PAGE函數與導數【考點講解】14導數及其應用恒成立及存在性問題【考點講解】一、具體目標：1.導數在研究函數中的應用：①了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（對多項式函數一般不超過三次）。②了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值（對多項式函數一般不超過三次）；會求閉區間上函數的最大值、最小值（對多項式函數一般不超過三次）.2.生活中的優化問題：會利用導數解決某些實際問題。考點透析：1.以研究函數的單調性、單調區間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數與方程、函數的圖象相結合；2.單獨考查利用導數研究函數的某一性質以小題呈現，綜合研究函數的性質以大題呈現；3.適度關注生活中的優化問題.3.備考重點：(1)熟練掌握導數公式及導數的四則運算法則是基礎；(2)熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值（最值）的基本方法，靈活運用數形結合思想、分類討論思想、函數方程思想等，分析問題解決問題.二、知識概述：一）函數的單調性：1.設函數y=f(x)在某個區間內可導，如果，則函數y=f(x)為增函數；如果f'(x)<0，則函數y＝f(x)為減函數；如果恒有f'(x)＝0，則y=f(x)為常函數.2.應當理解函數的單調性與可導性并無本質的聯系，甚至具有單調性的函數并不一定連續．我們只是利用可導來研究單調性，這樣就將研究的范圍局限于可導函數．3.f(x)在區間I上可導，那么是f(x)為增函數的充分條件，例如f(x)=x3是定義于R的增函數，但f'(0)=0，這說明f'(x)>0非必要條件．為增函數，一定可以推出，但反之不一定．4.討論可導函數的單調性的步驟：（1）確定的定義域；（2）求，令，解方程求分界點；（3）用分界點將定義域分成若干個開區間；（4）判斷在每個開區間內的符號，即可確定的單調性.5.我們也可利用導數來證明一些不等式．如f(x)、g(x)均在[a、b]上連續，(a，b)上可導，那么令h(x)＝f(x)－g(x)，則h(x)也在[a，b]上連續，且在(a，b)上可導，若對任何x∈(a，b)有h'(x)>0且h(a)≥0，則當x∈(a，b)時h(x)>h(a)=0，從而f(x)>g(x)對所有x∈(a，b)成立．二）函數的極、最值：1．函數的極值(1)函數的極小值：函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其它點的函數值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．(2)函數的極大值：函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．2．函數的最值(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．三）高考中全稱命題和存在性命題與導數的結合是近年高考的一大亮點，下面結合高考試題對此類問題進行歸納探究相關結論：結論1：；結論2：；結論3：；結論4：；【真題分析】結論5：的值域和的值域交集不為空.【真題分析】1.【2019年高考天津理數】已知，設函數若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【解析】當時，恒成立；當時，恒成立，令，則，當，即時取等號，∴，則.當時，，即恒成立，令，則，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，則時，取得最小值，∴，綜上可知，的取值范圍是.【答案】C2.【優選題】設函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【解析】本題考點是函數的單調性、存在性問題的綜合應用.令.由題意知存在唯一整數，使得在直線的下方.，當時，函數單調遞減，當，函數單調遞增，當時，函數取得最小值為.當時，，當時，，直線過定點，斜率為，故且，解得.【答案】D3.【2019年高考北京】設函數（a為常數）．若f（x）為奇函數，則a=________；若f（x）是R上的增函數，則a的取值范圍是___________．【解析】首先由奇函數的定義得到關于的恒等式，據此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數為奇函數，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數是R上的增函數，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實數的取值范圍是.【答案】4.【優選題】已知函數f(x)＝mx2－x＋lnx，若在函數f(x)的定義域內存在區間D，使得該函數在區間D上為減函數，則實數m的取值范圍為________．【解析】f′(x)＝2mx－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(2mx2－x＋1,x)，即2mx2－x＋1<0在(0，＋∞)上有解．當m≤0時，顯然成立；當m>0時，由于函數y＝2mx2－x＋1的圖象的對稱軸x＝eq\f(1,4m)>0，故只需Δ>0，即1－8m>0，解得m<eq\f(1,8).故實數m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8)))5.【優選題】若曲線存在垂直于軸的切線，則實數取值范圍是_____________.【解析】由題意可知，又因為存在垂直于軸的切線，所以.【答案】6.【2018年江蘇卷】若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為________．【解析】本題考點是函數的零點、函數的單調性與最值的綜合應用.由題意可求得原函數的導函數為解得，因為函數在上有且只有一個零點，且有，所以有，因此有，函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以有，，.【答案】–3 7.【2018年理新課標I卷】已知函數，則的最小值是_____________．【解析】本題考點是函數的單調性、最值與三角函數的綜合應用.由題意可，所以當時函數單調減，當時函數單調增，從而得到函數的減區間為，函數的增區間為，所以當時，函數取得最小值，此時，所以，故答案是.【答案】8.【優選題】已知，若對任意兩個不等的正實數都有恒成立，則的取值范圍是.【解析】由題意可知（x＞0）恒成立，∴恒成立，令則，∵為開口方向向下，對稱軸為x=1的拋物線，∴當x=1時，取得最大值，∴即a的取值范圍是[1，+∞）．【答案】9.【2019年高考全國Ⅲ卷理數】已知函數.（1）討論的單調性；（2）是否存在，使得在區間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.【解析】（1）．令，得x=0或.若a>0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減；若a=0，在單調遞增；若a<0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減.（2）滿足題設條件的a，b存在.（i）當a≤0時，由（1）知，在[0，1]單調遞增，所以在區間[0，l]的最小值為，最大值為.此時a，b滿足題設條件當且僅當，，即a=0，．（ii）當a≥3時，由（1）知，在[0，1]單調遞減，所以在區間[0，1]的最大值為，最小值為．此時a，b滿足題設條件當且僅當，b=1，即a=4，b=1．（iii）當0<a<3時，由（1）知，在[0，1]的最小值為，最大值為b或．若，b=1，則，與0<a<3矛盾.若，，則或或a=0，與0<a<3矛盾．綜上，當且僅當a=0，或a=4，b=1時，在[0，1]的最小值為-1，最大值為1．10.【2019年高考浙江】已知實數，設函數（1）當時，求函數的單調區間；（2）對任意均有求的取值范圍．注：e=2.71828…為自然對數的底數．【解析】（1）當時，．，所以，函數的單調遞減區間為（0，3），單調遞增區間為（3，+）．（2）由，得．當時，等價于．令，則．設，則．（i）當時，，則．記，則.故10+單調遞減極小值單調遞增所以，．因此，．（ii）當時，．令，則，故在上單調遞增，所以．由（i）得，．所以，．因此．由（i）（ii）知對任意，，即對任意，均有．綜上所述，所求a的取值范圍是．【模擬考場】【答案】（1）的單調遞增區間是,單調遞減區間是；（2）.【模擬考場】1.設函數，若存在唯一的正整數，使得，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【解析】當時，，，不符合題意，故排除C，D.當時，，，故符合題意.【答案】B2.設函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【解析】，記，則題意說明存在唯一的整數，使的圖象在直線下方，，當時，，當時，，因此當時，取得極小值也是最小值，又，，直線過點（1,0）且斜率為，故，解得．【答案】D3.若函數有兩個零點，則的取值范圍（）A.B.C.D.【解析】考查函數，則問題轉化為曲線與直線有兩個公共點，則，則，當時，，當時，，，，則，當，，，，則，此時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，同理，當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，因此函數在處取得極小值，亦即最小值，即，由于函數有兩個零點，結合圖象知，解得，故選A.【答案】A4.設．（1）求函數的單調區間；（2）若當時恒成立，求的取值范圍【解析】試題分析：（1）由原函數求出導數，通過導數的正負求出相應的單調區間（2）將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，本題中需求函數的最大值，可通過導數求解.試題解析：（1）由得或，所以函數的單調增區間為，；單調減區間為.（2）根據上一步知函數在區間上遞增，在區間上遞減，在區間上遞增，又，所以在區間上要使恒成立，只需即可.【答案】（1）增區間為，單調減區間為（2）5.【2018年高考全國Ⅰ卷理數】已知函數．（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，證明：．【解析】（1）的定義域為，.（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減.（ii）若，令得，或.當時，；當時，.所以在單調遞減，在單調遞增.（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，則.由于，所以等價于.設函數，由（1）知，在單調遞減，又，從而當時，.所以，即.6.已知函數．（1）求函數的單調區間；（2）設函數，若時，恒成立，求實數的取值范圍．【解析】（1）的定義域為，，令，則，時，即，方程兩根為，，，，①當時，，恒成立，的增區間為；②當時，，，，時，，的增區間為；③當時，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增；綜上，當時，的增區間為；當時，的減區間為，增區間為．（2）時，恒成立，即，∴，令，，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞減；∴，∴，則實數的取值范圍時．【答案】（1）當時，的增區間為；當時，的減區間為，增區間為；（2）．7.已知函數f(x)=?lnx．（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)處導數相等，證明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2；（Ⅱ）若a≤3?4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點．【解析】（Ⅰ）函數f（x）的導函數，由得，因為，所以．由基本不等式得．因為，所以．由題意得．設，則，所以x（0，16）16（16，+∞）?0+2?4ln2所以g（x）在[256，+∞）上單調遞增，故，即．（Ⅱ）令m=，n=，則f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，f（n）–kn–a<≤<0，所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，對于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直線y=kx+a與曲線y=f（x）有公共點．由f（x）=kx+a得．設，則，其中．由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，所以h′（x）≤0，即函數h（x）在（0，+∞）上單調遞減，因此方程f（x）–kx–a=0至多1個實根．綜上，當a≤3–4ln2時，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點．8.【優選題】已知函數.（1）若曲線在點處的切線為，求的值；（2）討論函數的單調性；（3）設函數，若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍．【解析】本題是函數的綜合問題.（1）的定義域為，，∴，，解得，∴．（2），當時，，∴的單調增區間為.當時，由，∴的單調增區間為，由，∴的單調減區間為.當時，由，∴的單調增區間為，由，∴的單調減區間為.綜上所述：當時，，∴的單調增區間為，當時，∴的單調增區間為，，的單調減區間為當時，∴的單調增區間為，，的單調減區間為.（3）若至少存在一個，使得，∴，當時，，∴有解，令，∴.，∴在上單調遞減，∴得，．9.【2018山東模擬】設函數（Ⅰ）當曲線處的切線斜率.（Ⅱ）求函數的單調區間與極值