專題突破課二三角形中的范圍與最值問題——寸轄制輪尋專題,綱舉目張謀突破三角形中的范圍與最值問題是高考的熱點問題,常見題型有根據(jù)已知條件求角、邊、面積、周長的最值與范圍等,解題思路是建立目標對象的表達式,利用基本不等式求解或者轉化為函數(shù)的值域問題求解.常見以下四種類型的題目:(1)角的范圍問題;(2)邊的范圍問題;(3)面積的范圍問題;(4)周長的范圍問題.類型一角的范圍問題【典例1】(2024·重慶高一檢測)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=1,b=2,則B+C的取值范圍是()A.[2π3,5π6] B.[C.[5π6,π) D.(π2,【解析】選C.根據(jù)三角形三邊關系可得|ab|<c<a+b,即1<c<3,又cosA=b2+c2-a2因為函數(shù)y=3x+x在(1,3)上單調遞減,在(3所以(c+3c)min=又1+31=4,3+33=4,所以c+所以32≤cosA<1,又A所以0<A≤π6所以5π6≤B+C<π【總結升華】關于角的范圍問題(1)利用正弦定理或余弦定理表示出所求角的正弦或余弦;(2)利用基本不等式或三角函數(shù)的知識得到所求角的正弦或余弦的范圍;(3)結合正、余弦函數(shù)的單調性求出對應角的范圍.【即學即練】(2024·邢臺高一檢測)在銳角△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2asinC3c=0.(1)求A;(2)求4sinB4sinC的取值范圍.【解析】(1)2asinC3c=0,由正弦定理得2sinAsinC3sinC=0.因為sinC≠0,所以sinA=32.因為△ABC為銳角三角形,所以A=π(2)因為A=π3,所以B+C=23因為△ABC為銳角三角形,所以0<B<π2,0<2因為4sinB4sinC=4sinB4sin(A+B)=4sinB4(sinAcosB+cosAsinB)=2sinB23cosB=4sin(Bπ3由Bπ3∈(π6,得sin(Bπ3)∈(12,所以4sinB4sinC∈(2,2).即4sinB4sinC的取值范圍為(2,2).類型二邊長、周長的范圍問題【典例2】(1)(2024·廣州高一檢測)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=2,C=π3,則c的取值范圍為(A.(2,23) B.(23,+∞)C.(3,23) D.(2,+∞)【解析】選C.在銳角△ABC中,b=2,C=π3故A=2π3B,則0<B<π20<2π3-B<由正弦定理可得c=bsinCsinB=2×32sinB=(2)(2024·北京高一檢測)在銳角△ABC中,sin2B=3cosB,b=1.①求∠B;②求△ABC周長的最大值.【解析】①因為銳角△ABC,B∈(0,π2所以cosB>0,所以sin2B=2sinBcosB=3cosB,所以sinB=32,B=π②由余弦定理可得b2=a2+c22accosB,代入得a2+c2ac=1,所以(a+c)21=3ac,因為(a+c2)2≥ac,所以(a+c)21≤34(a+c)2,當且僅當a=c=1時等號成立,所以(a+b+c)max=3.【總結升華】關于周長的最值(范圍)問題(1)基本不等式法:若已知一邊及其對角,根據(jù)余弦定理列出關于另兩邊的關系式,利用基本不等式求另外兩邊和的最值,從而求出周長的最值.變形舉例:a2=b2+c22bccosA=(b+c)22bc2bccosA=(b+c)22(1+cosA)bc≥(b+c)22(1+cosA)b+(2)三角函數(shù)性質法:根據(jù)正弦定理用角表示邊,將周長表示成關于三角形某個角的三角函數(shù),利用三角函數(shù)的性質求最值.【即學即練】(2024·哈爾濱高一檢測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sin2A2=c(1)證明:△ABC為直角三角形;(2)當c=1時,求△ABC周長的最大值.【解析】(1)因為sin2A2=1-cosA2=c-b2c=12b2c,即cosA=bc,由余弦定理cosA=b2+c2-(2)由(1)可得c為直角三角形的斜邊,所以兩直角邊長分別為sinA,cosA,設周長為l,則l=1+sinA+cosA=1+2sin(A+π4),因為0<A<π2,π4<A+π4<34π,所以當sin(A+π4)=1,即類型三面積的范圍問題【典例3】在△ABC中,∠A,∠ABC,∠C的對邊分別為a,b,c,∠ABC=2π3,BD平分∠ABC交AC于點D,BD=2,則△ABC【解析】因為BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD=12∠ABC=π因為S△ABC=S△ABD+S△DBC,所以12acsin2π3=12×2asinπ3+12整理得ac=2(a+c)≥4ac,解得ac≥16,當且僅當a=c=4時等號成立,所以(S△ABC)min=1【總結升華】關于面積的最值(1)根據(jù)面積公式,利用余弦定理、基本不等式求兩邊乘積的最值;(2)根據(jù)面積公式,利用正弦定理把面積表示成關于某個角的三角函數(shù)求最值.【即學即練】(2024·武漢高一檢測)在銳角△ABC中,內角A,B,C所對邊分別為a,b,c,cosC=2b(1)求角A;(2)若b=8,求△ABC面積的取值范圍.【解析】(1)在銳角△ABC中,cosC=2b由余弦定理得a2+b2-c22ab=2b-c2即b2+c2a2=bc,可得cosA=b2+c又0<A<π2,得A=π(2)S△ABC=12bcsinA=12×8c×32=2由正弦定理bsinB=csinC,得c=bsinCsin在銳角△ABC中,0<B<π2,0<C<π2,B+C=2π3,可得π6<則有tanB>33,0<1tanB<3,0<4即c∈(4,16),得S△ABC=23c∈(83,323),所以△ABC面積的取值范圍為(83,323).【補償訓練】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,2bsinC=3acosB+3bcosA.(1)求角B;(2)若角A為鈍角,求△ABC面積的取值范圍.【解析】(1)因為2bsinC=3acosB+3bcosA,A+B+C=π,所以由正弦定理可得,2sinBsinC=3(sinAcosB+cosAsinB)=3sin(A+B)=3sinC,又因為C∈(0,π),所以sinC>0,所以2sinB=3,即sinB=3