等式組的解的定義.熟知定義是解題關鍵.

4.判斷下列式子中，哪些是一元一次不等式組？

x>4

⑴[x=4⑵2[x>5(3)卜<10；2x-6<0Jx>7

";(4)-3y>10；⑸L<(V

x>-3

【答案】見解析

【分析】(1)中含有等號，是方程不是不等式;

(2)x2的次數是二次，故不是一元一次不等式組;

(3)符合一元一次不等式組的定義；

(4)含有兩個未知數，故不是一元一次不等式組;

(5)符合一元一次不等式組的定義.

【詳解】解：(1)中x=42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式組;

(2)中N<81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式組；

(3)符合一元一次不等式組的定義，是一元一次不等式組；

(4)含有兩個未知數，是二元一次不等式組，故不是一元一次不等式組；

(5)符合一元一次不等式組的定義，是一元一次不等式組.

綜上，可知(3)(5)是一元一次不等式組.

【點睛】本題主要考查一元一次不等式組的定義：由幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組成的不等

式組，叫做一元一次不等式組.

題型十求不等式組的解集

[2x+6>0

例題：解不等式組r/c,解集在數軸上表示正確的是()

x-2<0

C.-1—1—1—1—*-1—>D.―1―1―1-1—*-1—>

-3-2-10123-3-2-10123

【答案】c

【分析】此題考查了解一元一次不等式組，分別解不等式，得出不等式組的解集，再畫圖即可，正確解不

等式組是解題的關鍵.

【詳解】解一[2x一+64>。0②①,

解不等式①得：x>-3,-3<x<2

解不等式①得：x<2,

??.不等式組的解集為：-3<x<2,

???解集在數軸上表示為：

―iI???二——?_>

-3-2-10123

故選：c.

鞏固訓練

f-X<1

1.不等式組'.G的解集是()

3x-3<2x

A.x?-1B.x>3C.-3<x<1D.-l<x<3

【答案】D

【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小

取小、大小小大中間找、大大小小無解了，確定不等式組的解集.

-x<l

【詳解】解:

3x-3<2x

解-xWl得：x>-l,

解3x-3<2x得：x<3,

f—x<1

.?不等式組2°.的解集是-14X<3,

13x-3<2x

故選：D.

—x-1M7——■x

2.不等式組2~2的所有整數解的和為.

5x-l>3(x+l)

【答案】7

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組，求不等式組的整數解，是解題的關

鍵.

分別求出每一個不等式的解集，得到不等式組的解集和整數解，即得.

13

—x-1<7——x①