10.1.2事件的關系和運算【學習目標】【素養達成】1.了解隨機事件的并、交與互斥的含義.數學抽象2.能結合實例進行隨機事件的并、交運算.邏輯推理一、兩個事件的關系項目定義符號表示圖形表示包含關系一般地,若事件A發生,則事件B一定發生,我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B?A且A?B,則稱事件A與事件B相等A=B二、事件的運算定義符號表示圖形表示一般地,事件A與事件B至少有一個發生,這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中,或者在事件B中,我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)續表定義符號表示圖形表示一般地,事件A與事件B同時發生,這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中,也在事件B中,我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)【教材深化】理解事件包含關系的注意點(1)任何事件都包含不可能事件,即C??(C為任一事件).事件A也包含于事件A,即A?A.(2)若兩個事件相等,則這兩個事件總是同時發生或同時不發生.(3)①A?B可用邏輯語言表述為A發生是B發生的充分條件,B發生是A發生的必要條件;②A=B可用邏輯語言表述為A發生是B發生的充要條件.三、互斥事件與對立事件定義符號表示圖形表示一般地,如果事件A與事件B不能同時發生,也就是說A∩B是一個不可能事件,即A∩B=?,則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B=?一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生,即A∪B=Ω,且A∩B=?,那么稱事件A與事件B互為對立.事件A的對立事件記為AA∪B=Ω,A∩B=?【教材深化】1.和事件與互斥事件的辨析(1)和事件A∪B包含三種情況:①事件A發生,事件B不發生;②事件A不發生,事件B發生;③事件A,B都發生.(2)事件A與事件B互斥包含三種情況:①事件A發生,B不發生;②事件A不發生,B發生;③事件A不發生,B也不發生.注意:任意兩個基本事件都是互斥的,?與任意事件互斥.2.對立事件的理解(1)事件A的對立事件記為A,A∩A=?,A∪A=Ω.若事件A,B互為對立事件,則A∪B是必然事件.(2)對立事件是特殊的互斥事件,若A與B相互對立,則A與B互斥,但反之不成立,即“A與B相互對立”是“A與B互斥”的充分不必要條件.3.多個事件的和事件、積事件類似地,我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.對于多個事件A,B,C,…,A∪B∪C∪…(或A+B+C+…)發生當且僅當A,B,C,…中至少一個發生,A∩B∩C∩…(或ABC…)發生當且僅當A,B,C,…同時發生.【教材挖掘】(P231探究)問題1:在擲骰子試驗中,事件A=“點數為1”,事件B=“點數為奇數”,表示A與B兩事件的集合有什么關系?A與B事件有什么關系?提示:集合B包含集合A;事件A發生,則事件B一定發生.問題2:在擲骰子試驗中,用集合的形式表示事件D1=“點數不大于3”,事件E1=“點數為1或2”和事件E2=“點數為2或3”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎?提示:D1={1,2,3},E1={1,2},E2={2,3}.{1,2}∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1.問題3:在擲骰子試驗中,事件C2=“點數為2”,事件E1=“點數為1或2”和事件E2=“點數為2或3”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎?提示:E1={1,2},E2={2,3},C2={2}.{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若兩個事件是互斥事件,則這兩個事件是對立事件.(×)提示:對立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件.(2)若事件A和B是互斥事件,則A∩B是不可能事件.(√)提示:因為事件A和B是互斥事件,所以A∩B為空集,所以A∩B是不可能事件.(3)事件A∪B是必然事件,則事件A和B是對立事件.(×)提示:反例:拋擲一枚骰子,事件A:向上的點數小于5,事件B:向上的點數大于2,則事件A∪B是必然事件,但事件A和B不是對立事件.類型一判斷兩個事件的關系(數學抽象)【典例1】在擲骰子試驗中,可以得到以下事件,A:{出現1點};B:{出現2點};C:{出現3點};D:{出現4點};E:{出現5點};F:{出現6點};G:{出現的點數不大于1};H:{出現的點數小于5};I:{出現奇數點};J:{出現偶數點}.請判斷下列兩個事件的關系:(1)B________H;(2)D______J;(3)E______I;(4)A________G.

答案:(1)?(2)?(3)?(4)=【解析】因為出現的點數小于5包含出現1點,出現2點,出現3點,出現4點四種情況,所以事件B發生時,事件H必然發生,故B?H;同理D?J,E?I;易知事件A與事件G相等,即A=G.【備選例題】對一箱產品進行隨機抽查檢驗,如果查出2個次品就停止檢查,最多檢查3個產品.寫出該試驗的樣本空間Ω,并用樣本點表示事件:A={至少有2個正品},B={至少1個產品是正品},并判斷事件A與事件B的關系.【解析】依題意,檢查是有序地逐個進行,至少檢查2個,最多檢查3個產品.如果用“0”表示查出次品,用“1”表示查出正品,那么樣本點至少是一個兩位數,至多是一個三位數的有序數列.樣本空間Ω={00,010,011,100,101,110,111}.A={011,101,110,111},B={010,011,100,101,110,111},所以A?B.【即學即練】連續擲一枚質地均勻的硬幣三次,得到如下三個事件:A為“3次正面向上”,B為“只有1次正面向上”,C為“至少有1次正面向上”,試判斷事件A,B,C之間的包含關系.【解析】當事件A發生時,事件C一定發生,當事件B發生時,事件C一定發生,因此有A?C,B?C;當事件A發生時,事件B一定不發生,當事件B發生時,事件A一定不發生,因此事件A與事件B之間不存在包含關系.【補償訓練】(2024·平頂山高一檢測)拋擲3枚質地均勻的硬幣,記事件A=“至多2枚正面朝上”,事件B=“沒有硬幣正面朝上”,則下列正確的是()A.A∩B=? B.A=BC.B?A D.A?B【解析】選C.記Ai=“有i枚硬幣正面朝上”,i=0,1,2,3,則A=A0∪A1∪A2,B=A0,所以B?A.類型二事件的運算(數學抽象)【典例2】盒子里有6個紅球,4個白球,現從中任取3個球,設事件A={3個球中有1個紅球、2個白球},事件B={3個球中有2個紅球、1個白球},事件C={3個球中至少有1個紅球},事件D={3個球中既有紅球又有白球}.求:(1)事件D與A,B是怎樣的運算關系?(2)事件C與A的交事件是什么事件?【解析】(1)事件D包含的樣本點為{1個紅球、2個白球},{2個紅球、1個白球},故D=A∪B.(2)事件C包含的樣本點為{1個紅球、2個白球},{2個紅球、1個白球},{3個紅球},故C∩A=A.【備選例題】在本例中,設事件E={3個紅球},事件F={3個球中至少有一個白球},那么事件C與B,E分別是什么運算關系?C與F的交事件是什么事件?【解析】事件C包含的樣本點為{1個紅球、2個白球},{2個紅球、1個白球},{3個紅球},故B?C,E?C,而事件F包含的樣本點為{1個白球、2個紅球},{2個白球、1個紅球},{3個白球},所以C∩F={1個紅球、2個白球且2個紅球、1個白球}=D.【總結升華】事件間運算的方法(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有的樣本點,分析并利用這些結果進行事件間的運算.(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想,分析同一條件下的試驗所有的樣本點,把這些結果在圖中列出,進行運算.【即學即練】(多選)(2024·南通高一檢測)一批產品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.從這批產品中任意抽取5件,給出以下四個事件:事件A:恰有一件次品;事件B:至少有兩件次品;事件C:至少有一件次品;事件D:至多有一件次品.下列選項正確的有()A.A∪B=C B.B∪D是必然事件C.A∩B=C D.A∩D=C【解析】選AB.對于A選項,事件A∪B指至少有一件次品,即事件C,故A正確;對于B選項,事件B∪D指至少有兩件次品或至多有一件次品,次品件數包含0到5,即代表了所有情況,故B正確;對于C選項,事件A和B不可能同時發生,即事件A∩B=?,故C錯誤;對于D選項,事件A∩D指恰有一件次品,即事件A,而事件A和C不同,故D錯誤.類型三互斥事件與對立事件(數學抽象、邏輯推理)【典例3】判斷下列各事件是否為互斥事件,是否為對立事件,并說明理由.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學去參加演講比賽,其中:(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是男生;(4)至少有1名男生和全是女生.【解析】(1)是互斥事件,不是對立事件.理由:在所選的2名同學中,“恰有1名男生”實質是選出“1名男生和1名女生”,它與“恰有2名男生”不可能同時發生,所以是一對互斥事件.但其并事件不是必然事件,所以不是對立事件;(2)不是互斥事件,也不是對立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”兩種結果,它們可同時發生;(3)不是互斥事件,也不是對立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,這與“全是男生”可同時發生.(4)是互斥事件,也是對立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結果,它與“全是女生”不可能同時發生,所以是互斥事件,又其并事件是必然事件,所以是對立事件.【總結升華】辨析互斥事件與對立事件的方法(1)從發生的角度看①在一次試驗中,兩個互斥事件有可能都不發生,也可能有一個發生,但不可能同時發生.②兩個對立事件必有一個發生,但不可能同時發生,即兩事件對立,必定互斥,但兩事件互斥,未必對立.對立事件是互斥事件的一個特例.(2)從事件個數的角度看互斥的概念適用于兩個或多個事件,但對立的概念只適用于兩個事件.【即學即練】2024年某省新高考實行“3+1+2”模式,即語文、數學、外語必選,物理、歷史二選一,政治、地理、化學、生物四選二,共有12種選課模式.某同學已選了物理,記事件A=“他選擇政治和地理”,事件B=“他選擇化學和地理”,則事件A與事件B()A.是互斥事件,不是對立事件B.既是互斥事件,也是對立事件C.既不是對立事件,也不是互斥事件D.無法判斷【解析】選A.因為事件A和事件B不能同時發生,所以事件A和事件B是互斥事件.因為該同學還有政治和化學,政治和生物等不同選擇,所以事件A和事件B不是對立事件.綜上所述,事件A和事件B是互斥事件,不是對立事件.【補償訓練】(多選)(2024·鞍山高一檢測)甲、乙兩人參加某商場舉行的抽獎活動,中獎名額不限,設事件A為“甲中獎”,事件B為“乙中獎”,事件C為“甲、乙中至少有一人中獎”,則()A.A與B互