專題04二次根式

課標要求考點考向

1、了解二次根式的概念，能從具體的式子中正確識別出考點一考向一二次根式的定義和性質

二次根式。即學生需要知道形如√a（a≥0）的代數式稱為二二次根

次根式，并且理解根號內的被開方數必須是非負數。式的概

考向二二次根式有意義的條件

2、掌握用簡單的一元一次不等式解決二次根式中字母的念和性

取值問題。例如，在含有二次根式的表達式中，根據二次根質

式有意義的條件，確定字母的取值范圍。二次根式的乘除

3、利用二次根式的性質和四則運算的法則進行簡單的四

則運算。這包括對二次根式進行加、減、乘、除等運算，以考向二二次根式的加減

考點二

及在運算過程中運用二次根式的性質進行化簡。

二次根

4、通過實際生活中的問題，引導學生用含根號的式子表考向三二次根式的混合運算

式的運

示問題的結果，從而體會二次根式與實際生活的緊密聯系。

算

5、在二次根式的學習中，學生需要通過對具體問題的分

考向四二次根式的應用

析和解決，逐步建立起對二次根式的抽象認識。

易錯易混提醒

（1）被開方數的條件：1、非負性：二次根式的被開方數必須是非負實數，即a≥0。因為√a是要求開方的

數是非負的，否則就沒有實數解。2、唯一性：對于給定的非負實數a，它的二次根式√a是唯一確定的。這

是因為非負實數平方的結果只有一個非負實數。

（2）最簡二次根式的定義：如果一個二次根式符合下列兩個條件：1.被開方數中不含能開得盡方的因數或

因式；2.被開方數的每一個因式的指數都小于根指數2。那么，這個根式叫做最簡二次根式。

?考向一二次根式的定義和性質

1．（2024·河北邯鄲·三模）甲、乙、丙、丁四位同學在進行分式接力計算過程中，開始出現錯誤的同學是

（）

3x2x24x4

化簡：(1)

x22x4

x2(3x2)x24x4

甲同學：原式；

x22x4

x23x22(x2)

乙同學：；

x2(x2)2

x23x22(x2)

丙同學：；

x2(x2)2

4x

丁同學2．

x2

A．甲同學B．乙同學C．丙同學D．丁同學

2

2．（2024·四川樂山·中考真題）已知1x2，化簡x1x2的結果為（）

A．1B．1C．2x3D．32x

33

3．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線l:yx與x軸相交于點A1，以OA1為邊作等邊三角形OA1B1，

33

y

點B1在第一象限內，過點B1作x軸的平行線與直線l交于點A2，與軸交于點C1，以C1A2為邊作等邊三角

形C1A2B2（點B2在點B1的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形C2A3B3，等邊三角形C3A4B4，則點A2024

的橫坐標為．

?考向二二次根式有意義的條件

4．（2024·云南·中考真題）式子x在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A．x0B．x0C．x0D．x0

5．（2024·江蘇徐州·中考真題）若x1有意義，則x的取值范圍是（）

A．x1B．x1C．x1D．x1

6．（2024·上海·中考真題）已知2x11，則x．

易錯易混提醒

（1）加法與減法：二次根式可以進行加法和減法運算。當兩個二次根式的被開方數相同時，它們可以相加

或相減。

（2）乘法：二次根式可以進行乘法運算。兩個二次根式相乘時，被開方數相乘，根號下的系數可以相乘。

（3）分母有理化：在分母含有根號的式子中，把分母的根號化去，叫做分母有理化

?考向一二次根式的乘除

7．（2024·湖南·中考真題）計算27的結果是（）

A．27B．72C．14D．14

8．（2024·貴州·中考真題）計算23的結果是．

9．（2024·重慶·中考真題）估計1223的值應在（）

A．8和9之間B．9和10之間C．10和11之間D．11和12之間

10．（2024·天津·中考真題）計算111111的結果為．

?考向二二次根式的加減

11．（2024·重慶·中考真題）已知m273，則實數m的范圍是（）

A．2m3B．3m4C．4m5D．5m6

1

1

12．（2024·山東青島·中考真題）計算：182sin45．

3

13．（2024·山東濟寧·中考真題）下列運算正確的是（）

A．235B．2510

C．221D．(5)25

?考向三二次根式的混合運算

3

14．（2024·甘肅·中考真題）計算：1812．

2

11

15．（2024·上海·中考真題）計算：|13|242(13)0．

23

1

21

16．（2024·四川遂寧·中考真題）計算：sin4514．

22021

0

1

17．（2024·山西·中考真題）（1）計算：2382；

3

1

（2）先化簡，再求值：4x2x2x12x12x112x，其中x．

2

?考向四二次根式的應用

18．（2024·四川德陽·中考真題）將一組數2,2,6,22,10,23,,2n,，按以下方式進行排列：

則第八行左起第1個數是（）

A．72B．82C．58D．47

1

19．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點B作BCAB，使BCAB，

2

連接AC；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點D；③以點A為圓心，以AD長為半徑畫弧，

交AB于點E．若AEmAB，則m的值為（）

5152

A．B．C．51D．52

22

20．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若MAN45，

則MN的最小值為．

21．（2024·河北·中考真題）情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到

的．

該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數據如圖所示．

（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）

操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．

如圖3，嘉嘉沿虛線EF，GH裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據嘉嘉

的剪拼過程，解答問題：

（1）直接寫出線段EF的長；

（2）直接寫出圖3中所有與線段BE相等的線段，并計算BE的長．

探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．

請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的BC邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規），畫出

裁剪線（線段PQ）的位置，并直接寫出BP的長．

22．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發現問題

小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成

點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，

行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，nk3，d0），如圖1所示．

小明設計了如下三種鏟籽方案．

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長

為________；

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．

一、單選題

1．（2024·廣東江門·模擬預測）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

4

A．32B．0.4C．D．15

3

2．（2024·貴州·模擬預測）下列二次根式中，與3是同類二次根式的是（）

1

A．6B．81C．D．18

3

3．（2024·重慶·模擬預測）計算6812的結果為（）

1

A．4B．3C．1D．

4

1

4．（2024·河北邯鄲·模擬預測）已知8m2，則m（）

2

1

A．4B．2C．1D．

2

5．（2024·寧夏銀川·模擬預測）下列計算，正確的是（）

A．53233B．3333C．3632D．1553

6．（2024·云南·模擬預測）估算2052的結果在（）

A．7和8之間B．8和9之間C．9和10之間D．10和11之間

7．（2024·河北秦皇島·一模）若使算式8“?”2的運算結果最小，則“?”表示的運算符號是（）

A．B．-C．D．

8．（2024·遼寧·模擬預測）下列各式計算正確的是（）

A．1232B．52322

2

C．235D．23526

9．（2024·河北張家口·三模）若a10，則計算200a2的結果正確的是（）

A．205B．205C．1002D．1002

10．（2024·湖北·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，以點D為圓心，DB長為半徑作弧，交AB于點E，

1

分別以B，E為圓心，以大于BE長為半徑作弧，兩弧交于點F，作射線DF交AB于點G．連接CG，若

2

DCG30，AG3，則菱形ABCD的面積為（）

935333

A．B．73C．D．

2222

11．（2024·河南新鄉·模擬預測）如圖1，VABC中BAC90，ABAC2．D是斜邊上一動點，從點

B運動到點C停止，連接AD，過點A作AEAD，且使AEAD（點E在直線AD右側），點F是AC中

a

點，連接EF，設BDx，EFy，y隨x變化的圖象如圖2所示，b為曲線最低點的縱坐標，則（）

b

1010

A．B．C．32D．10

102

11111111

12．（2024·湖南·模擬預測）設A1111，則不

1222223232422023220242

超過A的最大整數為（）

A．2027B．2026C．2025D．2024

二、填空題

13．（2024·吉林長春·二模）7與最簡二次根式22m1是同類二次根式，則m的值為．

1

14．（2024·河北·模擬預測）若a的倒數是，則a的值為．

8

15．（2024·山東泰安·一模）如圖，把一張大正方形按下圖方式（兩個小正方形分別有一邊在大正方形的邊

上）剪去兩個面積分別為8和18的小正方形，那么剩下的紙片（陰影部分）的面積是．

nn

11515

16．（2024·湖南·模擬預測）斐波那契數列中的第n個數可以用表示．通過計算

22

5

求出斐波那契數列中的第2個數為．

17．（2024·吉林·模擬預測）比較大小：236．（填“＞”或“＜”）

2

18．（2024·廣東·模擬預測）若恒有式子x1x1，則實數x的取值范