三十三直線與直線垂直(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱中,和AC垂直且異面的直線有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【解析】選B.和AC垂直且異面的直線有A1B1和BB1,共2條.2.(5分)在空間四邊形ABCD中,AB,BC,CD的中點分別是P,Q,R,且PQ=2,QR=5,PR=3,那么異面直線AC和BD所成的角是()A.90° B.60° C.45° D.30°【解析】選A.∠PQR(或其補角)即為所求,由勾股定理可知∠PQR=90°.3.(5分)在正方體ABCDA1B1C1D1中,AA1與B1D所成角的余弦值是()A.33 B.22 C.12 【解析】選A.如圖所示,直線AA1與B1D所成的角為∠BB1D(或其補角),其余弦值為BB1B1D4.(5分)將邊長為1的正方形AA1O1O繞OO1旋轉一周形成圓柱,如圖,AC長為2π3,A1B1長為π3,其中B1與C在平面AA1O1O的同側.則異面直線B1C與A.π6 B.π4 C.π3 【解析】選B.如圖,過B1作B1B⊥底面圓O,垂足為點B,連接OB,BC,則根據題意易知AA1∥B1B,且∠COB=2π3π3=π3,所以異面直線B1C與AA1所成的角為∠BB1C,在Rt△BB易知B1B=OB=BC,所以∠BB1C=π45.(5分)(多選)在下列四個正方體中,直線AB與CD不垂直的是()【解析】選BCD.對于B,作出過AB的等邊三角形截面ABE,如圖,將CD平移至內側面,可得CD與AB所成角等于60°,故CD與AB不垂直;對于C,D,將CD平移至經過B點的側棱處,可得AB與CD所成角都是銳角,不垂直.6.(5分)(多選)如圖是一個正方體的平面展開圖,在原正方體中,下列結論正確的是()A.AB與CD所在直線垂直B.CD與EF所在直線平行C.AB與MN所在直線成60°角D.MN與EF所在直線異面【解析】選CD.畫出原正方體如圖所示,連接DN,DM,由圖可知選項A,B錯誤;在選項C中,AB∥DN,MN=DN=DM,所以△DMN為等邊三角形,所以AB與MN所在的直線成60°角是正確的;在選項D中,顯然MN與EF所在直線異面是正確的.7.(5分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥AB,底面ABCD是平行四邊形,則PA與CD所成的角是________.

【解析】因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB∥CD,所以∠PAB是PA與CD所成的角.又因為PA⊥AB,所以∠PAB=90°.答案:90°8.(5分)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,若AE與A1B1所成的角的大小為25°,則異面直線AE與B1C1所成的角的大小為________.

【解析】因為A1B1∥AB,所以∠BAE=25°,因為B1C1∥BC,所以異面直線AE與B1C1所成的角是∠AEB=90°25°=65°.答案:65°9.(5分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=2BB1,則AB1與BC1的位置關系為__________.

【解析】設BB1=1,如圖,延長CC1至C2,使C1C2=CC1=1,連接B1C2,則B1C2∥BC1,所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補角).連接AC2,因為AB1=3,B1C2=3,AC2=6,所以AC22=AB12+B1C22,則∠AB1C2=90°.所以AB1與BC1所成的角為90°,即答案:AB1⊥BC110.(10分)如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中.(1)求A1C1與B1C所成角的大小;(2)若E,F分別為AB,AD的中點,求證:EF⊥A1C1.【解析】(1)如圖所示,連接AC,AB1.由六面體ABCDA1B1C1D1是正方體知,四邊形AA1C1C為平行四邊形,所以AC∥A1C1,從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,即A1C1與B1C所成的角為60°.(2)連接BD.由(1)知AC∥A1C1,所以AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.因為EF是△ABD的中位線,所以EF∥BD.又因為AC⊥BD,所以AC⊥EF,所以EF⊥A1C1.【綜合應用練】11.(5分)(2024·六安高一期中)如圖,已知正四棱錐PABCD的所有棱長均為2,E為棱PA的中點,則異面直線BE與PC所成角的余弦值為()A.63 B.33 C.13 【解析】選B.連接AC,取AC的中點O,連接OE,OB,由題意知,EO∥PC,則異面直線BE與PC所成角為∠BEO(或其補角),在△BEO中,EO=1,BO=2,BE=3,則cos∠BEO=BE2+則異面直線BE與PC所成角的余弦值為3312.(5分)如圖,空間四邊形ABCD的對角線AC=8,BD=6,M,N分別為AB,CD的中點,并且異面直線AC與BD所成的角為90°,則MN=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選C.取AD的中點P,連接PM,PN,則BD∥PM,AC∥PN,所以∠MPN或其補角即為異面直線AC與BD所成的角,所以∠MPN=90°,PN=12AC=4,PM=12BD=3,所以MN13.(5分)如圖所示,在正三角形ABC中,D,E,F分別為AB,BC,AC的中點,G,H,J,I分別為AF,AD,DE,BE的中點,將△ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐以后,GH與IJ所成的角為________.

【解析】將三角形折成三棱錐后,其直觀圖如圖所示,GH與IJ是異面直線.因為G,H分別為AF,AD的中點,所以GH∥DF.又I,J分別為AE,DE的中點,所以IJ∥AD.所以DF與AD所成的角即為異面直線GH與IJ所成的角.由題意知△ADF是正三角形,所以DF與AD所成的角為60°.即GH與IJ所成的角為60°.答案:60°14.(10分)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求證:DB1⊥EF.【證明】方法一:如圖所示,連接A1C1,B1D1,并設它們相交于點O,取DD1的中點G,連接OG,A1G,C1G.則OG∥B1D,EF∥A1C1.所以∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.因為GA1=GC1,O為A1C1的中點,所以GO⊥A1C1.所以異面直線DB1與EF所成的角為90°.所以DB1⊥EF.方法二:如圖所示,連接A1D,取A1D的中點H,連接HE,則HE12DB1.于是∠HEF為所求異面直線DB1與EF所成的角或其補角.連接HF,設AA1=1,則EF=22,HE=3取A1D1的中點I,連接HI,IF,則HI⊥IF.所以HF2=HI2+IF2=54所以HF2=EF2+HE2.所以∠HEF=90°.所以異面直線DB1與EF所成的角為90°.所以DB1⊥EF.15.(10分)(2024·杭州高一期中)正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點.(1)求異面直線CD1與BC1所成角的度數;(2)求證:MN∥平面ABCD.【解析】(1)連接A1B,A1C1,因為A1D1=BC且A1D1∥BC,所以四邊形A1D1CB為平行四邊形,所以CD1∥A1B,則∠A1BC1為異面直線CD1與BC1所成的角,在正方體中,可得A1C1=A1B=BC1,即△A1C1B為等邊三角形,所以∠A1BC1=60°,所以異面直線CD1與BC1所成角為60°;(2)取CC1的中點E,連接ME,NE,因為M,N分別是BC