均值不等式及其應用利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.【題型一】“1”的代換：基礎型例1.設a,bR,a2b2k（k為常數），且22的最小值為1，則k的值為（1414a1b1）A．1B．4C．7D．9【答案】C解：由題得a21b21k2，所以= ( )( )）1414）1414(k2)14a21b2122a1b1a1b1k2a1b1k222（22 (5 ) (54= =1，k7.1b21b214(a21)19k2a1b1k2k222）【題型二】“1”的代換：分母和定型例2．已知0x，則的最小值為（）A．16B．18C．8D．20【答案】B解：因為0x，所以012x1，又因為2x12x1，所以2x12x10102 102 18（當且僅當時等號成立），故選：B.12x16x12x16x112xx12x6【題型三】“1”的代換：湊配系數型2x1xyA．2B．232x1xy2【題型四】“1”的代換：分離常數型11例3.若x0,y0，且1，則2xy的最小值為（）12xy2x1111例3.若x0,y0，且1，則2xy的最小值為（）12xy2x111a1a12b111112b1a14a14a1

1a112b1a1112b1a11a12b14a12b144a12b14D．4【答案】C解：2xy1[(2x1)2xy]11[(2x1)2xy]11122C．12D．2222222x1xy2例4.已知正實數a,b，且a2b2，則的最小值是（A．2B．C．【答案】C解：因為正實數a,b，a2b2，故(a1)(2b1)4，所以 [(a1)(2b1)] (1 )，故(1)2當且僅當a,b時取得等號，故選：22x2y22 22x2y22t1t15t22625t2262106，tttt當且僅當5t2， 時等號成立.所以xy的最小值為2106.222t2210222t2210t5【題型九】三元型例9.已知正數x,y,z滿足x2y2z21，則2的最小值（A．322B．6C．323【答案】A解：因為x,y,z正實數，且x2y2z21，所以1z2x2y22xy，當且僅當xy時取等號，

）D．5，則22(z1)2則22(z1)2(1z)21z112xyzz(1z)z(1z)3(1z) 321z3222當且僅當1z，即z21時取等號，此時取得最小值322，故選：A．21z21z【題型十】三元型因式分解例10.若a，b，c均為正數，且滿足a23ab3ac9bc18，則2a3b3c的最小值是（）A．6B）A．6B．46C．6D．63【答案】C解：a23ab3ac9bc18aa3b3ca3b18a3ba3c18，因為a，b，c均為正數，所以有18a3ba3ca3ba3c22a3b3c6，2當且僅當a3ba3c時取等號，即a3b32,bc時取等號，故選：C【題型十一】“1”的代換：k例11.已知x,y0，若x4y6，則的最小值是（）A．8B．7C．6D．5【答案】A解：設xyk(k0)，則x4y6k，∴xyx4y6k41x4y6kk2整理得：k26k816yx，由x,y0得解得k8或k2（舍去）,即當x1,y時，取得最小值8，故選：A.41412xyxy221abaa2b例12.設a2b41412xyxy221abaa2b例12.設a2b0，則a的最小值為【題型十二】均值用兩次.【答案】6解：a22121 ab1取等號，2aa2b22ab246，當且僅當k26k816yx216yx8，當且僅當x8,y2時取“=”.∴k26k160，yxykkabaa2babaa2b12abaa2bab1aa2b33a4b444ba3b5a5ba4ba4b444ba3b5a5ba4b43331243355abba【答案】B解：依題意，．又ab3，而abba即取等號，所以a的最小值為6.故答案為：6a32213aa32213abaa2bb 3【題型十三】均值不等式恒成立求參型例13.已知正數a，b滿足ab3，若a5b5ab恒成立，則實數的取值范圍為（A．,812B．,27A．,812B．,274C．,814D．,27）2a4b4(ab)ba

a32

a4ba2b2a2b22a2b22aba4b42a2b2a2b2=2222(ab)27，當且僅當a，b時，兩個不等式中的等號同時成立，所以的取值范圍為,故選：B.【題型十四】判別式法例14.已知x0，y0，且滿足4x29y26xy30，則2x3y的最大值為 ．

【答案】2解法1、由4x29y26xy30，可得4x29y212xy36xy，由基本不等式得(2x3y)232x3y3(2)2，可得(2x3y)23，所以2x3y2，當且僅當2x3y時取等號，聯立方程組4x29y26xy30，解得x2，y3，故2x3y的最大值為2．2x2x3y11解法2、判別式法：令2x3yz，則2xz3y，將4x29y26xy30轉化為9y23zyz230，

看作關于y的二次方程有解，得9z236z21080，即z24，得z2.

經檢驗：z2時符合x0，y0，所以2x3y的最大值為2解法3、由4x29y26xy30，可得(x29y26xy)3x23，(x3y)2x2(x3y)2