專題07分式方程課標要求考點考向1.能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型;2.能解可化為一元一次方程的分式方程:3.能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.分式方程的運算考向一解分式方程考向二分式方程的解分式方程的應用考向一列分式方程考向二分式方程的實際應用考點一分式方程的運算易錯易混提醒解分式方程過程中，易錯點有:（1）去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項;（2）忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.（3）增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根，若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解.?考向一解分式方程1．（2024·海南·中考真題）分式方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化為整式方程，再解方程，最后檢驗即可．【詳解】解：去分得：，解得，檢驗，當時，，∴是原方程的解，故選：A．2．（2024·山東濟寧·中考真題）解分式方程時，去分母變形正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查通過去分母將分式方程轉化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，即可去分母．【詳解】解：方程兩邊同乘，得，整理可得：故選：A．3．（2024·四川瀘州·中考真題）分式方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查解分式方程，根據解分式方程方法和步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1，檢驗）求解，即可解題．【詳解】解：，，，，，，經檢驗是該方程的解，故選：D．4．（2024·四川廣元·中考真題）若點滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐標．【答案】（答案不唯一）【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以后去分母，令x代入一個數值，得到y的值，以此為點的坐標即可，正確解分式方程是解題的關鍵【詳解】解：等式兩邊都乘以，得，令x=2，則y=?1，∴“美好點”的坐標為，故答案為（答案不唯一）5．（2024·浙江·中考真題）若，則【答案】【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母得：，移項合并得：，解得：，經檢驗，是分式方程的解，故答案為：6．（2024·北京·中考真題）方程的解為.【答案】【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關鍵．先去分母，轉化為解一元一次方程，注意要檢驗是否有增根．【詳解】解：，解得：，經檢驗：是原方程的解，所以，原方程的解為，故答案為：．7．（2024·陜西·中考真題）解方程：．【答案】【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可．【詳解】解：，去分母得：，去括號得：，移項，合并同類項得：，檢驗：把代入得：，∴是原方程的解．8．（2024·福建·中考真題）解方程：．【答案】．【分析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．【詳解】解：，方程兩邊都乘，得．去括號得：，解得．經檢驗，是原方程的根．?考向二分式方程的解9．（2024·四川遂寧·中考真題）分式方程的解為正數，則的取值范圍（

）A． B．且C． D．且【答案】B【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據分式方程解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，解得，∵分式方程的解為正數，∴，∴，又∵，即，∴，∴的取值范圍為且，故選：．10．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關于x的分式方程無解，則k的值為（

）A．或 B． C．或 D．【答案】A【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，，整理得，，當時，方程無解，當時，令，解得，所以關于x的分式方程無解時，或．故選：A．11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關于的分式方程的解是負數，那么實數的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且【答案】A【分析】本題考查了根據分式方程的解的情況求參數，解分式方程求出分式方程的解，再根據分式方程的解是負數得到，并結合分式方程的解滿足最簡公分母不為，求出的取值范圍即可，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，解得，∵分式方程的解是負數，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴且，故選：．12．（2024·重慶·中考真題）若關于的一元一次不等式組的解集為，且關于的分式方程的解均為負整數，則所有滿足條件的整數的值之和是．【答案】【分析】本題主要考查了根據分式方程解的情況求參數，根據不等式組的解集求參數，先解不等式組中的兩個不等式，再根據不等式組的解集求出；解分式方程得到，再由關于的分式方程的解均為負整數，推出且且a是偶數，則且且a是偶數，據此確定符合題意的a的值，最后求和即可．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組的解集為，∴，∴；解分式方程得，∵關于的分式方程的解均為負整數，∴且是整數且，∴且且a是偶數，∴且且a是偶數，∴滿足題意的a的值可以為4或8，∴所有滿足條件的整數a的值之和是．故答案為：．考點二分式方程的應用?考向一列分式方程13．（2024·四川巴中·中考真題）某班學生乘汽車從學校出發去參加活動，目的地距學校60km，一部分學生乘慢車先行，另一部分學生再乘快車前往，他們同時到達．已知快車的速度比慢車的速度每小時快20km，求慢車的速度？設慢車的速度為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了分式方程的應用．設慢車的速度為，則快車的速度是，再根據題意列出方程即可．【詳解】解：設慢車的速度為，則快車的速度為，根據題意可得：．故選：A．14．（2024·四川廣元·中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”．現需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設B種綠植單價是x元，則可列方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式方程的應用，設B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是元，根據用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株，列出方程即可．【詳解】解：設B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是元，根據題意得：，故選：C．15．（2024·甘肅臨夏·中考真題）端午節期間，某商家推出“優惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售．細心的小夏發現，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設每袋粽子的原價是元，所得方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程．根據降價后用240元可以比降價前多購買10袋，可以列出相應的分式方程．【詳解】解：由題意可得，，故選：C．16．（2024·山西·中考真題）某校組織學生開展“茶韻與書畫”為主題的研學課程，已知學校用于購買扇子的費用為4000元，購買茶具的費用為3200元，其中購買扇子的數量是購買茶具數量的2倍，并且扇子的單價比茶具的單價便宜3元．設購買扇子的單價為x元．則x滿足的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】題目主要考查分式方程的應用，設購買扇子的單價為x元，則茶具的單價為元，根據“購買扇子的數量是購買茶具數量的2倍”列出分式方程即可，理解題意是解題關鍵．【詳解】解：設購買扇子的單價為x元，則茶具的單價為元，根據題意得：，故選：A．?考向二分式方程的實際應用17．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）A，B兩種機器人都被用來搬運化工原料，A型機器人比B型機器人每小時多搬運30千克，A型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等．A，B兩種機器人每小時分別搬運多少干克化工原料？（

）A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60【答案】D【分析】本題考查了分式方程的應用，設B型機器人每小時搬運x千克，則A型機器人每小時搬運千克，根據“A型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等”列分式方程求解即可．【詳解】解：設B型機器人每小時搬運x千克，則A型機器人每小時搬運千克，根據題意，得，解得，經檢驗，是原方程的解，∴，答：A型機器人每小時搬運90千克，B型機器人每小時搬運60千克．故選：D．18．（2024·黑龍江綏化·中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為，它以該航速沿江順流航行所用時間，與以該航速沿江逆流航行所用時間相等，則江水的流速為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了分式方程的應用，利用順水速靜水速水速，逆水速靜水速水速，設未知數列出方程，解方程即可求出答案．【詳解】解：設江水的流速為，根據題意可得：，解得：，經檢驗：是原方程的根，答：江水的流速為．故選：D．19．（2024·山東·中考真題）為提高生產效率，某工廠將生產線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產100件，改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同，則改造后每天生產的產品件數為（

）A．200 B．300 C．400 D．500【答案】B【分析】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．設改造后每天生產的產品件數為，則改造前每天生產的產品件數為，根據“改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同”列出分式方程，解方程即可．【詳解】解：設改造后每天生產的產品件數為，則改造前每天生產的產品件數為，根據題意，得：，解得：，經檢驗是分式方程的解，且符合題意，答：改造后每天生產的產品件數．故選：B．20．（2024·內蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某廠家生產大小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進小號“龍辰辰”的數量是用2200元購進大號“龍辰辰”數量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為元．某網店在該廠家購進了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數不超過小號“龍辰辰”個數的一半，小號“龍辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%．若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，則該網店所獲最大利潤為元．【答案】551260【分析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式組的應用、一次函數的應用，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．設大號“龍辰辰”的單價為元，則小號“龍辰辰”的單價為元，根據題意建立分式方程，解方程即可得；設購進小號“龍辰辰”的數量為個，則購進大號“龍辰辰”的數量為個，先求出的取值范圍，再設該網店所獲利潤為元，建立關于的函數關系式，利用一次函數的性質求解即可得．【詳解】解：設大號“龍辰辰”的單價為元，則小號“龍辰辰”的單價為元，由題意得：，解得，經檢驗，是所列分式方程的解，所以大號“龍辰辰”的單價為55元，小號“龍辰辰”的單價為40元．設購進小號“龍辰辰”的數量為個，則購進大號“龍辰辰”的數量為個，由題意得：，解得，設該網店所獲利潤為元，則，由一次函數的性質可知，在內，隨的增大而減小，則當時，取得最大值，最大值為，即該網店所獲最大利潤為1260元，故答案為：55；1260．21．（2024·山東東營·中考真題）水是人類賴以生存的寶貴資源，為節約用水，創建文明城市，某市經論證從今年1月1日起調整居民用水價格，每立方米水費上漲原價的．小麗家去年5月份的水費是28元，而今年5月份的水費則是元．已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．設該市去年居民用水價格為，則可列分式方程為．【答案】【分析】本題主要考查了分式方程的應用，設該市去年居民用水價格為，則今年居民用水價格為，根據小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可．【詳解】解：設該市去年居民用水價格為，則今年居民用水價格為，根據題意得：．故答案為：．22．（2024·江蘇常州·中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統的一門特殊藝術．如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是，裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后與的比是，且，，，求四周邊襯的寬度．【答案】上、下、左、右邊襯的寬度分別是【分析】本題考查分式方程的應用，分別表示出的長，列出分式方程，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，，∵與的比是，∴，解得：，經檢驗是原方程的解．∴上、下、左、右邊襯的寬度分別是．23．（2024·黑龍江大慶·中考真題）為了健全分時電價機制，引導電動汽車在用電低谷時段充電，某市實施峰谷分時電價制度，用電高峰時段（簡稱峰時）：7：00—23：00，用電低谷時段（簡稱谷時）：23：00—次日7：00，峰時電價比谷時電價高元/度．市民小萌的電動汽車用家用充電樁充電，某月的峰時電費為50元，谷時電費為30元，并且峰時用電量與谷時用電量相等，求該市谷時電價．【答案】該市谷時電價元/度【分析】本題考查了分式方程的應用，設該市谷時電價為元/度，則峰時電價元/度，根據題意列出分式方程，解方程并檢驗，即可求解．【詳解】解：設該市谷時電價為元/度，則峰時電價元/度，根據題意得，，解得：，經檢驗是原方程的解，答：該市谷時電價元/度．24．（2024·山東泰安·中考真題）隨著快遞行業的快速發展，全國各地的農產品有了更廣闊的銷售空間，某農產品加工企業有甲、乙兩個組共名工人．甲組每天加工件農產品，乙組每天加工件農產品，已知乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？【答案】甲組有名工人，乙組有名工人【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設甲組有名工人，則乙組有名工人．根據題意得，據此即可求解．【詳解】解：設甲組有名工人，則乙組有名工人．根據題意得：，解答：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，．答：甲組有名工人，乙組有名工人．25．（2024·廣西·中考真題）綜合與實踐在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節約用水策略．【洗衣過程】步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達到洗衣目標．假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為，每次擰干后校服上都殘留水．濃度關系式：．其中、分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：）【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于【動手操作】請按要求完成下列任務：(1)如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要多少清水？(2)如果把清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？(3)比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．【答案】(1)只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．(2)進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；(3)兩次漂洗的方法值得推廣學習【分析】本題考查的是分式方程的實際應用，求解代數式的值，理解題意是關鍵；（1）把，代入，再解方程即可；（2）分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；（3）根據（1）（2）的結果得出結論即可．【詳解】（1）解：把，代入得，解得．經檢驗符合題意；∴只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．（2）解：第一次漂洗：把，代入，∴，第二次漂洗：把，代入，∴，而，∴進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；（3）解：由（1）（2）的計算結果發現：經過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節約用水，∴從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學習．26．（2024·云南·中考真題）某旅行社組織游客從地到地的航天科技館參觀，已知地到地的路程為300千米，乘坐型車比乘坐型車少用2小時，型車的平均速度是型車的平均速度的3倍，求型車的平均速度．【答案】型車的平均速度為【分析】本題考查分式方程的應用，設型車的平均速度為，則型車的平均速度是，根據“乘坐型車比乘坐型車少用2小時，”建立方程求解，并檢驗，即可解題．【詳解】解：設型車的平均速度為，則型車的平均速度是，根據題意可得，，整理得，，解得，經檢驗是該方程的解，答：型車的平均速度為．27．（2024·重慶·中考真題）為促進新質生產力的發展，某企業決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新換代．(1)為鼓勵企業進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策．根據相關政策，更新1條甲類生產線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產線的設備，該企業可獲得70萬元的補貼．該企業甲、乙兩類生產線各有多少條？(2)經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，那么該企業在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？【答案】(1)該企業甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；(2)需要更新設備費用為萬元【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，分式方程的應用，理解題意，確定相等關系是解本題的關鍵．（1）設該企業甲類生產線有條，則乙類生產線各有條，再利用更新完這30條生產線的設備，該企業可獲得70萬元的補貼，再建立方程求解即可；（2）設購買更新1條甲類生產線的設備為萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為萬元，利用用200萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，再建立分式方程，進一步求解．【詳解】（1）解：設該企業甲類生產線有條，則乙類生產線各有條，則，解得：，則；答：該企業甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；（2）解：設購買更新1條甲類生產線的設備為萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為萬元，則，解得：，經檢驗：是原方程的根，且符合題意；則，則還需要更新設備費用為（萬元）；28．（2024·重慶·中考真題）某工程隊承接了老舊小區改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、乙兩人分別用、兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半．據測算需要、兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費用為15000元，已知種外墻漆每千克的價格比種外墻漆每千克的價格多2元．(1)求、兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？(2)已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時．問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？【答案】(1)種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元．(2)甲每小時粉刷外墻的面積是平方米．【分析】本題考查的是分式方程的應用，一元一次方程的應用，理解題意建立方程是解本題的關鍵；（1）設種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元，再根據總費用為15000元列方程求解即可；（2）設甲每小時粉刷外墻面積為平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是平方米；利用乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時．從而建立分式方程求解即可．【詳解】（1）解：設種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元，∴，解得：，∴，答：種外墻漆每千克的價格為元，種外墻漆每千克的價格為元．（2）設甲每小時粉刷外墻面積為平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是平方米；∴，解得：，經檢驗：是原方程的根且符合題意，答：甲每小時粉刷外墻的面積是平方米．一、單選題1．（2024·廣西賀州·三模）下列式子是分式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了分式方程，分母中含有未知數的有理方程是分式方程，據此進行判斷即可．【詳解】解：A．是一元一次方程，故選項不符合題意；B．不是方程，故選項不符合題意；C．是分式方程，故選項符合題意；D．是一元一次方程，故選項符合題意．故選：C．2．（2024·遼寧·模擬預測）某生鮮超市在三月份用20000元進購一批鐵皮西紅柿，四月份這種鐵皮西紅柿每千克降價了1元，此生鮮超市用18000元進購同種鐵皮西紅柿，卻多進貨500千克．求三月份這種鐵皮西紅柿每千克多少元？設三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，可列方程得（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，則四月份這種鐵皮西紅柿每千克元，根據三月進貨量+500=四月進貨量，列出方程即可．【詳解】解：設三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，則四月份這種鐵皮西紅柿每千克元，可列方程得，故選：D．3．（2024·上海寶山·一模）《九章算術》是我國古代重要的數學專著之一，其中記錄的一道題譯為；把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比規定時間少3天．已知快馬的速度是慢馬的2倍．根據題意列方程為，其中x表示（）A．快馬的速度 B．慢馬的速度 C．規定的時間 D．以上都不對【答案】C【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程以及數學常識，根據各數量之間的關系及所列的方程，找出的含義是解題的關鍵．由快、慢馬速度間的關系，結合所列的方程，可得出表示慢馬的速度，表示快馬的速度，結合快、慢馬所需時間與規定時間之間的關系，可得出表示規定的時間．【詳解】解：∵快馬的速度是慢馬的2倍，所列方程為，即，∴表示慢馬的速度，表示快馬的速度；∵把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比規定時間少3天，∴表示規定的時間．故選：C．4．（2024·廣東·模擬預測）已知是分式方程的解，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式方程解的定義，分式方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值，據此把代入原方程求出的值即可．【詳解】解：是分式方程的解，，解得：，故選：C．5．（2024·上海·模擬預測）野豪豬內卷會用6000元購進一批試卷，每套試卷含數理化三科，每套以比進價高10元的優惠價格賣給成員，在銷售過程中，因多出5套試卷，以每套10元的白菜價送給了其他同學，最后野豪豬內卷會盈利950元，則一套試卷的進價為（

）A．50元 B．100元 C．120元 D．240元【答案】A【分析】本題考查了分式方程的應用．設每套試卷的進價為元，則每套試卷的售價為元，根據題意列出分式方程，解之即可，注意檢驗．【詳解】解：設每套試卷的進價為元，則每套試卷的售價為元，根據題意得，整理得，解得，（不合題意，舍去），經檢驗，是原方程的解，且符合題意；答：每套試卷的進價為50元，故選：A．6．（2024·安徽·模擬預測）為改善生態環境，打造宜居城市，某市園林綠化部門計劃植樹20萬棵，由于工程進度需要，實際每天植樹棵數比原計劃增加了，結果提前4天完成任務．若設實際每天植樹x萬棵，則根據題意可得方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設實際每天植樹x萬棵，則原計劃每天植樹萬棵，根據“提前4天完成任務”列出方程即可．【詳解】解：設實際每天植樹x萬棵，則原計劃每天植樹萬棵，根據題意可得方程為，整理為：，故選：A．7．（2024·湖南長沙·模擬預測）若關于的不等式組有且只有兩個偶數解，且關于的分式方程有解，則所有滿足條件的整數的和是（）A． B．10 C． D．【答案】C【分析】先根據不等式組“有且只有兩個偶數解”求出的取值范圍，再解分式方程，并由該方程有解得到、，綜合后即可得到所有滿足條件的整數的和．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式組的解集為：，原不等式有且只有兩個偶數解，，，解分式方程得：，原分式方程有解，，是原分式方程的增根，，綜上，，且，，為整數，或，所有滿足條件的整數的和是．．故選：．【點睛】本題考查的知識點是由不等式組解集的情況求參數、根據分式方程解的情況求值，解題關鍵是熟練掌握根據不等式組解集的情況求參數及根據分式方程解的情況求值的方法．二、填空題8．（2024·湖南·模擬預測）分式方程的解是．【答案】【分析】本題考查了解分式方程．熟練掌握解分式方程是解題的關鍵．先去分母將分式方程化成整式方程，計算整式方程的解，最后進行檢驗即可．【詳解】解：，，，解得，，經檢驗，是原分式方程的解，故答案為：．9．（2024·湖南·模擬預測）若關于x的分式方程有增根，則k的值為．【答案】1【分析】本題主要考查了根據分式方程根的情況求參數，先解分式方程得到，再根據分式方程有增根的情況是分母為0得到，則，據此可得答案．【詳解】解：去分母得：，解得，∵分式方程有增根，∴，即，∴，∴，經檢驗，是原方程的解，故答案為：1．10．（2024·湖北武漢·模擬預測）數學家斐波那契編寫的《算經》中有如下問題：一組人平分元錢，每人分得若干，若再加上6人，平分元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求這兩次分錢的人數．答：（1）第一次分錢有人；（2）第二次分錢有人．【答案】28【分析】本題考查分式方程解決應用問題，根據第二次每人所得與第一次相同列方程求解即可得到答案；【詳解】解：設第一次有個人分，則第二次有個人分，由題意可得，，解得：，即，故答案為：2，8．11．（2024·廣東·模擬預測）代數式與代數式的值相等，則．【答案】4【分析】本題主要考查了代數式值相等問題，熟練掌握相等關系，列出方程，解方程，分式方程檢驗，是解決本題的關鍵．通過題目中的等量關系列方程，解方程，檢驗，即可．【詳解】由題可得：，去分母得，，解得，，檢驗：當時，，∴是所列方程的根，故答案為：4．12．（2024·湖南·模擬預測）若代數式x與的比值等于，那么．【答案】【分析】根據題意，得，解方程即可．本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解方程是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意，得，去分母，得，解得，經檢驗，是原方程的根，故答案為：．13．（2024·安徽·模擬預測）關于的方程的解為非負數，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解為，再根據題意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：∴，由題意可知且，解得且，故答案為：且．14．（2024·四川南充·模擬預測）有一組并聯電路，如圖所示，兩個電阻的電阻值分別為、，總電阻值為R，三者關系為：．若已知，則．【答案】12【分析】本題考查了解分式方程；由解分式方程的步驟進行即可求解．【詳解】解：由題意得：，即，解得：；故答案為：12．15．（2024·湖南長沙·模擬預測）為深入學習貫徹習近平文化思想，認真落實習近平總書記關于文化和旅游工作的重要論述精神，更好發揮公共圖書館對推動公共文化服務高質量發展的重要作用，月日上午，以“城市是一本打開的書”為主題的“書香長沙·岳麓山閱讀”年世界讀書日暨公共圖書館服務宣傳周系列活動啟動式在湘江新區舉行．甲、乙兩同學分別從距離活動地點米和米的兩地同時出發，參加宣傳活動．已知甲同學的速度是乙同學的速度的倍，但乙同學仍比甲同學提前分鐘到達活動地點．根據上述條件可以計算出乙同學的速度是米秒．【答案】【分析】本題考查了分式方程的實際應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．設乙同學的速度是米秒，根據甲、乙同學速度間的關系，可得出甲同學的速度是米秒，利用時間路程速度，結合乙同學比甲同學提前分鐘到達活動地點，即可列式求解．【詳解】解：設乙同學的速度是米秒，∵甲同學的速度是乙同學的速度的倍，∴甲同學的速度是米秒，分秒，根據題意得：，解得：（米秒），經檢驗，是方程的解，且符合題意，答：乙同學的速度是米秒，故答案為：．三、解答題16．（2024·云南·模擬預測）2024年5月10日，第二屆全國鄉村振興職業技術技能大賽在貴州省貴陽市閉幕，云南省選手斬獲2金5銀2銅，在獎牌榜上位居全國第三名，取得歷屆最佳成績．近年來，云南省大力發展面向鄉村振興的技能人才培養，把課堂學習和鄉村振興實踐緊密結合，為鄉村振興提供人才支持．甲、乙兩校認真貫徹把課堂學習和社會實踐緊密結合的方針，組織學生到某農業生產基地參加實踐活動，已知甲、乙兩校的學生分別從距離農業生產基地80千米和20千米的兩地同時出發，甲校學生行駛的速度是乙校學生行駛速度的2倍，乙校學生比甲校學生提前小時到達活動地點．求甲、乙兩校學生行駛的速度各是多少？【答案】甲校學生行駛的速度為千米/小時，乙兩校學生行駛的速度為千米/小時【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設乙校學生行駛的速度為千米/小時，則甲校學生行駛的速度為千米/小時，根據“乙校學生比甲校學生提前小時到達活動地點”列出等式求解即可．【詳解】解：設乙校學生行駛的速度為千米/小時，則甲校學生行駛的速度為千米/小時，由題可得：，解得：，經檢驗，時方程的解，甲校學生行駛的速度為千米/小時，乙兩校學生行駛的速度為千米/小時．17．（2024·山西·模擬預測）為了提高道路的通行效率，陽泉市對大連街五渡口至保晉路口實行了燈控路口智能化改造，優化了交通信號燈配時，駕駛員只要控制好車速，便能達到“一路綠燈”的效果．據了解，該路段總長約4.2公里，改造后通過該路段的車輛的平均行駛速度提高了，平均行駛時間減少了3分鐘，求改造前通過該路段車輛的平均速度．【答案】改造前通過該路段車輛的平均速度是千米∕小時．【分析】本題考查分式方程的應用．設改造前通過該路段車輛的平均速度x千米/小時，則改造后通過該路段車輛的平均速度是千米/小時，根據“行駛4.2千米，平均行駛時間減少了3分鐘”列出方程并解答．【詳解】解：設改造前通過該路段車輛的平均速度x千米/小時，則改造后通過該路段車輛的平均速度是千米/小時，由題意，得．解得：．經檢驗，是所列方程的根，且符合題意．答：改造前通過該路段車輛的平均速度是千米∕小時．18．（2024·湖北·模擬預測）為了扎實推進“五育”并舉工作，加強勞動教育，我市某中學針對七年級學生開設了“跟我學面點”烹飪課程，課程開設后學校花費6000元購進第一批面粉，用完后又花費9600元購進第二批面粉，第二批面粉采購量是第一批的1.5倍，但每千克面粉的價格提高了0.4元，求第一批面粉的采購量為多少？【答案】第一批面粉的采購量為1000千克【分析】根據第二批面粉比第一批面粉的每千克面粉價格提高了0.4元列方程即可．本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的分式方程．【詳解】解：由題意得：設第一批面粉的采購量為千克，．，，，經檢驗：是原分式方程的解，∴第一批面粉的采購量為1000千克．19．（2024·寧夏銀川·一模）下面是某同學解分式方程的過程，請認真閱讀并完成相應的學習任務：解：去分母，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步去括號，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第二步移項、合并同類項，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步則原分式方程的解為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步(1)第一步的依據是________________________________；(2)上面的解題過程從第______步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是_________________．【答案】(1)等式的基本性質；(2)五，沒有對分式方程的根進行檢驗．【分析】本題主要考查了解分式方程．（1）根據題意可知，第一步的依據是等式的性質；（2）觀察可知，分式方程的解為原方程的增根，即在第五步錯誤，沒有對分式方程的解進行檢驗．【詳解】（1）解：第一步的依據是等式的基本性質，故答案為：等式的基本性質；（2）上面的解題過程從第五步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是沒有對分式方程的根進行檢驗，故答案為：五；沒有對分式方程的根進行檢驗．20．（2024·重慶·模擬預測）重慶小面是重慶的特色美食，已成為重慶市民必不可少的早餐，其中“豌豆小面”和“雞雜小面”最受重慶市民喜歡．(1)已知1份“豌豆小面”和2份“雞雜小面”共需要37元；3份“豌豆小面”和1份“雞雜小面”需41元．則“豌豆小面”和“雞雜小面”的單價分別是多少？(2)面粉作為制作小面的主要原材料之一，某小面店第一次花費1200元購進某品牌面粉，第二次花費同樣的錢比第一次購買該品牌面粉重量少了40千克，第二次購買面粉單價在第一次的購買面粉單價的基礎上漲了，求第二次購買面粉的價格是多少？【答案】(1)“豌豆小面”的單價為9元，“雞雜小面”的單價為14元(2)第二次購買面粉的價格是6元【分析】本題考查二元一次方程組，分式方程的應用，找準等量關系，正確的列出方程組和等式，是解題的關鍵．（1）設“豌豆小面”的單價為元，“雞雜小面”的單價為元，根據已知1份“豌豆小面”和2份“雞雜小面”共需要37元；3份“豌豆小面”和1份“雞雜小面”需41元，方程組求解即可；（2）設第一次購買該品牌面粉的價格是元，則第二次購買該品牌面粉的價格是元，根據“第二次花費同樣的錢比第一次購買該品牌面粉重量少了40千克，”列出方程求解即可；【詳解】（1）解：設“豌豆小面”的單價為元，“雞雜小面”的單價為元，由題意得：，解得：；答：“豌豆小面”的單價為9元，“雞雜小面